UNITAT DIDÀCTICA 5 F UNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES

Transcripción

1 Pàgina UNITAT DIDÀCTICA. Encara que el mètode per resoldre les preguntes que hi ha a continuació se sistematitza a la pàgina següent, pots resoldre-les ara: a) Quants radians corresponen als 0 d una circumferència? b) Quants graus mesura un radian? c) Quants graus mesura un angle de radians? d) Quants radians equivalen a 70? a) ; b) 0 7 7',8"; c) 0 90 d) radians 70º Pàgina. Passa a radians els angles següents: a) 0 b) 7 c) 90 d) 7 e) 00 f) 00 Epressa el resultat en funció de i després en forma decimal. Per eemple: 0 0 rad rad 0, rad 80 a) 0 rad 0, rad 0 b) 7 rad, rad 0 c) 90 rad,7 rad 0 d) 7, rad 0 e) 00 0 rad,9 rad 0 9 f ) 00 rad, rad 0. Passa a graus els angles següents: a) rad; b) 0,8 rad; c) rad; d) rad; e), rad; f) rad a) 0 ' 9," b) 0 0,8 7 ' 9,8" c) 0 d) 0 0 e) 0, 00 ',8" f) rad 80º. Completa la taula següent afegint-hi les raons trigonomètriques (sinus, cosinus i tangent) de cada un dels angles. Et serà útil per al proper apartat: GRAUS i 7 RADIANS La taula completa està en el següent apartat (pàgina següent) del llibre de tet. Tan sols falta l última columna, que és igual que la primera. Pàgina 7. Demostra la fórmula II. a partir de la fórmula: cos (α + β) cos α cos β sin α sin β cos (α β) cos (α + ( β)) cos α cos ( β) sin α sin ( β) cos α cos β sin α ( sin β) cos α cos β + sin α sin β 07

2 08. Demostra la fórmula II. a partir de la fórmula: tg (α + β) tg (α β) tg (α + ( β)) tg α + tg ( β) ( *) tg α + ( tg β) tg α tg ( β) tg α ( tg β) tg α tg β + tg α tg β sin ( α) sin α (*) Com que cos ( α) cos α tg ( α) tg α tg α + tg β tg α tg β 7. Demostra la fórmula II. a partir de les següents fórmules: sin (α β) sin α cos β cos α sin β cos (α β) cos α cos β + sin α sin β tg (α β) sin (α β) cos (α β) sin α cos β cos α sin β ( *) cos α cos β sin α sin β sin α cos β cos α sin β cos α cos β cos α cos β tg α tg β cos α cos β + sin α sin β + tg α tg β cos α cos β cos α cos β (*) Dividim numerador i denominador per cos α cos β. cos 7 sin 7 0, 0,8 tg 7 0, 0,7 0, , llavors: sin 9 sin ( + 7 ) sin cos 7 + cos sin 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 cos 9 cos ( + 7 ) cos cos 7 sin sin 7 0,98 0,8 0, 0, 0, tg 9 tg ( + 7 ) tg + tg 7 tg tg 7 0, + 0,7, 0, 0,7 ( Podria calcular-se tg 9 sin 9 ). cos 9 7, llavors: sin sin (7 ) sin 7 cos cos 7 sin 0, 0,98 0,8 0, 0,8 cos cos (7 ) cos 7 cos + sin 7 sin 0,8 0,98 + 0, 0, 0,90 tg tg (7 ) tg 7 tg + tg 7 tg 0,7 0, 0,78 + 0,7 0, 8. Si sin 0, i sin 7 0,, troba cos, tg, cos 7 i tg 7. Calcula, després, a partir d aquestes, les raons trigonomètriques de 9 i de, emprant les fórmules (I) i (II). sin 0, cos sin 0,0 0,98 tg 0, 0, 0,98 9. Demostra la igualtat següent: cos (a + b) + cos (a b) sin (a + b) + sin (a b) tg a cos (a + b) + cos (a b) sin (a + b) + sin (a b) cos a cos b sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b sin a cos b + cos a sin b + sin a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a sina cosb sin b tg a sin 7 0,

3 tg 90 tg ( ) tg tg No eistei. 0. Demostra les tres fórmules (III.), (III.) i (III.) fent α β en les fórmules (I). sin α sin (α + α) sin α cos α + cos α sin α sin α cos α cos α cos (α + α) cos α cos α sin α sin α cos α sin α tg α tg (α + α) tg α + tg α tg α tg α tg α tg α. Demostra que: sin α sin α sin α + sin α cos α. + cos α sin α sin α sin α sin α cos α sin α + sin α sin α + sin α cos α sin α ( cos α) cos α sin α ( + cos α) + cos α 09. Troba les raons trigonomètriques de 0 a partir de les de 0. sin 0 sin ( 0 ) sin 0 cos 0 cos 0 cos ( 0 ) cos 0 sin 0 ( ) ( ) tg 0 tg ( 0 ) tg 0 tg 0 / / / ( /) /9 /. Troba les raons trigonomètriques de 90 a partir de les de. sin 90 sin ( ) sin cos cos 90 cos ( ) cos sin ( ) ( ) 0 Pàgina 8. Seguint les indicacions que es donen, demostra detalladament les fórmules IV., IV. i IV.. cos α cos ( α ) α cos sin α Com que per la igualtat fonamental: cos α + sin α cos α + sin α D aquí: a) Sumant ambdues igualtats: +cos α cos α cos α + cos α cos α ± + cos α b) Restant les igualtats (.ª.ª): cos α sin α sin α cos α sin α ± cos α Per últim:

