Mecànica Fonamental , planta 11)

Transcripción

1 Mecànca onaental planta ) MOVIMIENTO: TRASLACIÓN ROTACIÓN DEORMACIÓN Mecánca: estudo del MOVIMIENTO y de sus CAUSAS Ssteas ígdos (cuepos sóldos) Ssteas blandos o elástcos (líqudos, gases, uelles) - Cneátca - Estátca y Dnáca - ludoestátca - Osclacones y Ondas Lee páafos.3 y.5 de las notas de clase NOTA 0.6EXfnal 0.MQ 0.EvC 0.EvC 0. LAB ª sesón de LAB: ª seana de octube! LAB: planta 6 Entega po paejas el poblea.5.(escto a ano) dp 4 puebas esctas 3 sesones

2 .7 MOVIMIENTO de un cuepo TRASLACIÓN ROTACIÓN DEORMACIÓN patícula (o punto ateal ) î kˆ Notacón: ˆ ĵ escala vecto ( x, y, z) punto geoétco (de un objeto) objeto de densones despecables que no ga sobe s so vecto poscón: ( x, y, z) xˆ yj ˆ zkˆ vecto ódulo deccón: ódulo: deccón: vecto de ódulo(deccón) x y Tayectoa tepoal :cuva z x y ˆ ˆ ˆj x, y, z :gados de lbetad (tes en 3D, dos en D, uno en D) z kˆ ˆ Movento de taslacón vaacón de la poscón en el tepo ( t) x( t), y( t), z( t) ( )

3 .7 Tayectoa tepoal : ( t) ( x( t), y( t), z( t)) x( t)ˆ y( t) ˆj z( t) kˆ vecto velocdad (nstantánea) v (t) d v l t & devada tepoal de la poscón: 0 t d d dx dy dz dx dy v x( t)ˆ y( t) ˆj z( t) kˆ ˆ ˆj kˆ,, vecto aceleacón dz ( ) dv d d x d y d z a v& &&,, Estas defncones se pueden nvet paa saca p. ej. la poscón de la velocdad: ( t ) v ( t ) C ( v x ( t) Cx, vy ( t) C y, v z ( t ) C z ) P-.7.3 lo so con a( t) (0,0, g) y v ( t 0) (,0,) vx vy vz P-.3. (sn punto (d)), P-.7. Casos potantes: - Movento ectlíneo(a lo lago de una línea ecta): una únca vaable x(t) con su sgno (la poscón x es en tal caso un vecto en D) - Movento ccula(en un plano) : es útl expesa el ovento en funcón del ángulo θ (t) : x( t) R0 cosθ ( t) ) Calcula la velocdad vectoal paa un ovento ccula y detena y( t) R0 snθ ( t) su ódulo (la cantdad dθ ω se llaa velocdad angula) ) a queángulo especto del suelo hay que lanza un objeto paa que llegue lo ás lejos posble? Cuál es la velocdad del objeto justo antes de toca el suelo?

4 ( t) v( t) El vecto velocdad es tangente a la tayectoa en cada punto (se ve gáfcaente toando el líte) Tˆ v Tˆ ( t) v( t) vˆ( t) vtˆ ˆ T vˆ vecto tangente untao Aceleacón: dv d( vˆ v) dv dvˆ a( t) vˆ v Paa un vecto de ódulo constante coo vˆ, vˆ vˆ vˆ Tˆ d( vˆ vˆ) dvˆ ˆ v 0 tene una coponente tangente a la tayectoa y ota noal: dv a( t) Tˆ dv Llaando Nˆ ˆ el vecto de ódulo otogonal a vˆ (deccón de dˆ v ): dvˆ a T Tˆ a a( t) dv dv Tˆ ˆ v Nˆ a T a N a dvˆ vˆ dvˆ v vaacón del ódulo de v vaacón de deccón de v ( t) a N Nˆ Pegunta: s una patícula se ueve a lo lago de una ecta, cuánto es su a N?

