LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ LNILLS ES ISINS SINMIENS E L ESU Y EL ÓN Líne hoizontle Líne inclind 5º ENUNI on yud de l ecud y el ctón tz ect EENIULE

Transcripción

1 LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ LNILLS ES LNILLS ES. Son un egl uxilie del diujo que e utilizn p el tzdo de ect plel y pependicule y p el tzdo de lguno ángulo. Son do: l ESU y el ÓN. Su ccteític pinciple on: L ESU. ENUNI on yud de l ecud y el ctón tz ect LELS un dd. Se tt de un tiángulo ectángulo e iócele. 90º S Se diuj l ect emplendo p ello l hipotenu de l ecud. S Sin move l ecud e poy uno de lo ldo del ctón, pefeentemente l hipotenu, oe uno de lo cteto lie de l ecud. 5º 5º EL ÓN. E un tiángulo ectángulo. 0º 90º 60º EÍSIS NJUNS. - No deen tene ningún tipo de gdución. - Lo cnto deen e ecto, in chfln ni eje. S onidendo el ctón como plntill fij, e deliz l ecud oe el ctón l ditnci equeid. S Se diuj l ect que e plel l ect. SI N N - El juego etá compueto po un ecud con un hipotenu de longitud igul l del cteto myo del ctón Idéntic longitud S Se epite l opeción de delizmiento de l ecud y diujo de l líne tnt vece como e neceio. ESUL JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

2 LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ LNILLS ES ISINS SINMIENS E L ESU Y EL ÓN Líne hoizontle Líne inclind 5º ENUNI on yud de l ecud y el ctón tz ect EENIULES un ect dd. Líne veticle Líne inclind 5º S Se diuj l ect emplendo p ello l hipotenu de l ecud. S Sin move l ecud e poy uno de lo ldo del ctón, pefeentemente l hipotenu, oe uno de lo cteto lie de l ecud. Líne hoizontle Líne veticle Líne inclind 5º en mo entido S onidendo el ctón como plntill fij, e gi l ecud oe el ctón poyndo oe él el cteto lie de l ecud. S Se diuj l ect que e pependicul l ect. Líne inclind 0º Líne veticle S Se deliz l ecud oe el ctón, plntill fij, y e diujn l ect,,..., l ditnci deed. ESUL Líne inclind 60º Líne veticle ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

3 LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ LNILLS ES EES MULES. L ede module e definen como l etuctu o opote áico que pemite oden l fom y ogniz el epcio. ENUNI ontui un mll egul cudd. L ede module que ognizn el epcio idimenionl po medio de líne plel equiditnte e llmn MLLS. MLLS EGULES. Son quell en l que l unidd elementl que e epite, llmd módulo, e un polígono egul. e ente lo ditinto tipo de mll egule, detcemo: S Se diuj l ect emplendo p ello l hipotenu de l ecud. S Soe l ect e mcn con el dole decímeto (o compá) l epción etlecid p cd módulo (cuddo) de l etícul. MLL GNL, contituid po líne veticle y hoizontle que configun el cuddo como módulo u vinte, gid 5 S olocndo el juego de plntill en u poición áic, e eliz un digonl 5 dede el último punto mcdo. S Gindo l ecud e elizn l veticle po l mc. 0 MLL ISMÉI, contituid po líne que fomn 60º y 0º con l hoizontl y configun el tiángulo equiláteo como módulo. S olviendo l poición áic, e diujn l hoizontle po lo punto donde l digonl cot l líne veticle. ESUL Se conigue un mll egul cudd. u vinte, gid 90 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

4 LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ LNILLS ES EES MULES. on l ede module podemo otene infinidd de dieño geomético. ENUNI ontui un mll egul iométic. S Se diuj l ect, y po el pocedimiento conocido e eliz un pependicul culquie, que poteiomente e mcd con el dole decímeto. S Se elizn l hoizontle, con l poición áic de l plntill, po l mc efectud. 0 5 S onidendo l ecud como plntill fij, con el ctón diujmo un líne inclind 60 uicd donde quemo. S Mnteniendo l nteio poición de l ecud, gimo el ctón y diujmo l inclind 0 po donde l nteio cot l hoizontle. S olviendo gi el ctón, e completn l líne inclind 60. ESUL Se otiene un mll iométic. otene l mll gid 90, t empez el pocedimiento diujndo líne veticle y vi el ctón. ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

5 LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ EL MÁS EL MÁS E el intumento impecindile p el tzdo de co de cicunfeenci, mén del tnpote de egmento y de ángulo. El compá de iujo écnico dee euni l iguiente culidde: out contucción en ceo. Lo zo deen et unido po un tonillo infín con item de loqueo. mo zo deen de e ticuldo. ENUNI dición y utcción de egmento S Lo do egmento y que vmo um o et. = - = + S Se diuj un line e, mcándoe un punto de oigen. El tonillo infín, unido un ued, pemite l poximción exct de lo zo del compá. S (um) Medimo con el compá l mgnitud del egmento y lo tldmo pti del punto. Seguidmente hcemo lo mimo con el egmento. ESUL (um) tendemo oto egmento, um de lo egmento y. = = = + L ticulción de lo zo pemite coloc l punt iempe pependicule l ppel. S (et) lddo el egmento myo pti del punto, en entido contio hcemo lo mimo con el egmento. ESUL (et) tendemo oto egmento, et de lo egmento y. El fildo de l punt de l min de gfito dee elize en iel medinte un lij. = = - LIJ = JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.5

6 LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ ÚILES E MEI EL LE EÍME E un egl gdud en 0 centímeto ( decímeto), de hí u denominción, que utilizemo excluivmente p medi. ee e de uen mteil plático tnpente y tiene un ideo en u pte centl. ENUNI ontucción del tiángulo univel de ecl S zmo un ect veticl. S Y un hoizontl hci l deech. EL ESLÍME E un egl gdud que contiene ditint ecl métic. Genelmente tiene fom de pim tingul, con lo que pemite uic ei ecl ditint. ESL ágin E l popoción que exite ente l medi del diujo y l medid ele de lo diujdo. medid del diujo Ecl = medid de l elidd L ecl pueden e de mplición o de educción.si el diujo tiene l mim medid que l elidd e denomin ecl ntul. Ecl ntul = : Ecl de educción o ejemplo E = : Ecl de mplición o ejemplo E = : S Medimo con el dole decímeto 0 cm. en l hoizontl pti de l inteección con l veticl l cul, tmien e divide en 0 centímeto S zmo plel po tod l diviione de l ect veticl S ede l diviión 0 l veticl tzmo un hz de ect que pen po l gdución hoizontl ESUL Et plel vn dndo ecl de educción po encim de l e (ecl ntul E = :) y de mplición po dejo E :0 E :0 = :5 E :0 E :0 = :5 E 5:0 = : E 6:0 = :5 E 7:0 E 8:0 = :5 E 9:0 E : E :0 E :0 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

