DIFRACCIÓN E INTERFERENCIA

Transcripción

1 DIFRACCIÓN E INTERFERENCIA 4.1. INTRODUCCIÓN Una onda es una perturbación física de algún tipo que se propaga en el espacio-tiempo. Cuando dos ondas coinciden en un punto del espacio en un momento determinado, la perturbación resultante para ese punto específico y en ese momento en particular es simplemente la suma de las perturbaciones individuales, lo que es conocido como Principio de Superposición. Un caso de interés particular resulta cuando las dos ondas tienen la misma longitud de onda y una diferencia de fase constante entre ellas. Esta característica, conocida como coherencia, lleva a que la superposición produzca un patrón de interferencia definido en el espacio. Cuando una onda que se propaga en un medio homogéneo incide sobre una apertura o el borde de un obstáculo, ocurre una desviación parcial de su propagación inicial rectilínea. Este fenómeno recibe el nombre de difracción y es mas notable cuando las dimensiones de la apertura son comparables con la longitud de onda de la onda incidente. El fenómeno de difracción se observa en todo tipo de ondas electromagnéticas, así como también en ondas mecánicas como el sonido u ondas en la superficie del agua. En la vida diaria se pueden encontrar frecuentemente fenómenos de difracción e interferencia en diferentes tipos de ondas. En el caso luminoso, si una persona se enfrenta a una luz intensa y entrecierra sus ojos, puede observar un halo (rayado) luminoso que rodea la fuente de luz como consecuencia de la difracción de la luz en el borde de sus párpados. Un ejemplo con ondas mecánicas se observa en aguas estancadas y el oleaje producido por perturbaciones externas. El fenómeno de difracción se puede explicar con el Principio de Huygens: Cada punto de un frente de ondas puede ser considerado como una nueva fuente emisora de 68

2 ondas, lo que permite hacer uso del Principio de Superposición para caracterizar el fenómeno DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA Cuando un haz luminoso incide sobre una rendija fina se difunde ocupando una cierta extensión mas allá de su sombra geométrica. Si se coloca una pantalla de observación, detrás de la rendija, en un plano perpendicular a la dirección del haz incidente, se observará un patrón alternado de máximos y mínimos de luminosidad, que resulta de la redistribución de la intensidad luminosa. De acuerdo a las distancias involucradas se pueden considerar dos casos. Cuando la fuente luminosa o la pantalla de observación, o ambas, se encuentran a una distancia finita del centro de difracción, los frentes de ondas no son planos y el tratamiento teórico de este caso, conocido como difracción de Fresnel, resulta complejo. El otro caso es el límite en el que tanto la fuente luminosa como la pantalla de observación se encuentran a distancias infinitas del centro de difracción, resultando así los frentes de ondas planos. Este caso, llamado difracción de Fraunhofer, tiene un tratamiento matemático mas sencillo y, experimentalmente, puede ser simulado con el uso de lentes convergentes tal que la fuente y la pantalla estén colocados en los puntos focales correspondientes. 69

3 A continuación se considerarán dos geometrías sencillas para difracción de Fraunhofer: apertura rectangular y apertura circular. 4.2.a. APERTURA RECTANGULAR Considérese una rendija rectangular de ancho a, muy larga, sobre la cual incide una luz monocromática de longitud de onda λ, cuya fuente está colocada a una distancia muy grande de la rendija. Se observará en la pantalla un patrón de máximos y mínimos de luminosidad como el representado a continuación: La variación de intensidad luminosa relativa está dada analíticamente por una función de la forma: D ( θ ) = Ι Ι P O = sen 2 πθ a λ πθ a λ 2 donde Ι P es la intensidad luminosa en el punto P de la pantalla ubicado a una distancia x del centro de la pantalla (donde incidiría el haz sin difractar), Ι O es la intensidad incidente y θ es el ángulo entre la normal al plano que contiene la rendija y el rayo difractado observado en P dado por: tan θ = x b siendo b la separación entre la rendija y la pantalla. El análisis de la función D(θ) muestra máximos y mínimos de intensidad. 70