5 Aceleacón noal y ado de cuvatua: Paa cada punto de una cuva se puede defn el cículo tangente. El ado de tal cículo se llaa ado de cuvatua ( R CURV ) vˆ ( t) (t) R CURV d dθ dθ v ˆ( t ) dˆ v toeos dos nstantes t y t (Se ndca con la leta d una vaacón - tabén vectoal - uy pequeña) Los dos tángulos de aba son abos sósceles y tenen el so ángulo al vétce, po tanto son seejantes. De esto se obtene que (paa los ódulos) : Sendo vˆ, s dvdos po el ntevalo de tepo se ha: dvˆ R d v CURV R CURV Resuen fóulas: (todas se calculan a pat de v (t)) R CURV v Tˆ( t) vˆ( t) v dv dv N ˆ ˆ ˆ ( t) v ( t) a N a T a dv ˆ vˆ RCURV Casos potantes: - ovento ectlíneo (unfoe, unfoeente aceleado o peódco) - ovento ccula R CURV R, v v dvˆ a T vˆ dv a N Nˆ v R CURV a a T a N a v ( t) R ω R & θ 0 0 N dvˆ v nv ˆ nˆ R CURV R CURV d R CURV v dvˆ P-.7.4, (P-.7.5)

6 . Dnáca de taslacón: Leyes de Newton, fueza y asa ª Ley de Newton:un cuepo sobe que no actúa nnguna causa (fueza), se ueve con velocdad constante (ovento ectlíneo unfoe) ( ESTÁTICA ). ª Ley de Newton: una fueza que actúa sobe una patícula causa una aceleacón popoconal a la fueza; la constante de popoconaldad es la asa de la patícula Genealzacón del concepto de esfuezo (uscula, de un ateal); es decconal a 0 a Defne la fueza:fueza causa de la aceleacón; puede depende de poscón y velocdad (y del tepo), peo node la aceleacón. Defne la asa: fuezas dfeentes,... causan aceleacones a, a... a v& causa tales que el cocente es constante: a a & asa cantdad de atea peso efecto... La undad de fueza en el SI es el newton (N): N kg s Ej.: la fueza peso que actúa sobe la asa vale, coo vecto g g. Cuál es la aceleacón causada po esta fueza? P-.., P-..3 3ª Ley de Newton(pncpo de accón y eaccón): s un cuepo actúa sobe oto con una fueza, entonces éste últo genea una fueza gual y opuesta sobe el peo

7 DINÁMICA (ª Ley)... a 0 3 ESTÁTICA (ª Ley) v const Pegunta: po qué os cansás ás cuando antenés levantado algo que pesa ucho? a al gual que, v, etc., las fuezas tabén son vectoes y se suan coo tales la ª Ley plca la ª, y la 3ª sólo se usa s hay ás de un cuepo/patícula abas son váldas sólo en ssteas de efeenca necales ( fjos o en ovento ectlíneo unfoe) aceleacón del cento de asasde un cuepo extenso ª Ley P-..4, P-.5.5 Más pobleas con ovento ccula: () Se lanza una pelotta sobe una psta deltada po una paed ccula. La pelota da algunas vueltas hasta paase debdo a la fccón. S la velocdad angula de la pelota vaía según la ley hoaa: ω0 ω( t) ω0 α t, 0 t α ω cuánto valen la noal de la paed y la fccón en cada nstante t en el ntevalo 0 t 0? () Poblea del péndulo (o de spdean): en que punto de la tayectoa la tensón del hlo es áxa? α

8 . Moento lneal e pulso DE: p v oento lneal o cantdad de ovento. DE: pulso I sunstado po una fueza en el ntevalo t at : ª Ley de Newton Teoea del oento lneal: I p.5 Aplcacón decta de la ª Ley de Newton ª Ley: P-.. P-.., P-..3 La ª ley de Newton es una ecuacón dfeencal, que en algunos casos puede se ntegada (dos veces) paa enconta la tayectoa tepoal ( t). P. ej.: fueza que sólo depende del tepo: d (t) Integacón decta t ( t) ( t) t ( t) En cada ntegacón se ntoduce una constante (vectoal): Cy C. Éstas se pueden detena s conoceos poscón y velocdad, 0 ( t0) v0 v( t0), en un nstante t 0 cualquea. Ej. : fueza constante: ª Ley : a a ct. Integando veces: ( t) C C t t Con las condcones ncales ( t ), &( t ) v : ( t0) 0 C C t0 t0 C v0 t0 ( t ) v C t & C v t t I t p & t La ecuacón de la tayectoa es pues: ( t) 0 v0 ( t t0) ( t t0)