7 LQUE EMÁI UNI IÁI. ÚILES E IUJ ÚILES E MEI EL NS E ÁNGULS E un intumento de medid, que como u nome indic, ive p medi, gene y tnpot ángulo. ENUNI on yud de l ecud y el ctón tz lo ángulo de 75, 05, 0, 5, 50 y 0. Genelmente e un emicículo de mteil plático tnpente gdudo en 80 exgeimle Ángulo 75 Ángulo = = medi un ángulo y contuido hy que hce coincidi el cento del emicículo con el vétice de dicho ángulo, y jut el ceo con uno de lo ldo, leyendo l medid en el oto ldo del ángulo = Ángulo 0 5 = 80-5 Ángulo l contuccione hitule de geometí, y concetmente l elizd en ete mnul, no e etictmente neceio el uo del tnpotdo, pueto que con el uxilio del compá y de l plntill ect podemo contui lo ángulo nomlmente utilizdo, como vemo en et fich con epecto l ecud y el ctón, y má delnte motemo con el compá. 0 5 Ángulo 50 Ángulo 0 50 = = JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin

8 LQUE EMÁI ÚILES E IUJ UNI IÁI. S ÚILES E IUJ EL E el opote del diujo y dee euni, ente ot, l iguiente culidde:. Supeficie li, lgo tind y con un gmje uficiente p que le dé l necei igidez.. Inltele l luz.. ee opot l humedd mientl in ltee y pemiti u plegdo in que e poduzcn giet.. decudo p l técnic utiliz: lápiz tint chin, otuldoe, etc. ENUNI iuj un cuddo conocido el ldo. S Soe un ect S, mido con el dole decímeto l longitud del ldo del cuddo. S on yud de l ecud y el ctón tzmo po el extemo un ect pependicul S. LÁIZ MINS nto en un co como en el oto, lo eencil e l clidd y gdo de duez de l de gfito que encien. L myo o meno duez de un min e tduce en un tzo má fino y gi o má gueo y nego. Un lápiz o potmin H y oto no eán, como mínimo impecincile, p diuj. L complejidd de cieto polem hce conejle el empleo de min de colo que no yuden y clifiquen l contuccione. 0 5 SUNS ILMINS Impecindile p el diujo lápiz. No e neceio i e opt po potmin de "min fin". GM E L que e utilizn p o el lápiz deen de e lnd y no eng el ppl. LNILLS demá de l y conocid, ecud y ctón, podemo detc:. lntill de cuv p el tzdo po punto. ecien el nome de umete.. lntill de otulción. lntill de ímolo ESILÓGS el cdo de lo diujo tint. S on cento en el extemo y dio igul tzmo un co de cicunfeenci que cot l pependicul nteio en. S on cento en el extemo y dio igul tzmo un co de cicunfeenci que cot l pependicul nteio en. S on yud de l ecud y el ctón tzmo po el extemo un ect pependicul S. ESUL Uniendo el punto con el, diujemo el cuto ldo del cuddo pedido. ágin.8 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

9 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI. XIMS UNMENLES GEMEÍ EULIIN L geometí Euclidin e fundment en xiom o vedde tn evidente que no pecin de demotción. XIMS E EXISENI. econocemo l exitenci de infinito ente llmdo punto, cuyo conjunto denominemo epcio.. Lo punto del epcio e coniden gupdo en cieto conjunto pcile de infinito punto llmdo plno y lo de cd plno en oto conjunto pcile de infinito punto llmdo ect. XIMS E ENLE. o punto ditinto deteminn un ect l que petenecen.. Un plno etá detemindo unívocmente po te punto no linedo. undo do punto de un ect petenecen un plno, todo lo punto de l ect petenecen ee plno.. undo un punto petenece do plno, exite oto punto ditinto del nteio que tmién e común mo plno. XIMS E ENIÓN. e te punto ditinto de un mim ect, ólo uno de ello etá itudo ente lo oto do.. do do punto y, e define como egmento l conjunto de lo punto y, llmdo extemo, y todo lo de l ect que contiene y que etán itudo ente mo extemo.. undo un ect, que petenece l plno detemindo po te punto, y ditinto y no itudo en dich ect, contiene un punto del egmento, tmién contiene oto punto del egmento o del. XIMS E IGUL NGUENI. o figu e llmn igule o conguente cundo ente u punto homólogo e puede etlece un coepondenci iunívoc de egmento igule detemindo po lo pe de punto homólogo cd un de ell. XIMS E LELISM. o un punto exteio un ect e puede tz un y ólo un ect plel quell. (otuldo de Euclide) EINIINES UNMENLES Semiect e l poción de ect compendid ente un punto fijo, llmdo vétice, y un punto impopio de l ect. Segmento e l pte de ect compendid ente do punto. Un ect contenid en un plno divide éte en do pocione o emiplno. l ect e l denomin ode, oigen o contono del emiplno. ENUNI z po un punto y con yud del compá un ect S plel ot conocid. L ect y el punto. S S on cento en el extemo e tz un co de dio igul. S Ete co cot en ' l cicunfeenci tzd en pime lug. ' S on cento en un punto de l ect tzmo un cicunfeenci que pe po y cot l ect en y. S on el mimo dio y cento en el extemo, tzmo un co de cicunfeenci. ESUL L ect ' e l plel ucd. ' S S JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

10 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI L MEIIZ LUG GEMÉI NE Se define lug geomético como el conjunto de punto que tienen un mim popiedd. ENUNI iuj l meditiz de un egmento. EJEMLS L cicunfeenci e el "lug geomético" de lo punto que equiditn de oto llmdo cento. = ditnci S Se diuj el egmento de longitud conocid. S on cento en el extemo y dio culquie, myo que l mitd / del egmento, e tz un co de cicunfeenci. Un ect plel ot ect e puede defini como el "lug geomético" de lo punto que equiditn de l ect. Idéntic ditnci to luge geomético, ojeto de un etudio má exteno en eto punte, on: l meditiz, l iectiz y el co cpz L MEIIZ. L meditiz de un egmento e l ect pependicul en el punto medio M del egmento S on cento en el extemo del egmento e tz oto co de dio igul l nteio. S Lo do co tzdo e cotn en lo punto I y J. I M 90º L meditiz de un egmento e puede defini como el lug geomético de lo punto que equiditn de lo extemo del egmento. J = ditnci = ditnci S Uniendo lo punto I y J, otendemo l meditiz del egmento. ESUL El punto M e el punto medio del egmento. L meditiz e, tmién, el lug geomético de lo cento de l cicunfeenci que pn po do punto ddo y. I M J ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

11 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI. INLI Y SEMEJNZ IISIÓN E UN SEGMEN EN ES IGULES SEMEJNZ. o figu e dice que on emejnte cundo u ángulo homólogo on igule y u ldo homólogo popocionle ciet zón que e denomin de emejnz. ENUNI ividi un egmento en 5 pte igule. Et do figu on emejnte poque e dn l do condicione: iguldd de ángulo y popocionlidd de egmento. S Se diuj el egmento de longitud conocid. ontuimo el tiángulo de le hciendo que ' = ' = c' = d' =... S o uno de lo extemo del egmento e tz un ect culquie. Et do figu no on emejnte poque i ien e dá l iguldd de ángulo, lo egmento "ltu de puet" tienen un zón de popocionlidd difeente l de lo demá. EL IÁNGUL E LES. onideemo do ect y concuente en que on cotd po un hz de ect plel: t, u, v,... t u v ' ' ' ' Lo tiángulo ', ', ',... on emejnte poque tienen lo ángulo igule. En efecto: El ángulo e común p todo lo tiángulo y lo ángulo,,,... tienen lo ldo plelo, (Son coepondiente). Eciiendo l zón de emejnz: ' ' ' ' ' ho ien, en tod popoción, l difeenci ente lo ntecedente (numedoe) ptido po l de lo conecuente (denomindoe) e igul l zón de emejnz: ' '-' - ' '-' - c' lo que e igul: ' ' c' d' c d c pti de et elción de popocionlidd deduciemo l contuccione de l lámin iguiente. ' d' d ' ' ' ' c' c S Soe l ect tzd, con yud del compá y dio itio, e tomn tnt diviione igule como en pte hy que dividi el egmento. S otene lo punto,, y oe el egmento, tá tz ect plel 5' po lo punto ', ', ' y '. S Se une l últim diviión 5' con el extemo lie del egmento. ' ' ESUL El egmento qued dividido en 5 pte igule. 5' ' ' ' ' ' ' 5' Intitut de omció ofeionl MISEIÒI L È N I JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

