UNIDAD 5. CUADRILÁTEROS

Transcripción

1 UNI 5. URILÁTEROS PRLELOGRMO: E un cuadrilátero cuyo lado opueto on paralelo. RETÁNGULO: E un cuadrilátero con u cuatro ángulo interiore ROMO: E un cuadrilátero con u cuatro lado URO: E un cuadrilátero con u cuatro ángulo interiore congruente y u cuatro lado congruente, e decir, e rectángulo y rombo a la vez. e un paralelogramo e un rectángulo e un cuadrado e un rombo TRPEIO: E un cuadrilátero convexo con un par de lado paralelo y el otro par no paralelo. ll TRPEIO ISÓSELES: E un trapecio cuyo lado no paralelo on TRPEIO RETÁNGULO: con algún ángulo recto. e un trapecio ll ll E un trapecio TRPEZOIE: E un cuadrilátero que no tiene lado paralelo. e un trapecio iócele e un trapecio rectángulo e un trapecio 90º e un trapezoide ll e un trapecio ll GEOMETRÍ..V..

2 2 URILÁTEROS PROPIEES E LOS PRLELOGRMOS TEOREM: En todo paralelogramo e cumplen la 1. Lo lado opueto on repectivamente paralelo. 2. Lo lado opueto on repectivamente 3. Lo ángulo opueto on repectivamente 4. La diagonale e cortan en u punto medio. m: Tomemo un paralelogramo, con y. RITERIOS E PRLELOGRMO TEOREM: Un cuadrilátero convexo e un paralelogramo ii cumple cualquiera de la 1. Lo lado opueto on paralelo. 2. Lo lado opueto on repectivamente 3. Un par de lado opueto on paralelo y 4. Lo ángulo opueto on repectivamente 5. La diagonale e cortan en u punto medio. m: PROPIEES E LOS RETÁNGULOS TEOREM: En todo rectángulo e cumplen la 1. Trazamo, luego por: :, (lt.int. ), L: =, (común), :, (lt.int. ). Entonce = y = (LH). 2. omo +=180, (ol.int. ) y +=180, (ol.int. ) entonce =180 =. Similarmente e prueba que =. 3. Sea O el punto de corte de y, luego OO por: : OO, lt.int., L: =, por (1), : OO, lt.int.. Entonce O=O y O=O, (LH). 1. Lo cuatro ángulo interiore on recto. 2. El rectángulo e paralelogramo. 3. La diagonale on m: Sea un rectángulo: 1. ===, por definición y +++=360, por er convexo, entonce ==== omo lo ángulo opueto on repectivamente congruente entonce e un paralelogramo. 3. Por (2) e paralelogramo, luego O=O=/2 y O=O=/2. demá en el triángulo rectángulo, O e la mediana relativa a la hipotenua, entonce O=/2 y como O=/2 e obtiene =. GEOMETRÍ..V..

3 URILÁTEROS 3 RITERIOS E RETÁNGULO m: Sea un cuadrilátero convexo. TEOREM: Un cuadrilátero convexo e un rectángulo ii cumple cualquiera de la 1. Tiene tre ángulo recto. 2. E un paralelogramo con un ángulo recto. 3. La diagonale on congruente y e cortan en u punto medio. m: Sea un cuadrilátero convexo. 3. Si = y e cortan en u punto medio O entonce e paralelogramo y ademá en el reulta la mediana O=/2, luego el ángulo e recto. En definitiva, por (2), e un rectángulo. PROPIEES EL ROMO TEOREM: En todo rombo e cumplen la 1. Lo cuatro lado on 2. E paralelogramo. 3. La diagonale on perpendiculare. 4. ada diagonal e biectriz. m: RITERIOS E ROMO TEOREM: Un cuadrilátero convexo e un rombo ii cumple cualquiera de la iguiente propiedade: 4. Supongamo que la diagonale y on biectrice de lo ángulo, entonce (L), luego = y = (LH). En el, e tiene /2++/2=180 y en el e tiene /2++/2=180, luego = y por lo tanto el reulta iócele con =. En definitiva ===, e decir e un rombo. PROPIEES E LOS UROS TEOREM: Todo cuadrado e paralelogramo, rectángulo y rombo y por lo tanto cumple toda la propiedade de éto. m: RITERIOS E URO TEOREM: Un cuadrilátero convexo e un cuadrado ii cumple cualquiera de la iguiente propiedade: 1. E rectángulo y rombo. 2. E un rectángulo con do lado conecutivo 3. E un rombo con un ángulo recto. 4. La diagonale on perpendiculare, congruente y e cortan en u punto medio. m: 1. Lo cuatro lado on 2. E un paralelogramo con do lado conecutivo 3. La diagonale on perpendiculare y e cortan en u punto medio. 4. ada diagonal e biectriz. GEOMETRÍ..V..

