+ + = = π 4 ( ) ( ) ( ) + +

Transcripción

1 Moelo 8. Ejecicio B. Clificción máim: punto Do lo plno π π el punto B( ) e pie: c) (. punto) Hll el ángulo que fomn lo plno π π. c. El ángulo ente plno e clcul como ángulo ente u vectoe nomle meinte el poucto ecl i e enomin po α l ángulo que fomn lo plno: no n ( ) o ( ) coα n n ( ) ( ) α cco º Moelo 8 Ejecicio A. Clificción máim: punto. t Do lo plno π π l ect t e pie: t ) (. punto) Hll lo punto e l ect equiitnte e π π. b) ( punto) Hll el áe el tiángulo que fom el punto P( ) con lo punto e inteección e con π π.. El pto e puee eolve po o plntemiento ifeente: Se buc un punto P que equiite e lo plno π π ( ( P π ) ( P )) π que petenec l π ect. Po petenece l ect el punto P tená po cooen l ecucione pmétic e l ect : t t t t ( P π) t t P ( t t t) : ( t) ( t) ( t) t ( P π ) Lo vloe boluto e cmbin po un oble igno e euelve l ecución con c uno e lo igno obtenieno o olucione. t ( t) ; t ; P( ( ) ( ) ( ) ) P( ) t t ± : t ( t) ; t ; P P Se buc l inteección e l ect con el lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e o plno (plno biectoe). Si P( ) equiit e lo plno π π : ( P π) ( P π ) ± ( ) : ( ) σ σ Lo punto buco e encuentn como inteección e l ect con c uno e lo plno biectoe. t ( ) t P : ; t t σ ( t) ( t) ; t ; P : ( ) ( ) ; P ( )

2 P ; : P ; 8 t ; t t ; σ t t t : P b. El áe e un tiángulo efinio po u vétice e clcul como un plicción el móulo el poucto vectoil. Vétice el tiángulo: A ; A : ; t ; t t t ; π t t t A : 7 B ; B : ; t ; t t t ; π t t t B : BP AP ABP Áe 9 BP AP : 7 BP AP u 9 BP AP ABP Áe Septiembe 7. Ejecicio B. Clificción máim punto Se l ect que p po lo punto P ( ) P (7 ). Se pie: ) ( punto) Hll l itnci el punto Q( ) l ect. b) ( punto) Hll el punto e cote e l ect con el plno pepenicul que p po el punto Q. Si e tiene en cuent lo o pto conviene empe po el eguno hce el pimeo como l itnci el punto Q l punto clculo en b. b. Se enominmo como π l plno pepenicul que contiene Q u vecto noml eá: 7 P P n π L ecución genel el plno tená l fom: K P etemin K e tiene en cuent que el punto Q petenece l plno po lo tnto u cooen eben cumpli l ecución el plno no pemiten clcul el vlo e K. K K π L ecución e l ect en pmétic e:

3 ( ) P v P P Conoci l ecución e l ect el plno e clcul l cooen el punto e cote (M) meinte un item e ecucione ente l ecución genel el plno l ecucione pmétic e l ect π M ; ( ) ( ) ( ) ; ; m M m ; M( ) m. Conocio M l itnci el punto Q l ect e l itnci el pinto Q l punto M. ( Q ) ( Q M) ( ) ( ) ( ( ) ) u Si no e hce en ete oen l itnci e un punto un ect e puee clcul como plicción el móulo el poucto vectoil. P P P Q P ( Q ) : P ( ) P P P Q ( ) ( ) P P Q P ( ) ( ) ( ) Sutitueno en l epeión e l itnci: ( Q ) P P P Q P P ( ) ( ) ( ) 88 u Septiembe 7. Ejecicio B. Clificción máim punto Se conie el tiángulo cuo vétice on lo punto A( ) B( ) C( ) e pie: ) ( punto) Detemin onmente i el tiángulo e equiláteo iócele o ecleno. b) ( punto) Obtene l mei e u te ángulo.. Se clculn l longitue e lo lo i: Igule Equiláteo Do igule un itint Iócele L te ifeente Ecleno L longitue e lo lo e clculn como itnci ente o punto o como móulo el egmento que eteminn lo vétice el tiámngulo. AB BC AC ( A B) ( b ) ( b ) ( b ) ( ) ( ) ( ) 9 u ( B C) ( c b ) ( c b ) ( c b ) ( ) ( ) ( ) 8 u ( A B) ( c ) ( c ) ( c ) ( ) ( ) ( ) 9 Tiángulo iócele

4 b. Po e iócele o ángulo eán igule ente i tenieno en cuent que lo lo AB AC on igule lo ángulo B ) C ) eán igule. Angulo A ) : e etemin como plicción el poucto ecl. ) ABo AC ( ) o ( ) ( ) ( ) co A AB AC ( ) ( ) 9 ) A cco º 9 ) A º ) ) ) ) ) 8º º A B C 8º B C 8º ) ) B C Septiembe 7. Ejecicio A. Clificción máim: punto D l ect e pie: b) ( punto) Clcul l itnci ente l o ect. b. L itnci ente o ect e puee clcul e vi fom tenieno en cuent lo cálculo efectuo en el pto nteio lo má ápio e como plicción el poucto mito el móulo el poucto vectoil. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: Volumen plelepípeo ABo ( u v) h Áe e l be u v i u v ABo j k AB ( u v) u ( clculo en el pto nteio) v ( ) u v ( ) ( ) Tomno el poucto mito e vectoe en vlo boluto e utitue en l epeión e l mínim itnci ente o ect que e cun no e cotn ABo ( u v) ( ) u u v Junio 7. Ejecicio B. Clificción máim punto ) ( punto) Detemine l itnci ente l ect. P clcul l itnci ente o ect e neceit un eteminción linel (punto vecto) e c un e ell.

5 A : v ( ) ( ) B : u ( ) L itnci ente o ect e puee clcul e vi fom en mi opinión l má ápi e como plicción el poucto mito el móulo el poucto vectoil. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: Volumen plelepípeo ABo ( v u) h Áe e l be v u i j k v u AB b ABo ( ) v 8 ( v u) ( ) o ( ) u ( ) ( ) Moelo 7 Ejecicio B. Clificción máim: punto Do lo punto A( ) B( ) P( ) e pie: ) ( punto) Hll l ecución el plno que contiene lo te punto. b) ( punto) Hll el áe el tiángulo fomo po A B P. c) ( punto) Hll l itnci el punto P l ect que p po A B.. P etemin el plno con te punto e utilin o vectoe fomo ente lo punto un culquie e lo punto B( ) ( ) ( ) plelo l ( ) ( ) ( ) plelo l ( ) π AB ; π AP Deollno po lo elemento e l e l ª fil e obtiene l ecución genel el plno π b. El áe e un tiángulo etemino po l cooen e u vétice e obtiene como plicción el móulo el poucto vectoil. Áe ( ABP) AB AP AB ( ) AB AP ( ) AP ( ) Áe 7 ( ABP) ( ) u c. Tenieno en cuent lo pto nteioe l itnci e un punto un ect e puee clcul como plicción el móulo el poucto vectoil. ( P ) AB AP AB ( ) 7 u AB AP AB ( ) ( ) ( ) u u

6 7 7 ( P ) u Moelo 7. Ejecicio A. Clificción máim: punto. D l ect e pie: ) (. punto) Compob que e cun clcul l itnci ente ell. b) ( punto) Hll l ecución el plno que contiene e plelo. c) (. punto) Hll el ángulo que fom l ect con el plno.. Si o ect e cun no e cotn en el epcio el ngo e l mti fom po lo vectoe e mb ect po un vecto fomo ente un punto e c ect ebe e. A( ) B( ) : : v( ) u( ) AB g v g u L ect e cun no e cotn g ( ) L itnci ente o ect que e cun no e cotn e puee clcul como un plicción el poucto mito el móulo el poucto vectoil. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: ( ) h ( ) Volumen plelepípeo Áe e l be u v ABo ABo v u AB ABo v u ( v u) ( v u) v u ( ) ( ) ) ( ) ( v u) ( ) b. El plno π que contiene e plelo e obtiene con el punto el vecto e l ect conteni () el vecto e l plel (). A( ) π v( ) ; π u( ) Deollno po lo elemento e l ª fil oenno e obtiene l ecución genel el plno. π ( ) ( ) ( ) ; π

7 π 8 c. El ángulo que fomn un ect un plno e obtiene meinte un plicción el poucto ecl el vecto e iección e l ect el vecto noml el plno tenieno en cuent que el ángulo que fomn eto vectoe e complementio l ángulo que fomn l ect el plno. en α co( 9 α) nπ o v ( ) o ( ) en( π ) co( nπv) nπ v ( ) ( ) en( π ) ( π ) cen º Septiembe. Ejecicio B. Clificción máim punto Se π el plno que contiene lo punto A( ) B( ) C( ). Clcule el volumen el teteo que fom el oigen e cooen con lo punto e inteección e π con c uno e lo eje cooeno. Pimeo e clcul l ecución plno π que contiene lo punto A B C. punto. L ecución el plno e obtiene con o e lo vectoe que fomn lo te punto uno e lo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A π AB π AC Deollno po lo elemento e l ª fil: π π Conoci l ecución el plno e clculn lo punto e cote el plno con lo eje cooeno. L fom m encill e p l ecución genel ecución cnónic. π π π π A Lo punto e cote on: B( ) po tnto el teteo que C( ) ( ) etemino po lo vectoe: b( ) u volumen e: c( ) V o ( b c) u Septiembe. Ejecicio A. Clificción máim: punto D l ect {( ) ; R} ) ( punto) Obtene l ect que p po el punto P( ) cot pepeniculmente. b) ( punto) Obtene el plno que contiene l ect e plelo. c) ( punto) Hll l itnci ente l ect. 7

8 . El poblem e puee hce e o fom ifeente po inteección e plno o clculno l poección el punto obe l ect. Po inteección e plno: L ect que bucmo t e puee clcul po inteección e lo plno π π ieno π el plno pepenicul que contiene P π el plno que contiene P A( ) : v( ) Tenieno en cuent que el plno π e pepenicul l ect el vecto noml el plno eá igul l vecto e iección e l ect po lo tnto l ecución el genel el plno ten l iguiente fom: K K R El pámeto K e clcul utitueno l cooen el punto P en l ecución el plno. K : K 7 π 7 El plno π e puee clcul con el h e plno e it pticulino p el punto P. H e plno e it : K( ) K R Plno el h que contiene P: K( ) π ( ) ; K ; K π L ect t e l inteección e π π. µ 7 t µ R µ Po poección otogonl. L ot fom e eolve el poblem e clculno l poección otogonl e P obe (M) ieno en ete co l ect t l que p po P M L cooen el punto M e clculn meinte l inteección e l ect con el π plno pepenicul que contiene P. M : π ( ) ( ) 7 : M( ) π 7 M El vecto e iección e l ect e puee obtene meinte el egmento PM PM t : ( ) ( ) ( ) M PM ( ) ( ) R σ b. El plno que e buc σ ebe cumpli l iguiente conicione: e l ect po et σ conteni en el plno e utiliá el punto A el vecto v e l ect po e plel olo e utili el vecto u A( ) v( ) u( ) σ σ 8

9 σ σ ( ) ( ) c. L ect e plel l plno σ po lo tnto too lo punto e l ect etán igul itnci el plno σ como el plno σ contiene l ect l itnci ente l ect e puee clcul como itnci e un punto e l plno σ. B σ ( ) ( ) Junio. Ejecicio B. Clificción máim: punto Se conien lo punto A( ) B( ) C( ) D( ) e pie: ) ( punto) Compob que lo cuto punto on coplnio que el polígono ABCD e un plelogmo. b) ( punto) Clcul el áe e icho plelogmo. c) ( punto) Detemin el lug geomético e lo punto P cu poección obe el plno ABCD e el punto meio el plelogmo AB AB. Si lo cuto punto on coplnio el g AC AC AD AD AB AC AD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si ABCD fomn un plelogmo con lo vétice u AB : AC AD conecutivo lo vectoe AB DC ebeán e equipolente (igul moulo iección entio) en efinitiv igule. ( ) ( ) ( ) ( ) AB DC AB DC on igule po lo tnto on equipolente u vétice fomn un plelogmo. b. Ae ( ABCD) AB AD AB AD Ae ( ) ( ) ( ) ( ABCD) ( ) ( ) 8 c. Se pie clcul l ect pepenicul l plno que eteminn lo cuto punto que p po el cento el plelogmo tl como muet l figu. L ect buc tiene como vecto e iección el vecto AB AD. noml el plno el cul e plelo l vecto El punto M e el punto e el punto meio el lo egmento AC DB 9