12 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI. INLI Y SEMEJNZ U INL SEGMEN U INL do te egmento,, y c, e dice que el egmento x e u cuto popocionl cundo ente lo cuto e etlece l iguiente elción de emejnz: ENUNI Hll el egmentox, cuto popocionl de oto te ddo:, y c. NSUIÓN / = c/x En el iángulo de le hemo vito l elción de popocionlidd exitente ente lo egmento detemindo po l ect plel que cotn lo ldo de un ángulo culquie. c x c Lo egmento, y c. c S S pti de un punto, tzmo do ect y culquie. pti del vétice tldmo el egmento oe l ect. x diuj el egmento x, cuto popocionl de lo oto te, tá diuj el tiángulo de le con l dimenione decud. Según poicionemo lo egmento en el tiángulo, otendemo difeente olucione en función de cul de lo cuto egmento e el incógnit. En entido eticto, l únic olución válid e quell en l que el egmento incógnit e el cuto y lo te ddo e diponen en el oden del enuncido. S Soe l ot ect y pti del vétice, tldmo conecutivmente lo oto do egmento: yc. S Medinte un ect e unen lo extemo no comune de lo egmento y. c º egmento? c x c c x e egmento? x d c d d d c x x x º egmento? c x d e egmento? x c d S Se tz un plel et ect po el extemo lie del egmento c. En u inteección con l ect, define el egmento ucdo. c ESUL El egmento x e el egmento cuto popocionl de lo ddo. c x c x x ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl Intitut de omció ofeionl MISEIÒI L È N I

13 QUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI. INLI Y SEMEJNZ EE INL SEGMEN EE INL. do do egmento, y, e dice que el egmento x e u tece popocionl cundo ente lo te egmento e etlece l iguiente elción de emejnz: ENUNI Hll el egmento x, tece popocionl de oto do ddo: y. / = /x NSUIÓN. En el iángulo de le hemo vito l elción de popocionlidd exitente ente lo egmento detemindo po l ect plel que cotn lo ldo de un ángulo culquie. x S S pti de un punto, tzmo do ect y culquie. pti del vétice tldmo lo egmento y oe l ect. x diuj el egmento x, tece popocionl de lo oto do, tá diuj el tiángulo de le con l dimenione decud. Según poicionemo lo egmento en el tiángulo, otendemo do olucione difeente: ª SLUIÓN x S Soe l ot ect y pti del vétice, tldmo el egmento. S Medinte un ect e unen lo extemo no comune de lo egmento y. x x ª SLUIÓN x L olución coect e quell que dipone lo egmento dto en el oden del enuncido, e deci, el egmento "dole" e el ddo en egundo lug. S Se tz un plel et ect po el extemo lie del egmento (de ). En u inteección con l ect, define el egmento ucdo. ESUL El egmento x e el egmento tece popocionl de lo ddo. x x x ágin JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

14 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI. INLI Y SEMEJNZ MEI INL SEGMEN MEI INL do do egmento, y, e dice que el egmento "x" e u medi popocionl cundo ente lo te egmento e etlece l iguiente elción de emejnz: ENUNI Hll el egmento x, medi popocionl de oto do ddo: y. /x = x/ NSUIÓN. En el iángulo de le hemo vito l elción de popocionlidd exitente ente lo egmento detemindo po l ect plel que cotn lo ldo de un ángulo culquie. x x x S S ldmo conecutivmente oe un ect lo do egmento dto. x En ete co, ddo que tenemo do egmento incógnit, no podemo utiliz l popiedde del tiángulo de le p diuj el egmento x, medi popocionl de y. eto efecto nlizemo l elción exitente en un tiángulo ectángulo ente l ltu y lo egmento que detemin oe l hipotenu. S Hllmo el punto medio M del egmento um. S Se tz l emicicunfeenci de diámeto igul l egmento um. h m n h h m n onideemo el tiángulo que e ectángulo en y que etá incito en un emicicunfeenci. zemo l ltu h oe l hipotenu que detemin en ét el punto. M M Lo tiángulo y, ectángulo en po contucción on emejnte y que u ángulo homólogo tienen lo ldo pependicule y conecuentemente on igule. S o el punto levntmo l ect pependicul que cot l cicunfeenci en. ESUL El egmento = x e l medi popocionl de lo egmento dto. En efecto, e l ltu del tiángulo ectángulo. Eciiendo l zón de emejnz: h m n h x x e dónde deduciemo que en un tiángulo ectángulo l ltu e medi popocionl ente lo egmento que detemin en l hipotenu. x M x ágin.6 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

15 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI ÁNGULS ÁNGULS d do emiect y S no opuet (e deci no lined) de oigen común, llmemo ángulo convexo l intefeenci de lo emiplno iguiente: quel cuyo ode e l ect y que contiene l emiect S,, y quel cuyo ode e l ect S y contiene l emiect,s. ' S S S ENUNI npote de un ángulo. S Se diuj el ángulo tnpot, l ect opote de uno de u ldo y el vétice "v". = S on cento en el punto y dio culquie, e tz un co de cicunfeenci que cot lo ldo del ángulo en lo punto y. 'S S WS 'WS WS S 'W'S W'S L emiect e llmn ldo y u oigen común vétice. Un ángulo e puede difini tmién como l poción del epcio plno limitd po do emiect, y S, que e cotn en un punto llmdo vétice,. o ect ecnte definen, pue, cuto ángulo convexo, coincidente con lo cuto emiplno que intefieen. Lo do emiplno que define l ect lo llmemo y. Lo que define l ect S lo llmemo S y S. Lo ángulo definido on l intefeenci de l egione WS, WS, WS y WS. Se llmn ángulo dycente lo pe de ángulo pocedente de l intefeenci con un mimo emiplno: WS y WS. Se llmn ángulo opueto po el vétice lo que poceden de l intefeenci de emiplno ditinto: WS y WS. d ángulo tiene do dycente y un opueto. Se llm ángulo cóncvo de oto convexo, l conjunto de lo do dycente y el opueto del ángulo convexo. Se denomin ángulo llno cd uno de lo emiplno limitdo po do emiect opuet. Se dice de un ángulo que e ecto cundo e igul u dycente. o ángulo on uplementio i u um e un ángulo llno. o ángulo on complementio i u um e un ángulo ecto. Si el vlo de un ángulo e infeio un ecto (90º), e llm gudo. Si u vlo e upeio, el ángulo e llm otuo. S on el mimo dio, e tz un co de cicunfeenci de cento "v" que cot l ect en el punto "". S on cento en y dio igul, e tz un co que cot l nteio en el punto. v v = = S on cento en el punto y dio igul l cued, e tz un co de cicunfeenci. ESUL Uniendo el punto con el vétice, diujemo el egundo ldo del ángulo igul l del enuncido. v = JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

