Sistema diédrico ortogonal (II)

Transcripción

1 08 Sitem iéico otogonl (II) Too lo item e epeentción e lo que e ocup l geometí ecipti e n en métoo y teoem que peentn l fom geométic e figu e o o te imenione oe un opote plno, enomino plno el cuo. Eto item e funmentn en el concepto e poyección. En ete cpítulo mo continu etuino el item iéico otogonl. Lo contenio que e eolln gin en tono inteeccione, plelimo, pepeniculi, itnci y ángulo.

2 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.1. Inteeccione 8.1. Inteeccione cc. Inteeccione e plno: métoo genel L inteección e o plno e un ect. P u eteminción e ope el moo iguiente: 1. Do lo plno y, e cotn po un plno uxili p cuy inteeccione con mo en fácile e eliz, po ejemplo, y t; el punto e cote e l cit inteeccione coeponeá l ect e inteección ente y. 2. Et opeción e epite tomno oto plno uxili p p itu oto punto B, que unio con etemin l ect e inteección uc ente lo plno popueto, y. t p 3. Si coniemo como plno uxilie lo e poyección, eto cotn lo popueto en u popi tz. Po tnto, l inteeccione e l tz h y h popocionn el punto e l ect e inteección, y e igul moo l tz v y v eteminn l punto. Unieno l epeentcione homónim e icho punto e otiene l ect e inteección uc (Fig. 8.1). ' B t' p' Lo poceo p etemin l epeentción e l ect e inteección ente o plno ín egún u tz e coten o no ento e lo límite el ppel. emo lo o co: ccc L tz e cotn ento e lo límite el ppel Oe en l figu lgun epeentcione ente ifeente tipo e plno cuy tz e cotn en lo límite el ppel, y one e plico lo expueto nteiomente p ll l ect e inteección. Inteección ente plno y olicuo P L ect e inteección on olicu (Fig. 8.2). P Fig Inteeccione e plno, métoo genel. Fig Dive fom e inteección ente plno olicuo. 150

3 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.1. Inteeccione Inteección ente un plno olicuo y oto fontl, y e un plno olicuo con uno hoizontl En el pime co l ect e inteección eult e un fontl e mo plno; y en el eguno, e hoizontl, tmién e lo plno y (Fig. 8.3 y 8.4). Inteección ente un plno veticl y oto e cnto L ect e inteección e olicu y u poyeccione coincien con l tz el plno (Fig. 8.5). Fig Inteección ente un plno olicuo y un plno fontl. Fig Inteección ente un plno olicuo y un plno veticl. Fig Inteección ente un plno veticl con oto e cnto. Inteección ente un plno olicuo y oto e cnto L ect e inteección e olicu, coinciieno l epeentción con l tz veticl el plno e cnto (Fig. 8.6). Inteección ente un plno olicuo y oto veticl L ect e inteección e olicu, coinciieno l epeentción con l tz hoizontl el plno veticl (Fig. 8.7). Fig Inteección ente un plno olicuo y oto e cnto. Fig Inteección ente un plno olicuo y oto veticl. Inteección ente un plno plelo l LT y oto olicuo En ete co l ect e inteección e olicu (Fig. 8.8). Fig Inteección ente un plno plelo l LT y oto olicuo. 151