4 0 ± tg α sin α/ cos α cos α/ ± + cos α cos α + cos α. Sabent que cos 78 0,, calcula sin 78 i tg 78. Esbrina les raons trigonomètriques de 9 aplicant les fórmules de l angle meitat. cos 78 0, sin 78 cos 78 0, 0,98 tg 78 0,98,9 0, sin 9 sin 78 cos 78 0, 0, cos 9 cos 78 + cos 78 0,77 + 0, tg 9 tg 78 cos 78 + cos 78 0,8 0, + 0, sin sin 90 0 cos cos tg tg Demostra que tg α sin α + + sin α tg α. tg α sin α + sin α tg α cos α + + sin α sin α ( cos α) + sin α cos α sin α ( cos α + ) cos α sin α ( cos + cos α ) sin α cos α cos α sin α tg α cos α 9. Demostra que sin α sin α sin α + sin α tg α. sin α sin α sin α sin α cos α sin α + sin α sin α + sin α cos α sin α ( cos α) cos α tg α sin α ( + cos α) + cos α. Troba les raons trigonomètriques de 0 a partir de cos 0 0,. cos 0 0, sin 0 sin 0 0, 0, cos 0 cos 0 0,8 + 0, tg 0 tg 0 0,77 0, + 0, 7. Troba les raons trigonomètriques de a partir de cos cos 90 0 Pàgina 9 0. Per demostrar les fórmules (V.) i (V.), fes els passos següents: Epressa en funció d α i β: cos (α + β) cos (α β) Suma i resta com hem fet a dalt i obtindràs dues epressions. Transforma en producte i calcula: α + β A α β B α A + B, β A B

5 cos (α + β) cos α cos β sin α sin β cos (α β) cos α cos β + sin α sin β Sumant cos (α + β) + cos (α β) cos α cos β () Restant cos (α + β) cos (α β) sin α sin β () Anomenant α + β A α + β B α A + B, β (en resoldre el sistema) Aleshores, substituint a () i (), s obté: () cos A + cos B cos A + B cos A B () cos A cos B sin A + B sin A B. Transforma en producte i calcula: a) sin 7 sin b) cos 7 + cos c) cos 7 cos a) sin 7 sin cos 7 + sin 7 cos sin 0 b) cos 7 + cos cos 7 + cos 7 cos cos 0 c) cos 7 cos sin 7 + sin 7 sin cos 0. Epressa en forma de producte el numerador i el denominador d aquesta fracció i simplifica n el resultat: sin a + sin a cos a + cos a A B sin a + sin a cos a + cos a sin a + a cos a a cos a + a cos a a sin a tg a cos a Pàgina. Resol aquestes equacions: a) cos + cos 0 b) sin 0 c) tg tg 0 d) sin + cos a) cos ± + 8 ± / 0, Les tres solucions són vàlides (es comprova en l equació inicial). b) sin 0 sin sin ± ± Si sin, Si sin, En comprovar les solucions, totes tres són vàlides. c) tg tg 0 tg (tg ) 0 tg 0 0, 80 tg, Totes les solucions són vàlides.

6 d) sin + cos ( *) ( cos ) + + cos (*) Com que sin + cos sin cos cos + cos cos cos + 0 cos ± 9 8 ± / Aleshores: Si cos 0 Si cos 0, 0 00 Les tres solucions són vàlides.. Resol: a) cos + cos b) tg + cos 0 c) cos (/) cos d) sin cos sin 0 a) cos + cos (cos sin ) + cos (cos ( cos )) + cos ( cos ) + cos 8 cos + cos 8 cos + cos 0 cos 7 ± ± Si cos 0, 9',", 9'," Si cos 80 En comprovar les solucions, les tres són vàlides. b) tg +cos 0 tg +cos tg 0 tg + cos 0 tg 0/ /8 0, sin /cos (sin /cos ) + cos 0 sin cos cos sin ± cos 0 sin cos + cos (cos sin ) 0 cos (sin + cos sin ) 0 cos (sin + sin sin ) cos ( + sin sin ) 0 cos 0 + sin sin 0 sin / Si cos 0 90, 70 Si sin 0, 0 0 Si sin 90 En comprovar les solucions, veiem que totes elles són vàlides. c) cos cos cos + cos + cos cos cos + cos + cos + cos + + cos cos + cos 0 cos (cos + ) 0 Si cos 0 90, 70 Si cos 80 En comprovar les solucions, podem comprovar que les úniques vàlides són: 90 i 80 d) sin cos sin 0 sin (cos sin ) 0 sin (cos + sin sin ) 0 sin ( sin ) 0 Si sin 0 0, 80 Si sin sin ± 0, 0, 0, 0