10 M L ecucione pmétic e l ect on: 9 R 9 Moelo. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Do lo plno π 7 ; π ; e pie: b) ( punto) Hll l itnci el punto P( ) l plno π. c) ( punto) Hll el coeno el ángulo que fomn lo plno π π. b. Se plic l epeión e l itnci punto plno ( P π ) ( ) p p p 7 7 c. El coeno el ángulo ente o plno e obtiene como un plicción el poucto ecl e vectoe. n n ( ) ( ) ( ) coππ co n n o o n n ( ) ( ) co( π π ) Moelo. Ejecicio A: Clificción máim: punto. Do lo punto P( ) Q( ) e pie: ) ( punto) Hll too lo punto R que equiitn e P Q. Decibi icho conjunto e punto. b) ( punto) Hll lo punto S contenio en l ect que p po P Q que veifiquen que (P S) (Q S).. El lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e o punto e un plno pepenicul l egmento que fomn lo punto que p po u punto meio e enomin plno meio Se bucn too lo punto R( ) que cumpln l conición: P R Q R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 b. L ect que p po P Q tiene po ecucione pmétic: Q ( ) PQ QP

11 Culquie punto e l ect que p po P Q tená como cooen l ecucione pmétic e l ect incluio el punto S. S PQ S Se bucn lo punto S que cumpln (P S) (Q S): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 8 ; ( ) ( ) S : S Septiembe. Ejecicio B. Clificción máim: punto Do lo punto P( ) Q( ) lo plno π π m π m ; e pie: c) ( punto) Hll l itnci ente lo punto Q P ieno P el punto imético e P epecto l plno π. c. Cooen e P imético e P epecto e π. El imético e un punto epecto e un plno e clcul como imético e P epecto e M ieno M l poección otogonl e P obe π como e obev en l figu. Po: ) Se clcul l ect pepenicul π que contiene P ) Se clcul M como inteección e π. ) Conocio P M e clculn l cooen e P con l ecucione el punto meio e un egmento. Clculo e : Po e pepenicul l plno π contene l punto P: v P nπ ( ) : µ µ Clculo e M. Se clcul como inteección e π : µ M : ( µ ) ( µ ) ; µ µ π M ; µ M Conocio M e clculn l cooen e P tenieno en cuent que M e el punto meio el egmento P P p p' m p' m p p p' p p' p p' p p' M : m p' m p p p' m p' m p

12 P ( ) ( P Q) P Q ( ) ( ) u Septiembe. Ejecicio B. Clificción máim: punto L ect p po P( ) tiene vecto iecto ( ); l ect p po Q( ) tiene vecto iecto ( ). 9 ) ( punto) Clcul > p que l itnci ente e. 9 P( ) Q( ). v( ) u( ) L mínim itnci ente o ect que e cun no e cotn e puee clcul como plicción el poucto mito e te vectoe. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l' mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: ( ) ( ) h v u PQo v Volumen plelepípeo Áe e l be PQ PQo v u ( v u) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( v u) ( ) o ( 8 ) 8 u ( 8 ) ( ) 8 8 Oenno e obtiene un ecución e eguno go 8 ; : Junio. Ejecicio.B. Clificción máim: punto Do el punto P( ) el oigen e cooen O l ect 8 e pie: ) ( punto) Detemin un punto Q e l ect e moo que u poección Q obe OP e el punto meio e ete egmento. b) ( punto) Detemin l itnci e P. c) ( punto) Eite lgún punto R e l ect e moo que lo punto O P R etén lineo? En co fimtivo encont el punto (o lo punto) con e popie o en co negtivo jutific l no eitenci.. El punto Q e obtiene po inteección e l ect con el plno pepenicul l egmento OP que p po u punto meio Q ( π ). L cooen e Q e obtiene como emium e l cooen e lo etemo el egmento OP.

13 ( ) Q ( ) El plno π e obtiene con el egmento OP como noml el plno pticulino p el punto Q. n OP ( ) ( ) π K Q π ( ) K ; K ; K π π 8 π π ; Q ; ( ) ( 8 ) ( ) Q ; Q Q 8 ; Q ( ) Q b. Si e enomin como A v l punto l vecto e l ect : AP v ( P ) v P A ( ) ( 8 ) : AP ( ( ) 8 ) ( ) ( P ) v AP AP v v ( ) v ( 8) ( ) - : AP v 8 8 ( ) 9 - c. P que eit un punto R e l ect que ete lineo con lo punto O P l ect l ect que p po O P ebeín e coplni (ecnte o plel). OP ( ) v ( ) OP O ( ) A ( 8 ) P etui l poición eltiv e l ect e etui el ngo e l mti fom po lo vectoe v OP OA. v g OP g OA 8 F F 9 8 F F 8 v g OP L ect e cun no e cotn OA No eite ningún punto R e l ect que ete lineo con lo punto O P

14 Junio. Ejecicio A: Clificción máim: punto. Do el plno π l upeficie eféic ( ) ( ) ( ) 9 hll lo plno tngente l efe que on plelo l plno. L ecución el h e plno plelo π e: K Se bucn lo plno (σ) el h que itn el cento e l efe el io. El cento e l efe e el punto C( ) el io 9 po lo tnto: R σ C K K 9 K ± k 9 k : k 9 k : 9: K σ σ Moelo. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Do el punto P( ) l ect: e pie: ) ( punto) Clcul l mínim itnci ente. c) ( punto) Detemin lo punto e l ect que equiitn e lo plno XY e Y Z.. Lo pimeo e etui l poición eltiv e l ect p lo cul e neceit el punto el vecto e c un e l ect. u A : : v B : µ µ g g g v u AB g F F L ect e cun no e cotn. v u v u AB o v u o

15 XY c. L ecucione e lo plno on:. Lo punto que equiitn e mbo plno YZ Q XY Q YZ ieno Q( ) un punto genéico e epcio. eben cumpli Aplicno l epeión e l itnci e un punto un plno e obtienen l epeione el lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e mbo plno: ( Q XY) ( ): σ : : ± : : σ Q YZ Lo punto buco on l inteección e lo plno clculo (σ σ ) con l ect. Q : : Q( ( ) ( ) ) Q( ) σ : : Q σ Q Q Moelo. Ejecicio A: Clificción máim: punto. Do lo punto P ( ) P ( ) P ( ) e pie: ) ( punto) Detemin l ecución el plno π que contiene lo te punto. b) ( punto) Detemin l ecución e l ect que p po P e pepenicul π. c) ( punto) Hll l ecución e l o upeficie eféic e io 7 que on tngente l plno π en el punto P.. L mínim eteminción linel e un plno e un punto o vectoe. P ( ) π P P ( ( ) ) ( ) π P P ( ( ) ) ( ) π b. Po e pepenicul l plno π el vecto e iección e l ect coincie con el vecto noml P ( ) el plno po lo tnto l eteminción linel e l ect buc e: v nπ ( ) R c. L efe que e pien tienen u cento obe l ect como nuet l figu junt l itnci el cento l plno e el io e l efe. C C ( C π) R ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 C ( ) 7 7 ± 7 : C ( ) 7 7

16 L ecucione e l efe on: ( ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ( ) ) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) ( ) 7 Septiembe. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Do el plno π l ect iguiente: t π ; t t e pie: ) ( punto) Etui l poición eltiv e π. b) ( punto) Clcul l itnci ente π.. Se etui el poucto ecl el vecto noml el plno el vecto e iección e l ect. n π o v Po e nulo lo vectoe on pepenicule po tnto l ect puee e plel l plno o et conteni en el. P iceni l o poibilie e utitue el punto e l ect en l ecución el plno i l cooen el punto cumplen l ecución el plno l ect et conteni en el plno en co contio l ect e plel l plno. A( ) π L ect e plel l plno b. Po e l ect plel l plno l itnci e l ect l plno e l itnci e culquie punto e l ect l plno. ( π) ( A( ) π ) Septiembe. Ejecicio A: Clificción máim: punto. Do lo punto A(; ;) B(;;) C(; ;) D(; ; ) e pie: ) ( punto) Clcul el áe el tiángulo e vétice A B C. b) ( punto) Clcul el volumen el teteo ABCD.. El áe e un tiángulo efinio po te punto e clcul como un plicción el moulo el poucto vectoil e o vectoe. Áe ( A BC) AB AC AB AC ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) AB AC Áe A BC 7 ( ) ( ) ( ) 7 u b. El volumen el teteo etemino po cuto punto e clcul como un plicción el poucto mito. V ( ABCD) ADo ( AB AC) ( ) AD ( ( ) ) ( ) AB AC

17 V ( ABCD) ADo ( AB AC) ( ) o ( ) u Junio Ejecicio A. Clificción máim: punto Do el punto P( ) el plno π l ect e pie: b) ( punto) Hll l itnci e P. c) ( punto) Clcul el volumen el teteo fomo po el oigen e cooen O( ) l inteeccione e π con lo eje cooeno OX OY OZ. P( ) AP u b. A( ) P : u u( ) ( ) ( ) ( ) AP u ( ) ( ) ( ) AP ( P ) AP u u ( ) ( ) c. P clcul el volumen el teteo fomo po el plno π lo plno cooeno e neceit conoce lo punto e cote el plno con lo eje e cooen p lo cul e p l ecución el plno fom cnónic. A( ) ( ) π π B( ) b ( ) C( ) c ( ) V o 8 b c u Septiembe. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do el punto P( ) el plno π e S l efe que e tngente l plno π en un punto P e moo que el egmento PP e uno e u iámeto. Se pie: ) ( punto) Hll el punto e tngenci P. b) ( punto) Hll l ecución e S.. El punto P e l inteección e l ect con el plno π ieno l pepenicul π que p po P. P( ) R v nπ ( ) R ': π 9 9 P ( ) ( ) P': P' ( ) 7

18 b. L ecución e un efe e puee obtene conocieno el cento el io. En el co popueto el cento e el punto meio el egmento PP ' el io e l mit el móulo el egmento. Cento e l efe: Punto meio e PP ' Rio PP' ( ) ( ) ( ) L ecución e l efe e: ( ) ( ) Deollno lo cuo e igulno ceo e obtiene l ecución genel e l efe. Septiembe. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do lo punto A( ) B( ) C( ) D( ) e pie: ) ( punto) Pob que el cuiláteo ABCD e un tpecio (tiene o lo plelo) hll l itnci ente lo o lo plelo. b) ( punto) Hll el áe el tiángulo ABC.. P etemin que el cuiláteo e un plelogmo hbá que pob que o e lo vectoe que fomn u vétice on plelo (popocionle). AB b ( ) ( ) ( ) BC c b ( ) ( ) ( ) AB( ) K CD( ) Plelo : CD c ( ) ( ) ( ) BC( ) K DA( ) No plelo DA Tenieno en cuent el pto b conviene clcul l itnci e lo lo plelo (ltu el tpecio h) como l itnci el punto C l ect que p po A B. AC AB h ( C ) h ( C ) AC c AB b. Áe ABC AB AC 9 AC AB AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 8) AB ( 9 8) ( ) ( ) 9 ( 8) 9 ( ) ( ) AC AB AB AB Junio. Ejecicio B. Clificción máim punto Do el punto P( ) el plno π l ect Se pie: ) ( punto) Detemin l ecución el plno que p po P e plelo l ect pepenicul l plno π. b) ( punto) Hll el ángulo ente π. 9 8

19 9. L eteminción linel el plno que e pie e obtiene con el punto P el vecto noml el plno π el vecto e iección e l ect : n : π π σ : n P σ π σ b. n n enα π π o o 9º α Junio. Ejecicio B. Clificción máim punto ) ( punto) Hll lo punto e cote e l ect e iección ( ) que p po el punto P( ) con l upeficie eféic e cento C( ) io b) ( punto) Hll l itnci el punto Q( ) l ect. Rect: : Punto P v iección Supeficie eféic: C : Rio R Cento C Lo punto comune l ect l upeficie eféic e hlln eolvieno el item que fomn l o ecucione. : C ; A : A : 7 A : 7 A : :

20 b. Uno e lo métoo p clcul l itnci e un punto un ect e un plicción el móulo el poucto vectoil. QB u ( Q ) u Sieno u el vecto e iección e l ect B un punto culquie e l ect ( ) ( ) ( ) Q B u QB : u ( ) ( ) QB u ( ) ( ) ( 9 9) ( Q ) QB u u ( 99) ( ) ( 9) Septiembe. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Se n l ect el plno π meinte π 7. Obtene lo punto e l ect cu itnci l plno e igul uno. P π Se bucn punto P e l ect que cumpln l conición: Tenieno en cuent que P l cooen e P e pueen epe en función e l P plicno l igul popuet e epej el ecucione pmétic e ( ) pámeto. 7 ( P π) Openo: ; ± ( ) ( ) ( ) ( ) (): ; ( ): ; p 8 8 ; P P p ; P P Junio. Ejecicio B. Clificción máim: punto. D l ect ; Se pie: ) (punto) Etui u poición eltiv. b) ( punto) Hll l mínim itnci e.