16 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI ÁNGULS MEI E LS ÁNGULS Lo ángulo e miden en gdo exgeimle. Un ángulo ecto = 90 gdo d gdo ( ) e divide en 60 minuto (') y cd minuto en 60 egundo ("). = 60' ' = 60" 90 ENUNI Sum de ángulo S El ángulo y el ángulo. + = S Se tz un ect e de l opeción y e mc un punto Y vétice de l um otene U U SENI E LS ÁNGULS Se conide entido poitivo (+) el entido ntihoio y (-) el hoio Y + S on un petu iti del compá e tzn endo co igule po lo vétice y U de lo ángulo dto y po el punto Y. S Se tnpot el ángulo, tl y como y emo. SIINES ELIS E UN ÁNGUL ESE UN IUNEENI U U Exteio Semiincito Incito Inteio icuncito Y Y E entl S Se tnpot el ángulo pti del punto, otenido en el tnpote nteio. ESUL Se tz el ldo YG que olucion l um de lo ángulo. Ángulo centl e áquel cuyo vétice coincide con el cento de l cicunfeenci. Su vlo e popocionl l longitud del co cdo po lo ldo: U U (60º/p)=[º/long()] G G de donde eult: º= 80 x long()/p Y Y E E ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

17 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI ÁNGULS Ángulo incito e áquel cuyo vétice etá itudo en l cicunfeenci y u do ldo on ect ecnte.su vlo e igul l mitd del ángulo centl que c u co. Incito ENUNI ifeenci de ángulo = S El ángulo y el ángulo. S Se tz un ect e de l opeción y e mc un punto Y vétice de l difeenci otene. En efecto, conideemo el ángulo, incito en l cicunfeenci y uno de cuyo ldo, el, p po u cento. El tiángulo e iócele y que tiene do ldo igule, ==dio. El ángulo centl e uplementio del y en conecuenci igul l um de lo oto do ángulo inteioe del tiángulo: +=+= = Si ninguno de lo ldo del ángulo incito p po el cento de l cicunfeenci, l demotción e inmedit i conidemo el ángulo decompueto en oto do, y, uno de cuyo ldo p po el cento de l cicunfeenci. Ángulo emiincito e áquel cuyo vétice etá itudo en l cicunfeenci y uno de u ldo e un ect tngente. Su vlo e igul l mitd del centl que c. on un petu iti del compá e tzn endo co igule po lo vétice y U de lo ángulo dto y po el punto Y. U U Y S Se tnpot el ángulo myo, tl y como y emo. U U Y E Y E Semiincito Se tnpot el ángulo meno pti del punto, en el entido contio l nteio. ESUL Se tz el ldo YG que olucion l difeenci de lo ángulo. En efecto, el tiángulo e iócele en. cemo l ltu l cued. Lo ángulo (emiincito) y on igule po tene lo ldo pependicule. El ángulo e igul l y que e l iectiz del ángulo centl. o lo tnto: = U U G G Y Y E E JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

18 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI ÁNGULS Ángulo cicuncito e el fomdo po l tngente l cicunfeenci tzd dede un punto exteio. icuncito ENUNI iuj l iectiz de un ángulo, upueto que el vétice quede diujdo dento de lo límite del ppel. Su vlo e igul l emidifeenci de lo ángulo centle que cn lo co myo y meno definido po lo punto de tngenci. demotlo t conide que el ángulo cicuncito e igul l emiincito, exteio l tiángulo, meno el emiincito. onecuentemente: =(-)/ Ángulo inteio e el que tiene u vétice en el inteio de l cicunfeenci.su vlo e igul l emium de lo centle coepondiente lo co cdo po él y u opueto po el vétice. En efecto, i conidemo el tiángulo, el ángulo, inteio l cicunfenenci, e exteio l tiángulo y po lo tnto, igul l um de lo oto do: +. omo eto ángulo on incito l cicunfeenci: =(+)/ Inteio S Se diuj el ángulo dto de vétice "". S on cento en el punto "I" y dio itio "", e tz un co de cicunfeenci. I S on cento en el vétice "" y dio "" culquie, e tz un co que cot lo ldo del ángulo en lo punto "I" y "J". S Se tz un nuevo co de cento en el punto "J" y dio "", idéntico l nteio. I I J J J Ángulo exteio e el itudo en l pte del plno exteio l cicunfeenci. Su vlo e l emidifeenci de lo centle que coeponden lo co cdo po u ldo.si conidemo el tiángulo, el ángulo, exteio l cicunfenenci, e inteio l tiángulo y po lo tnto, igul l difeenci de : -. omo eto ángulo on incito l cicunfeenci: =(-)/ Exteio S Lo do co e cotn en el punto "K". I ESUL L iectiz e l ect que une lo punto "" y "K". I K K J J ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

19 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI ÁNGULS L ISEIZ L iectiz de un ángulo e l ect que divide l ángulo en do pte igule. iectiz ENUNI iuj l iectiz de un ángulo, upueto que el vétice quede diujdo fue de lo límite del ppel. L iectiz de un ángulo e puede defini como el lug geomético de lo punto que equiditn de lo ldo del ángulo. S iujd l ect "" y "S", ldo del ángulo, e tz un tece ect "" que defin con l nteioe cuto ángulo:"", "", "c", y "d". S Se diuj l iectiz del ángulo "". = ditnci iectiz = ditnci S S iectiz de c d c d L iectiz e, tmién, el lug geomético de lo cento de l cicunfeenci que on tngente lo ldo del ángulo. iectiz S Se diuj l iectiz del ángulo "". i S Se diuj l iectiz del ángulo "c", que cot l iectiz del ángulo "" en el punto "I". i i iectiz I iectiz S S c d c d S Se diuj l iectiz del ángulo "d" que cot l iectiz del ángulo "" en "J". ESUL L iectiz e l ect que une lo punto "I" y "J". i i S I i iectiz J S I J c d ágin JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

20 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI ÁNGULS Z E el lug geomético de lo vétice de un ángulo "" cuyo ldo pn po do punto fijo "" y "". ENUNI iuj el co cápz del ángulo "" conocido que p po lo punto "" y "". S L poición de do punto y y el vlo del ángulo, on lo dto del polem. S Unimo lo punto y y diujmo l meditiz del egmento otenido. temo de demot que el Z e un cicunfeenci que p po lo do punto "" y"". En efecto, i l cicunfeenci diujd e el lug geomético ucdo, po definición de co cpz, lo ángulo de vétice "", "" y "" tienen que e igule. Y ddo que eto ángulo on incito y cn el mimo co "", neceimente on igule tl y como queímo demot. lo efecto de jutific y ecod l contucción gáfic del co cpz, que e incluye en et fich, conideemo: S ontuimo el ángulo con vétice en y un de u ldo el egmento. S o el punto tzmo un ect pependicul l ldo del ángulo diujdo. 90 º. El cento "" del Z tiene que enconte en l meditiz del egmento "" ddo que e tt de un cicunfeenci que p po do punto conocido "" y "". º. e ot pte emo que todo ángulo centl e dole del incito que c el mimo co. En conecuenci el vlo del ángulo centl en "" e el dole del incito,. S El cento de l cicunfeenci " Z" e el punto inteección de l pependicul po y l meditiz de. Se diuj el co pz. ESUL Un contucción emjnte l que e deol en et fich, e l iguiente:. z po el extemo "" del egmento "" un emiect "" que fome con "" el ángulo "".. L pependicul "" po "" cot l meditiz de "" en el cento "" del co cpz. ágin.6 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