7 Comprovem les solucions i observem que són vàlides totes elles.. Transforma en producte sin sin i resol després l equació sin sin 0. sin sin 0 cos + sin cos 0 0 cos sin 0 sin 0 Si cos Si sin 0 0, 80 Comprovem que les sis solucions són vàlides. cos cos ( ) cos ( ) cos 7 Aleshores la solució és vàlida, ja que: + ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) + cos sin ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ). Resol les següents equacions trigonomètriques: a) sin ( ) cos ( ) + cos b) sin ( ) + sin 0 a) sin ( ) sin Aleshores, l equació cos ( ) sin queda: cos sin sin sin sin Si sin 7 rad, rad En comprovar, veiem: 7 sin 7 sin ( ) sin ( ) Aleshores, també és vàlida aquesta solució, ja que: sin ( ) cos ( ) + cos + ( ) Per tant, les dues solucions són vàlides: 7 rad i rad b) sin ( ) sin cos cos sin cos sin Aleshores l equació queda: cos sin + sin 0 cos + sin 0 cos + sin 0 cos sin

8 rad, 7 rad Comprovem que cap solució no és vàlida. Aleshores l equació no té solució. 7. Escriu, en radians, l epressió general de tots els angles que verifiquen: a) tg ; b) sin cos c) sin ; d) sin tg a) 0 + k 0 o bé 00 + k 0 Les dues solucions queden recollides en: 0 + k 80 + k rad amb k Z b) + k rad amb k Z c) Si sin + k rad Si sin } + k rad amb k Z + k rad d) En aquest cas ha d ocórrer que: O bé sin 0 k rad O bé cos k rad } k rad amb k Z Pàgina Per practicar Graus i radians 8. Epressa en graus seagesimals els angles següents epressats en radians: a) ; b) ; c) ; d) 7 ; e) Fes-ho mentalment tenint en compte que: radians 80. a) 0 ; b) 0 ; c) ; d) 0 ; e) Epressa en graus seagesimals els angles següents que tens en radians: a),; b),; c) ; d),7 a) 0, 8 ' 7" b) 0, 8 0' 7" c) 0 8 8' " d) 0,7 7 ' 8" 0. Passa a radians els angles següents epressats en graus. Epressa ls en funció de : a) 0 b) 08 c) ; d) 0 e) 70 f) Simplifica l epressió que obtinguis sense multiplicar per,... a) a) b) 08 0 c) 0 d) 0 0 e) 70 0 f)

9 . Troba sense emprar la calculadora: a) cos cos 0 + cos cos + + cos b) tg + cos tg sin sin c) sin sin + sin sin Comprova el resultat obtingut utilitzant la calculadora a) 0 + ( ) 0 + b) ( ) 0 c) ( ) Prova que: a) sin + cos + cos b) sin + sin sin a) sin + cos + cos ( ) + b) sin + sin sin + +. Troba el valor eacte de cada una d aquestes epressions sense utilitzar la calculadora: a) sin + sin + sin b) cos cos 0 + cos cos c) sin cos 7 + tg + tg Comprova els resultats amb la calculadora. a) b) c) ( ) + + ( ) 0. Troba el valor eacte d aquestes epressions sense usar la calculadora: a) sin + cos sin 7 b) cos + tg tg 7 c) cos + sin cos sin Comprova els resultats amb la calculadora. a) + ( ) ( ) ( ) b) c) + +

10 . Troba, en radians, l angle α tal que: sin α 0,7 i cos α < 0. manera: sin α 0,7 > 0 tg 7 sin 7 + cos α < 0 cos 7 } α n quadrant α 0,8 rad Indica, sense passar a graus, en quin quadrant es troba cada un dels angles següents: a) rad b), rad c) rad Tingues en compte que:,7;,;,7;,8 a) n quadrant b) r quadrant c) t quadrant Fórmules trigonomètriques 7. Troba les raons trigonomètriques de l angle de 7 sabent que sin 7 sin (0 + ) sin 0 cos + cos 0 sin + + cos 7 cos (0 + ) cos 0 cos sin 0 sin tg 7 tg (0 + ) tg 0 + tg tg 0 tg / + ( + )/ / ( + )/ ( + ) NOTA: També el podem resoldre d aquesta ( + ) + 8. Sabent que sin i que < <, calcula, sense trobar prèviament el valor de : a) sin b) tg c) sin ( + ) d) cos ( ) e) cos f) tg ( + ) ( ) Has de calcular cos i tg i aplicar-hi les fórmules. cos sin 9 (Negatiu, per ser n quadrant). tg sin cos a) sin sin cos ( ) b) tg cos + cos ( /) + ( /) 9/ / Signe positiu, ja que si n quadrant, aleshores r quadrant. c) sin ( + ) sin cos + cos sin + ( ) 0 d) cos ( ) cos cos + sin sin

11 ( ) + 0 e) cos ( *) + cos / / (*) Signe positiu, perquè r quadrant f) tg ( + ) tg + tg / tg + tg / / + / ( /) + / 7 Pàgina 7 9. Troba les raons trigonomètriques de l angle de de dues maneres, considerant: a) 0 b) 0 a) sin sin ( 0 ) sin cos 0 cos sin 0 0,889 cos cos ( 0 ) cos cos 0 + sin sin ,99 tg sin cos ,799 b) sin sin 0 cos 0 / + 0,889 cos cos 0 + cos 0 0,998 + / + tg 0, ,889 0,998 Pàgina 7 0. Sabent que sin i que és un angle del primer quadrant, calcula: a) sin b) tg c) cos (0 ) sin cos, tg > 0 r quadrant r quadrant sin / > 0 cos / > 0 tg / > 0 cos sin tg / / a) sin sin cos 9 b) tg cos + cos / + / c) cos (0 ) cos 0 cos + + sin 0 sin + 7