21 . ( ) ( ) ( ) A B : : v u AB L poición eltiv e l ect e elcion con g v u AB g v g ; 8 u Vectoe no coplnio l ect e cun peo no e cotn. AB g v u b. L mínim itnci ente ect que e cun no e cotn e clcul como plicción e lo poucto e vectoe. ABo ( v u) ( ) v u v u ABo ( v u) 8 ( ) ( ) ( ) v u ( ) ( ) ( ) ABo ( v u) 8 ( ) v u Junio. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do lo punto P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) e pie: ) ( punto) Hll el vlo e p que lo cuto punto etén en el mimo plno. b) ( punto) hll lo vloe e p que el teteo con vétice en P P P P teng volumen igul 7. c) ( punto) Hll l ecución el plno cuo punto equiitn e P P.. Si lo cuto punto on coplnio el ngo e l mti fom po lo vectoe P P P P P P ebe e o po tnto el eteminnte ebe e ceo. P P P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : Reolvieno el eteminnte pece un ecución linel. 7 ( ) ; b. El volumen el teteo e vétice P P P P e clcul como plicción el poucto mito e vectoe.

22 P P V P P o P P [ P P P P ] P P 7 ( ) 7 P eolve l ecución e empie po quit el vlo boluto. 7 ( ) ± 7 ; ± Con el igno poitivo: ; Con el igno poitivo: ; c. Se puee hce e o fom po efinición o po lo que e. Po efinición: e bucn lo punto P( ) que etén igul itnci e P P. ( P P) ( P P) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Simplificno l íce eollno lo cuo gupno témino e obtiene l ecución genel el plno meiti lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e P P. π El lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e P P e un plno pepenicul l egmento P P Como vecto noml π e u el vecto P P que p po u punto meio. como punto el punto meio el egmento (M). ( ) P P M ( ) Too lo plno pepenicule P P tienen po ecución: K P etemin K e tiene en cunt que el plno buco ebe p po M. K ; K π Multiplicno po p elimin el enomino: π Moelo. Ejecicio. Clificción máim: Punto. Do lo plno e ecucione: π ; π e pie: ) ( punto) Obtene l ecución en fom continu e l ect que eteminn. b) ( punto) Hll too lo punto que equiitn e π π.

23 . P obtene l ecución continu e l ect que eteminn lo plno π π e puee eolve el item comptible inetemino que fomn l ecucione e mbo p obtene l ecucione pmétic epué pl l fom continu tmbién e puee clcul po epo el vecto e iección un punto e l ect et egun fom me pece m encill. Como l ect etá conteni en lo o plno u vecto e iección e pepenicul lo vectoe nomle e lo plno po lo que e puee clcul con el poucto vectoil e eto. n n ( ) ( ) ( ) El punto e obtiene no un vlo culquie un e l vible eolvieno el item e o ecucione con o incógnit que que. H que intent que lgn vloe encillo en ete co no l el vlo ceo l olucione el item len ente. : : P ( ) Conocio un punto el vecto e iección l ecución continu e l ect e: ( ) ; b. Si e enomin P( ) un punto genéico que equiite e mbo plno e ebe cumpli: P π P π ( ) ( ) ± ( ) σ σ on lo plno biectice e π π. : ± 9 9 σ : σ σ σ ( ) ( ) Moelo. Ejecicio B. Clificción máim: punto. D l ect ; e pie: ) ( punto) Hll l poición eltiv e l ect. b) ( punto) Hll l itnci mínim ente.. L poición eltiv e o ect e puee etui con el ngo e l mti que fomn lo vectoe e iección e mb ect un egmento etemino con un punto e c ect. A ( 9 8) B ( 9 8) ; ( ) ( ) ( ) AB g g g ; g A

24 Tenieno en cuent que el ngo e l mti e o que lo vectoe e iección e mb ect on popocionle l ect on plel. b. L itnci ente ect plel e clcul como l itnci e un punto e un e ell l ot. AB ( ) ( B ) AB ( ) ( ) ( ) AB ( ) ( ) 8 ( ) 8 8 Moelo. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do lo punto A( ) B( ) C( ) e pie: ) ( punto) Hll too lo punto que equiitn e A B C. Cuále e ello petenecen l plno π? b) ( punto) Hll l ecución el plno que p po A B C.. El lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e te punto e l et inteección e lo plno meitice que genen lo te punto o o P etemin l ect olo e neceitn o e lo te plno meitice. Plno meiti AB. Si P( ) e un punto genéico el plno meiti e ebe cumpli: A P B P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Deollno lo cuo implificno oenno e obtiene l ecución genel el plno meiti AB (Lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e A B). π AB Plno meiti BC. Openo e igul fom: B P C P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π BC 8 Lo punto que equiitn e A B C e l ect inteección e lo plno π AB π BC. : 8 P epe l ect en fom e ecucione pmétic e euelve item que fomn l o ecucione. Sitem comptible inetemino. 8

25 P eolve el item e tnfom un e l vible en pámeto e euelve en función el pámeto ( ). 7 R 8 El punto (Q) el plno π que equiit e A B C e l inteección e l ect con el plno π. Not: l inteección e l ect el plno e puee hce con l ect en pmétic o con l ect como inteección e plno lo que o e má fácil. 7 : 7 Q : :{ 8 π : Q ( ) : CRAMER Q 8 : 8 π : Q ( ) b. Un eteminción linel el plno (σ) que p po A B C e el punto A lo vectoe AB AC. A ( ) σ : AB ( ( ) ) ( ) AC ( ( ) ) ( ) σ Deollno el eteminnte implificno e obtiene l ecución genel el plno que p po A B C. σ 7 Septiembe. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do lo plno π π l ect e pie: ) (punto) El punto o punto e que equiitn e π π. b) ( punto) El volumen el teteo que π fom con lo plno cooeno XY XZ e YZ. c) ( punto) L poección otogonl e obe π.. Se pie clcul l inteección e l ect con el lug geomético e lo punto el epcio que equiitnte e o plno.

26 El lug geomético e lo punto el epcio que equiitn e o plno on o plno enomino plno biectice cu ecucione e obtienen pti e l efinición e itnci punto plno. Se P( ) un punto genéico que equiit e π π po tnto e cumpliá: ( P π ) ( P π ) ( ) Simplificno l íce quitno el vlo boluto: ± Reolvieno con c igno po epo e obtienen l ecucione e lo plno biectice. (): ; σ ; σ ; σ ; σ ( ): ( ). Lo punto buco e encuentn meinte l inteección e lo plno biectice con l ect Un fom e eolve l inteección ente l ect el plno e utitui l ecucione pmétic e l ect en l ecución genel el plno obtene el vlo el pámeto utituilo en l ecucione pmétic e l ect p obtene l cooen el punto. σ σ P : : ( ) ; ; ; P : : P ( ) σ P : : ( ) ( ) ( ) ; ; P : : P b. El volumen el teteo que e fom ente un plno lo plno cooeno e puee obtene pti e l ecución cnónic el plno ieno b c lo vectoe e poición e lo punto e inteección el plno con lo eje cooeno (A B C). L ecución cnónic el plno e obtiene pti e l ecución genel. : ; b ; c ( )

27 V o ( b c) u c. L poección otogonl e un ect obe un plno ( ) e puee obtene po inteección e o plno el plno obe el que e poect l ect (π ) un plno pepenicul l que e poect que conteng l ect que e quiee poect (σ) como muet l figu junt. ( ) σ σ σ : A( ) σ σ π σ nπ ( ) σ Deollno el eteminnte po lo elemento e l pime fil implificno oenno e obtiene l ecución genel el plno. σ σ L ect poección otogonl e obe π e obtiene eolvieno l inteección: µ π µ : µ µ R σ µ Junio. Ejecicio B. Clificción máim: punto. ) ('7 punto) Hll l ecución el plno π que p po lo punto A( ) B( ) C( ). b) ('7 punto) Hll l ecución el plno π que contiene l punto P( ) e pepenicul l vecto v( ) c) (' punto) Hll el volumen el teteo e vétice A B C P.. Lo to que e n on lo punto e cote el plno con lo eje cooeno pemiten ecibi u ecución cnónic. π L ecución genel e obtiene multiplicno po el mínimo común múltiplo () oenno. π b. El vecto v( ) genel tiene l fom: e el vecto noml el plno que e pie po tnto u ecución π D El vlo e D e etemin tenieno en cuent que el plno buco contiene l punto P po tnto u cooen eben cumpli l ecución el plno D ; D π D Ot fom e eolve el pto e po plicción el poucto ecl. El plno buco et fomo po punto X( ) que fomn con P u vecto pepenicul v po tnto el poucto ecl e PX v ebe e nulo. 7

28 PX v PXo v o ( ) ( ) ( ) π D c. El volumen el teteo e obtiene como plicción el poucto mito e vectoe. V APo ( BP CP) AP BP CP ( ) ( ) ( ) ( ) 8 V Junio. Ejecicio A. Clificción máim: punto. ) (' punto) Hll el volumen el teteo que tiene un vétice en el oigen lo oto te vétice en l inteeccione e l ect con el plno π 7. u b) (' punto) Hll l ect que cot pepeniculmente l ect. El volumen el teteo e obtiene como plicción el poucto mito e vectoe. V o ( b c) b b b c c c Lo vectoe b c unen lo vétice el teteo con el cuto vétice que e el oigen. : A : : 7 : :. A ( ) π : 7 OA ( ) ( ) : B : : : : B π : 7 b OB ( ) ( ) : C : : : 8: C π : 7 c OC ( 8 ) ( 8 ) ( ) ( 8 ) 8

29 Conocio lo vectoe e clcul el volumen el teteo. V ( ) o ( ) ( 8 ) 9 u 8 b. L pepenicul común o ect que e cun e puee obtene como inteección e o plno π σ mbo plelo l iección e l pepenicul común c uno e ello que conteng un e l ect. L iección pepenicul común mb ect viene epeent po el vecto v poucto vectoil e lo vectoe e iección e l ect. A ( ) : ( ) v B : i j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k A π : : v π v π ( ) ( ) ( ) π : π 8 7 ( ) ( ) ( ) B π σ : : σ : σ 9 8 v π v Conocio lo o plno l ect e etemin eolvieno el item comptible inetemino que fomn l ecucione e lo o plno. 8 7 : 9 8 Reolvieno en función e l pmétic e l ect on: : 9 Moelo. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Do lo punto A( ) B( ) C(7 ) D( ) E( ) e pie: ) ( punto). Demot que lo punto A B C D on coplnio. b) ( punto). Demot que el polígono ABCD e un plelogmo clcul u áe. c) ( punto). Hll l itnci el punto E l plno etemino po lo punto A B C D.. Un fom e compob que cuto punto on coplnio e etemin un plno con te e ello veific que el cuto punto cumple l ecución el plno etemino po lo oto te. Un eteminción linel el plno que contiene lo punto A B C e: 9