9 Casos patculaes de fuezas constantes: peso y fccón dnáca ueza peso: a g a g ct y Toando el eje y paalelo a la fueza y con velocdad ncal en el plano ( x, y), la tayectoa es una paábola en tal plano: g ( t) 0 v0( t t0) g( t t0) v Rozaento dnáco: N RD µ N, µ Nvˆ S const, const. S adeás vˆ const, const RD D RD RD D x v0 v(t) t La ley hoaa (deceleacón unfoe) vale sólo hasta que la patícula se paa, es dec hasta que v 0, poque entonces la fccón desapaece Clasfcacón de las fuezas: fuezas actvas (peso) vs eaccones (noal, fccón) Halla la dnáca de un pequeño bloque a asa que deslza sobe un suelo hozontal ugoso con coefcente de fccón dnáca 0., s el bloque sale del ogen con velocdad ncal v0 3s µ D

10 ueza de un uelle y ovento aónco ueza de un uelle (o de Hooke): k l l ) H ( N Defnendo una nueva efeenca en que x l, se ha: ª Ley de Newton: l && x & kx, o sea: && x k x l N H kx > 0 x < 0 x 0 H H 0 ( ) l l N solucón: x( t) Asn( ω( t t ) ϕ ) 0 0, con: x > 0 H < 0 ω k T π ω x( t ) A v( t ) ω 0 0 ; snϕ 0, A x( t0) P-.5.3 ª sesón de LABORATORIO: ponto! LAB: planta 6 Páctca laboatoo: ley de Hooke y ovento osclatoo ) Lee páafo.5 de las notas de clase ) Entega po paejas el poblea.5.(escto a ano) 3) Ip y lee el guíon de la páctca y la plantlla que tenés que ellena duante la páctca

11 Choques conta un obstáculo (paed/suelo) fjo Choque (colsón) contacto de duada ltada (típcaente Δt sec) Q-.. En un te-beak Nadal lanza un saque decto, y la pelota ( 80 g) ebota hozontalente conta la paed vetcal al fondo. Cuánto es la fueza noal sobe la pelota? Consdeeos los nstantes justo antes (A) y justo después (D) de la colsón. S el odulo de la velocdad antes y después del choque es de 30 /s (08 k/h), la aceleacón eda de la pelota duante el choque es (con Δt sec): v vd va 60 ˆ aeda 0000ˆ s!! 3 t t 3 0 ueza eda en el pacto : I a 600ˆ eda eda t (el pulso geneado po la noal de la paed duante el choque es, en ódulo 4.8 N s ) I p ( v ) D va N!! PRINCIPIO del MARTILLO (fueza pulsva) v choque Una fueza de 600 N es enoe paa una pelota de 80 g. En copaacón, el peso (< N) es despecable Duante un choque, podeos enospeca las fuezas exteoes

12 Choque de una patícula conta un plano (suelo/paed) sn ozaento No hay fccón duante el choque no hay nnguna fueza apecable paalela al plano sólo actúa la fueza noal del plano N v A v D a la coponente de la velocdad paalela al plano se conseva: N La fueza total es vetcal la aceleacón es vetcal sólo hay vaacón de la velocdad vetcal Colsón ente un cuepo y una paed fja : v // // D v A Queda po detena la coponente de la velocdad fnal otogonal al plano (en la deccón de la noal). v( D) Se hace a pat del coefcente de esttucón e: DE: e v ( A) v (D) El choque es elástco ( se conseva la enegía cnétca de la patícula) e Nota: el valo de epaa un choque se puede detena hacendo un expeento; se encuenta que sólo depende de los ateales y de la geoetía del cuepo y de la paed.