12 8 + + cos / r quadrant sin < 0 n quadrant. Si tg α / i 90 < α < 80, calcula: a) sin cos a) sin ( α ) ; b) cos ( 80 ) 9 α ; 7 7 sin α > 0 90 < α < 80 cos α < 0 b) cos ( + ) cos cos sin sin A més, α r quadrant cos tg α c) cos cos sin 9 7 tg α + + cos α cos α 9 cos α d) tg cos + cos + / / sin α cos α e) sin ( ) sin cos cos sin a) sin ( α ) sin cos α cos sin α cos ( ) 0 f) cos ( ) cos cos + sin sin b) cos ( 80 α) cos 80 cos α + cos ( + cos ) / + sin 80 sin α cos α 8 + cos α ( /) 0 0. Si cos 78 0, i sin 7 0,, calcu - la sin, cos i tg sin 78 cos 78 0, 0,98. Sabem que cos i sin < 0. Sense trobar el valor de, calcula: cos 7 sin 7 0, 0,8 a) sin ; b) cos ( + ); c) cos Ara ja podem calcular: d) tg ; e) sin ( ) ; f ) cos ( sin sin (78 7 ) ) sin 78 cos 7 cos 78 sin 7

13 0,98 0,8 0, 0, 0, cos cos (78 7 ) cos 78 cos 7 + sin 78 sin 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 tg sin 0, 0,8877 cos 0,78. Si tg (α + β) i tg α, troba tg β. tg (α + β) tg α + tg β tg α tg β + tg β + 8 tg β + tgβ + tg β 7 tg β tg β 7 Aleshores: tg β tg β ( /7) /7 tg β /9 / Equacions trigonomètriques. Resol les equacions següents: a) cos sin + 0 b) sin sin 0 Treu-ne el factor comú i iguala a zero cada factor. c) cos cos 0 a) cos sin + 0 cos } cos cos 0 cos 0 cos En comprovar-les a l equació inicial, les dues solucions són vàlides. Ja que: 90 + k k 0 + k amb k Z + k Cosa que podem epressar com: 90 + k 80 + k amb k Z b) sin (sin ) 0 sin 0 0, 80 sin 90 Comprovant les possibles solucions, veiem que totes tres són vàlides. Ja que: k 0 k 80 + k 0 +k amb k Z 90 + k 0 + k O, d una altra forma: k k 80 amb k Z + k 90 + k 0 ( aií inclou les solucions i anteriors) c) cos (cos ) 0 cos 0 90, 70 cos 0, 0 Les quatre solucions són vàlides. Per tant: 90 + k k k k 0 }ambk Z NOTA: Observi s que les dues primeres so- + k + k + k + k 9

14 0 lucions es podrien escriure com una sola de la forma següent: 90 + k 80 + k. Resol: a) sin cos b) cos sin 0 c) cos + sin d) tg tg 0 a) ( cos ) cos cos cos 0 cos Les dues solucions són vàlides. Ja que: 90 + k k 0 }ambk Z O, el que és igual: 90 + k 80 + k + k + k amb k Z b) ( sin ) sin 0 sin 0 sin sin ± Si sin, Si sin, Comprovem que totes les solucions són vàlides. Per tant: + k 0 + k + k 0 + k + k 0 + k + k k }ambk Z O, el que és el matei: + k 90 + k amb k Z c) ( sin ) + sin sin + sin sin sin 0 sin ± + 8 ± 90 / 0, 0 Les tres solucions són vàlides, és a dir: 90 + k 0 + k 0 + k k 0 + k 0 + k }ambk Z d) tg ( tg ) 0 tg 0 0, 80 tg 0, 0 Comprovem les possibles solucions en l equa ció inicial i veiem que les quatre són vàlides. Aleshores: k 0 k 80 + k 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k k amb k Z Cosa que es podria epressar amb tan sols dues solucions que englobessin les quatre anteriors. k 80 k

15 0 + k 80 + k amb k Z 7. Resol les equacions següents: a) sin ( ) + cos ( ) b) sin cos 0 Desenvolupa sin i treu-ne factor comú. c) cos sin + 0 Desenvolupa cos i substituei cos sin d) sin ( + ) sin 0 a) sin cos cos sin + cos cos + + sin sin cos sin + cos + sin cos + cos cos Comprovem i veiem que: sin ( ) + cos ( ) sin ( ) + cos 0 + sin ( ) + cos ( ) sin ( ) + cos ( ) Són vàlides les dues solucions. Ja que: + k 0 + k 0 + k 00 + k 0 } amb k Z / / b) sin cos cos 0 cos (sin cos ) 0 cos 0 90, 70 sin cos, Comprovem les solucions. Totes són vàlides: 90 + k 0 + k 70 + k 0 + k + k 0 + k + k 0 + k També ho podríem epressar com: 90 + k 80 + k + k 80 + k c) cos sin sin + 0 sin sin sin + 0 sin sin + 0 sin + sin 0 sin ± 9 + ± / 0, 0 Impossible!, ja que sin Comprovem que les dues solucions són vàlides. Ja que: 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k }ambk Z d) sin cos + cos sin sin 0 cos + sin sin 0