30 ( ) ( ( ) ) ( ) ( 7 ( ) ) ( ) A π : AB π AC Deollno po lo elemento e l pime fil implificno e obtiene l ecución genel el plno que contiene A B C. π Sutitueno l cooen e D en l ecución e π e compueb i lo punto on coplnio. π : 9 ( ) 7 8 D( ) Lo punto on coplnio. b. Si ABCD fomn un plelogmo AB DC ebeán e equipolente e eci igule. AB ( ) : DC ( 7 ( ) ) ( ) Lo vectoe on igule po lo tnto on equipolente lo punto fomn un plelogmo. El áe el plelogmo e puee clcul como plicción el móulo el poucto vectoil. Áe ABCD AB AC AB AC ( ) ( ) : AB AC ( ) ( ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8) ( ) u Áe ABCD AB AC c. El pto e euelve plicno l epeión e l itnci e un punto un plno. ( E π) ( 9) ( 7) Septiembe F.G. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Do el plno π v el plno π etemino po el punto P( ) lo vectoe v ( b) e pie: ) ( punto) Clcul lo vloe e b p que π π en plelo. b) ( punto) P b etemin l ecucione pmétic e l ect inteección e π π. c) ( punto) P b etemin lo punto que etán igul itnci e π π.. Lo to eltivo π pemiten obtene l ecución genel el plno. P( ) π v ( ) ; π Deollno: π b v ( b) b P que lo plno π π b en plelo e ebe cumpli: b : : b b

31 P b lo plno on plelo b. P : π P b : π : :{ R ( ) : c. P : π P b : π Se tt e plno plelo p tbj con ello conviene epe l ecucione lo má implifico poible. π : π Lo punto P( ) buco eben cumpli l conición: ( P π ) ( π ) Simplificno l íce: ( ) ( ) P Quitno lo vloe boluto oenno e lleg l ecución e un plno plelo mb que e encuent igul itnci e π e π. ( ): :. No tiene entio ± ( ) : : : π Septiembe F.G. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Lo punto P( ) Q( ) A( ) con > eteminn un plno π que cot lo emieje poitivo e OY OZ en lo punto B C epectivmente. Clcul el vlo e p que el teteo etemino po lo punto A B C el oigen e cooen teng volumen mínimo. Se tt e un poblem e optimción en el que l función optimi e el volumen el teteo etemino po el plno π lo plno cooeno. L fom má encill e obtene l epeión el volumen e ete teteo e pti e l ecución cnónic el plno π.

32 El plno π e etemin con lo punto P Q A. P( ) P( ) π Q( ) QP ( ) A AP ( ) Deollno el eteminnte oenno e obtiene l ecución genel el plno. π L ecución genel el plno pemite obtene l ecución cnónic iviieno to l ecución po el témino inepeniente oenno. π L ecución cnónic pemite epe el volumen el teteo en función el pámeto : V o ( b c) ( ) o ( ) P clcul el teteo e volumen mínimo e eiv l epeión e igul ceo. V ( ) 9 ( ) ( ) 9 : V : : 9 : ( 9) : 9 ( ) 9 : De l o poible olucione l únic que cumple l conición e > e 9/. P compob i e tt e un mínimo e utitue en l egun eiv. V ( 8) ( ) ( 9 ) ( ) ( ) ( 8) ( ) ( 9 ) ( ) ( ) V ( ) ( 8) ( ) ( 9 ) ) ( ) ( 9 7) ( ) 9 ( 9 ) > MÍNIMO A ( 9 7) ( ) Septiembe F.G. Ejecicio A. Clificción máim: punto. D l ect: e pie: ) ( punto) Hll l ecución e l ect t que cot e pepenicul mb. b) ( punto) Hll l mínim itnci ente.. L pepenicul común o ect e clcul como inteección e o plno que eben cumpli l iguiente conicione: Debe contene :( π) Debe contene :( π) π : σ : Debe e pepenicul Debe e pepenicul

33 L pime conición e c plno ofece o elemento p clcul el plno í l ect etá conteni en el plno el punto e l ect petenece l plno el vecto e iección e l ect e plelo l plno. L egun conición e cumple bucno un vecto v pepenicul l o ect po lo que v e obtiene multiplicno vectoilmente lo vectoe e iección e l o ect. A Pti e l ecucione e l ect obtenemo u elemento (punto vecto). A ( ) : : B ( ) : µ : ( ) µ El vecto v e obtiene meinte el poucto vectoil e lo vectoe e iección e l o ect v ( ) ( ) ( ) L eteminción linel e c plno e: A ( ) B ( ) π : ( ) : π σ : ( ) : σ v v ( ) eollno lo eteminnte po junto e l ª fil e obtienen l ecucione genele implícit ó ctein e mbo plno. π : σ L ecución pei e obtiene eolvieno el item que fomn lo o plno: β t β β b. L mínim itnci ente o ect e puee clcul como l ltu el plelepípeo que fomn lo vectoe e iección e l o ect un egmento fomo con un punto e c ect. V PARALELEPÍPEDO A BASE Altu ( ) V ABo PARALELEPÍPEDO Altu A BASE Si e tiene en cuent que v ABo v o ( ) v ( ) Junio F.M. Ejecicio A. Clificción máim: punto. D l ect: el punto P ( ) e pie: ) ( punto) Hll l itnci el punto P l ect. b) ( punto) Hll l cooen el punto P imético e P epecto e l ect.. L itnci e un punto un ect e puee clcul e vi fom en ete co tenieno en cuent el pto b lo má páctico e clcul l itnci e P u poección obe (M).

34 ( P ) ( P M) L poección e un punto obe un ect e puee clcul po poucto ecl. Se buc un punto M e l ect que con el punto P fome un vecto pepenicul l vecto e iección e l ect. PM PMo Si M e un punto e l ect u componente e pueen epe con l ecucione pmétic e. M : M ( ) PM m p ( ) ( ) ( ) PM o : ( ) o : 8 9 : 8 : Conocio el vlo e e clculn l cooen e M l componente el vecto PM. 9 M PM L itnci e P e el móulo e PM PM b. El imético e P epecto e e clcul tenieno en cuent que M e el punto meio e PP '. p ' p m p ' p M : m p ' p m De l cooen e M e epejn l cooen e P. ' p m p 7 7 P': ' p m p P ' ' m p p 7 7 Junio F.M. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Do el plno π l ect: e pie: ) ( punto) Clcul lo vloe e p lo que l ect etá conteni en el plno π. b) ( punto) P el vlo hll el punto (o lo punto) que petenecen l ect pepenicul π que p po P(/ /) que it (o itn) unie e π. c) ( punto) P el vlo hll el eno el ángulo que fomn π.

35 . P que l ect ete conteni en π el vecto e iección e l ect ebe e pepenicul l vecto noml el plno. π o n π o : : : b. Se bucn lo punto e l ect que itn unie el plno π ieno l ect pepenicul l plno que p po A. Po e pepenicul π el vecto e iección e coincie con el vecto noml el plno π. π L ecucione pmétic e e obtienen con el punto P con el vecto noml el plno que e plelo l ect. P : : n π ( ) ( ) L componente e culquie punto e l ect incluio A A cumplián l ecucione pmétic e l ect. A El pámeto e etemin con l itnci el punto A l plno ( ) 8 : ( A π) ( ) : : : ± : ± ± Si 7 Si : A : A ' ( ) ( ) c. El eno el ángulo que fom π e obtiene po plicción el poucto ecl. o n ( ) o ( ) ( ) 8 en - π n ( ) ( ) Junio F.G. Ejecicio A. Clificción máim: punto. D l ect: ; e pie: ) ( punto) Detemin l ecución e l ect pepenicul común. b) ( punto) Clcul l mínim itnci ente. De l ecucione e l ect e obtiene un punto un vecto A ( ) : B ( ) ; : ( ) ( )

36 . L pepenicul común o ect que e cun (lo vectoe e iección e l ect no on popocionle) e puee clcul po inteección e o plno que eben cumpli l conicione e contene un ect e pepenicul l ot. P obtene plno pepenicule l ect e neceit un vecto pepenicul lo vectoe e iección e mb ect que e obtiene meinte el poucto vectoil e lo vectoe e iección. Se v ( ) ( ) ( 7 9 ) L pepenicul común t e obtiene po inteección e o plno π π. π : Contiene e plelo v A ( ). π ( ) v ( 7 9 ) π Deollno po lo elemento e l ª fil: π : π : Contiene e plelo v B. π v ( ) ( ) ( 7 9 ) π Deollno po lo elemento e l ª fil: π :7 7 9 Un ecucione ctein e l ect t (pepenicul común ) on: 7 8 t 7 P obtene l ecucione pmétic en mi opinión no e neceio e euelve el item comptible inetemino t : R 7 7 b. Con lo to obtenio en el pto l fom má ápi e obtene l itnci ente l ect e como plicción combin el móulo el poucto mito (volumen) el móulo el poucto vectoil (áe) Volumen Áe Altu ABo ( ) AB b ( ) : v ( 7 9 ) ( ) ( ) o ( 7 9 ) (( 7 9 ) ) 7 7 ( 9) ( ) ( 9) ( ) 7 7 7

37 Junio F.G. Ejecicio B. Clificción máim: punto. D l ect: ; e pie: ) ( punto) Hll l ecución el plno π etemino po. b) ( punto) Hll l itnci el punto A( ) l ect.. Lo pimeo que e ebe conoce e l poición eltiv e l ect que tnto en el co e que en ecnte o plel eite un único plno que l contienen peo egún e u poición eltiv el plno que l contiene e clcul e ifeente fom. Un fom e clcul l poición eltiv e o ect e etui el ngo e l mti fom po lo vectoe e iección e mb ect un vecto fomo con un punto e c ect. P ( ) : ( ) Q : QP b ( ) ( ) ( ) QP g g ; Po e e ngo o l ect on coplni tenieno en cuent que lo vectoe e iección on popocionle (igule) l ect on plel. El plno etemino po o ect plel e clcul con un punto e un e l ect (P) el vecto e iección e l ect un vecto fomo con un punto e c ect ( QP ). ( ) ( ) ( ) P π : π QP Deollno el eteminnte po lo elemento e l ª fil oenno implificno e obtiene l ecución el plno. π b. Se puee hce e vi fom en mi opinión l má ápi e como plicción el móulo el poucto vectoil. Si Q e un punto e A e el punto el que e quiee clcul l itnci l ect : QA QA en α En l figu e puee obev que po efinición e eno QA en α ( A ) QA ( A ) : ( A ) QA 7

38 Q : A ( ) ( ) ( ) QA : q ( ) ( ) : QA QA ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( A ) QA * ( ) ( ) ( ) Junio F.G. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Se π el plno que contiene lo punto P ( ) Q ( ) R ( ). Se pie: ) ( punto) Hll el volumen el teteo etemino po el oigen e cooen lo punto P Q R. b) ( punto) Clcul l cooen el punto imético el oigen e cooen epecto el plno π.. Lo punto P Q R on lo punto e cote el plno π con lo eje e cooen junto con el oigen fomn el teteo. El volumen e un teteo e vétice O P Q R e un eto el móulo el poucto mito e te e lo vectoe no coplnio que fomn lo cuto vétice. Sieno uno e lo vétice el oigen e cooen lo má encillo e: V OPo ( OQ OR) ( ) o (( ) ( ) ) u b. L ecución el plno π en fom egmentí o cnónic e: π Multiplicno po el mínimo común múltiplo oenno e obtiene l ecución genel: π El imético el punto O epecto el plno π e clcul tenieno en cuent que l poección e O obe π (M) ebe e el punto meio el egmento que fom O con u imético (O ). El punto M poección e O obe π e clcul po inteección el plno π con u pepenicul que p po O (). Po e pepenicul l plno el vecto e iección e e plelo l vecto noml el plno. : O ( ) n π π M : : : 9 : M