4 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.1. Inteeccione Inteección ente un plno líne e tie punto y oto plno olicuo 1. El punto en que el plno cot l LT etá en l ect e inteección, e hí que te con tz un plno uxili p, hoizontl, que conteng l punto el plno, y e etemin el punto B 2, cote e l o ect e inteección ente lo plno p y, ect t; y p y, ect m. 2. Unieno l poyeccione homónim e lo punto I y B e otiene l ect olución (Fig. 8.9). B 2 vp = = m 2 = = = = m 1 Fig Inteección ente un plno líne e tie punto y oto olicuo. ccc L tz hoizontle o veticle e cotn fue e lo límite el iujo En eto co pticule en que olo e puee ll un punto e l ect e inteección polongno l tz hoizontle o veticle e lo plno o y, p otene oto, neceio p olución l polem, e tomá un plno uxili e poyo, plelo uno e lo plno e poyección. 1. Oe el poceo eguio en l Figu 8.10, one e utilizo un plno uxili p plelo l plno hoizontl e poyección, y un p plelo l veticl e poyección, en l cit figu e eteminn lo punto y B 2, epectimente, egún en l tz que no e cotn en lo límite el iujo. 2. Unieno eto punto con lo nteioe e eteminn l cote l mencion tz e lo plno y J 1 J 2 e otienen l ect y e inteección uc (Fig. 8.10). m 2 = vp B 2 J 2 m 2 J 1 Fig Do co en lo que l tz on plel. Fig Do co en lo que l tz e cotn fue e lo límite el iujo. m 1 m 1 = 3. Si lo plno que e cotn tienen u tz veticle o l hoizontle plel, l ect e inteección e plel ell. Po tnto, eán un veticl u hoizontl e lo o plno epectimente (Fig. 8.11). hp' 152

5 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.1. Inteeccione ccc Ni l tz hoizontle ni l veticle e cotn en lo límite el iujo m 2 En ete co, one ningun e l tz e lo plno e cotn ento e lo límite el iujo, e ctú el moo iguiente: e cotn imultánemente, lo o plno y o po meio e oto o plno hoizontle p y uxilie, que l inteeccion lo popueto meinte hoizontle e lo plno eteminn lo punto, y B 2, que coeponen l ect e inteección e lo plno o (Fig. 8.12). n 2 v p v cc B. Inteección e ect con plno n 1 L inteección e un ect con el plno e un punto ; p lllo e e tom un plno uxili que conteng l ect. L inteección e con eá un ect que cot l en el punto ; ete punto e l olución el polem. Lo plno uxilie má ecomenle, po l fcili que n p itu l ect en ello, on lo llmo plno poyectnte, e eci, pepenicule uno e lo plno e poyección. Oe en l Figu 8.13 l contuccione eoll p ll el punto e inteección e l ect con el plno. m 1 Fig Ni l tz hoizontle ni l veticle e cotn en lo límite el iujo. P P Fig Inteección e ect con plno. = ccc Inteección e un ect con un plno olicuo En l Figu 8.14 y 8.15 e puee peci cómo e euelven lguno co e inteección e un ect con un plno. Se n utilizo como plno uxilie lo poyectnte e l ect oe el hoizontl o el veticl e poyección epectimente, e eci, plno veticle o e cnto. = = = = Fig Inteección e un ect con un plno olicuo. Plno uxili: plno poyectnte el veticl, o plno e cnto. Fig Inteección e un ect con un plno olicuo. Plno uxili: plno poyectnte el hoizontl, o plno veticl. 153

6 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.1. Inteeccione ccc Inteección e un ect con un plno poyectnte el hoizontl, o plno veticl Done l epeentción e l ect cot h e encuent, poyección hoizontl el punto e inteección e con. Poyectno otogonlmente ee e eteminá (Fig. 8.16). Fig Inteección e un ect con un plno veticl. ccc Inteección e un ect con un plno poyectnte el veticl, o plno e cnto De mne nálog, i el plno e poyectnte el veticl e emple un zonmiento imil l nteio. Done l epeentción e l ect cot v e ll ; poyectno ee ete punto e etemin, con lo que que efinio el punto e inteección e l ect con el plno uco (Fig. 8.17). ccc Co pticule Inteección e un ect veticl con un plno. Inteección e un ect e punt con un plno En el pime co (Fig. 8.18), e utilizo un plno uxili p plelo l P; y en el eguno (Fig. 8.19), uno plelo l P,. En mo co, el punto e inteección uco e etemin meinte l plicción e lo poceimiento expueto nteiomente. Fig Inteección e un ect con un plno e cnto. t = v = hp = t = m (m) () () Fig Inteección e un ect veticl con un plno. ccc Inteección e un ect e pefil con un plno Fig Inteección e un ect e punt con un plno. m Fig Inteección e un ect e pefil con un plno. D l ect cuy tz on y y el plno, el plno uxili que e utiliz p contene ete tipo e ect e el e pefil; po ejemplo, que contiene l ect. Como y e io, ete plno cot egún un ect e pefil m. Et ect m y e ten, y one m e coten etá el punto e inteección. Detiénolo u plno, queán etemin u poyeccione (Fig. 8.20). 154

