Funciones elementales

Transcripción

1 Funciones elementales Conceto de función. Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es una regla que a cada elemento de A asocia un único elemento de B. Simbólicamente escribimos: f W A! B Cuando A R y B D R, se llaman funciones reales. El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función. Simbólicamente escribimos: f W A! R ara indicar que f es una función real definida en A. Notación f.x/. Sea f W A! R una función real. Para cada x A reresentamos f.x/ el número que se obtiene evaluando f en x. No debe confundirse nunca una función f con uno de sus valores f.x/. Criterio de igualdad ara funciones. Dos funciones f y g son iguales cuando tienen igual dominio y f.x/ D g.x/ ara todo x en el dominio común. Dominio natural de una función. Cuando una función se define mediante una fórmula y el dominio no es exlícito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores de x R ara los cuales la exresión f.x/ tiene sentido como número real. Dicho conjunto es llamado dominio natural de la función. Conjunto imagen de una función. Sea f W A! R. Sea C A. El conjunto ff.x/ W x C g de todos los valores que toma f en C se llama la imagen de C or f y se reresenta or f.c /. El conjunto f.a/ suele llamarse rango o recorrido de f, o simlemente, la imagen de f. Calcular el conjunto imagen de una función, es decir, todos los valores que dicha función toma, no es en general fácil de hacer. Se necesitan herramientas de Cálculo que veremos muy ronto. Suma y roducto de funciones. Sean f; g W A! R dos funciones. Se define su función suma f C g W A! R como la función que a cada número x A asigna el número real.f C g/.x/ D f.x/ C g.x/: Se define su función roducto fg W A! R como la función que a cada número x A asigna el número real.fg/.x/ D f.x/g.x/: Comosición de funciones. Suongamos que f W A! R y g W B! R son funciones verificando que f.a/ B. En tal caso, la función hw A! R dada or h.x/ D g.f.x// ara todo x A se llama comosición de g con f y se reresenta or h D g ı f. Funciones inyectivas. Se dice que una función f W A! R es inyectiva en un conjunto C A, si en untos distintos de C toma valores distintos; es decir, si x; y C y x y, entonces se verifica que f.x/ f.y/. Se dice que f es inyectiva cuando es inyectiva en A. Función inversa de una función inyectiva. Si fwa! R es una función inyectiva, uede definirse una nueva función f W f.a/! R que llamaremos función inversa de f, que a cada número y f.a/ asigna el único número x A tal que f.x/ D y. Equivalentemente f.f.x// D x ara todo x A, y también f.f.y// D y ara todo y f.a/. Funciones monótonas. Se dice que una función f W A! R es creciente (res. decreciente) en un conjunto C A, si f conserva (res. invierte) el orden entre untos de C, es decir, si x; y C y x6y, entonces f.x/ 6 f.y/ (res. f.x/ > f.y/). Se dice que una función es monótona ara indicar que es