13 .4 Tabajo Ota estatega paa detena el ovento: la enegía W El tabajo de una fueza a lo lago de una cuva Γde un punto a oto, es la ntegal: W d Γ: d Γ Puede calculase de aneas: W d ) ) W W x dx x dx dλ y dy y dy dλ z dz z dz dλ dλ Método ) : sólo funcona s x x (x), y y (y) y z z (z) (sepe funcona en D) P-.4.3 (a,b) Método ) : la tayectoa es una cuva D y se puede descb a tavés de un únco paáeto eal λ (p. ej., un ángulo, o el tepo t). La elacón ( λ) se llaa ecuacón paaétca de la tayectoa Γ. S ( λ) ( x( λ), y( λ), z( λ)), P ( λ ), P ( λ ), con un cabo de vaable la ntegal que defne el tabajo puede escbse coo ntegal en λ: λ λ d dx dy dz W dλ dλ d d x y z λ dλ dλ dλ dλ Γ: λ λ ( λ) P-.4. (a,b) λ Γ P-.4.8 (a,b)

14 .4 Potenca y enegía cnétca Potenca S la cuva Γes la tayectoa de una patícula, d v, y el tabajo W puede escbse coo: t W, sendo la potenca(nstantánea) desaollada po v P-.4. t Enegía cnétca Paa qué sve el tabajo?... a TOT Po oto lado TOT W dv d a d v TOT TOT d d d... W W... d v d v La cantdad E. C. Ec v se llaa enegía cnétca. Así pues: Teoea de las fuezas vvas: W E c undad SI del tabajo y de la enegía julo (J): J N undad SI de potenca wato (W): J W s. Integando: W v ( E..) W W... Wtot C el tabajo sve paa calcula el ódulo de la velocdad fnal (ncluso cuando no sabeos calcula la tayectoa) P-..

15 .4 uezas consevatvas y enegía potencal Una fueza ( ) es consevatva s U ( U U U ) tal que: U,, x y z La funcón U se llaa enegía potencal U de la fueza. Tabajo de una fueza consevatva: U U U W d ( x dx ydy zdz) dx dy dz du x y z W du [ U () U ( ] U Paa consevatva: ) Tabajo de una fueza consevatva vaacón de su enegía potencal W λ d U La funcón U se calcula al gual que el tabajo. En D cualque fueza es consevatva, ya que sepe se puede defn : U ( x ) ( x ) dx.4 Teoea fundaental del tabajo y la enegía a W d d TOT 3 consevatvas E no consevatva (dspatva) U U E TOT ( c ) W NO cons Equvalenteente: E f E W TOT ( E. C. ) d d U ( E. C.) U U NO cons P-.4.5 U W NO cons 3 W 3 con: E Ec U U v U E enegía ecánca ecuacón fundaental de la enegía λ ( λ) W NO cons

16 uezas consevatvas en pobleas en, o 3 densones ( ) es consevatva d B 0 d es ndependente de la tayectoa cuva ceada -En D : toda fueza que sólo depende de xes consevatva ya que: -En D : U U du d x dx ydy x y x y Se deuesta que una funcón dfeencable de dos vaables tene la popedad que: U U fueza en D es consevatva x y x y y x y x P-.4.3 P-.4.4 U ( x) ( x) dx P-.4.7, Q-.4.4 dscut fueza y puntos de equlbo estable e nestable A -En 3D : Caso ) S es cental (adal) y sólo depende de (no de otas cobnacones de x, y, y z), o sea s ( ) ( ) ˆ entonces es consevatva y ( U ( ) ( ) ˆ d ) ( ) d Caso ) constante en ódulo y deccón es consevatva y: U d d C C fueza cental: fueza dgda sepe haca el so punto