7 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.2. Plelimo 8.2. Plelimo cc. Plelimo ente ect Como y e expuo nteiomente en el pto eico «Poicione elti e o ect», o ect on plel cuno tienen u poyeccione homónim plel ente í. Invemente, poemo eci que i l poyeccione homónim e o ect on plel, l ect en el epcio tmién lo on (Fig. 8.21). Como excepción et egl etán l ect e pefil que, un tenieno u poyeccione plel, pueen e o no plel en el epcio. P compo que l ect y e pefil on plel e neceio til oe un plno uxili e pefil, p ll u tz y oe i u epeentcione () y (), ti, on o no plel. Oe en l Figu 8.22 y 8.23 un co con ect plel y oto en que no lo on. P 1 P Fig Do ect plel y un poyeccione en item iéico. () () () () () B 2 C 2 D 2 C 1 O () () () (C) (B) (D) () () () C 2 B 2 D 1 = D 2 O = (D) () (C) (B) () D 1 C 1 Fig Do ect e pefil plel. Fig Do ect e pefil no plel. 155

8 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.2. Plelimo cc B. Plelimo ente ect y plno Fig Rect plel un plno. P que un ect e plel un plno e e cumpli que lo e un ect culquie conteni en icho plno. ccc Rect plel un plno o, y que contiene un punto exteio él Bt con tz po l poyeccione el punto o, y un plel culquie ect conteni en el plno, po ejemplo, l ect. E ovio pen que y infinit ect plel un plno (Fig. 8.32). Recoemo que, p que un ect petenezc un plno, u tz tienen que et itu en l homónim el plno (Fig. 8.24). ccc Plno plelo un ect, y que contiene un punto Ete co conite en tz un plno que conteng un punto o y teng que e plelo un ect tmién ; e euelve tzno po un plel ; e lln u tz, y culquie plno que l conteng eá un olución poile (Fig. 8.25). Fig Plno plelo un ect que contiene un punto o. cc C. Plelimo ente plno Do plno plelo tienen u tz homónim plel, o que e cumple que l ect e inteección e o plno plelo, con culquie oto plno, on plel. De et fimción e exceptún lo plno plelo l LT, pueto que pueen no elo. ccc Plno plelo oto o, y que contiene un punto El polem e euce tz po o ect plel epectimente o conteni en el plno. Se lln u tz y e unen l e igul nome ente í, y í e otienen l tz el plno. Fig Plno plelo uno o y que contiene un punto o. P giliz et opecione e conveniente utiliz un veticl y un hoizontl el plno, pueto que e conocen u ieccione, y po ello e ctú el moo iguiente: po l tz y e et o ect, n e p l tz v y h el plno olución (Fig. 8.26). 156