2 Funciones elementales creciente o decreciente. Una función monótona e inyectiva se dice que es estrictamente monótona, udiendo ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente. En general, no es fácil robar directamente que una función es monótona o inyectiva. Veremos en su momento que las derivadas roorcionan la herramienta adecuada ara hacerlo. Funciones ares e imares. Una función f es ar si f. x/ D f.x/ e imar si f. x/ D f.x/. Funciones elementales. La mayoría de las funciones que vamos a usar en este curso ertenecen a la clase de las funciones elementales. Se llaman así orque ueden obtenerse a artir de ciertos tios de funciones, que ahora vamos a recordar, realizando las oeraciones de suma, roducto, cociente y comosición de funciones. Funciones olinómicas. Son las funciones de la forma P.x/ D c 0 C c x C c x C C c n x n donde c 0 ; c ; : : : ; c n son números reales llamados coeficientes del olinomio; nn es un número natural que, si c n 0, se llama grado del olinomio. Las funciones olinómicas tienen como dominio natural de definición la totalidad de R aunque con frecuencia nos interesará estudiar una función olinómica en un intervalo. Las funciones olinómicas son derivables en R y su derivada viene ara todo x R or: P 0.x/ D c C c x C C nc n x n Funciones racionales. Una función racional es una función de la forma: R.x/ D P.x/ Q.x/ donde P (el numerador) y Q (el denominador) son olinomios y Q no es el olinomio constante igual a 0. La función R tiene como dominio natural de definición el conjunto fx R W Q.x/ 0g. Observa que las funciones olinómicas son también funciones racionales (con denominador constante ). Las funciones racionales son derivables en su dominio natural de definición y su derivada viene ara todo x R en el que Q.x/ 0 or: R 0.x/ D P 0.x/Q.x/ P.x/Q 0.x/.Q.x// Raíces de un número real. Dados un número real x > 0 y un número natural k >, hay un único número real mayor o igual que cero, z > 0, que verifica que z k D x. Dicho número real z se llama la raíz k-ésima o de orden k de x y se reresenta or k x o or x =k. Se verifica que k xy D k x k y. La función x 7! k x es estrictamente creciente en R C o. Es decir, se verifica que 0 6 x < y k x < k y. Si x < 0 y k es imar se define k x D k jxj. Las raíces ares solamente están definidas en R C o y toman valores en RC o. Las raíces imares están definidas en todo R. Una raíz imar de un número negativo es otro número negativo. Observación imortante: x D jxj. Potencias racionales. Si r es un número racional, r D q x > 0: x r D x q D q x donde Z y q N, definimos ara todo

3 Funciones elementales 3 Función exonencial. El número e es un número irracional que uede aroximarse arbitrariamente or números de la forma. C =n/ n ara valores grandes de n N. Un valor aroximado de e es La función exonencial es la función exwr! R definida ara todo x R or ex.x/ D e x. Dicha función se reresenta en la siguiente gráfica. Y y D e x Observa que la función exonencial es siemre ositiva y no se anula nunca. La función exonencial es una biyección estrictamente creciente de R sobre R C. Se verifica que: lkım x! ex D0; lkım x!c ex D C La roiedad fundamental de la función exonencial es que convierten sumas en roductos: X e xcy D e x e y.x; y R/ Figura. Función exonencial En articular e 0 D. La función exonencial es derivable y su derivada es ella misma ex 0.x/ D e x. Logaritmo natural o neeriano. La biyección inversa de la función exonencial se llama logaritmo natural o neeriano y se reresenta or ln. Su gráfica es la siguiente: ln WR C! R e ln x Dx.x R C /; ln.e x / D x.x R/ Y El logaritmo natural es una biyección estrictamente creciente de R C sobre R. Se verifica que: y D ln x lkım x!0 x > 0 ln x D ; lkım ln x D C x!c X La roiedad fundamental de la función logaritmo natural es que convierte roductos en sumas: ln.xy/ D ln x C ln y.x; y R C / Figura. Función logaritmo natural En articular ln D 0. También se deduce de lo anterior que: x ln D ln x ln y.x; y R C / y La función logaritmo natural es derivable y su derivada viene dada or: ln 0.x/ D x.x > 0/