39 Si M e el punto meio el egmento OO u cooen on: O O' O O' O O' M ( m m m ) Igulno po componente epejno l cooen e O : 7 O' m O O' m O 9 9 m O' O 9 9 O ' 7 9 Moelo Ejecicio A. Clificción máim: punto. Se conien l ect: ) ( punto). Detemin l ecución e l ect t que cot que contiene l oigen e cooen. b) ( punto). Detemin l mínim itnci ente l ect.. Se P el punto ( ). 9 9 P π π : π L ect pei t e encuent po inteección e o plno π π. P A( ) De l ect e conoce:. El plno π e clcul con: PA ( ) ( ) π eollno po lo elemento e l ª fil; implificno oenno π P ( ) P π B ( ) π : De l ect e conoce:. El plno π e clcul con: PB π ( ) ( ) eollno po lo elemento e l ª fil; π 9

40 implificno oenno π 8 L ect t buc e obtiene po inteección e plno (obev que l plno π lo multiplico po p cmbile lo igno). t En pmétic t 8 7 b. L mínim itnci ente o ect e puee clcul e vi fom l m encill e: ABo ( ) Done enot el poucto vectoil. Lo m encillo e clcul c témino po epo. (. ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB b ( ) ( ) ABo ( ) ( ) o ( ) ( ) ( ) ( ) Sutitueno en l epeión e l itnci: ABo ( ) Septiembe 9 Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do el plno π hll l ecucione e lo plno plelo π que e encuentn unie e π. Como puee obeve en l figu junt e bucn o plno (σ σ ) plelo π que iten e él unie L itnci ente o plno plelo π A B C D viene po l epeión: π A B C D ( π π ) D D A B C Not: Obev como p poe clcul l itnci ente o plno plelo lo vectoe nomle e mbo plno eben e iéntico no vle i olo on popocionle. Lo plno buco (σ i ) petenece l h e plno plelo π po tnto ebeá tene l fom: σ i K e π. El pámeto K e obtiene con l conición e que el plno buco et te unie

41 K i K π σ : : K 9 K ± 9 : ( ) : K : σ : K 8 : σ 8 Junio 9 Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do el plno π e pie ) ( punto). Clcul el punto imético P el punto O() epecto el plno π.. b) ( punto). Clcul el coeno el ángulo α que fomn el plno π el plno. c) ( punto). Clcul el volumen el teteo T etemino po el plno π lo plno:.. El imético e O epecto e π (P) e clcul como imético e O epecto e M ieno M l poección otogonl e O obe π como e obev en l figu. M e clcul como inteección e π con ieno l ect pepenicul π que p po O. M : M : π O : π n π : O ( ) ( ) : : : π M o p o p o p M e el punto meio el egmento OP : M Depejno e l cooen el punto meio e obtienen l cooen e punto P imético e O epecto e π. o p 8 m p m p o p 8 8 m p m p P o p 8 m p m p b. El ángulo que fomn o plno e el mimo que el que fomn u vectoe nomle. π : n π ( ) σ : n σ ( ) El coeno el ángulo que fomn lo plno (α) e obtiene como plicción el poucto ecl ente lo vectoe nomle e lo plno. n π o n σ ( ) o ( ) co α n π n σ

42 c. El volumen el teteo e obtiene como plicción el poucto mito e vectoe. Lo vectoe b c e obtiene e l ecución cnónic o egmentí π π π ( ) b : V o ( b c) u 9 c ( ) Junio 9 Ejecicio B. Clificción máim: punto. D l ect: e pie: ) ( punto). Hll l ecución el plno π que contiene e plelo. b) ( punto). Detemin l itnci ente l ect. c) ( punto).etui i l ect t plel que p po O( ) cot.. Se pie l ecución e un plno que cumpl l iguiente conicione: P π π π : π π π P : P : P π ( ) ( ) (.) ( ) ( ) ( ): ( ) π Deollno el eteminnte oenno e obtiene l ecución genel el plno. π b. Tenieno en cuent que too lo punto e etán igul itnci el plno π ( e plel π) l itnci ente l ect e tnfom en l itnci el punto e l ect l plno π. ( ) ( P π) ( P π) ( ) 7 ( ) c. P : (.) ( ) O t t ( ) ( )

43 OP g : g OP g t t L ect e cun peo no e cotn. Moelo 9 Ejecicio B. Clificción máim: punto Do el punto P( ) el plno π e pie: ) ( punto). Detemin el punto Q e inteección el plno π con l ect pepenicul π que p po P. Hll el punto R imético el punto P epecto el plno π. b) ( punto). Obtene l ecución el plno plelo l plno π que contiene l punto H que e encuent unie el punto P en el entio el vecto PQ.. El punto Q e encuent como inteección el plno π con l ect pepenicul π que p po P que enomino. L ect e etemin con el vecto noml el plno π con el punto P conviene epel en pmétic p luego poe clcul el punto e inteección ente π. π n P : Conoci l ecucione pmétic e e clcul Q como inteección e π con tenieno en cuent que l cooen el punto Q tifcen l ecución el plno e l ect. : : Q q q q q q q q q q q q q q q q π : : q q q q q Conocio el vlo el pámeto en el punto Q e clculn u cooen. : Q Q q q q El punto R imético e P epecto el plno π e clcul tenieno en cuent que tmbién e imético epecto e Q que po tnto el punto Q e el punto meio el egmento PR. p q p q p q p q p q p q p p p q q q : Q R R :

44 b. Se pie clcul un plno que enomino σ plelo π conocio un punto H contenio en él. El plno buco (σ) petenece l h e plno plelo π po tnto u ecución eá e l fom: K K R El pámeto K e clcul conoci l cooen e H. L cooen e H e clculn bieno que petenece l ect ect que contiene P Q que it unie el punto P. Si el punto H petenece l ect u cooen e pueen pone en función e l ecucione pmétic e. H H h El pámeto h e clcul conoci l itnci e H P ( ) h ( H P) ( ) ( ) ( ) h p h ( ) ( ) ( ) h h h ( ) ( ) h h p h h p h h Elevno l cuo e epej h. h : H h h ± h : H' ( 7) ( 9 ) Se obtiene o poible punto con c uno e clcul un plno. 7 K : K H ( 7): σ: H (9 ): ( 9) ( ) K : K σ :

45 Septiembe 8 Ejecicio A. Clificción máim: punto Do lo punto P( ) Q( ) e pie: ) ( punto). Hll too lo punto R tle que l itnci ente P R e igul l itnci ente Q R. Decibi icho conjunto e punto. b) ( punto). Hll too lo punto S contenio en l ect que p po P Q que veificn it(p S) it(q S) one it ignific itnci.. Se pie hll un punto R( ) tl que: P R Q R Q: Aplicno l efinición e itnci ente o punto tenieno en cuent l cooen e P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Igulno lo icno eollno lo cuo e obtiene l ecución el plno meiti que e el lug geomético e lo punto el plno que equiitn e o punto. ( ) ( ) ( ) ( ) 9 π Plno meiti el egmento PQ e eci plno pepenicul l egmento que p po u punto meio. b. Se pie clcul un punto S e l ect que p po P Q po lo tnto l cooen e S e pueen epe en función e l ecucione pmétic e l ect l que petenece. Punto : Q ( ) : PQ PQ Vecto : QP p q ( ) S PQ S A l componente el punto S le hcemo cumpli l conición métic popuet; (P S) (Q S) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L í e quit elevno l cuo oenno e obtiene un ecución e eguno go cu olucione pemiten clcul l cooen e lo punto buco. 9 ( 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 ± : Sí : S Sí : S

46 Septiembe 8 Ejecicio B. Clificción máim: punto Do el plno: π l ect: e pie: ) ( punto). Hll el punto P etemino po l inteección e con π. b) ( punto). Hll un plno π plelo π tl que el egmento e l ect compenio ente lo plno π π teng e longitu Do el plno: 9 unie. π l ect: e pie: c) ( punto). Hll el punto P etemino po l inteección e con π. ) ( punto). Hll un plno π plelo π tl que el egmento e l ect compenio ente lo plno π π teng e longitu 9 unie.. El punto e inteección e un ect un plno (P) e hll utitueno l pmétic e l ect en l ecución genel el plno epejno el pámeto con el vlo hllo e utitue en l pmétic e l ect p clcul l cooen el punto e cote. π P : : ( ) ( ) ( ) : P P P P ( ) P b. L ecución e too lo plno plelo π (h e plno plelo) tiene l fom: K P clcul el plno que e pie e buc un punto (Q) e l ect que ite e P 9 unie conoci l cooen el punto e pticulin en el h e plno e clcul el pámeto K Q Q ( ) ( P Q) 9 ( ) ( ) ( ( ) ) 9 Igulno lo icánoo eollno lo cuo: Simplificno ( ) ( ) ( )

47 : 9 8 : 9 Q ( ) ( ) : Q' ( 8) C uno e lo punto Q Q pemite clcul un vlo e K con c vlo e K e obtienen l ecucione e lo o plno que cumplen l conicione pei. Q π K : K π ( ) π ( 8) K' : K' Q' π Junio 8 Ejecicio A. Clificción máim: punto. D l ect: e pie: ) ( punto). Dicuti l poición eltiv e l o ect egún lo vloe el pámeto. b) ( punto). Si clcul l itnci mínim ente l o ect.. L poición eltiv e l o ect e etui meinte el ngo e l mti fom po lo vectoe e iección e mb ect un egmento fomo ente o punto uno e c ect po lo tnto e neceio obtene un punto un vecto e c un e l ect p lo cul e tnfomn u ecucione pmétic. cte A ( ) : ( ) µ cte µ B ( ) µ : ( ) µ AB b ( ) ( ) Rect no coplni e cun peo no e cotn k Rect ecnte g Ret coplni : k Rect plel AB Rect coinciente El g A g e etui pti e lo vloe el pámeto que nuln el eteminnte e l mti. : Poición eltiv i. Si : A g A. L ect e cun peo no e cotn. No tienen punto en común ii. Si : A g A <. g A. L ect on coplni. ( ) k ( ) L ect on ecnte b. Se puee clcul e o fom: 7

48 i. Como ltu el plelepípeo fomo po lo vectoe V ABo ( ) h ( ) A be ABo A { } AB. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Sutitueno: ABo ( ) ii. Como itnci e un punto un plno. A π Sieno A un punto e π un plno plelo que contiene. B ( ) π : ( ) : π : π ( ) 8 ( ) ( A π) Junio 8 Ejecicio B. Clificción máim: punto. Do lo punto A( ) B(l ) C( ) D(l ) e pie: ) ( punto). Demot que lo cuto punto no on coplnio. b) ( punto). Hll l ecución el plno π etemino po lo punto A B C. c) ( punto). Hll l itnci el punto D l plno π.. Si cuto punto no on coplnio ente ello hbá te vectoe linelmente inepeniente po tnto l mti fom po eto ebeá tene ngo. AB b ( ) ( ) AC c ( ) ( ) AD R etemin el ngo e etui el eteminnte e l mti. 7 g Lo vectoe on linelmente inepeniente lo punto no coplnio b. El plno buco e fom con o vectoe ( AB AC) ( ) ( ) ( ) 8 un punto (A). A π : AB π AC Deollno el eteminnte po lo elemento e l ª fil oenno e obtiene l ecución genel el plno. π 8

49 c. L itnci e D π e clcul pticulino l ecución nomli el plno en l cooen e D. 7 ( D π) Junio 8 Ejecicio. Clificción máim: punto. Do el plno π el punto P(l ) e pie: ) ( punto). Hll l ecución e l ect pepenicul l plno π que p po el punto P. b) ( punto). Hll el punto Q inteección e π. c) ( punto). Hll el punto R inteección e π con el eje OY. ) ( punto). Hll el áe el tiángulo PQR.. L ect buc e obtiene con el vecto noml el plno como vecto e iección e l ect con el punto P. : P ( ) n ( ) π b. El punto buco Q petenece po igul l ect l plno po tnto u cooen cumplen l ecucione e mbo. Se clcul utitueno l ecucione pmétic e l ect en l ecución genel el plno e epej el pámeto con el vlo el pámeto utitueno en l ecucione pmétic e l ect e encuentn l cooen el punto e cote. π q q q q q Q : : ( q ) ( q ) ( q ) q q q q Openo oenno e epej el pámeto. : Sutitueno en l ecucione pmétic e e obtienen l cooen e Q. q Q q q : Q ( ) c. Se utituen l ecucione pmétic el eje OY en l ecución el plno. OY R : µ : µ : µ : R ( ). El áe e un tiángulo efinio po te punto e obtiene como plicción el móulo el poucto vectoil e o vectoe. Áe ( PQR) PQ PR P(l ); Q ( ); R ( ) PQ ( ) ( ) : PQ PR 9 PR ( ) ( 7 ) 7 7 Áe ( PQR) PQ PR ( 9) 9