9 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.3. Pepeniculi 8.3. Pepeniculi nte e comenz ete pto, conviene eco lo iguiente teoem: Si un ect e pepenicul un plno, lo e tmién to l ect que fomn icho plno (Fig. 8.27). De mne ecípoc, un ect eá pepenicul un plno cuno lo e o ect culequie e icho plno que no en plel. Teoem e l te pepenicule: i o ect y on pepenicule en el epcio y un e ell, po ejemplo, e plel un plno, u poyeccione otogonle y oe ete eán pepenicule (Fig. 8.28). I Ete pincipio e cumple tmién invemente, e eci, i l poyeccione y e o ect y el epcio on pepenicule y l ect, po ejemplo, e plel o conteni en el plno e poyección, ic ect y on pepenicule en el epcio (Fig. 8.29). m t B = I = 1 Fig Teoem e l te pepenicule. Fig Teoem e l te pepenicule l inve. Fig Si un ect e pepenicul un plno, lo e tmién to l ect conteni en él. ccc Rect pepenicul un plno P que un ect e pepenicul un plno e e cumpli que l poyeccione e l ect en pepenicule l tz el plno. Si e quiee tz, ee un punto o, un ect pepenicul un plno, e uficiente con tz ee l epeentcione y el punto y l poyeccione y pepenicule l tz el plno, e eci, v y h (Fig. 8.30). ccc Plno pepenicul un ect 1 Fig Rect pepenicul un plno. nálogmente, p que un plno e pepenicul un ect l tz el plno n e e pepenicule l poyeccione e l ect. P iuj po un punto o un plno pepenicul l ect, tá con tz po y un hoizontl el plno cuy poyección e pepenicul, y un fontl t e, tmién tz po l poyeccione el punto. t 1 t Fig Plno pepenicul un ect. Fig Plno pepenicul un ect. Como puee pecie en l Figu 8.31, u epeentción e e pepenicul, í e poán itu l tz el plno peio. E conveniente punt que con olo un e l ect, o t, e uficiente p etemin el plno. ée l Figu 8.32, one e utilizo un hoizontl el plno p olución l polem. Situ l ect, po u tz e tz v pepenicul, y one et cot l LT e iuj h, plel. En el co e quee plic un ect fontl e ctuí e mne imil l expuet. 157

10 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.4. ee mgnitu. Ditnci v m 2 m 1 m = v t ccc Plno pepenicul oto Un plno eá pepenicul oto cuno uno e ello, po ejemplo el, conteng un ect pepenicul l oto. Po tnto, too lo plno que pen po l ect eán pepenicule ; e hí que l olucione ete polem puen e infinit. P tz po un punto o un plno pepenicul oto, e ctú el iguiente moo: po el punto e tz un ect pepenicul l plno y, como e expuo nteiomente, too lo plno que contengn l tz e ( y ) eán pepenicule l plno (Fig. 8.33). ccc Rect pepenicul ot Fig Plno pepenicul oto. Culquie ect que eté conteni en un plno pepenicul un ect eá pepenicul ell. m h h Fig Rect pepenicul ot. P tz un ect pepenicul ot y que pe po un punto conocio, t con tz un plno pepenicul y que conteng l punto ; p ello, eco cómo e tz un plno pepenicul un ect que contení un punto o. Se ll el punto I e inteección e con y, unieno ete punto con, e otiene l ect olución el polem (Fig. 8.34) ee mgnitu. Ditnci Lo pecto eollo jo ete pto contituyen un plicción iect e lo concepto tto en l pepeniculi. ccc Ditnci ente o punto L itnci ente o punto y B e l longitu el egmento que lo une. P ll u vee mgnitu e utiliz el tificio e tilo oe el hoizontl o el veticl e poyección po meio el plno poyectnte que lo contiene oe uno e B 2 lo cito plno. P B 2 C B C emo, po ejemplo, el egmento B e l Figu 8.35; u vee mgnitu e l hipotenu el tiángulo ectángulo BC, cuyo cteto on: uno, l poyección hoizontl e lo punto, y el oto, l ifeenci e cot exitente ente mo punto, o e, B 2 C. P Fig Ditnci ente o punto. C (C) (C) Si e te el egmento B oe el hoizontl, e eci, po e tz un pepenicul l egmento, y oe ell e lle l itnci B 2 C, ifeenci e cot ente lo punto y B que e llm, e otiene el punto (C), que unio con etemin l itnci el ente lo punto y B. 158