16 cos sin 0 cos sin 0 cos sin, En comprovar, podem veure que ambdues solucions són vàlides. Ja que: + k + k 0 + k + k 0 Podem agrupar les dues solucions en: + k + k 80 amb k Z 8. Resol aquestes equacions: a) sin cos + cos 0 En fer sin cos, en resulta una equació biquadrada. Fes cos z i comprova si són vàlides les solucions que obtens. b) sin + sin cos cos 0 Dividei per cos i obtindràs una equació amb tg. c) cos + cos 0 d) tg + cos e) sin + cos 0 a) ( cos ) cos + cos 0 cos cos + cos 0 cos cos + 0 cos cos + 0 Sigui cos z cos z Aií: z z + 0 z ± 9 8 ± z cos z cos ± 0 80 ± Comprovem les possibles solucions, veiem que totes són vàlides. Per tant: k 0 k 80 + k 0 + k + k 0 + k + k 0 + k + k 0 + k + k 0 7 O, agrupant les solucions: k 80 k + k 90 + k b) Dividint per cos : sin sin cos cos cos,, + k amb k Z + cos 0 cos tg + tg 0 tg ± + 8 ± '," '," Les quatre solucions són vàlides:

17 '," + k 0 '," + k 0 + k 0 + k 0 7 O el que és el matei: + k + k '," + k 80 + k + k 80 + k c) + cos + cos 0 + cos + + cos 0 cos 0 cos 0 90, 70 Les dues solucions són vàlides. Ja que: 90 + k 0 + k 70 + k 0 + k Agrupant les solucions: 90 + k 80 + k amb k Z d) cos + cos cos cos + cos cos + cos cos + cos cos + cos 0 cos ± + 8 ± 0 Impossible!, ja que cos Ja que: k 0 k amb k Z + k + k e) cos + cos sin 0 cos + cos ( cos ) 0 cos + cos + cos 0 cos cos 0 cos ( cos ) 0 cos 0 90, 70 cos / 0, 00 Es comprova que són vàlides totes. Per tant: 90 + k 0 + k 70 + k 0 + k 0 + k 0 + k 00 + k 0 + k Agrupant les solucions quedaria: 90 + k 80 + k 0 + k 0 + k 00 + k 0 + k Identitats trigonomètriques 9. Demostra que: sin (α + β) sin (α β) tg α + tg β tg α tg β Aplica les fórmules de sin (α + β) i sin (α β). Dividei tant el numerador com el denominador entre cos α cos β i simplifica-ho. sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β ( *) sin (α β) sin α cos β cos α sin β

18 sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β sin α cos β cos α sin β cos α cos β cos α cos β (*) Dividim numerador i denominador entre cos α cos β. 0. Prova que tg cos sin tg. Substituei cos + cos. Com que cos ± cos + cos + cos I substituint en l epressió: tg cos sin sin + cos sin cos sin ( + cos ) sin cos ( *) cos sin [ + cos cos ] sin tg cos cos (*) Traient el factor comú.. Demostra que cos ( + ) cos ( + ) cos. tg α + tg β tg α tg β Desenvolupa i substituei les raons de: i. cos ( + ) cos ( + ) [ cos cos sin sin ] [ cos cos sin sin ] [ (cos ) (sin ) ] [ (cos ) ( ) (sin ) ] cos sin + cos + sin cos. Demostra que: cos α cos (α β) + + sin α sin (α β) cos β. Aplica les fórmules de la diferència d angles, simplifica-ho i etreu-ne factor comú. cos α cos (α β) + sin α sin (α β) cos α (cos α cos β + sin α sin β) + + sin α (sin α cos β cos α sin β) cos α cos β + cos α sin α sin β + + sin α cos β sin α cos α sin β cos α cos β + sin α cos β ( *) (*) cos β (cos α + sin α) cos β cos β (*) Traiem el factor comú. Pàgina 8. Prova que: sin α sin α tg α. sin α + sin α sin α sin α sin α sin α cos α sin α + sin α sin α + sin α cos α sin α ( cos α) cos α tg α sin α ( + cos α) + cos α. Simplifica: cos ( + α) cos ( α) cos α En desenvolupar el numerador obtindràs una diferència de quadrats. cos ( + α) cos ( α) cos α cos ( cos α sin sin α) cos α sin α

19 (cos cos α + sin sin α) cos α sin α (cos cos α sin sin α) α cos α sin α [( /) cos α ( /) sin α] cos α sin α 7. Demostra: cos (α β) + tg α tg β cos (α + β) tg α tg β / cos α / sin α cos (α β) cos α cos β + sin α sin β ( *) cos α sin α cos (α + β) cos α cos β sin α sin β cos α sin α cos α cos β + sin α sin β cos α sin α cos α cos β cos α cos β + tg α tg β cos α cos β sin α sin β tg α tg β cos α cos β cos α cos β Per resoldre. En una circumferència de cm de radi, un arc mesura 0 cm. Troba l angle central en graus i en radians. Troba la longitud de la circumferència i escriu la proporció entre les longituds dels arcs i la mesura dels angles. (*) Dividim numerador i denominador entre: cos α cos β 8. Simplifica l epressió sin α i calcula n el valor per a α 90. cos α sin α sin α cos α cos α cos α sin α sin α α cm Com que la circumferència completa (α 00, cm) són rad, aleshores: 00, α 0, rad 0 α 00, α 0, 7 7' ". Troba, en radians, l angle comprès entre 0 i de manera que les raons tri - gonomè tri ques coincideiin amb les de. 0 < α < 0 cm Per tant, si α 90 sin α cos α cos α 0 0 sin α 9. Resol les equacions següents: a) cos + sin b) tg tg c) cos cos + cos 0 d) sin tg e) sin + cos 0 f) sin cos sin g) tg ( ) + tg a) cos sin + sin sin sin + sin sin sin + 0