50 Moelo 8 B. ( punto). Hll lo punto e l ect : cu itnci l plno π e igul Se buc un punto P( ) e cu itnci l plno π e /. Si epemo l ect en pmétic e poán epe l cooen e culquie punto e en función únicmente e un pámeto. : : Re olvieno : R Culquie punto P e tená po cooen P ( ) Si l punto genéico e P le plicmo l conición impuet (l itnci l plno π e /) e obtiene un ecución que no pemite clcul lo poible vloe e. ( P( ) π : ) ( ) Al quit el vlo boluto hbá que tene en cuent el poible oble igno e l epeión. ± ( ) : : : ( ) : : Apecen o poible vloe e coeponiente lo o punto e l ect que cumplen l conición pei (P P ) tl como inic l figu : P : P 8 Moelo 8 B. ( punto). Do lo punto A(l ) B( k k) C(k ) e pie: ) ( punto). Detemin p qué vlo e k el tiángulo ABC e ectángulo con el ángulo ecto en el vétice A. b) ( punto). P el vlo k hll el áe el tiángulo ABC.. Si o vectoe on pepenicule u poucto ecl e nulo. AB AC ABo AC AB b AC c ( k k ( ) ) ( k k ) ( k ( ) ) ( k ) ( k k ) ( k ) k ( k ) ( k ) AB o AC o 8k 8 : k b. P k : A( ); B( ); C( ) El áe e un tiángulo en función e l cooen e u vétice e obtiene como plicción el móulo el poucto vectoil.

51 AB AC Ae ABC AB AC AB b AC c ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB AC ( ) 7 Ae ABC AB AC 7 u Septiembe 7 Ejecicio A. ( punto) Hll lo punto e l ect cu itnci l plno π: e igul. : Se pie hll lo punto P tle que (P π). L ecucione pmétic e l ect on R po lo tnto culquie punto P peteneciente tená po componente: P ( ) El pámeto e etemin con l conición e l itnci e un punto P l plno π. ( P π) p p p con. Sutitueno l cooen e P po u epeione en función e e obtiene un igul ( ) ( ) ( ) ; 9 ; El vlo boluto e quit ponieno oble igno en el miembo contio eolvieno p c uno e lo igno. Conocio lo poible vloe e e utitue en P e obtienen lo punto e l ect que cumplen l conición el enuncio. : P ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ± : P ( ) ( 8 ) Septiembe 7 Ejecicio B. ( punto) Sen l ect : : 8 ) ( punto).hll l ecución el plno π que contiene e plelo. b) ( punto).clcul l itnci ente el plno π l ect.. El plno buco π e plelo que contiene.

52 π π ( )* π : π π : π ( ) Culquie punto e π A ( ) Tenieno en cuent que te vectoe coplnio on linelmente epeniente que po tnto el ngo e l mti que fomn ebe e meno e l ecución genel el plno e obtiene igulno ceo el eteminnte fomo po lo vectoe plelo l plno un vecto obtenio con el punto el plno un punto genéico el mimo P ( ). AP ( ) ( ) π Deollno po lo elemento e l ª fil oenno: π * El vecto e iección e l ect el punto e l ect lo obtenemo tnfomno l ecucione euci e en pmétic. : : : B 8 b. Como l ect e plel l plno π too lo punto e etán igul itnci e π. ( π) ( B π) b b b ( ) 8 Moelo 7 A. ( punto). Se conien l ect : el punto P(). Do el punto Q() e hll too lo punto A contenio en tle que el tiángulo e vétice A P Q teng áe.. El tiángulo APQ ebe tene e áe. QA QP El punto A que e pie ebe cumpli o conicione:. A( ) petenece l ect po lo tnto u cooen eben cumpli l ecucione pmétic e. : ; Si A : A ( )

53 q p QP q QA k j i QP QA 8 QP QA Sutitueno en l epeión el áe e epej el pámeto ± A' A : 8 Eiten o poible olucione p el punto A como puee obeve en l imgen. Septiembe Ejecicio A. ( punto). Se conien lo punto A ( ) B ( ). Se pie: ) ( punto). Ecibi l ecución que eben veific lo punto X ( ) que equiitn e A B. b) ( punto). Detemin l ecución que veificn lo punto X ( ) cu itnci A e igul l itnci e A B. c) ( punto). Ecibi l ecucione pmétic e l ect fom po lo punto C ( ) el plno tle que el tiángulo ABC e ectángulo con el ángulo ecto en el vétice A.. Se pie encont lo punto X que cumpln l iguiente igul: X B X A Simplificno l íce Deollno oenno Ecución el plno meiti el egmento AB b. L itnci e A B e: B A Se bucn lo punto X que cumpln: B A X A

54 ( ) ( ) ( ) ( ) Ecución e un efe e cento A ( ) io. c. En el enuncio e n o to que pemiten etemin l ect buc como inteección e o plno.. L ect buc etá conteni en el plno π.. Si el tiángulo ABC e ectángulo en A AB AC ABo AC AB b ( ) : ABo AC o AC c ( ) Oenno: σ ( ) L ect buc e: : Reolvieno po Cme : : R Septiembe Ejecicio B. ( punto). Un plno π cot lo eje e cooen en lo punto A( ) B( ) C( ). Se pie: ) ( punto). Hll el váo e > e mne que el volumen el teteo OABC (one O e el oigen) e. b) ( punto). P el vlo e obtenio en el pto ) clcul l longitu e l ltu el teteo OABC coeponiente l vétice O.. Se pie clcul el volumen el teteo epeento en l figu. Se clcul meinte un plicción el poucto mito e te vectoe. V o ( b c) Sieno b c lo vectoe e poición e lo punto A B C. ( ) o (( ) ( ) ) Reolvieno el eteminnte:

55 b. L ltu coeponiente l vétice O e puee clcul como l itnci el punto O l plno que p po A B C (π). L epeión cnónic el plno π e encill e clcul o que A( ) B(O O) C( ) on lo punto e inteección e π con lo eje cooeno. cu ecución genel e: π π Conocio el plno e clcul l ltu. h ( O π) Junio B. ( punto). Se l ect que p po el oigen e cooen O tiene como vecto v. Hll un punto P contenio en ich ect tl que i e llm Q u poección iecto obe el plno π: el tiángulo OPQ teng áe. Se buc un punto P peteneciente l ect : P ( ) que junto con u poección obe el plno Q ( ) el oigen e cooen O ( ) fomen un tiángulo e áe. Po plicción e móulo el poucto vectoil: Áe OPQ OP OQ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OP : OP Q Q Sutitueno en l epeión el áe e un tiángulo: ( ) ( ) ( ) ± : ± Eiten o poible punto P que cumpln l conicione popuet: Sí Sí P P

56 Junio. Ejecicio A. Clificción máim: punto Do el punto P ( ) e pie: ) ( punto). Ecibi l ecución que eben veific lo punto X( ) cu itnci P e igul. b) ( punto). Clcul lo punto e l ect: cu itnci P e igul.. Se pie clcul l ecución e un efe conocio el cento el io. ( X P) : ( ) ( ) ( ) Elevno l cuo lo o miembo eollno lo cuo el pime témino oenno e obtiene l ecución genel e l efe. ( ) ( ) ( ) b. Lo punto buco A A e encuentn como inteección e l ect l efe p ello e euelve el item fomo po l o ecucione. E : : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : A : : A ( ) ( ) Junio. Ejecicio B. Clificción máim: punto D l ect: : : ) ( punto). Hll l ecución e l ect que cot l o e pepenicul mb. b) ( punto). Clcul l mínim itnci ente.. L ect buc e obtiene po inteección e o plno que eben cumpli l iguiente conicione: Debe contene :( π) Debe contene :( π) π : σ : Debe e pepenicul Debe e pepenicul L pime conición e c plno ofece o elemento p clcul el plno í l ect etá conteni en el plno el punto e l ect petenece l plno el vecto e iección e l ect e plelo l plno.

57 L egun conición e cumple bucno un vecto v pepenicul l o ect po lo que v e obtiene multiplicno vectoilmente lo vectoe e iección e l o ect. A Pti e l ecucione e l ect obtenemo u etemincione linele A ( ) B ( ) : : : : ( ) ( ) el vecto v e obtiene meinte el poucto vectoil e lo vectoe e iección e l o ect v ( ) ( ) ( ) ( ) L eteminción linel e c plno e: A ( ) B ( ) π : ( ) : π σ : ( ) : σ v v ( ) eollno lo eteminnte po junto e l ª fil e obtienen l ecucione genele implícit ó ctein e mbo plno. π : σ 9 L ecución pei e obtiene eolvieno el item que fomn lo o plno: t 9 Sitem comptible inetemino con un go e ineteminción. P eolvelo hce flt tom un e l vible como contnte convetil en un pámeto ( δ) el item que e l fom: 7 8 t R b. L itnci ente o ect que e cun no e cotn e puee clcul e vi fom: i. Clculno un plno plelo l o ect que conteng un e ell. L mínim itnci ente l ect e l itnci e culquie punto e l ect plel l plno. ii. Clculno lo punto e cote A B e l pepenicul común con mb ect iii. tenieno en cuent p ello qué el vecto AB ebe e pepenicul lo vectoe e iección e l ect. Como plicción el poucto mito e te vectoe. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: Volumen plelepípeo ABo ( ) ( ) h Áe e l be Con lo to e lo pto nteioe lo má encillo e plic el tece métoo. 7

58 ( ) ( ) ( ) ( ) Punto : A Punto : B : : Vecto : Vecto : plicno eto to l ecución e l itnci el tece métoo: v v Volumen plelepípeo ABo ( ) h v v Áe e l be Tenieno en cuent el pto nteio: v v v v ( ) ABo ( v v ) Conocio lo o témino e clcul l itnci v v ABo ( ) ( ) v v Moelo. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do lo punto A(- ) B( - -) C( O ) hll l cooen e un punto D peteneciente l ect: e mne que el teteo ABCD teng un volumen igul. L ecución e en pmétic e: t t t po lo que el punto D eá e l fom: D t t t t El volumen el teteo ABCD e: V R V AB b AC c AD AB ( ACAD) ( ) ( ) ( t t t) ( ) (( )( t t t) ) ( t ) t t ( t ) t 8 D ( 9 7 9) t 8

59 9 Moelo. Ejecicio B. Clificción máim: punto. Se conie l ect l fmili e ect epeniente el pámeto m: m 7 m 8 ) ( punto) Detemin el vlo e m p el que l o ect e cotn. b) ( punto) P el co m hll l itnci ente l o ect.. El poblem e puee eolve e o fom ifeente: ª. Epeno l o ect en fom e ecucione euci icutieno el item e cuto ecucione con te incógnit. S m 7 m 8 8 Si el eteminnte e A * e itinto e ceo el item no tiene olución l ect e cun peo no cotn po lo que e etui l poición eltiv pti e lo vloe el pámeto que nuln el eteminnte e l mti mpli. { } m : m m m 8 8 m m 8 8 F F F m 7 m 8 8 A * Dicuión e l poición eltiv: I) Si m. L ect e cun no e cotn. II) Si m n g A g A A : 8 A * * L ect e cotn en un punto ª. Etuino el ngo e l mti fom po lo vectoe AB ieno A B punto e epectivmente. A : P obtene lo elemento e l ect e p pmétic:

60 8 m 7 - m 8 7 B m m elemento : ( ) Con lo elemento obtenio e plnte el eteminnte 8 AB m m 8 m m ( ) : m ( ) : m Dicuión e l poición eltiv e l o ect. I) Si m g{ AB } II) Si m g{ AB } b. P. L ect e cun no e cotn.. Lo vectoe on coplnio como emá no on popocionle l ect e cotn. A m : B ( ) ( ) ( 8 7 ) ( ). L mínim itnci ente o ect que e cun no e cotn e puee clcul como un plicción el poucto mito e te vectoe el móulo el poucto vectoil e o vectoe ( ) A( be) V plilepipeo Poucto vectoil e lo vectoe e iección e mb ect: Móulo el vecto poucto vectoil AB ( ) ( ) ( ) 8 Poucto mito e te vectoe: Ditnci ente l ect. ABo 8 ( ) 8 8 ( ) u Septiembe. Ejecicio A. Clificción máim: punto Se conie el plno π.. ( punto) Hll el punto imético el ( ) epecto e π. b. ( punto) Hll el plno pepenicul π que contiene l eje OZ. c. ( punto) Hll el volumen el teteo cuo vétice on el oigen lo punto e inteección e π con lo eje cooeno.