17 Casos potantes de enegía potencal y tabajo no consevatvo (.5 y 3.7) v N d ) La fueza noal no hace tabajo: (tapoco lo hace la tensón de una cueda con un cabo fjo) N N v 0 ) Toda fueza constante en odulo y deccón es consevatva: U d g Ej. U g g y g h h v gh g 3) k ˆ U ( ) k Ej. : Ley de gavtacón unvesal GU G ˆ y Ley de Coulob C 4πε 0 qq ˆ 4) H kx U ( x) ( kx) dx kx 5) ˆ ˆ RDS µ DNv W ( µ DN) v d µ DN dl µ D Nl Sólo vale s N const

18 ) Ssteas consevatvos Pobleas a patícula (ª Ley de Newton y enegía) (P-3.0.) a) La fueza del cal sobe la asa en los puntos A hasta b) La altua del punto ncal A paa que tal fueza sea ceo en C P-3.0., P E ) con fccón (seca) Una patícula de asa kg se lanza con una velocdad ncal de 5 /s sobe un suelo hozontal ugoso, con µ D 0.5. Después de ecoe, enta en contacto con un uelle hozontal de constante k 00 N/ atado a una paed. Calcula la copesón áxa del uelle: a) s en el suelo po debajo del uelle no hay ozaento (solucón: x 39 c) b) s lo hay (solucón x 34.4 c) 3) geneal (P-.5.) P-.5.6, P-.5.7 e) dbuja los gáfcos de x(t), v(t), a(t), y (t). La fueza es consevatva? Po qué? P-.4.9

19 Reaccones deales y consevacón de la enegía En uchas stuacones hay fuezas otogonales al ovento (o sea, a la velocdad); uy a enudo éste es el caso de las llaadas eaccones, coo la fueza noal debda a una supefce o la tensón de una cueda en un ovento ccula. Indcándolas con la leta, se R ha: a R... Multplcaos escalaente po : a d R TOT d d Al se R v d, la fueza de eaccón es otogonal a d, o sea R. d 0 Esto nos deja con el: pncpo de d Alebet (... n a) d 0 Integando la ec. de d Alebet, d d d... d, se obtene la: ecuacón fundaental de la enegía Ec U cons W NO cons W NO cons ( Ec U ) d... n P-3.7.3(ª pate) Pobleas cotos (estlo exaen pacal): P-.5., Q-.., P-3.7.4, Q-3.0., Q sn fuezas dspatvas y con eaccones deales de : E c U E const, o tabén: 0 En algunos casos (po ejeplo s el sstea tene un solo gado de lbetad), la ecuacón es sufcente paa halla la tayectoa tepoal del sstea. Q-3.0.4, P de 0

20 Tea 3: Ssteas de Npatículas (,,... N) 3ª Ley de Newton o Ley de accón y eaccón: s un cuepo actúa sobe un segundo con una fueza, entonces éste últo genea una fueza gual y opuesta sobe el peo Ej. : fuezas de contacto (ve P-3.0.) Muchas veces estas fuezas cuplen tabén ota condcón, que es que su deccón es paalela al vecto que une las poscones de las patículas: Ej. : Las fuezas de gavtacón unvesal y Coulob cuplen abas condcones j j j (ext) (ext) La ª Ley de Newton paa la patícula es: Suando sobe : TOT ( ) // uezas extenas : son causadas po agentes exteoes, que no petenecen al sstea consdeado uezas ntenas: son las fuezas de las patículas del sstea ente ellas po la 3ª Ley de Newton: nt j ext ext nt j j. ext. p TOT P a, o sea: nt j ṙ p ext TOT (ve P-3.7.) Defnendo la coodenada del Cento de Masas (CM) coo: RCM, con M, M se ha: ext P p M & y V CM P MA CM ext dp

21 Paa patículas: RCM M RCM M M M ( ) (( M ) ) ( ) M el cento de asas de dos patículas está a lo lago de la ecta que las une, en un punto nteedo ente las dos ext & P MA ext 0 CM P const P-3.., P-3..8 (y V CM const ) R CM CM Aplcacón fuegos atfcales : P-3.6.7, Q-3..6, Q-3.3.