4 Funciones elementales 4 Funciones exonenciales. Dado un número real a > 0, la función que a cada x R hace corresonder el número e x ln a se llama función exonencial de base a. Puede comrobarse que si r es un número racional entonces e r ln a Da r, or lo que se se usa la notación a x ara designar el número e x ln a. a x D e x ln a.x R/ También usaremos ara esta función la notación ex a Da x. Las roiedades de esta función se deducen fácilmente de las de las funciones exonencial y logaritmo natural. Se verifica que ex a es una biyección der sobre R C. Es estrictamente creciente si a > y estrictamente decreciente si 0 < a <. La roiedad básica de ex a es que convierte sumas en roductos: a xcy D a x a y.x; y R/ La derivada viene dada or: ex a 0.x/ D ln aa x.x R/ Funciones logaritmo. Dado un número real a > 0 y a, la función que a cada x R C hace corresonder el número ln x ln a se llama función logaritmo en base a y suele reresentarse or log a. log a.x/ D ln x ln a.x > 0/ Las roiedades de esta función se deducen fácilmente de las de las funciones exonencial y logaritmo natural. Las funciones log a y ex a son inversas una de la otra: ex a.log a x/ D x.x R C /; log a.ex a x/ D x.x R/ Se verifica que log a es una biyección der C sobre R. Es estrictamente creciente si a > y estrictamente decreciente si 0 < a <. La roiedad básica de log a es que convierte roductos en sumas: log a.xy/ D log a x C log a y.x; y R C / La derivada viene dada or: log 0 a.x/ D x ln a Los logaritmos decimales corresonden a tomar a D 0..x > 0/ Función otencia de exonente real a 0. Se llama así la función cuyo dominio es R C que a cada x > 0 asigna el número x a. Puesto que x a D ex.a ln x/, las roiedades de esta función se deducen con facilidad de las roiedades de las funciones exonencial y logaritmo natural. Si a > 0 es estrictamente creciente con.xy/ a D x a y a I lkım x a D 0; x!0 x > 0 Si a < 0 es estrictamente decreciente con lkım x a D C; x!0 x > 0 d dx xa D ax a lkım x!c xa D C lkım x!c xa D 0

5 Funciones elementales 5 Funciones trigonométricas Medida de ángulos. Para medir ángulos suelen usarse dos unidades de medida. Medida de ángulos en grados. Se toma como unidad de medida un arco cuya longitud sea igual a la longitud total de la circunferencia dividida or 360. Un ángulo de un grado es el que interceta en una circunferencia de radio r un arco cuya longitud es igual a r 360. Medida de ángulos en radianes. Se toma como unidad de medida un arco cuya longitud sea igual a la del radio. Un ángulo de un radián es el que interceta en una circunferencia de radio r un arco cuya longitud es igual a r. La relación entre grados y radianes viene dada or: 360 grados D radianes Grados y radianes no son otra cosa que unidades de medida de longitudes, al igual que lo son el metro y el centímetro. La ventaja de medir arcos en radianes es que, en tal caso, la misma unidad con la que medimos el radio nos sirve ara medir arcos. Convenio. Salvo indicación contraria, siemre suondremos que los ángulos están medidos en radianes. Funciones seno y coseno. En geometría se habla del seno de un ángulo y en Cálculo usamos la exresión sen. / ara referirnos al seno del número. Qué relación hay entre uno y otro? O Y a P x b longitud x U X Antes que nada hay que decir que tanto el seno de un ángulo como el seno de un número son números, ero mientras que el seno de un ángulo tiene una sencilla definición geométrica, no es evidente, a riori, cómo se uede definir el seno de un número. La idea consiste en asociar a cada número un (único) ángulo y definir el seno del número como el seno del ángulo que le corresonde. Es evidente que a cada número x > 0 le odemos asignar de manera única un ángulo enrollando el segmento Œ0; x sobre la circunferencia unidad, en sentido contrario a las agujas del reloj, de forma que el origen de dicho segmento coincida con el unto U D.; 0/ de la circunferencia. Obtenemos así un unto P x de la circunferencia unidad. Figura 3. La circunferencia unidad Pues bien, si las coordenadas de P x son.a; b/, se define: sen x D seno del ángulo. Px OU / D b cos x D coseno del ángulo. Px OU / D a Al ser igual a la longitud de la circunferencia unidad, es claro que P xc DP x, or lo que sen.x/d sen.x C / y cos.x/ D cos.x C /. Observa también que si 0 6 x <, entonces la medida en radianes del ángulo Px OU es igual a x, es decir: sen.x/ D seno del ángulo de x radianes.0 6 x < / Si x < 0 odemos roceder con el segmento Œx; 0 de forma análoga a la anterior, con la diferencia de que ahora enrollamos dicho segmento sobre la circunferencia unidad en el sentido de las agujas del reloj, de forma que su extremo 0 coincida con el unto U D.; 0/ de la circunferencia. Obtenemos así un unto P x D.c; d/ de la circunferencia unidad y se define, igual que antes sen.x/dd, cos.x/dc. Es fácil ver que si P x D.c; d/, entonces P x D.c; d/. Resulta así que sen.x/d sen. x/ y cos.x/dcos. x/.