4 4 URILÁTEROS PROPIEES E LOS TRPEIOS TEOREM: En todo trapecio lo lado paralelo on deiguale. m: En efecto, i lo lado paralelo fueen congruente e obtendría un paralelogramo y entonce el otro par de lado erían paralelo. En un trapecio, lo lado paralelo e llaman SE MYOR y SE MENOR; el egmento que une lo punto medio de lo lado no paralelo e llama la SE MEI; la ditancia entre la bae e la LTUR. TEOREM: En todo trapecio, lo ángulo adyacente a cada uno de lo lado no paralelo on uplementario. m: TEOREM: La bae media del trapecio e paralela a la bae y e congruente con la emiuma de la bae mayor y menor, e decir: la emidiferencia entre la bae mayor y menor. m: PROPIEES EL TRPEIO ISÓSELES TEOREM: En todo trapecio iócele e cumplen la 1. Lo lado no paralelo on 2. Lo ángulo adyacente a cada una de u bae on 3. Lo ángulo opueto on uplementario. 4. La diagonale on 5. La mediatrice de la bae coinciden, y la mediatrice de lo cuatro lado concurren. m: Sea un trapecio iócele con y (no paralelo) y =. 1. Tracemo la altura E y F, entonce E=F ( ) y por RH, ae mayor ae menor ae media 2 m: Sea un trapecio con ll y ll (no paralelo). E F M P N Tracemo, MP y PN con M, P y N lo punto medio de, y. En el, MP y MP /2 (bae media) y en el, PN y PN /2 (bae media), luego por el Potulado de Euclide la recta MP y PN coinciden y reulta MN y MN=(+)/2. TEOREM: El egmento que une lo punto medio de la diagonale de un trapecio etá contenido en la bae media y e congruente con EF, luego = (H). demá +=180 y +=180, entonce =. 4. Tracemo la diagonale y, entonce por L: =, (hipótei) : =, (por 1) L: =, (común) Luego. GEOMETRÍ..V..

5 URILÁTEROS 5 RITERIOS E TRPEIO ISÓSELES TEOREM: Un trapecio e iócele ii cumple cualquiera de la 1. Lo lado no paralelo on 2. Lo ángulo adyacente a una de la bae on 3. Un par de ángulo opueto on uplementario. 4. La diagonale on 5. La mediatrice de la bae coinciden. m: 2. Sea un trapecio tal que ll y ll con =. ONSTRUIONES 1. ontruir un paralelogramo i e conocen: a. Su lado y uno de lo ángulo que ello forman. b. Su lado y una de u diagonale. c. Su diagonale y uno de lo ángulo que ella forman. d. Su diagonale y uno de u lado. 2. ontruir un rectángulo i e conocen: a. Un lado y u b. Su diagonale y uno de lo ángulo que ella forman. 3. ontruir un rombo i e conocen: a. Su lado y una u diagonale. b. Su diagonale. 4. ontruir un cuadrado i e conoce u E Tracemo la altura E y F, entonce E=F ( ) y por el teorema Rop, EF, luego = (LH) y el trapecio e iócele. 5. Supongamo que MN F e la mediatriz de y, con M y N punto medio de y repectivamente. Si trazamo la altura E y F, reultan lo rectángulo EMN y NMF (3 recto) y entonce EM=MF y por lo tanto E=F. hora, por R EF, luego = y el trapecio e iócele. 5. ontruir un trapecio i e conocen: a. Su bae, u altura y una de u diagonale. b. Su lado no paralelo, u altura y una de u diagonale. 6. ontruir un trapecio iócele, i e conocen a. Su bae y u altura. b. Uno de u ángulo, u altura y u c. Su altura, u lado no paralelo y u GEOMETRÍ..V..