61 . P e clcul conocio M tenieno en cuent que M e el punto meio el egmento P P. p p' m p' m p p p' m p' m p p p' m p' m p El punto M que tmbién e l poección otogonl e P obe π e clcul como inteección e π ieno l ect pepenicul(otogonl) π que p po el punto P. π n π ( ) : : P( ) Conoci l ecucione e π e clcul M utitueno l ecucione pmétic e l ect en l ecución genel el plno. Se obtiene un ecución en función el pámeto que l eolve no el vlo el pámeto( M ) que pemite clcul l cooen e M utituénolo en l ecucione pmétic e l ect. : M : : : M 7 π : M 7 M : M ( 9 M ) M 7 Conoci l cooen e M e clculn l e P. p' m p 7 7 p' m p : P' p' m p 7 7 b. Se pie clcul un plno σ con l iguiente conicione: σ π n π σ O OZ σ OZ ( ) σ k( ) O : σ n π σ k ( ) ( ) ( )

62 σ eollno lo lo elemento e l ª fil e obtiene l ecución e σ σ c. Pno l ecución el plno fom egmentí e obtienen lo punto e inteección el plno con lo eje cooeno. ; A ( ) B ( ) C ( ) El volumen el teteo e clcul como un plicción el poucto Mito V o ( b c) ieno b c lo vectoe e poición e lo punto A B C. V ( ) o ( ) ( ) u [ ] Septiembe. Ejecicio B. Clificción máim: punto. ( punto) Hll el conjunto fomo po lo punto el plno que itn te unie el plno e ecución. b. ( punto) Decibi icho conjunto.. Too lo punto P( ) que itn te unie el plno π eben e cumpli l igul: ( P π) openo 9 p quit el vlo boluto e pone un oble igno en el eguno miembo ± openo con lo o igno e obtiene o ecucione que coeponen o plno plelo l plno π que itn 9 unie e el.. Con el igno poitivo: b. Con el igno negtivo: Como emá eben e petenece l plno lo conjunto e punto que cumplen mb conicione eán: ó b. Son ect plel l plno π que etán conteni en el plno. : : : R

63 : : : R Septiembe. Ejecicio B. Clificción máim: punto El plno π etemin un teteo con lo plno cooeno. Se pie:. ( punto) Clcul l longitu e l ltu el teteo que pte el oigen. b. ( punto) Detemin l ecucione pmétic e l ect que contiene ich ltu. c. ( punto) Clcul el áe e l c el teteo que etá conteni en el plno π.. L ltu coeponiente l oigen e l itnci el oigen l plno π h ( O π) b. L ect ltu que p po el oigen e cooen ebe e e pepenicul l plno π po lo que u vecto e iección coincie con el ccteítico el plno π. n π ( ) P ( ) ; R c. L c el teteo conteni en el plno π e un tiángulo e vétice lo punto e inteección el plno con lo eje cooeno(a B C) eto punto e obtiene pno l ecución el plno fom egmentí. ; ; A ( ) B ( ) C ( ) Conocio lo vétice el tiángulo el áe e obtiene meinte un plicción el móulo el poucto vectoil e o e lo vectoe que fomn l it el tiángulo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB b AC c AB AC Áe ABC u ( ) ( ) ( ) Junio. Ejecicio A. Clificción máim: punto Se conie l ect lo plno iguiente: ; π ; π Se pie: ) ( punto ) Detemin l poición eltiv e l ect con epecto c uno e lo plno.

64 b) ( punto ) Detemin l poición eltiv e lo o plno. c) ( punto ) Clcul l itnci e π.. L poición eltiv e un ect un plno e etui con el vecto e iección e l ect el vecto noml l plno: o n L ect cot l plno P π L o n n : P π L ect etá contenien el plno ect e plel l plno ( ) ( ) : - π : n plno pepeniculmente on plelo lo lo que l ect cot l - π : ( ) : ( ) o ( ) ( ) ( ) n pepenicule po lo tnto olo cben o poibilie o etá conteni en π ó e plel π. P iceni e utituen el punto e l ect en l ecución el plno Si l cumple l ect etá conteni en co contio e plel.. Lo vectoe on e plel π b. P etui l poición eltiv e o plno e etui l poición eltiv e u vectoe ccteítico. n ; n Como n k n lo plno e cotn en un ect. Sí emá e tenieno en cuent que n o n ( ) o ( ) ( ) lo plno l igul que u vectoe ccteítico on pepenicule. c. Se clcul como l itnci e un punto e l ect l plno π ( π ) ( A π ) ( ) Moelo. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Do el plno π : l ect t ' t ' ' t t t t

65 ) Clcul el vlo e p que lo punto e cote el plno π con l ect etén lineo( punto). b) Clcul l ecucione e l ect que p po eo te punto. (7 punto) c) Clcul l itnci e ich ect l oigen. (7 punto). Se pie clcul p que el plno π etemine con l ect te punto que etén lineo. Si te punto etán lineo lo egmento que eteminn eben e popocionle. Se clculn lo punto (en función el pámeto) como inteeccione ect-plno. t ; t t : t t P π P - t ; t t : t t ' P π P π t ; t t : t t ' ' P P Conocio lo punto P P P e eteminn o egmento ente ello P P P P Si lo punto etán lineo lo egmento eben e popocionle: P K P P P Po lo tnto el cociente e u componente ebe e contnte.

66 Simplificno l pime con l egun ( )( ) ( ) ; Simplificno l pime con l tece ( ) ; : ecución que no tiene olución ; flo ; P P P P P P P P PP No e cumple que lo vectoe en popocionle luego no e olución. P P ( ) P ( ) P ( ) ( ) P P ( ) P P ( ) P P Lo vectoe on popocionle luego e olución emá eplic el hecho e que l tece componente no teng olución que que. b. L ect que p po lo te punto e puee obtene con: P P Punto P ( ) : ( ) µ µ c. L itnci e un punto un ect e puee clcul como plicción el móulo el poucto vectoil ( O.O ) OP OP ( ) ( ) ( ) OP

67 OP ( O.O ) Septiembe. Ejecicio B. Clificción máim: punto Do el plno π l ect e pie. ( punto) Clcul el punto Q en el que e cotn el plno π l ect. b. ( punto) Encont un plno π plelo π tl que el punto Q en el que e cot el plno π con l ect ete itnci el punto Q hllo en el pto nteio.. Se pie clcul el punto e inteección e un ect un plno. Eiten vi fom e eolve el poblem un e ell plnte un item ente l ecución genel el plno l ecucione pmétic e l ect. Sutitueno l ecucione pmétic e l ect en l ecución el plno e obtiene el vlo el pámeto que utituio u ve en l ecucione pmétic e l ect el punto e inteección. : Q : π utitueno en π: ( ) : : Q : Q b. Se buc un plno σ plelo π po lo que u ecución tená que e e l fom: ( ) K K R P clcul el pámeto K e emple Q el que e n o to: - Q petenece l ect po lo que tená l fom. - ( Q Q' ) Sutitueno l cooen e Q e Q en l ecución e l itnci e obtiene el vlo el pámeto ( Q Q' ) ( ) ( ) ( ) 9 epejno e obtiene o poible vloe ± coeponiente Q Q. Con c uno e lo punto e obtiene un vlo e K ifeente que pemiten clcul l ecucione e o plno σ σ que cumpln l conicione e enuncio. 7

68 : Q' : Q' : K : K : σ 7 7 : K : K : σ Junio. Ejecicio A. Clificción máim: punto D l ect en el epcio: ) ( punto) Hll l itnci ente l ect. b) ( punto) Detemin l ecucione e l pepenicul común. A ( ) B ( ) : ; : ; AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). L mínim itnci ente o ect que e cun no e cot e puee hll como plicción el poucto mito e te vectoe. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: Volumen plelepípeo ABo ( ) ( ) h Áe e l be ( ) ( ) ( ) ABo ( ) ( ) ( ) ABo ( ) b. L ect buc t e etemin po inteección e o plno π π. A ( ) π : ( ) π : openo : 9 v ( ) ( ) ( ) ( ) B π : π : openo : 7 8 v l ect t buc e obtiene po inteección e lo plno π π. t:

69 eolvieno po Cme implificno t: R Moelo. Ejecicio A. Clificción máim: punto. Se conien lo punto: A(); B( ); C( -); D(--). Se pie: ) ( punto) Clcul el volumen el teteo e vétice A B C D. b) ( punto) Clcul l itnci el punto D l plno etemino po lo punto A B C. c) ( punto) Hll un ecucione ctein e l ect que p po D e pepenicul l plno etemino po lo punto A B C. Septiembe. Ejecicio. Puntución máim: punto. Se conien l ect: : : ) ( punto ) Clcul l itnci ente b) ( punto ) Hll un ecucione ctein e l ect pepenicul común que cotn mb c) ( punto ) Hll un ecucione ctein e l ect que cot que p po el punto P( ). Solución:. L mínim itnci ente o ect que e cun no e cot e puee hll e vi fom. i. Clculno un plno plelo l o ect que conteng un e ell. L mínim itnci ente l ect e l itnci e culquie punto e l ect plel l plno. ii. Clculno lo punto e cote A B e l pepenicul común con mb ect iii. tenieno en cuent p ello qué el vecto AB ebe e pepenicul lo vectoe e iección e l ect. Como plicción el poucto mito e te vectoe. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: Volumen plelepípeo ABo ( ) ( ) h Áe e l be i. Se clcul tnfomno l mínim itnci ente l ect en l itnci e un punto un plno. () (Pπ) ieno π un plno plelo que contiene P un punto e plel π e plelo π π : e plelo π etá conteni en π : Culquie punto e petenece π ; π Q ( ) ( ) ( ) 9

70 Tenieno en cuent que te vectoe coplnio on linelmente epeniente que po tnto el ngo e l mti que fomn ebe e meno e l ecución genel el plno e obtiene igulno ceo el eteminnte fomo po lo vectoe plelo l plno un vecto obtenio con el punto el plno un punto genéico el mimo P ( ). QP ( ) ( ) π eollno po lo elemento e l ª fil oenno: π Sieno P ( ) l mínim itnci ente que: ( ) mín ( P π) [ ( ) ( ) ] tenieno en cuent que l itnci e un punto P o ( o o o ) un plno π A B C D e: A o Bo C o D ( Po π) A B C ii. Se clcul como l itnci ente o punto A B punto e cote epectivmente e l pepenicul común con l ect. El clculo e A B e hce tenieno en cuent que el vecto AB ebe po tnto e pepenicul lo vectoe e iección e mb ect el poucto ecl e AB con ó ebe e nulo. A B on punto e epectivmente po lo que meinte l ecucione pmétic e mb ect e puee obtene un epeión p c punto en función el pámeto e l ect. : : A ( ) : El vecto AB que e l fom: µ : µ µ B ( µ µ µ ) ( µ µ ( ) µ ( ) ( µ µ µ ) AB Bánoe en el plntemiento: ABo : µ µ µ o multiplicno lo vectoe eclmente ( µ ) ( µ ) ( µ ) que openo implificno que: µ 9 Repitieno lo mimo cálculo peo con en lug e ABo : µ µ µ o multiplicno lo vectoe eclmente ( µ ) ( µ ) ( µ ) que openo implificno que: µ 9 7