4 Los mínimos ocurren cuando: πθa = nπ n = ± 1, ± 2, ± 3,... λ y los máximos cuando: πθa = ( n + ½) π n = ½,0, ± 1, ± 2, ± 3,... λ De las expresiones anteriores resulta inmediato que: a.- b.- El ancho de cada banda lateral de difracción, determinado por la distancia entre dos mínimos laterales consecutivos es: λ b X D = a El ancho de la banda central de difracción, determinado por la distancia entre los dos mínimos simétricos alrededor del centro es: 2λb A = a valor éste que es justamente el doble del ancho de cada banda lateral. El efecto de difracción que se observaría en pantalla es similar al siguiente dibujo: Las medidas deben ser tomadas hasta el punto central de la zona oscura. A fin de minimizar el error se mide la distancia envolviendo varios mínimos consecutivos y se divide dicha cantidad entre el número de mínimos medidos menos uno. En el ejemplo de la figura sería X m = X m/3. 71

5 4.2.b. APERTURA CIRCULAR El patrón de difracción de una apertura circular consiste en un disco brillante rodeado por una serie de anillos oscuros y brillantes cuya intensidad decae rápidamente al alejarse del centro. La difracción por aperturas circulares es de gran importancia en los instrumentos ópticos ya que este tipo de aperturas se utilizan para limitar la región de incidencia en las lentes y espejos de dichos instrumentos. Para una fuente puntual la imagen que produce una lente convergente o un espejo cóncavo es un disco con sus respectivos anillos de difracción. El radio correspondiente al primer mínimo de difracción está dado por la expresión: R = 1.22 S' λ a donde S es la distancia lente-imagen, λ es la longitud de onda de la radiación incidente, a es el diámetro de la lente. El ángulo subtendido por el anillo de radio R con vértice en el centro de la lente es: λ sen θ = 1.22 a y corresponde a la separación angular mínima que debe existir entre dos fuentes puntuales para que sus respectivas imágenes sean observadas como provenientes de dos fuentes separadas. 72

6 Esto equivale a hacer coincidir el primer mínimo de la luz proveniente de una fuente con el centro del máximo principal de intensidad de la otra fuente, lo que es conocido como criterio de Rayleigh Las dimensiones del disco de difracción representan un límite al poder de resolución de un instrumento, y el ángulo θ es denominado ángulo mínimo de resolución de la lente o el espejo DOBLE RENDIJA Considérese ahora dos rendijas rectangulares paralelas, de igual ancho a, cuyos centros están separados una distancia d. Si se hace incidir sobre las rendijas luz proveniente de una misma fuente se produce, por una parte, efectos de difracción idénticos en cada una de las rendijas, y por otra parte, efectos de interferencia entre los haces emergentes de cada rendija, que son coherentes ya que se originan de la misma fuente. La combinación de los dos efectos se observa en una pantalla, paralela al plano de las rendijas, como un patrón de máximos y mínimos que se puede determinar considerando el siguiente esquema: La intensidad relativa en un punto P de la pantalla esta dada por una expresión combinada de la forma: Ι Ι P O = D( θ ) J( θ ) 73