22 3.5 Enegía potencal de una paeja de fuezas ntenas consevatvas El tabajo conjunto de una paeja de fuezas ntenas vale, utlzando la 3ª Ley de Newton: nt nt nt dw d d ( d d ) S la fueza sólo depende de la coodenada elatva y es adeás consevatva, se ha: dw ( ) d U ( ) d du el Esto sgnfca que a cada paeja(, j) se puede asoca una enegía potencal U INT que sólo INT INT depende de la coodenada (dstanca) elatva: U Uj P-3.7. Defnendo E E c U ext v U paejas U nt j paejas S todas las fuezas son consevatvas: S hay fuezas extenas no consevatvas: el el, se ha: E const W ext NO CONS el el E P-3.7.4, Q-3.5., Q-3.5., Q Pobleas en que se consevan a la vez la enegía y el oento lneal : P-3.5., P-3.0. P-3.5.3

23 3.0 Conjuntos de fuezas que no hacen tabajo (conjunto de eaccones deales) S hay fuezas de eaccón ente patículas (p. ej. debdas a una sa cueda que esté atada a dos asas), se dce que tales eaccones foan un conjunto de eaccones dealess su tabajo conjunto es ceo. En el caso de dos bloques atados a la sa cueda (dbujo), cada fueza de tensón hace tabajo, ya que su punto de aplcacón se ueve. Las ecuacones de la enegía y tabajo paa los dos bloques son: Suándolas: y W T' E W T E W W W ( E E ) tot T T' Ya que el desplazaento de los dos bloques es el so ( x ) y que los ódulo de las tensones son guales, el tabajo total es ceo: y W T Se dce que las dos tensones foan un conjunto de eaccones deales. La consecuenca es que: ( E E ) E 0 tot T ' W T x y T', es dec 0 E E E const T P Este esultado es geneal: s sobe un sstea de ás cuepos actúa un conjunto de eaccones deales, la enegía ecánca total se conseva. IMPORTANTE: no se conseva la enegía de cada cuepo po sepaado T ' P T T '

24 3.6 Choques ente patículas En un choque ente dos o ás cuepos, se puede supone que no haya fuezas exteoes, ya que estas son uy débles paa juga un papel duante el choque. Po lo tanto: la cantdad de ovento total del sstea se conseva: ext 0 P ct P D P A P (choque copl. nelástco) Mentas que el oento lneal se conseva sepe en un choque ente patículas, la enegía en geneal no. Llaaos elástco un choque en que la enegía cnétca total, y po lo tanto la enegía total, se conseva (sn desplazaento, la enegía potencal no caba). Paa patículas, choque elástco v, D v, D v, A v ( n ) ( f) v v ( f) ( n ) v, A v P Consevacón del oento lneal P ncal v ncal

25 S se conoce la geoetía de la colsón y no hay ozaento: se conoce la deccón de las fuezas pulsvas geneadas en el pacto, que es otogonal al plano de contacto no hay fuezas paalelas a este plano las coponentes paalelas de las velocdades se consevan: v Incógntas : coponentes de otogonales al plano de choque. Se defneel coefcente de esttucón ecoo: Adeás : v e // v, //, D, A v v v, ( D) ( D) ( A) v( A) P const Las ncógntas se hallan ponendo a sstea estas dos ecuacones (la ª es vectoal!! ) Se puede deonsta que paa un choque elástco, e v,a v, A v, ˆn D v,d P-3.6., P P-3.6.6, P-3.6.9, P // v Ipotante: Paa una colsón con una paed fja: D v A peo nose conseva el oento lneal total!!! // v A N ˆn v D