20 sin ± 9 8 ± 90 / 0, 0 cos ± + 8 ± ±, Impossible! Ja que cos 0, 8 ',", 9 8' 8,9" Les tres solucions són vàlides: 90 + k 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k b) tg tg tg tg tg tg tg ± 0, 0 0, 0 Les quatre solucions són vàlides: 0 + k 0 + k 0 + k k 0 + k 0 + k 0 + k 0 Agrupant: 0 + k k 80 + k + k + k c) cos (cos sin ) + cos 0 cos (cos + cos ) + cos 0 cos cos + cos 0 cos ( cos + cos ) 0 cos 0 90, 70 Les solucions són totes vàlides: 90 + k 0 + k 70 + k 0 + k 8 '," + k 0 0,8 + k 9 8' 8,9" + k 0, + k Agrupades, serien: 90 + k 80 + k 8 '," + k 0 0,8 + k 9 8' 8,9" + k 0, + k d) sin tg sin tg sin tg tg sin sin sin sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin (cos sin cos ) 0 sin (cos + cos cos ) 0 sin 0 0, 80 cos cos 0 cos ± / 0, 0 Les quatre solucions són vàlides. Ja que:

21 k 0 k 80 + k 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k Que, agrupant solucions, quedaria: k 80 k 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k e) + cos 0 cos cos ( cos ) cos ( + cos cos ) cos cos 0 cos ± + 8 ± En comprovar, veiem que les tres solucions són vàlides: k 0 k 0 + k k 0 0 / 0, 0 + k + k f) sin cos cos sin sin cos sin sin ( sin ) sin sin sin sin sin 0 0, 80 sin sin ± Comprovem que totes les solucions són vàlides. Donem les solucions agrupant les dues primeres per un costat i la resta per l altre: k 80 k amb k Z 0 + k 90 + k g) tg (/) + tg + tg + tg + tg (/) tg tg + tg + tg + tg tg tg tg tg 0 tg (tg ) 0 tg 0 0, 80 tg 7 ',", '," Les quatre solucions són vàlides: k 0 k 80 + k 0 + k 7 '," + k 0 '," + k 0 O, el que és igual: k 80 k 7 '," + k 80 0, 0 0, Resol les equacions següents: a) sin sin cos b) sin + sin cos + cos c) sin + sin cos cos + k + k + k 7

22 8 d) sin cos sin cos Transforma les sumes o diferències de sinus i cosinus en productes. d) sin sin cos cos cos sin sin sin (dividim entre sin ) a) cos + sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin tg sin 0, 0 7, + k 0 7, + k 0 Comprovant, veiem que les dues solucions 7 7, + k 0 són vàlides. Doncs: 9 7, + k k 0 + k Podem comprovar que les quatre solucions 0 + k 0 + k són vàlides. Agrupant-les: 7, + k 90 amb k Z b) sin cos sin sin cos sin sin ( ) sin cos cos cos sin sin 0 + k 0 + k k 0 + k k 0 + k k 0 + k En comprovar veiem que totes les solucions són vàlides. c) sin cos cos sin sin sin tg tg 0 0 Ambdues solucions són vàlides. Ja que: 0 + k 0 + k 0 + k 0 + k. a) Demostra que: sin sin cos sin. b) Resol l equació sin sin 0. a) Fes sin sin ( + ) i desenvolupa-ho. b) Substituei sin pel resultat anterior. a) sin sin ( + ) sin cos + cos sin sin cos cos + (cos sin ) sin sin cos + sin cos sin sin cos sin b) sin sin 0 pel resultat de l apartat anterior: sin cos sin sin 0 sin ( sin ) sin sin 0 sin sin sin sin 0 sin sin 0 sin ( sin ) 0 sin 0 0, 0 sin ±/ 0, 0, 0, 0 Totes les solucions són vàlides i es poden epressar aií:

23 k 80 k 0 + k 80 / + k 0 + k 80 / + k. Demostra les igualtats següents: a) cos (α + β) cos (α β) cos α sin β b) sin ( ) α + β α β ( ) sin sin α sin β c) cos ( ) α β α + β ( ) cos sin α sin β a) cos (α + β) cos (α β) (cos α cos β sin α sin β) (cos α cos β + + sin α sin β) cos α cos β sin α sin β cos α ( sin β) ( cos α) sin β cos α cos α sin β sin β + cos α sin β cos α sin β b) El primer membre de la igualtat és una diferència de quadrats, després podem factoritzar-lo com una suma per una diferència: [ sin α + β ( ) + sin α β ( )] [ sin ( α + β ) sin ( α β )] ( *) [ sin α cos β ] [ cos α sin β ] cos α + cos β + cos α cos β ( cos α) ( + cos β) ( + cos α) ( cos β) ( cos α) ( cos β) sin α sin β) sin α sin β (*) Transformem la suma i la diferència en productes, tenint en compte que: α + β + α β α i α + β α β β c) Procedim de manera anàloga a l apartat anterior, però ara: α β + α + β α i α β α + β β cos ( ) α β α + β ( ) cos [ cos ( α β ) + cos ( α + β )] [ cos ( α β ) cos ( α + β )] [ cos α cos β ] [ sin α sin β ] [ cos α cos β ] [ sin α sin β ] + cos α + cos β cos α cos β ( cos α) ( cos β) sin α sin β) sin α sin β NOTA: També podríem haver-ho resolt aplicant l apartat anterior com seguei: cos ( ) α β α + β ( ) cos sin ( ) α β + α + β ( ) sin sin ( ) α + β α β ( )] sin ( *) sin α sin β (*) Per l apartat b).. Epressa sin α i cos α en funció de sin α i cos α. sin α sin ( α) sin α cos α sin α cos α (cos α sin α) (sin α cos α sin α cos α) cos α cos ( α) cos α sin α (cos α sin α) ( sin α cos α) cos α + sin α cos α sin α 9