7 donde D(θ) es la función de difracción de cada rendija, deducida en la subsección 4.2.a., y J(θ) es una función que describe la interferencia originada por la superposición de las dos ondas coherentes provenientes de las dos rendijas respectivas. Con la sola excepción del punto central, los caminos ópticos para las dos ondas referidas anteriormente son diferentes, por lo que se origina una diferencia de fase cuyo valor determina en el punto P una interferencia, constructiva o destructiva, total o parcial. La expresión correspondiente tiene la forma: J( θ ) = 4 cos 2 π d sen λ θ que describe un patrón uniforme de máximos y mínimos finos, en el que la distancia entre dos franjas de interferencia, determinada por la distancia entre dos mínimos consecutivos resulta: λ b X I = d donde b es la distancia de las rendijas a la pantalla. El producto combinado D(θ)J(θ) muestra entonces un máximo central de difracción dentro del cual se observan máximos de interferencia uniformemente espaciados. Lo mismo ocurre con los máximos secundarios de difracción. Se dice entonces que la difracción modula a la interferencia: Si el ancho a de las rendijas es comparable a la distancia d entre sus centros, el ancho A del máximo central de difracción resultará grande con el ancho X de las bandas de interferencia. Para valores de separación d de las rendijas suficientemente grandes, el término de interferencia predomina y las franjas cercanas a la franja central tienen prácticamente iguales intensidades. 74

8 Los máximos de intensidad aparecen para: λ sen θ = m m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... d y los mínimos cuando: λ sen θ = (m + ½) m = ± 1, ± 2, ± 3,... d donde m es el orden de interferencia. De las ecuaciones anteriores se deduce que la posición del máximo de interferencia de orden cero es la misma para todas las longitudes de onda, mientras que la posición de los máximos sucesivos depende de las longitudes de onda DIFRACCIÓN POR TRES O MAS RENDIJAS Cuando el número de rendijas aumenta, el patrón de difracción se modifica, siendo lo mas notable el afinamiento de los máximos de interferencia y la aparición de máximos secundarios muy débiles entre los máximos principales RED DE DIFRACCIÓN La red de difracción es un sistema óptico muy importante en aplicaciones espectroscópicas y está formado por un gran número de rendijas equidistantes, de igual ancho. 75

9 Como una generalización del caso anterior, es de esperarse que en el caso de una red de difracción existan máximos principales muy agudos y máximos secundarios de muy baja intensidad. Un análisis de la intensidad en cada punto del patrón de difracción muestra que, para una red de difracción de N rendijas, los máximos secundarios tienen una intensidad del orden de 1/N² con respecto al máximo principal adyacente, lo que resulta muy pequeño ya que normalmente los valores de N son del orden de decenas de miles de rendijas. Cuando se usa luz monocromática, el patrón observado consiste en una serie de líneas finas brillantes sobre un fondo oscuro. El ancho de cada rendija, muy pequeño, hace que el efecto de difracción sea muy marcado, por lo que el máximo principal de difracción resulta muy extenso en comparación con la separación entre los máximos de interferencia. Esto lleva a que en la práctica se observe un patrón de interferencia puro, aunque el dispositivo sea llamado red de difracción. PARTE EXPERIMENTAL El montaje experimental consistirá en un láser de He-Ne (λ = nm) y un banco óptico que soportará los diversos sistemas de rendijas. Como pantalla de observación resulta más conveniente usar la pared. NO MIRE DIRECTAMENTE LA LUZ PROVENIENTE DEL LASER 76

10 Usted usará para hacer la práctica una placa de vidrio que encierra un placa fotográfica que posee conjunto de rendijas que varían en número, ancho y separación; esta placa fotográfica de la compañía Cornell fue creada espacialmente para el estudio de fenómenos de interferencia y difracción. La siguiente figura muestra la distribución de las rendijas en dicha placa y la forma de identificar sus características. nn 4 4 = = n 4 = 1/2 n 4 = n 4 4 = n 4 = Ancho de Red = n 1 n 2 + (n 1 1) n 3 = (n 1 1) n 4 + n 2 77