71 µ 9 Reolvieno el item: e obtienen lo vloe e µ que no pemiten µ 9 clcul:. L cooen e A B. b. L itnci ente A B po tnto l mínim itnci ente l ect c. L pepenicul común mb iii. µ Reolvieno e obtiene: AB ( ) ( A B) AB mín µ ( µ µ µ ) AB L mínim itnci ente o ect e puee clcul como l ltu el plelepípeo que fomn lo vectoe e iección e l o ect un egmento fomo con un punto e c ect. V PARALELEPÍPEDO A BASE Altu V Altu PARALELEPÍPEDO A BASE AB ( ) De c un e l ecucione e l o ect e obtiene un punto un vecto e iección A ( ) B ( ) : : : : ( ) ( ) AB ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] v v ( ) ( ) ( 77) utitueno en l ecución e l ltu e clcul l itnci ente l o ect 7 ( ) ltu U b. L pepenicul común o ect que e cun no e cotn e puee clcul e o fom. i. Conocieno lo punto e cote e l pepenicul común con mb ect e obtiene ii. un eteminción linel e l ect buc ( Punto A vecto e iección AB ). Lo punto e cote A B e obtienen como plicción e poucto ecl. (vée opción ii el pto ) Como inteección e o plno π σ. π ebe contene e pepenicul σ l contio ebe contene e pepenicul. 7

72 i. Conocio lo punto e inteección A B e obtiene un eteminción linel. A B e obtienen utitueno lo vloe e µ en l ecucione pmétic e epectivmente. A : : A B µ : : B El vecto AB e obtiene etno l cooen e B l cooen e A. AB ( ) ii. L ecución continu e l ect t e obtiene con el punto A el vecto AB : t ; 7 7 L ect buc e obtiene po inteección e o plno que eben cumpli l iguiente conicione: Debe contene :( π) Debe contene :( π) π : σ : Debe e pepenicul Debe e pepenicul L pime conición e c plno ofece o elemento p clcul el plno í l ect etá conteni en el plno el punto e l ect petenece l plno el vecto e iección e l ect e plelo l plno. L egun conición e cumple bucno un vecto v pepenicul l o ect po lo que v e obtiene multiplicno vectoilmente lo vectoe e iección e l o ect. A Pti e l ecucione e l ect obtenemo u etemincione linele A ( ) B ( ) : : : : ( ) ( ) el vecto v e obtiene meinte el poucto vectoil e lo vectoe e iección e l o ect v ( ) ( ) ( 77) ( ) L eteminción linel e c plno e: A ( ) B ( ) π : ( ) : π σ : ( ) : σ v v ( ) eollno lo eteminnte po junto e l ª fil e obtienen l ecucione genele implícit ó ctein e mbo plno. 7

73 π : σ L ecución pei e obtiene eolvieno el item que fomn lo o plno: t Sitem comptible inetemino con un go e ineteminción. P eolvelo hce flt tom un e l vible como contnte convetil en un pámeto ( δ) el item que e l fom: δ δ cu olucione po Cme on: δ δ δ t δ 7 δ δ R δ 8 δ c. Hll un ecucione ctein e l ect que cot que p po el punto P( ). L ect pei e encuent po inteección e o plno π π. π ebe contene P mient que π contená P. A ( ) B ( ) : : : : ( ) ( ) P π π : π P() A() De l ect e conoce:. El plno π e clcul con: AP ( ) ( ) ( ) π eollno po lo elemento e l ª fil; ( ) ( ) implificno oenno π 8 8 7

74 P π π : π P() B( ) De l ect e conoce:. El plno π e clcul con: BP ( ) ( ) ( ) π eollno po lo elemento e l ª fil; ( ) ( ) implificno oenno π L ect t e obtiene eolvieno el item: 8 8 t L fom ctein ó implícit e l ect en el epcio on l ecucione euci. P obtene l ecucione euci bt combin linelmente l ecucione e lo plno que l eteminn p poe elimin e c un e l ecucione un incógnit 8 8 E ( E E ) t : 7 : t E E 8E 7 Moelo. Ejecicio A: (Puntución máim punto) Sen l ect: : :. ( punto) Detemin l poición eltiv e egún lo vloe e. b. ( punto) Clcul l itnci ente l ect cuno ; Septiembe. Ejecicio B. (Puntución máim: punto) Se conie el teteo cuo vétice on A( ) B( ) C( - ) D ( ). () ( punto) Hll el áe el tiángulo ABC el volumen el teteo ABCD. (b) ( punto) Clcul l itnci e D l plno etemino po lo punto A B C. (c) ( punto) Hll l itnci ente l ect AC BD. Solución:. El áe e un tingulo efinio po u vétice e clcul como un meio el poucto vectoil e o vectoe fomo ente u vétice. ÁREA ( ABC) AB AC tenieno en cuent AB b ( ) ( ) ( ) AC c ( ) ( ) ( ) el poucto vectoil e eto vectoe e i j k AB AC u móulo AB AC utitueno en l epeión el áe el tiángulo ( ) ( ) 9 ÁREA 9 ( ABC) AB AC 9 u 7

75 El volumen e un teteo e obtiene como un eto el vlo boluto el poucto mito e te vectoe fomo con lo vétice. VOLUMEN ( ABCD) ADo ( AB AC) AB b ( ) ( ) ( ) tenieno en cuent: AC c ( ) ( ) ( ) AD ( ) ( ) ( ) el volumen el teteo e 7 VOLUMEN ( ABCD) ( ) o [( ) ( )] 7 u b. L itnci e D l plno π que contiene lo punto A B C e puee clcul como l ltu el teteo conieno l be como el áe el tiángulo ABC. V ( ABCD) BASE ALTURA V ( ABCD) ÁREA( ABC) ( D π) tenieno en cuent 7 VOLUMEN( ABCD) ADo ( AB AC) u 9 ÁREA( ABC) AB AC 9 u utitueno en l epeión el volumen epejno l itnci el punto D l plno π 7 VOLUMEN ( ABCD) D π u ÁREA( ABC) c. L itnci ente o ect que e cun no e cotn e puee clcul e vi fom: iv. Clculno un plno plelo l o ect que conteng un e ell. L mínim itnci ente l ect e l itnci e culquie punto e l ect plel l plno. v. Clculno lo punto e cote A B e l pepenicul común con mb ect vi. tenieno en cuent p ello qué el vecto AB ebe e pepenicul lo vectoe e iección e l ect. Como plicción el poucto mito e te vectoe. Tenieno en cuent que el volumen e un plelepípeo e (Áe e l be) (Altu) l ltu e l mínim itnci ente l ect po lo que epejno tenieno en cuent l pliccione el poucto mito el móulo el poucto vectoil: Volumen plelepípeo ABo ( ) ( ) h Áe e l be Con lo to e lo pto nteioe lo má encillo e plic el tece métoo. 7

76 : A C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Punto : A Vectoeiección : ( ) AC ( ) B Punto : B : D Vectoeiección : BD plicno eto to l ecución e l itnci el tece métoo: Volumen plelepípeo V(teteo) ( ) h Áe e l be. utitueno en l epeión e l itnci ( ) ( ) (. ) 7 7 ( ) u Septiembe 999. A. Clificción máim: punto. Lo punto A () A () on lo etemo e un iámeto e un efe. ) ( punto) Clcul l cooen el cento el io e l efe. b) ( punto) Obtene u ecución ctein. c) ( punto) Hll l ecución el plno tngente l efe en el punto P ( ) SOLUCIÓN: ) Cento ( ). Rio b) ()² ()² ()² ² c) π 8 Junio 999. A Clificción máim: punto. Do lo punto A(-) B( ) C( -) Se pie: ) ( punto) Obtene l ecución el plno π que lo contiene. b) ( punto) Clcul l itnci el oigen e cooen l plno π. c) ( punto) Detemin el volumen el teteo cuo vétice on A B C el oigen e cooen. Junio 999. B Clificción máim: punto. ) ( punto) Hll el lug geomético e lo punto que equiitn e lo plno e ecucione 9. b) ( punto) Qué punto el eje OY equiitn e mbo plno?. Moelo 999. Ejecicio B. Clificción máim: punto. ) ( punto) Encont l itnci el punto P (-) l ect que p po lo punto Q ( ) R ( -). b) ( punto) Hll el áe el tiángulo cuo vétice on lo punto P Q R. c) ( punto) Encont too lo punto S el plno etemino po P Q R e mne que el cuiláteo e vétice P Q R S e un plelogmo. Septiembe 998. A (Clificción máim: punto). ) ( punto) Hll un punto A que eté obe l ect que ite el punto B () oble que el punto C ( ) que eté po ebjo el plno XY b) ( punto) Hll l poección otogonl e C obe l ect BP one P e el punto en el que l ect en el pto nteio cot l plno YZ. Junio 997. EJERCICIO B. Do vill fij AA BB e epeo epecible etán entel po un gom elátic (el moo que e inic en l figu junt). L gom que etá ten puee eli libemente po l vill (in omiento). Se be que l vill ocupn l poicione (en eje cteino ectngule ): 7

77 77 BB': ; ': AA ) Qué poicione eltiv tienen l ect AA BB? b) Hll l longitu totl e l gom elátic en u poición e equilibio. Solución. L poición eltiv e o ect e etui meinte el ngo e l mti fom po lo vectoe e iección e mb ect el egmento fomo con o punto uno e c ect. { } P P g P : AA': A A P : : : BB': B B P P B A { } g P P g B A B A 9 8 { } P P g B A B A L ect e cun peo no e cotn. b. L itnci ente o ect que e cun peo no e cotn e puee clcul e o fom itint i. Como l ltu el plelepípeo que fomn lo vectoe e iección e l o ect un egmento fomo con un punto e c ect. V PARALELEPÍPEDO A BASE Altu B A B A B A BASE PARALELEPÍPEDO P P A V Altu [ ] 9 P P B A B A

78 A B A B ( ) ( ) ( ) ( ) utitueno en l ecución e l ltu e clcul l itnci ente l o ect 9 ( AA ' BB' ) ltu U po lo tnto l longitu e l gom elátic eá el oble unie ii. Como itnci e un punto culquie e un e l ect un plno plelo e ect que contiene l ot ect. ( ) ( P π) AA' BB' El plno π cumple l iguiente conicione: AA' BB' π π P po lo tnto un eteminción linel el plno π eá: P ( ) A π : A ( ) v ( ) π B A B A B π π π eollno po lo elemento e l pime fil π openo π () () implificno π l itnci ente l ect eá: ( ) ( P π) l longitu e l gom elátic eá el oble U. ( ) 9 AA ' BB' A Septiembe 99. A. (Puntución máim: punto) En el epcio ( en eje OXYZ; El eje OZ e veticl cenente el plno OXY e hoiontl) e conie l vill veticl e etemo A (-9) A (). En o momento etemino e un mimo í l omb que poect A obe el plno OXY on lo punto S ( - ) S ( ). Se pie: ) L ect que ecibe l omb e A lo lgo el í. b) L omb S e A en el momento en el que l omb e AA ' e m cot. c) L omb S e A en el oto momento el í en el que l omb e ' AA tiene l mim longitu que l omb S A. U 78

79 79 Solución. Se pie clcul l ect que p po lo punto S S. Como vecto e iección e tom el egmento 9 ) ( S S como punto culquie e ello po ejemplo el S. 9 epeión que no e mu coect ebio l últim igul que ebeí ecibie como: ; 9 o en pmétic: 9 b. L omb má cot e pouciá en el momento en que ich omb e plel l ect que p po S S o lo que e lo mimo cuno S ' A e pepenicul S S. S e un punto e l ect que p po S S po tnto tená l fom: S ( 9 ) 9 9 ) ( S ' A Si S ' A S S S ' A S S ( 9 ) (- 9 ) ; -9 9 S c. Se pie clcul el imético e S epecto e S. S S S S (9) S ; 9 ) (