24 0 sin α cos α cos α + sin α sin α cos α. Resol els sistemes següents i dóna les solucions corresponents al primer quadrant: a) + y 0 sin sin y / b) sin + cos y cos sin y Fes cos y sin y i cos sin. c) sin + cos y + y 90 a) De la segona equació: cos + y sin y Com que: + y 0 cos 0 sin y sin y sin y y 0 y 0 Aií: + y 0 y y 0 Aleshores la solució és: (90, 0 ) cos b) Com que y sin y cos sin cos 0 cos cos 0 cos 80 n quadrant Aleshores la solució és: (0, 0 ) c) + y 90 complementaris sin cos y Substituint en la primera equació del sistema: cos y + cos y cos y cos y y 0 90 y Aleshores la solució és: (0, 0 ). Demostra que per a qualsevol angle α es verifica: cos ( α ) sin α + cos α Desenvolupem la primera part de la igualtat: cos ( α ) ( cos cos α + sin sin α ) ( cos α + sin α ) (cos α + sin α) (cos α + sin α) cos α + sin α El sistema queda: sin + sin y sin sin y sin sin y 0 sin sin y (Sumant ambdues igualtats) sin y 0 sin y 0 y 0 Substituint en la segona equació (per eemple) del sistema inicial, s obté: Pàgina 9. Demostra que: cos + sin cos sin cos sin cos + sin tg cos + sin cos sin cos sin cos + sin (cos + sin ) (cos sin ) (cos sin ) (cos + sin )

25 cos + sin + sin cos cos sin + sin cos cos sin sin cos ( *) (sin cos /cos ) cos sin cos sin /cos (sin /cos ) tg (sin /cos ) tg tg tg tg (*) Dividim numerador i denominador entre cos. 7. Simplifica l epressió: tg cos sin tg cos sin sin + cos cos sin ( + cos ) cos sin sin ( + cos cos ) + cos cos cos ( ) sin cos sin ( ) sin ( ) tg 9. Relaciona aquestes epressions amb les raons trigonomètriques de l angle α: a) sin ( α); cos ( α); tg ( α) b) sin ( + α); cos ( + α); tg ( + α) c) sin ( α); cos ( α); tg ( α) a) sin ( α) sin α cos ( α) cos α tg ( α) tg α b) sin ( + α) sin α cos ( + α) cos α tg ( + α) tg α c) sin ( α) sin α cos ( α) cos α tg ( α) tg α 70. Epressa A() en funció de sin i cos : a) A() sin ( ) sin ( ) b) A() cos ( ) + cos ( + ) c) A() sin ( + ) + cos ( ) a) A () sin ( ) sin ( ) sin sin sin b) A () cos ( ) + cos ( + ) cos + ( cos ) 0 c) A () sin ( + ) + cos ( ) sin + cos Qüestions teòriques 8. Quina relació eistei entre les raons trigonomètriques dels angles que mesuren i radians? + són complementaris; per tant: sin sin ( ) sin cos cos ; tg tg 7. Demostra que si α, β i γ són els tres angles d un triangle, es verifica: a) sin (α + β) sin γ 0 b) cos (α + β) + cos γ 0 c) tg (α + β) + tg γ 0 Tingues en compte que α + β 80 γ, i les relacions que eisteien entre les raons trigonomètriques dels angles suplementaris. Com que en un triangle α + β + γ 80 α+ β 80 γ, aleshores: a) sin (α + β) sin (80 γ) sin γ sin (α + β) sin γ 0

26 b) cos (α + β) cos (80 γ) cos γ cos (α + β) + cos γ 0 c) tg (α + β) tg (80 γ) tg γ tg (α + β) + tg γ Demostra que si α + β + γ 80, es verifica: tg α + tg β + tg γ tg α tg β tg γ Fes α + β 80 γ i desenvolupa: tg (α + β) tg (80 γ). Si α + β + γ 80 α + β 80 γ tg (α + β) tg (80 γ) tg γ tg γ tg (α + β) Aií, substituint: tg α + tg β + tg γ ( *) tg α + tg β tg (α + β) tg α + tg β tg α + tg β tg α tg β (tg α tg α tg β) + (tg β tg α tg β) (tg α + tg β) tg α tg β tg α tg β tg α tg β tg α tg β (traient factor comú) tg α tg β (tg α tg β) tg α tg β 7. Representa les funcions: a) y cos ( + ) b) y sin ( + ) c) y cos ( ) 0 b) c) tg α tg β tg (α + β) tg α tg β [ tg (α + β)] ( *) tg α tg β tg γ (*) tg γ tg (α + β) Per aprofundir 7. Fes, amb la calculadora, una taula de valors de la funció y cos, donant a valors compresos entre 0 i radians i representa-la gràficament y cos 0 7. Resol els sistemes següents donant les solucions corresponents al primer quadrant. a) sin + sin y cos + cos y b) sin + cos y / cos sin y / c) cos ( + y) / sin ( y) / a) Aïllant en la segona equació:

27 sin ( cos y) cos cos y (*) Com que sin cos llavors: cos y + cos y cos y cos y I, substituint en la primera equació, es té: sin + sin y cos y cos y + + sin y sin y cos y cos y Elevant al quadrat: sin y + ( cos y cos y) ( cos y cos y) sin y + cos y cos y ( cos y cos y) cos y ( cos y cos y) ( + cos y) ( cos y cos y) Simplifiquem i tornem a elevar al quadrat: ( + cos y) ( cos y cos y) + cos y + cos y cos y cos y cos y cos y + 0 cos y ± y 0 8 Substituïm en (*), es té: cos 0 b) sin + cos y Sumant: cos sin y sin + cos + cos y sin y + cos y sin y cos y cos y cos y y (Només considerem les solucions del primer quadrant). Substituint en la primera equació: sin + cos y sin + sin sin sin ± Ens quedem amb la solució positiva, per tractar-se del primer quadrant. Aií: sin 0 Aleshores la solució és: (0, ) c) Com que, y r quadrant i a més cos ( + y) > 0 sin ( y) > 0 + y r quadrant y r quadrant Tenint aiò en compte: cos ( + y) + y 0 sin ( y) y 0 (Sumem ambdues equacions) 90 Substituint en la primera equació i aïllant: y 0 0 La solució és, per tant: (, ) 7. Resol: a) sin sin cos 0 b) cos cos ( ) 0 c) cos + sin cos 0 Epressa cos en funció de sin i cos fent cos cos ( + ). a) Per a l eercici, a): sin sin cos sin. Ja que: sin cos sin sin (cos sin ) 0 sin cos sin sin cos

28 sin 0 sin sin cos 0 sin (sin cos ) 0 sin 0 0, 80 sin cos cos Les solucions (totes vàlides) es poden epressar com: k 80 k + k 90 + k amb k Z En què engloba les dues primeres solucions obtingudes i les quatre restants. b) cos ( ) cos cos cos ( + ) cos cos sin sin (cos sin ) cos sin cos sin cos (cos sin sin ) cos (cos sin ) cos ( sin ) Aií, substituint en l equació: cos ( sin ) ( cos ) 0 cos ( sin ) + cos 0 cos ( sin + ) 0 cos ( cos ) 0 cos 0 90, 70 sin sin ± 0, 0, 0, 00 Totes les solucions són vàlides i les podem agrupar tot epressant-les com: 90 + k k k 80 + k + k + k c) Utilitzant els resultats obtinguts en l eer - ci ci b), per a cos i substituint en l equa ció, s obté: cos ( sin ) + sin cos cos 0 cos ( sin + sin ) 0 cos ( sin + sin ) 0 cos 0 90, 70 sin sin sin ( sin ) 0 sin sin 0 0 Les solucions queden, doncs, aií: k k 90 + k 0 + k 0 + k 0 + k 0 En què engloba les quatre primeres solucions. 77. Demostra que: a) sin tg / + tg / b) cos tg / + tg / c) tg tg / tg / a) Desenvolupem i operem en el segon membre de la igualtat: tg (/) + tg (/) cos + cos + cos + cos cos + cos cos + cos + cos + cos + cos + cos

29 ( + cos ) cos + cos cos ( + cos ) + cos ( + cos ) ( cos ) cos sin sin cos b) tg (/) + cos + tg (/) + cos + cos + cos + cos + cos cos cos + cos + cos + cos c) tg (/) cos + cos tg (/) cos + cos cos + cos + cos + cos + cos cos + cos + cos cos cos cos + cos + cos ( + cos )( cos ) cos cos cos sin sin tg cos cos Per pensar una mica més 78. Demostra que, en la figura següent, α β + γ. γ β α a) Pots realitzar la demostració recorrent a la fórmula de la tangent d una suma. b) Hi ha una possible demostració, més senzilla i elegant que l anterior, reconeient els angles α, β i γ en la figura següent: tg β + tg γ a) tg (β + γ) / + / tg β tg γ / / / / / / tg α Aií veiem que tg (β + γ) tg α β + γ α Com que α, β, γ r quadrant b) α BOD. N hi ha prou d observar que es tracta d un dels angles aguts del triangle rectangle que es forma amb la diagonal d un quadrat. O β COD, per ser l angle agut menor d un triangle rectangle els catets del qual mesuren quatre i dues unitats; igual (per semblança) al format per catets de dues i una unitat. γ AOC, per tant, prenent les diagonals dels quadrats petits per unitats, es tracta A B C D

30 de l angle menor del triangle rectangle de catets tres i una unitats (OA i AC respectivament). Aií, podem observar fàcilment en el dibui que α β + γ, ja que: BOD AOD AOC + COD Per acabar Resol tu A més de la Lluna i del Sol, els objectes celestes que se ns presenten amb més lluentor són planetes: Venus, Mart i Júpiter. Després d aquests, l astre més brillant és l estel Sírius. Observant-lo amb sis mesos de diferència, presenta una parallai de 0,7". A quina distància es troba? Com hem vist: d sin(α/) Si α 0,7, quedaria: d , a 0 km sin(0,7/) 9 anys llum.