26 S Resuen y copaacón dé la dnáca (taslacón) de una o ás patículas patícula ás patículas a 0, p & a, v, p paalelos a! p const ( v const ª Ley de Newton (consevacón de p) ) ª Ley de Newton S j a j j p & j, j,, ext & MA P CM ext 0, P const consevacón de P (choque ente patículas)... E E W f E v U NOcons S todo fueza es consevatva o eaccón deal (ej. fueza noal): E f E de o tabén : Ej: U gh Consevacón de la enegía 0 Enegía y tabajo E E W f jv j j j NOcons E U U ext j INT Ej: U j j gh j S toda fueza es consevatva o eaccón deal o pate de un conjunto de eaccones deales: E f E de o tabén : 0

27 Ota estatega paa detena el ovento: oento angula Poducto vectoal: ˆ ˆj kˆ A B A A A A B A B A B A B A B A B (,, ) x y z y z z y z x x z x y y x B B B x y z.3 Moento de una fueza y oento angula DE.: oento M ( P ) de una fueza especto a un punto P M ( P) ( P) poscón (punto de aplcacón de ) desde P. ( P) P DE: oento angula L( P ) de una patícula especto a P L( P) ( P) p A pat de la ª Ley de Newton dp, ultplcaos abos ténos a la zqueda po (P) S P es un punto fjo del sstea de efeenca (necal), & ( P ) v dp d ( P) ( ( P) p) (ya que v p v v 0) dl ( P) M ( P) M ( ) P P P L ( P) ( P ) S en patcula el oento de la fueza que actúa sobe una patícula es ceo, entonces el oento angula se antene constante (cudado: especto del so punto P!!) ( P ) p p P-.3. P-.3.4

28 Defnendo el pulso angula Y( P ) sunstado po el oento M ( P ) de una fueza en el ntevalo t at coo: t Y M, teneos el Teoea del oento angula: Y L ( P) ( P) t El oento angula se antene constante en patcula en tes casos potantes: ) S 0 (ovento ectlneo unfoe), L( P ) const P ) En un ovento ccula unfoe, L ( O) const, sendo O el cento del cículo 3) En caso de fueza cental dgda haca el punto C, L ( C) const ( P) ( P) uezas centales Una fueza cental es una fueza cuya ecta de accón sepe pasa po un so punto C. Ejeplos: la fueza gavtatoa del Sol sobe un planeta; la fueza electostátca de una caga fja sobe ota patícula cagada; la tensón de una cueda fjada en un exteo. GU G ˆ P-.3.4 En el caso de fueza cental, el oento de la fueza especto al punto C Es sepe ceo, y po tanto dl ( C) dl( C) M ( C) 0 Se puede deonsta que toda fueza cental cuple la: ª Ley de Keple (coo consecuenca de la consevacón de L ) (C) Ve e.3. C C C T P-.3.3 T B P-.3.5

29 Leyes de Keple (se deuestan a pat de la ª Ley de Newton con GU G ˆ ) Pea Ley Los planetas descben obtas elíptcas alededo del sol, con el sol ocupando uno de los focos de la elpse b a Segunda Ley La velocdad de un planeta vaía en el tepo, de foa que el vecto que une el sol al planeta cube áeas guales en tepos guales. Esta ley es una consecuenca decta de L ( C ) const e-.3. Tecea Ley El cuadado del peodo de evolucón de un planeta es dectaente popoconal a la longtud del seeje ayo al cubo: 3 T a

30 3.4 Moento angula de un sstea de patículas El oento angula total de un sstea de patículas es: dl ( Q) donde. v ( Q) v ( Q) a v v vq v ( Q) M ( Q) vq 0 S las fuezas ntenas cuplen la condcón, entonces su oento total es ceo, y j j ext ext. Con esto la ecuacón del oento angula queda: dl M v MV M ( Q) M ( Q ) ( Q) Q P-3.4. El º téno es ceo en dos casos: () Q es un punto fjo ; () Q concde con el cento de asas En patcula s M ext ( Q) 0, entonces R CM L ( Q ) nt // M L ( Q) L ( Q) ( Q) Devando especto del tepo: Así : const ext ( Q) dl ( Q) ( Q) ( Q) Q v, con Q fjo o Q CM v CM Test Pacal 00 P-3.. P-3.3. Q-3.4. Q-3.4. Q-3.4.3