21 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS IÁNGULS. NE. do te punto,, no linedo, llmemo tiángulo l intefeenci de lo te emiplno,, y limitdo po l ect,, y que contienen epectivmente lo punto, y. ENUNI iuj un tiángulo del que e conocen lo te ldo. iuj el otocento del tiángulo. ' c ' Lo egmento,, e llmn ldo y lo punto,, vétice del tiángulo. LSIIIÓN E IÁNGULS. Lo tiángulo, en función de l mgnitud u ldo e clificn: Equiláteo que e áquel que tiene lo te ldo igule. Iócele que e el que tiene do ldo igule y el teceo deigul. Ecleno que tiene lo te ldo ditinto. WW ' c S L longitude de lo te ldo del tiángulo S on cento en el punto y dio igul l longitud del ldo c e tz un co de cicunfeenci. S Se diuj uno de lo te ldo conocido. o ejemplo el ldo =. S on cento en el punto y dio igul l longitud del ldo e tz oto co de cicunfeenci. Equiláteo Iócele Ecleno En función de l mgnitud de u ángulo lo tiángulo e clificn: dio = c ectángulo, i uno de lo te ángulo e ecto. dio = cutángulo, i lo te ángulo on gudo. tuángulo, i uno de u ángulo e otuo. ectángulo cutángulo tuángulo S ESUL IEIS E IGUL o tiángulo on igule i tienen: En el punto de inteección de mo co e encuent el tece vétice del tiángulo. El otocento H e el punto de inteección de l ltu.. Lo te ldo igule.. Igule do ldo y el ángulo compendido.. Un ángulo y lo ldo dycente igule. IEIS E SEMEJNZ o tiángulo on emejnte i: c c. Lo te ldo on popocionle.. o ángulo on igule. H. ienen un ángulo igul y lo ldo dycente popocionle. ágin JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

22 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS ES NLES EL IÁNGUL L meditice de un tiángulo on l ect que iecn u ldo. LLmemo cevin l ect que unen un vétice con un punto culquie del ldo opueto. Ente ell ce detc: L medin que unen un vétice con el punto medio del ldo opueto. L iectice de cd uno de u ángulo. L ltu que on l pependicule tzd dede un vétice l ldo opueto. UNS NLES EL IÁNGUL icuncento o punto de cote de l meditice. E el cento de l cicunfeenci cicuncit l tiángulo. unto ev e el punto de inteección de l cevin. etcemo: Incento o punto de cote de l iectice y que e el cento de l cicunfeenci incit l tiángulo. icento o punto de cote de l medin del tiángulo. oincide con u cento de gvedd. tocento o punto de inteección de l ltu. LS MEIIES. Son l ect pependicule lo ldo del tiángulo en u punto medio. E deci on l meditice de u te ldo. L te meditice de un tiángulo e cotn en un mimo punto, llmdo cicuncento, que e el cento de l cicunfeenci cicuncit l tiángulo (p po u te vétice). ENUNI iuj un tiángulo del que e conocen do ldo y el ángulo que fomn. iuj l iectice del tiángulo. S o ldo y el ángulo que fomn S Soe el ldo diujdo y vétice en el punto, e tld el ángulo. S Se diuj uno de lo do ldo conocido. o ejemplo el ldo =. S on cento en el punto y dio igul l longitud del ldo e tz un co de cicunfeenci. dio = c Md Mdc Md El dio de l cicunfeenci cicuncit e l ditnci que hy dede el cicuncento uno de lo vétice del tiángulo. S En el punto de inteección del ldo del ángulo y del co tzdo, e encuent el tece vétice " del tiángulo. ESUL o el pocedimiento y etudido e tzn l iectice de cd uno de lo te ángulo. c ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

23 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS LS ISEIES. L iectice de un tiángulo on l ect iectice de cd uno de u te ángulo. L te iectice de un tiángulo e cotn en un mimo punto, llmdo incento, y que e el cento de l cicunfeenci incit l tiángulo (tngente u ldo). ENUNI iuj un tiángulo del que e conocen do ldo y el ángulo opueto uno de ello. iuj l meditice del tiángulo. c c S o ldo y el ángulo opueto uno de ello S Se diuj uno de lo do ldo conocido. o ejemplo el ldo =. I En efecto, l iectice de lo ángulo y e cotn po fom con el ldo común ángulo cuy um e infeio un llno. El punto de cote I equidit de y po petenece y de y po petenece. o lo tnto "I" peteneceá tmién c. El dio de l cicunfeenci incit l tiángulo e l ditnci que hy ente el incento y uno de lo te ldo; e mediá oe l pependicul tzd dede el incento culquie de lo te ldo. c S Soe el ldo diujdo y vétice en el punto, e tld el ángulo. S on cento en el punto y dio igul l longitud del ldo c e tz un co de cicunfeenci. c 90º 90º I 90º Si conidemo l iectice de lo ángulo exteioe del tiángulo demotímo, con un zonmiento emejnte, que cd do iectice exteioe concuen con l inteio del tece vétice en un punto denomindo exincento, que e el cento de l cicunfeenci tngente un ldo y l polongcione de lo oto do. dio = c I c I S En el punto de inteección del ldo del ángulo y del co tzdo, e encuent el tece vétice del tiángulo. ESUL o el pocedimiento y etudido e tzn l meditice de cd uno de lo te ldo. I Int 90º Ext I L iectice inteio y exteio de un ángulo de un tiángulo e cotn pependiculmente: ddo que lo ángulo inteio y exteio on uplementio e evidente que u mitde umn 90' c c JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

24 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS LS MEINS. L medin de un tiángulo on l ect que unen un vétice con el punto medio del ldo opueto. L te medin de un tiángulo e cotn en un mimo punto llmdo icento. ENUNI iuj un tiángulo del que e conocen do ángulo y el ldo dycente. iuj l medin del tiángulo. Mc M G M El egmento de cd medin compendido ente u pie y el icento e un tecio de l mim. En efecto, tomemo lo punto medio y Q de G y G. En el tiángulo el egmento e plelo e igul u mitd (eoem de hle). Igulmente en el tiángulo G, el egmento Q e plelo e igul /. o lo tnto el cudiláteo Q e un plelogmo y u do digonle e cotn u punto medio G. evndo l figu eult: G=GQ=Q y G=G= Lo que demuet l hipótei de ptid. Q S o ángulo y el ldo dycente S Soe el ldo diujdo y vétice en el punto, e tld el ángulo. S Se diuj el ldo conocido. S Soe el ldo diujdo y vétice en el punto, e tld el ángulo. S En el punto de inteección de lo ldo no comune de lo ángulo tzdo, e encuent el tece vétice del tiángulo. ESUL diuj l medin tá uni cd vétice con el punto medio del ldo opueto que e hllá tzndo pevimente l meditice. c c ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