6 Funciones elementales 6 y D sen x 3 3 Figura 4. La función seno Observaciones. Para indicar el seno del ángulo cuya medida en grados es x es frecuente escribir sen.x o /. Naturalmente, la relación entre el seno en grados y la función seno usual viene dada or: sen.x o / D sen x 80 En este curso de Cálculo el número sen x significará siemre el seno del ángulo cuya medida en radianes (salvo múltilos enteros de ) es x. Proiedades de las funciones seno y coseno. Las funciones seno y coseno son funciones reales cuyo dominio es todo R. Las identidades básicas que dichas funciones verifican son: sen x C cos x D.x R/ Como se ha dicho antes, las funciones seno y coseno son eriódicas de eríodo : sen.x C / D sen x ; cos.x C / D cos x.x R/ La función seno es imar y la función coseno es ar: sen. x/ D sen x ; cos. x/ D cos x.x R/ Todas las roiedades anteriores se deducen fácilmente de las definiciones dadas. Las siguientes igualdades, se conocen como fórmulas de adición: sen.x C y/ D sen x cos y C cos x sen y () cos.x C y/ D cos x cos y sen x sen y () La función seno se anula en los múltilos enteros de, es decir, en los untos de la forma k donde k es un entero cualquiera. La función coseno se anula en los untos de la forma k C = donde k es un entero cualquiera. Las funciones seno y coseno son derivables siendo sen 0 x D cos x; cos 0 x D sen x.x R/ Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Las funciones tangente y secante, que se reresentan or tg y sec son las funciones definidas en el conjunto R n fk C = W k Zg D fx R W cos x 0g, or: tg x D sen x cos x ; sec x D cos x Las funciones cotangente y cosecante, que se reresentan or cotg y csc son las funciones definidas en el conjunto R n fk W k Zg D fx R W sen x 0g, or: cotg x D cos x sen x ; csc x D sen x

7 Funciones elementales 7 Las roiedades de estas funciones y sus derivadas se deducen fácilmente de las corresondientes del seno y del coseno. Por ejemlo, tg.x/ D tg.x C /; esto es, la función tangente es eriódica de eríodo. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Lo rimero que hay que decir es que ninguna de las funciones seno, coseno, tangente, es inyectiva y, en consecuencia, ninguna de ellas tiene inversa en el sentido de la definición antes dada de función inversa. Por tanto, no debe decirse que las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente sean las funciones inversas del seno, del coseno o de la tangente: eso no es cierto. Hecha esta observación imrescindible, asemos a definir dichas funciones. La función seno es estrictamente creciente en el intervalo Œ =; = y en dicho intervalo toma todos los valores comrendidos entre y, sen.œ =; =/ D Œ ;. En consecuencia, dado un número x Œ ; hay un único número y Œ =; = tal que sen y Dx; dicho número y se reresenta or arc sen x y se llama el arcoseno de x. Es decir, el arcoseno es la función arc senwœ ;! R definida or sen.arc sen x/ D x y 6 arc sen x 6. Observa que la igualdad arc sen.sen x/ D x, es cierta si, y sólo si, = 6 x 6 =. y D sen x y D arc sen x = = Figura 5. La función seno en Œ ; Figura 6. La función arcoseno Es decir, la función arcoseno es la inversa de la función seno restringida al intervalo Œ =; =, esto es, cuando consideramos que la función seno está solamente definida en el intervalo Œ =; =. arc sen WŒ ;! R; = 6 arc sen x 6 =; sen.arc sen x/ D x (3) arc sen.sen x/ D x = 6 x 6 = (4) La función coseno es estrictamente decreciente en el intervalo Œ0; y en dicho intervalo toma todos los valores comrendidos entre y. Por tanto, dado un número x Œ ;, hay un único número y Œ0; tal que cos y D x; dicho número y se reresenta or arc cos x y se llama arcocoseno de x. Es decir, arcocoseno es la función arc coswœ ;! R dada or cos.arc cos x/ D x y 06arc cos x 6: Observa que la igualdad arc cos.cos x/dx, es cierta si, y sólo si, 06x 6. Es decir, la función arcocoseno es la inversa de la función coseno restringida al intervalo Œ0;, esto es, cuando consideramos que la función coseno está solamente definida en el intervalo Œ0;. arc cos WŒ ;! R; 0 6 arc cos x 6 ; cos.arc cos x/ D x (5) arc cos.cos x/ D x 0 6 x 6 (6)