11 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.4. ee mgnitu. Ditnci ccc Ditnci e un punto un plno L itnci e un punto un plno e el egmento pepenicul l plno efinio po el cito punto y u inteección I con. Po tnto, p etemin l itnci el punto l plno e ctú el moo iguiente: 1. Se tzn po l poyeccione el punto l pepenicule l plno. 2. Se ll el punto e inteección I e l ect con el plno, p lo que e utiliz un plno e poyo poyectnte hoizontl e l ect, que cot confome l ect l cul no ive p itu el punto e inteección I uco. 3. Po tnto, el egmento e l itnci pei. P ll u vee mgnitu e uficiente con plic lo expueto nteiomente oe itnci ente o punto (Fig. 8.36). ccc Ditnci e un punto un ect L itnci e un punto un ect e l longitu exitente ente icho punto y el punto I e inteección e l ect con l pepenicul ell tz ee. Et itnci e etemin tzno po el punto un plno pepenicul l ect, p lo cul y que plic como e tz un plno pepenicul un ect. Se ll u punto e inteección I, y t con mei el egmento I p otene l olución el polem. éne l opecione lle co p eolve ete polem en l Figu ccc Ditnci ente ect plel L itnci ente o ect plel y etá etemin po l longitu el egmento JI; on punto e inteección e un ect t pepenicul común ic ect. P ll l itnci JI ente o ect plel y, e tz un plno pepenicul m, eteminánoe lo punto J e I e inteección e et con. Oe en l Figu 8.38 cómo e eollo I ete polem. L ect on y, y el plno uxili pepenicul m. L ect y cotn en lo punto J 1 J 2 e, otenio po meio e lo plno e poyo poyectnte v h y v h, cuy ect e inteección con on l ect m 1 m 2 y l 1 l 2. El egmento e l vee mgnitu e JI. m 2 m z m 2 I z t Fig Ditnci e un punto un ect. t I = = = t Fig Ditnci e un punto un 2 plno. m 2 2 m z m 2 z v m v m 1 m 2 h I J 2 J 1 (J) v l I Fig Ditnci ente ect plel. t l 2 m l h = J l 1 = = = h = 159

12 J I 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.5. Ángulo t J 2 l Fig Ditnci ente plno plelo. J 1 (J) l 2 l 1 t Fig Ángulo e un ect con un plno. M M 1 l 8.5. t Ángulo nte e comenz ete J 2 pto, conviene eco lo iguiente pecto: l l Denominmo ángulo l ect con un plno l ángulo guo que eliz meinte u poyección otogonl oe icho plno (Fig. 8.40). l 1 L figu geométic J ecit po l o plno 1 y que e cotn, eteminánoe (J) en u inteección t, e conoce con el nome e án- gulo ieo g; lo cito plno, c, y t it el ieo (Fig. 8.41). t J I ccc Ditnci ente plno plelo L itnci ente o plno plelo y etá po l longitu el egmento JI que eto plno elimitn con u inteeccione oe culquie ect pepenicul mo. P ll l itnci ente lo plno y t con ll lo punto e inteección J e I e un ect pepenicul ello. P lle co et opeción e tz un ect pepenicul lo plno o y, et ect cot l plno en el punto J 1 J 2 y l plno en el. Se utilizo un plno uxili poyectnte veticl e l ect. L longitu e l vee mgnitu e l itnci ente y (Fig. 8.39). p D t g Fig Ángulo ieo. cc. Ángulo que fom un ect con lo plno e poyección ccc Con el plno hoizontl El ángulo que fom un ect con el plno hoizontl e el etemino ' po ell y u poyección. P ll l vee mgnitu e icho ángulo e pocee el iguiente moo: e 1 Se ce gi l ect leeo e un eje e pepenicul l 'plno hoizontl t itul oe el plno veticl en l poición ; e et mne e á otenio el ángulo que fom l ect con el hoizontl e poyección en vee mgnitu (Fig. 8.42). P t D t P P ' ' e 1 P ' ' e 1 Fig Ángulo e un ect con el plno hoizontl. 160 '