25 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS LS LUS. Se define l ltu de un tiángulo cómo l ect que tzd dede un vétice, e pependicul l ldo opueto. L te ltu de un tiángulo e cotn en un mimo punto llmdo "tocento". ENUNI iuj un tiángulo del que e conocen do ángulo y el ldo opueto uno de ello. iuj l ltu del tiángulo. c H H S o ángulo y el ldo opueto uno de ello S Se diuj el ldo conocido. Hc emotemo que l ltu de un tiángulo e cotn en un punto: p ello tcemo po lo vétice, y end plel lo ldo opueto. Et ect e cotn do do, po cote u plel, en ', ' y '. Si demotmo que l ltu del tiángulo on l meditice del ''' quedá demotd l exitenci del otocento. ' c H H H Hc ' S Soe el ldo diujdo y vétice en el punto, e tld el ángulo. S Soe el nuevo ldo y en un punto culquie X de él, e tld el ángulo. El cudiláteo ' e un plelogmo po contucción y po lo tnto: =' e modo nálogo i conidemo el plelogmo ' =' y en conecuenci: '=' con lo que e demuet que l ltu H del tiángulo e meditiz del ldo '' en el tiángulo ''' como queímo demot. ' S on yud de l ecud y el ctón tldemo plelmente et últim ect ht que pe po el extemo del ldo. X ESUL on yud de l ecud y el ctón e tzn l pependicule cd uno de lo ldo dede el vétice opueto. X c c ágin JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

26 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS EM L iectiz de un ángulo de un tiángulo y l meditiz coepondiente l ldo opueto, Md, e cotn en un punto de l cicunfeenci cicuncit l tiángulo. ENUNI iuj un tiángulo del que e conocen un ldo, l longitud de l ltu oe él y el vlo del ángulo opueto. Md N S Un ldo, l ltu oe él y el ángulo opueto S Se diuj el ldo conocido. iujmo el tiángulo definido po l iectice inteio y exteio del ángulo y l meditiz del ldo opueto. Semo que l iectice inteio y exteio de un tiángulo e cotn fomndo un ángulo ecto. o lo tnto el tiángulo e ectángulo en y conecuentemente dee qued incito en un emicicunfeenci (co cpz de 90º). Et emicicunfeenci tiene u cento en el punto, medio del egmento que e l meditiz del ldo po contucción, y que p po, no puede e ot que l cicuncit l tiángulo (co pz del ángulo ocido l egmento. IÁNGUL EL El tiángulo pedl de uno ddo e el que tiene po vétice lo pie de l cevin. Si l cevin on l medin, el tiángulo e llm medino. Si on l ltu, e llm ótico. H S iujemo el "co pz" del ángulo que p po lo punto y. S L plel que dit H cot l co cpz en y. 90º iángulo ótico iángulo pod do un tiángulo, e llm tiángulo pod del mimo, el fomdo po lo pie de l pependicule lo ldo tzd dede un punto culquie del plno del tiángulo. odímo defini el tiángulo ótico como el pod de u otocento. pti de l pependiculidd de l iectice de lo ángulo dycente, podemo conclui: Lo ldo del tiángulo III,fomdo po lo exincento on l iectice exteioe del tiángulo ddo y, l iectice inteioe de éte on l ltu de quél. I S El tiángulo e un olución l polem.. ESUL El tiángulo e l ot olución del polem.. I 90º c I I ágin.6 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

27 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS EEM E N Lo imético del otocento H de un tiángulo epecto de u ldo, petenecen u cicunfeenci cicuncit. ENUNI iuj un tiángulo ectágulo del que e conoce el egmento um de lo cteto y el vlo de l hipotenu H'' H''' H S El egmento, um de lo cteto y l longitud de l hipotenu. S Se diuj el egmento um de lo do cteto. El extemo eá el vétice de tiángulo H' Lo ángulo H' y H' on igule po e incito en l cicunfeenci y c el mimo co. Lo ángulo H' y H on igule po tene lo ldo pependicule. o lo tnto H' y H on igule que e lo mimo que deci que H' e imético de H epecto. EEM E SIMSN L poyeccione otogonle,, y c de un punto culquie de l cicunfeenci cicuncit l tiángulo, oe lo ldo del tiángulo, on punto colinele. S o el extemo del egmento tzmo un ect uxili que fome 5 con = S on cento en el extemo, tzmo un cicunfeenci de dio l longitud de l hipotenu c w g Lo punto,, y on conciclico en un cicunfeenci de diámeto y que lo tiángulo y on ectángulo. Lo ángulo = y = on uplementio y que on incito y u co cn tod l cicunfeenci. nálogmente lo punto, c, y on concíclico y lo ángulo g= y w= uplementio. o lo tnto: ++g+w =60º e ot pte lo ángulo y w on ángulo opueto del cudiláteo incito en l cicunfeenci y en conecuenci on uplementio: +w=80º, lo que no conduce l concluión de que +g=80º L ect que une lo punto,, c e llm ect de Simon. 5º = S El punto de cote e un vétice del tiángulo 5º 5º = ESUL zndo dede l pependicul qued diujdo el tiángulo = = 5º JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.7

28 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI IÁNGULS EEM E SEINE L ect de Simon coepondiente un punto de l cicunfeenci cicuncit divide en pte igule l que une el punto con el otocento cel tiángulo. ENUNI iuj un tiángulo dd l medin, l ltu y l iectiz coepondiente un ldo. X=XH M H c H Q X. de Simon S L ltu, l medin y l iectiz de un ángulo M S ontuimo el tiángulo ectángulo MN que tiene po hipotenu M y uno de u cteto mide H. Lo tiángulo HQX y X on igule po tene igule lo te ángulo: do de ello opueto po el vétice y lo oto do lteno inteno, ecodemo que l ltu y el egmento on pependicule l ldo y conecuentemente plelo ente í. EEM E IÁGS En un tiángulo ectángulo, l um de lo cuddo de lo cteto e igul l cuddo de l hipotenu. u h c N h he v 90º 90º H S on yud del compá y dio, loclizmo oe MN el punto. Hemo diujdo en poición y mgnitud, l te cevin dto. H M M S El punto, inteección de l ect iectiz del ángulo y l meditiz del ldo opueto petenece l cicunfeenci cicuncit de cento en. N cemo po el vétice l pependicule lo ldo y y oe ell tldmo l longitud de lo ldo y c epectivmente. Lo tiángulo y E on igule y que tienen, po contucción, do ldo igule y demá lo ángulo y E tmién on igule. c E H M M N H M M N Áe de =xh=(x)/ Áe de E=ExhE=(cxv)/ omo l áe on igule: =cxv e fom emejnte e tendá: =cxu S Lo punto y on lo oto do vétice del tiángulo iujmo el tiángulo ESUL Expeione que definen el teoem del cteto: Un cteto e medi popocionl ente l hipotenu y u poyección oe ell. Sumndo: + =cx(u+v)=c c.q.d. eoem de l ltu: L ltu e medi popocionl ente lo egmento que detemin oe l hipotenu. pti de l emejnz de lo tiángulo N y N e otiene: M H M N H M M N =uxv ágin.8 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

29 LQUE EMÁI UNI IÁI. GEMEÍ MÉI UILÁES UILÁES Se llm í quell figu pln y ced con cuto ldo, cuto vétice y do digonle. udiláteo convexo e quel que qued contenido en un mimo emiplno epecto de cd un de l ect que pn po culquie de u ldo, o lo que e lo mimo, el que tiene do digonle inteioe. udiláteo cóncvo e el que no poee l popiedd nteio. onvexo óncvo ENUNI iuj un omo del que e conocen l do digonle. S Se conoce l longitud de l do digonle. S iujmo un de ell, po ejemplo, l digonl meno oe un ect hoizontl. Lo cudiláteo e clificn en:. udiláteio imple lelogmo, que tienen lo ldo plelo e igule do do. pecio, que tienen do ldo, llmdo e, deigule y plelo. pezoide, que no tienen ningún ldo plelo.. udiláteo completo udiláteo completo, e l figu fomd po l cuto ect de un cudiláteo. oee ei vétice y te digonle.. utivétice udivétice, e l figu definid po cuto vétice (no linedo te te), cuyo ldo on ect que unen pe de vétice y po tnto poee ei ldo que e inteectn en lo llmdo punto digonle. E c d S t udiláteo completo Ldo: =, =, =c, =d. étice:,,,, E,. ect digonle:,, t, que unen pe de vétice opueto opueto. udivétice Ldo:,,,,,. étice:,,,. unto digonle:, S,, que e donde e cotn pe de ldo opueto. S Hllmo l meditiz del egmento. tenemo el punto medio de. S Unimo el punto con el, éte con el,... S ldmo oe l meditiz l digonl myo de fom que u punto medio e. iámeto igul l digonl ESUL JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin.