8 Funciones elementales 8 y D cos x y D arc cos x Figura 7. La función coseno en Œ0; Figura 8. La función arcocoseno La función tangente es estrictamente creciente en el intervalo =; =Œ y en dicho intervalo toma todos los valores reales, tg. =; =Œ/ D R. En consecuencia, dado un número x R, hay un único número y =; =Œ tal que tg y D x; dicho número y se reresenta or arc tg x y se llama el arcotangente de x. Es decir, la función arcotangente es la inversa de la función tangente restringida al intervalo =; =Œ, esto es, cuando consideramos que la función tangente está solamente definida en el intervalo =; =Œ. arc tg WR! R; = < arc tg x < =; tg.arc tg x/ D x (7) arc tg.tg x/ D x = < x < = (8) y D arc tg x y D tg x Figura 0. La función arcotangente Figura 9. La función tangente en ; Œ Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente son derivables en sus intervalos de definición y sus derivadas viene dadas or: arc sen 0 x D arc cos 0 x D x. < x < /; arc tg 0 x D C tg x D cos x.x R/ Las funciones arcoseno y arcotangente son estrictamente crecientes y él arcocoseno es estrictamente

9 Funciones elementales 9 decreciente. Se verifica que: lkım x! x > tg x D ; lkım tg x D C x! x < lkım arc tg x D x! ; lkım arc tg x D x!c Las funciones hierbólicas. Las funciones seno hierbólico, reresentada or senh, y coseno hierbólico, reresentada or cosh, están definidas ara todo x R or: senh x D ex La identidad básica que dichas funciones verifican es: e x ; cosh x D ex C e x cosh x senh x D.x R/ La función seno hierbólico es imar y la función coseno hierbólico es ar: senh. x/ D senh x ; cosh. x/ D cosh x.x R/ La función seno hierbólico es estrictamente creciente en R. La función coseno hierbólico es estrictamente creciente en R C o. 3 y D cosh x y D senh x Figura. La función seno hierbólico - - Figura. La función coseno hierbólico y D tgh x Figura 3. La función tangente hierbólica La función tangente hierbólica que se reresenta or tgh es la función definida ara todo x R or: e x tgh x D senh x cosh x D ex e x C e x

10 Funciones elementales 0 De forma análoga se definen las funciones cotangente, secante y cosecante hierbólicas. Las funciones hierbólicas inversas. La función seno hierbólico es una biyección de R sobre R cuya inversa, reresentada or, argsenh, (léase argumento seno hierbólico) viene dada or: argsenh x D log.x C x C /.x R/ (9) La función coseno hierbólico es inyectiva en R C o y su imagen es la semirrecta Œ; C Œ. La función, definida en Œ; C Œ, que a cada número x > asigna el único número y > 0 tal que cosh y D x, se llama argumento coseno hierbólico, se reresenta or, argcosh, y viene dada or: argcosh x D log.x C x /.x > / (0) La función tangente hierbólica es una biyección de R sobre el intervalo ; Œ cuya inversa, reresentada or, argtgh, (léase argumento tangente hierbólica) es la función definida en el intervalo ; Œ or: argtghx D C x log. < x < / () x y D argsenh x y D argcosh x - - Figura 4. La función argumento seno hierbólico 3 Figura 5. La función argumento coseno hierbólico y D argtgh x Figura 6. La función argumento tangente hierbólica Las funciones hierbólicas y sus inversas son derivables en sus resectivos intervalos de definición. Las derivadas de las funciones hierbólicas inversas son muy útiles ara calcular rimitivas de funciones en las que intervienen raíces cuadradas de trinomios de segundo grado.