13 8. Sitem iéico otogonl (II) 8.5. Ángulo ccc Con el plno veticl En ete co e ope plicno el mimo zonmiento expueto p el plno hoizontl. El eje e que e tom ho e e un ect e punt, y l ect á que itul meinte un gio oe el plno hoizontl, queno í efinio, en vee mgnitu, el lo el ángulo (Fig. 8.43). ccc Ángulo e un ect con lo plno e poyección (P, P, PP), métoo iecto P ' P P ' e 1 P Como e euce e lo expueto nteiomente, el ángulo que fom un ect culquie con un plno e poyección e el que ecie ic ect y u poyección otogonl oe él. Bánoe en l otención e l vee mgnitu e un egmento, e etemin el lo el ángulo que l ect fom con lo plno e poyección, P y P. ée en l Figu 8.42 y 8.43 l olución gáfic. e 1 ' ' e 1 Fig Ángulo e un ect con el plno veticl. cc B. Ángulo que un plno fom con c uno e lo plno e poyección ccc Con el plno hoizontl P ll el ángulo que etemin un plno culquie con P, t con tz un plno uxili p pepenicul l tz, que efine el ángulo coeponiente. Como puee oee en l Figu 8.44, uno e u lo t t e ect e máxim peniente e, y el oto t T 2 e u poyección oe el P. Po tnto, tieno el tiángulo cuyo vétice on lo punto t T 2 t oe el P leeo e l cnel t T 2 e etemin el lo el ángulo en vee mgnitu. En l Figu 8.44 puee oee el poceo eguio. ) vm e 1 ) P t t' t (t) T' 2 t hm Fig Ángulo que un plno fom con el hoizontl. P hp t vp t t' T' 2 (t) vp t ccc Con el plno veticl (t) T' 2 El ángulo que fom un plno culquie con el P e otiene el mimo moo que en el co nteio. No otnte, en l Figu 8.45 e peent el eollo gáfico el polem, ejno l lumno u econtucción lógic, un vez inico el poceo que e ee egui. hp t Fig Ángulo que un plno fom con el veticl. 161

14 8. Sitem iéico otogonl (II) ctivie el item iéico otogonl (II) Cuetione Contet e mne zon l iguiente pegunt: 1. Explic po ecito en qué conite el métoo genel e inteección ente plno. póyte i lo ve neceio en tzo gáfico. 2. Explic po ecito cómo e eliz en el item iéico l inteección e un ect con un plno. póyte i lo ve neceio en tzo gáfico. 3. Cuáno e ice que o ect on plel en el item iéico? 4. Cómo e ce p tz un ect plel un plno o en el item iéico? Y un plno plelo oto o? 5. Cuál e el poceimiento egui en el item iéico p que un ect e pepenicul un plno o? 6. Explic po ecito cómo e ll l itnci ente o punto o en el item iéico. póyte i lo ve neceio en tzo gáfico. 7. Explic po ecito cómo e ll el ángulo que fom un ect con lo plno e poyección. póyte i lo ve neceio en tzo gáfico. Ejecicio Soe ppel lnco fomto 4 iuj lápiz lo iguiente ejecicio, tenieno en cuent que l uni e mei e el milímeto: 1. Po el punto ( 30, 10, 25) tz un ect pepenicul el pime iecto. 2. Diuj un plno (30, 30, 30) pepenicul oto que conteng l punto (20, 20, 30). 3. Po el punto E(0, 10, 45), tz un ect m que cote ot ( 10, 10, 15) B (30, 40, 50), y e pepenicul C ( 15, 0, 25) D (35, 50, 25). 4. Encuent l itnci el punto (30, 0, 0) l ect ( 30, 0, 20) B (30, 25, 35). 5. Detemin l itnci ente o muo e un jín que on plelo. L poyeccione iéic el pimeo on ( 20, 15, 30), mient que el eguno contiene l punto (20, 30, 35). 6. Do el plno tz oto plelo 40 mm e itnci. 7. Soe el plno ( 30, 30, 30) e poy un piámie ect e 60 mm e ltu; e e que lo vétice e l e on lo punto (0, 20, Z), B (40, 0, Z) y C (20, 35, Z). Se pie: ) L poyeccione iéic e l piámie. ) L longitu el e l it B y C. Se enominá con l let l vétice opueto l e e l piámie. 8. D l ect (0, 10, 35) B (30, 25, 50), pti el punto, en iección ci el eguno ieo, etemin un egmento po u poyeccione iéic cuy longitu el e 55 mm. 9. ll lo ángulo que tiene l ect ( 30, 30, 10) B (30, 10, 35), con lo plno e poyección. 162