30 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI. UILÁES SIMLES LELGMS IEES En un cudiláteo, l ect que unen lo punto medio de u ldo definen un plelogmo. En efecto, en el tiángulo, el ldo e plelo (eoem de hle). Idénticmente en el tiángulo, e plelo. o lo tnto e plelo. nálogmente demotímo el plelimo de y. ENUNI iuj un omoide del que e conocen u ldo y uno de lo ángulo. S S ldmo oe un ect y pti de un punto culquie el ángulo. tenemo l ect, egundo ldo del ángulo. Lo cuto ángulo inteioe de un cudiláteo umn 60º. En efecto, un digonl lo decompone en do tiángulo, cd uno de lo cule tiene l um de u ángulo igul 80º. LELGM E un cudiláteo que tiene u ldo plelo y lo ángulo opueto igule. Se clificn en: uddo, que tienen lo cuto ldo igule y lo cuto ángulo ecto. ectángulo, que tiene lo ldo igule do do y lo cuto ángulo ecto. omo, que tiene lo cuto ldo igule y u ángulo opueto igule. omoide, que tiene lo ldo y lo ángulo opueto igule do do. S on cento en y dio igul l ldo, tzmo un co que cot l ect en, vétice del cudiláteo. dio = S o el punto, tzmo un plel y po el vétice un plel. m plel e cotn en. S on cento en y dio igul l ldo, tzmo un co que cot l ect en, vétice del cudiláteo. dio = ESUL Uniendo lo cuto vétice qued diujdo el omoide pedido. En lo cudiláteo, l digonle e cotn iempe en u punto medio, y en el cuddo y omo fomn un ángulo de 90º. En genel l contucción de plelogmo e educe l de lo tiángulo definido po lo ldo y l digonle. ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

31 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI EI E un cudiláteo con do ldo plelo y deigule denomindo e. UNI IÁI. ENUNI iuj un tpecio dd u e, u ltu y un ldo. UILÁES SIMLES EIS L ditnci ente l e e llm ltu. LSIIIÓN c c d pecio iócele, que tienen lo ángulo igule do do. pecio ectángulo, que tiene do ángulo ecto. e meno S e myo S zemo do ect plel y, epd un ditnci igul l ltu. c d pecio ecleno, que tiene lo cuto ángulo difeente. Ldo ltu l igul que ocue con lo plelogmo lo dto p diuj un tpecio pueden e ojeto de múltiple comincione. Seá neceio nlizlo y, conociendo l ccteític pticule del tpecio pedido, pocede u eolución. EZIE E un cudiláteo que tiene lo cuto ldo y lo cuto ángulo difeente. S ldmo l e myo oe l ect y con cento en uno de u extemo, el, tzmo un co de cicunfeenci de dio igul l ldo. ltu S El punto de inteección de et cicunfeenci con l ect eá un nuevo vétice del tpecio,. iujmo el ldo. d c l igul que ocue con lo tpecio lo dto p diuj un tpezoide pueden e ojeto de múltiple comincione. Seá neceio nlizlo y, conociendo l ccteític pticule del tpezoide pedido, pocede u eolución. = ldo e myo S ltu pti del vétice tldmo l e meno oe l ect oteniendo el último vétice. ESUL El tpecio qued diujdo uniendo lo vétice y. e meno ágin JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

32 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI. UILÁES SIMLES EZIES UILÁES IUNSIILES Un cudiláteo e cicuncito un cicunfeenci i todo u ldo on tngente ell. ENUNI iuj un tpezoide del que e conoce un digonl, do ángulo opueto ell y do ldo opueto. Un cudiláteo e cicunciptile cundo on igule l um de u ldo opueto. S S iujd l digonl, tzemo el co cpz del ángulo que p po lo extemo y. digonl Efectivmente, e el cudiláteo cuyo ldo en epectivmente tngente un cicunfeenci en lo punto,, y. El peímeto del cudiláteo e: ho ien, como l longitude de lo egmento de tngente tzd dede un punto exteio un cicunfeenci on igule, =, =, = y = el peímeto p eá: peo como p= = y += S on cento en y dio igul l ldo, tzmo un co que cot l co cpz en, tece vétice del cudiláteo. S Se diuj el co cpz del ángulo que p po lo punto y. emipeimeto = p/ = + como queímo demot. UILÁES INSIILES Un cudiláteo e incito un cicunfeenci i todo u vétice etán en ell. Un cudiláteo e inciptile i u ángulo inteioe opueto on uplementio. S on cento en y dio igul l ldo, tzmo un co que cot l co cpz en, cuto vétice del tpezoide. ESUL Uniendo lo cuto vétice qued diujdo el tpezoide pedido. En efecto, el p de vétice opueto y on extemo de un co cpz, ángulo, y del que complet l cicunfeenci, ángulo. ágin. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

33 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI.5 LÍGNS EGULES LÍGNS Se define el polígono como l upeficie pln y ced configud po líne ect. LÍGNS EGULES Un polígono egul tiene todo u ldo y todo u ángulo igule. SIINES ELIS E UN LÍGN Y UN IUNEENI Se dice que un polígono etá incito en un cicunfeenci cundo todo u vétice etn itudo en l cicunfeenci. Se dice que un polígono e cicuncito un cicunfeenci cundo u ldo on tngente l cicunfeenci. LSIIIÓN E LS LÍGNS EGULES EN UNIÓN EL NÚME E LS ENUNI iuj un tiángulo equiláteo incito en un cicunfeenci de dio conocido. iuj un hexágono incito en un cicunfeenci de dio conocido. S Se diuj l cicunfeenci de dio y cento en el punto. 0 S on cento en el punto y dio (igul l de l cicunfeenci dto), e diuj un co de cicunfeenci que cot l dd en el punto. L L iángulo uddo L5 entágono L6 Hexágono S on cento en el punto y dio, e tz un co de cicunfeenci que cot l dd en el punto. S El eto de punto, itudo en l cicunfeenci, e otienen tzndo co de dio y cento en el punto de inteección otenido nteiomente. L7 L8 6 Heptágono ctógono 5 L9 L0 Eneágono ecágono ÁNGUL ENL El vlo del ángulo centl de un polígono e igul 60º dividido po u númeo de ldo. El vlo del ángulo definido po do ldo dycente (g) de un polígono e igul 80º meno el vlo del ángulo centl. En el tiángulo : ++= 80º = 80º - e ot pte: g = + = g = 80º - IÁNGUL El tiángulo equiláteo pedido e otiene uniendo ltentivmente lo punto diujdo. 6 5 HEXÁGN El hexágono pedido e otiene uniendo conecutivmente lo punto diujdo. 6 5 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin 5.