11 Funciones elementales argsenh.x/ D log x C x C argsenh 0.x/ D x C argcosh.x/ D log x C x x > argcosh 0.x/ D x Ejercicios rouestos argcosech.x/ D argsenh argsech.x/ D argcosh x x x 0 argcosech 0.x/ D jxj x C 0 < x < argsech 0.x/ D x x. Estudia cuales de las siguientes igualdades son ciertas y, cuando no lo sean, roorciona un contraejemlo. Se suone que f, g, h son funciones definidas en R. a) f ı.g C h/ D f ı g C f ı h. b).g C h/ ı f D g ı f C h ı f. c) f ı g D f ı g. d) f ı g D f ı g.. Sea f.x/dx x y g.x/dxc. Calcula los valores de x ara los que.f ıg/.x/d.gıf /.x/. 3. a) Estudia si la suma, el roducto y la comosición de funciones ares o imares es una función ar o imar. Considera todos los casos osibles. b) Prueba que toda función uede escribirse de forma única como suma de una función ar y una función imar. 4. Prueba que la función dada or f.x/ D x C x, es estrictamente creciente en RC. Deduce que jx C yj C jx C yj 6 jxj C jxj C jyj C jyj.x; y R/ 5. Prueba que la función f W Œ=; CŒ! R dada or f.x/ D x x C ara todo x > =, es estrictamente creciente. Calcula la función inversa de f. q 6. Calcula el dominio natural de definición de la función f.x/ D ln jx 3j. C jx 6j/. 7. Calcula el dominio natural de definición de la función f.x/ D s ln x 8x C 4 x 3x C. 8. Calcula el dominio natural de definición de la función f.x/ D sen x C 6 x. 9. Comara a ln b con b ln a. 0. Indica si es correcto escribir: ln. x/.x / D ln. x/ C ln.x /. Prueba que ln.x C C x / C ln. C x x/ D 0:

12 Funciones elementales. Resuelve x x D. x/ x : 3. Simlifica las exresiones a ln.ln a/= log a ; log a.log a.a ax //. 4. Calcula x sabiendo que: log x.a/ D log b.a/ C log c.a/ C log d.a/ : 5. Sea f.x/dx x y g.x/dxc. Calcula los valores de x ara los que.f ıg/.x/d.gıf /.x/. 6. Usando las definiciones de las funciones arcoseno y arcocoseno rueba las igualdades: (a) arc cos x C arc sen x D 8x Œ ; x (b) tan.arc sen x/ D I sec.arc sen x/ D x x 8x ; Œ 7. Usando la definición de la función arcotangente, rueba que ara todo x > 0 se verifica que: arc tg.x/ C arc tg D x : 8. a) Prueba las igualdades: cos x D tg.x=/ tg.x=/ I sen x D C tg.x=/ C tg.x=/ : b) Sean a; b R tales que a C b D y a. Definamos b # D arc tg a C Prueba que # es el único número que verifica que < # <, cos # D a y sen # D b. 9. Prueba las igualdades: Usando que cos 0 D, cos D 0. Prueba que ara todos x; y R se verifica que: sen x C sen y D sen x C y cos x y I Deduce que ara k N: cos a D 4 cos 3.a=3/ 3 cos.a=3/ D cos.a=/ :, deduce el valor de cos.=6/, cos.=4/ y cos.=8/. cos x C cos y D cos x C y cos x y : sen x cos.kx/ D sen.k C /x sen.k / x : Utiliza esta igualdad ara robar que: sen x cos x C cos.x/ C C cos.nx/ D sen nx cos n C x: Prueba análogamente que: sen x sen x C sen.x/ C C sen.nx/ D sen nx sen n C x:. Dado un número x 0, calcula un número t R tal que senh t D x.. a) Dado x R rueba que hay un único t R tal que et e t D x. b) Dado x >, rueba que hay un único t > 0 tal que et C e t D x. Sugerencia. Lo que tienes que hacer es calcular t. La sustitución e t Du te ermitirá calcular u.