34 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI.5 LÍGNS EGULES NSUIÓN E LÍGNS EGULES En función del dto conideemo te upueto:. dio de l cicunfeenci incit L cicunfeenci p po lo vétice. Ete co e ojeto de etudio detlldo en l fich que iguen y e fundment en lo pocedimiento de diviión de un cicunfeenci en pte igule.. dio de l cicunfeenci cicuncit. L cicunfeenci e tngente lo ldo. l igul que el upueto nteio l contucción de polígono e eliz dividiendo l cicunfeenci en tnt pte igule como ldo tiene el polígono y, continución, tzndo po cd un de l diviione pependicule lo dio epectivo.. Ldo del polígono. L contuccione del tiángulo y cuddo pti del ldo y hn ido explicd en l fich pecedente. L del hexágono y pentágono e explicn en l fich de ete núcleo. oto polígono empleímo el método genel po emejnz que conite en diuj un polígono incito en un cicunfeenci culquie y continución po emejnz detemin el que tiene como longitud del ldo l del dto. omo ejemplo, diujemo un heptágono del que e conoce el ldo L7: Heptágono uxili ENUNI iuj un cuddo incito en un cicunfeenci de dio conocido. iuj un octógono incito en un cicunfeenci de dio conocido. S Se diuj l cicunfeenci de dio y cento en el punto. S Se unen lo punto y do con un líne ect. S Se loclizn lo punto,, y de inteección de l cicunfeenci con u do eje otogonle. S Se unen lo punto y con un líne ect. L7 L7 U Se continú el tzdo uniendo lo punto, y 5. ÓGN L iectice de lo ángulo ecto definen en l cicunfeenci lo punto 5, 6, 7 y 8 que junto lo cuto hlldo definen lo 8 vétice ágin 5. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

35 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI.5 LÍGNS EGULES SEGMEN UE El egmento áueo x de un egmento = e define como quél que e medi popocionl ente el egmento y l difeenci -x. N ENUNI iuj un decágono egul incito en un cicunfeenci de dio conocido. iuj un pentágono egul incito en un cicunfeenci de dio conocido. Se el egmento =, po el extemo tzmo un cicunfeenci tngente l egmento, de diámeto. Uniendo el oto extemo con el cento de l cicunfeenci, loclizmo el punto M. El egmento áueo ucdo e M=x. En efecto, teniendo en cuent el concepto de potenci del punto epecto de l cicunfeenci: = =MxN=x(+x)=x+x x = -x=(-x) que e l expeión de l medi popocionl. JUSIIIÓN E L NSUIN EL EÁGN En el decágono, el ángulo centl tiene un vlo de 60º/0=6º y el ángulo definido po do ldo dycente vle 80º-6º=º. x -L L M 7º 6º L 6º 6º x x = -x 9 S Se diuj l cicunfeenci de dio y cento en el punto. No fundmentemo en que el ldo del decágono e áueo del dio S on cento en el punto M y dio /, e tz un cicunfeenci. / G M S Loclizemo el punto medio M del egmento ; diujemo l meditiz G de dicho egmento tzndo un co de cento en y dio. S El egmento H e el ldo del decágono. on dio igul y cento en el punto, e tz un co que cot l cicunfeenci en el punto. = H L0 H G M M on et conidecione el tiángulo e iócele con ldo igule l dio y ángulo deigul de 6º. zndo l iectiz del ángulo, otenemo oe el punto que define el tiángulo, iócele en con ldo igule l ldo del decágono y ángulo deigul de 6º. mo tiángulo on emejnte: /=/ /L=L/(-L) elción que etlece que el ldo del decágono e egmento áueo del dio de l cicunfeenci que lo cicuncie. EÁGN on cento en el punto y el mimo dio e hy el punto. epitiendo el poceo loclizemo en l cicunfeenci lo punto l ENÁGN L contucción del L5 e en l del L0. Hy que e que el dio, L5 y L0 fomn un tiángulo ectángulo de hipotenu L5 y cteto L0 y E L0 L5 L0 M 5 JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin 5.

36 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI.5 LÍGNS EGULES ENÁGN INSI EN UN IUNEENI E I El ldo del pentágono e l hipotenu de un tiángulo ectángulo que tiene po cteto el dio y el ldo del decágono. ENUNI iuj un pentágono egul conocid l longitud del ldo. L0 7º S S L5 9 iujemo el egmento igul l ldo. Se diuj u meditiz y u punto medio M. on cento en el extemo y dio igul l ldo e tz un co que cot l pependicul tzd po en el punto demotlo polongemo l ldo del decágono y oe él tomemo l longitud del dio. tenemo el punto. El tiángulo e iócele y que tiene do ldo, y, igule l dio. El ángulo mide, po contucción, 7º y conecuentemente el ldo eá el ldo del pentágono incito en l cicunfeenci. cemo dede l tngente l cicunfeenci. El tiángulo e ectángulo en. L potenci del punto epecto l cicunfeenci e: ot () = = x = (-L0) Hemo demotdo nteiomente que el ldo L0 e egmento ueo del dio y po lo tnto: L0 = (-L0) Expeione que deteminn l iguldd: L0 = Y demuet l hipótei de ptid y jutific el pocedimiento de contucción: L0 G M S on cento en M y dio M, e tz un co que cot l polongción de en. S El quinto vétice e otiene en el punto de inteección de lo co de dio igul l ldo y cento en y. L5 = M M M S on cento en el vétice y dio e tz un co que cot l de cento y dio el ldo en y l meditiz de en. M L5 L5 ESUL Uniendo lo punto,,, y 5 e otiene el pentágono. = L5 L0 / M 5 L5 5 L5 M ágin 5. JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl

37 LQUE EMÁI GEMEÍ MÉI UNI IÁI.5 LÍGNS EGULES ENÁGN EL L El ldo del pentágono e egmento áueo de u digonl. demotlo conideemo el tiángulo iócele 5, cuyo ldo on el ldo L y l de l digonl d del pentágono. ENUNI iuj un eneágono egul incito en un cicunfeenci de dio conocido. 5 L d d L d o el vétice del pentágono tzmo l plel l ldo 5. El cudiláteo 5 e, po contucción, un plelogmo. Lo ángulo on igule y que on opueto de un plelogmo y en conecuenci, el tiángulo e emejnte l 5 y que mo on iócele y tienen un ángulo igul. d/l=l/d-l Ecución ét que confim l hipótei x L L S Se diuj l cicunfeenci de dio y cento en el punto. S on cento en el punto, extemo del diámeto y dio igul él, e tz un co de cicunfeenci. S Se diuj un diámeto de l cicunfeenci y e divide en un númeo de pte igul l de ldo del polígono. En nueto co 9. ' ' ' 5' 6' 7' 8' 9' S on cento en el oto extemo del diámeto, 9', y el mimo dio e tz oto co de cicunfeenci que cot l nteio en el punto I. ' ' x ' ' ' ' I 5' L5 d 6' 7' 8' 9' 9' onocid et elción y pti del ldo L5 del pentágono podemo detemin l longitud de u digonl y, po tingulción, diuj el pentágono. S Uniendo el punto I con el ', independientemente del polígono diuj, otendemo en u inteección con l cicunfeenci el punto. ESUL El egmento e el ldo del polígono diuj. El eto de vétice e otienen tldndo et dimenión oe l cicunfeenci. ' 9 I JIE N GISE - JSÉ E. GÓMEZ HEÁIZ epóito Legl ágin 5.5