11 A continuación daremos las instrucciones para usar el juego de rendijas de interferencia y difracción de la compañía Cornell. En la figura anterior usted verá al lado izquierdo de las rendijas 3 números; el primero corresponde al número de rendijas, el del medio corresponde al ancho en puntos de las mismas antes de una reducción de 8x y el de abajo corresponde a la separación entre las rendijas expresada en puntos. 1 punto = pulgadas. El número, n 4, que se encuentra bajo las figuras corresponde a la distancia en milímetros entre las rendijas. Si llamamos n 1 = número de rendijas, n 2 = ancho de las rendijas y n 3 = separación de las rendijas, entonces: ancho en mm = n De la misma manera obtendremos separación en mm = n = n 2 Ejemplo, para la rendija sencilla de la esquina superior derecha, tenemos: ancho de la rendija = 2 x pulgadas = después de una reducción de 8x = pulgadas = mm Para el segundo elemento hacia debajo de la columna de la derecha, correspondiente a dos rendijas, presenta una separación entre las rendijas de mm (como lo muestra el número debajo del dibujo); se puede calcular que el ancho entre las rendijas es pulgadas y la separación entre las rendijas es de pulgadas. EXPERIMENTOS 1. DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA 1.a. Observe el patrón de difracción correspondiente a una rendija. Mida el ancho del máximo central y el ancho promedio de los máximos laterales. Determine el ancho de la rendija. 1.b. Repita el procedimiento anterior con otra rendija de distinto ancho. Compare con el patrón anterior. 78

12 2. SISTEMA DE DOS RENDIJAS 2.a. Observe el patrón de interferencia modulado por el patrón de difracción, correspondiente a un sistema de doble rendija. 2.b. Mida el ancho promedio de los máximos de interferencia. Determine la separación entre las rendijas. 2.c. Mida el ancho de la envolvente principal de difracción y el de los dos máximos laterales adyacentes. Determine el ancho de cada rendija suponiendo que son idénticas. 2.d. Repita el procedimiento anterior para otro sistema de doble rendija de distinto ancho y separación. 2.e. Fije uno de sus cabellos a la salida del láser. Determine su espesor midiendo el patrón observado. Compare el resultado con el de una medida directa con el tornillo micrométrico. 3. SISTEMA DE N RENDIJAS 3.a. Observe los patrones correspondientes a un sistema de tres, cuatro y cinco rendijas sucesivamente. Discuta cualitativamente sus resultados. 4. RED DE DIFRACCIÓN PLANA POR TRANSMISION 4.a. Observe el patrón correspondiente a una red de difracción plana por transmisión. Determine los ángulos para los haces difractados en distintos órdenes a ambos lados del haz central. 79

13 4.b. La constante de red D equivale a la suma del ancho a de cada rendija y la separación d entre dos consecutivas. Determine la constante de la red D sabiendo que cumple la relación: D sen θ = m λ, donde m es el orden del haz difractado correspondiente 4.c. Calcule el número de líneas por unidad de longitud de la red (1/D) y compare con el valor indicado sobre la misma. 5. RED DE DIFRACCIÓN PLANA POR REFLEXION Para esta parte de la práctica haremos uso de unos pequeños rectángulos recortados de CD y DVD, montados sobre discos de Hartl o haciendo pasar el láser a través de pantallas a las que se le ha hecho un orificio en la parte central para poder colocar los CD o DVD muy cerca de la pantalla ya que los ángulos de difracción son muy grandes. 5.a. Coloque la red formando un ángulo de 45 con el haz incidente, de manera que el haz principal, reflejado, quede a 90 respecto al haz incidente. 5.b. Repita todo el procedimiento del punto 4 para este caso de red de difracción por reflexión. A continuación copiamos la Práctica sugerida por la Compañía Cornell, fabricante de la placa de rendijas (Slitfilm) Esta es una práctica muy completa. Trate de no dedicar demasiado tiempo a un solo tema. 80

14 Interferencia y difracción Interferencia de dos haces En este punto, deberá conseguir que dos haces expandidos (aproximadamente ondas planas) se superpongan en un ángulo pequeño, produciendo franjas de interferencia más finas que las del interferómetro de Michelson. Las franjas serán lo suficientemente gruesas para poder contemplarse con un sencillo microscopio, pero, a su vez, lo suficientemente finas para producir efectos notables de redes de difracción. Para simplificar las cosas, desviará partes de un único rayo láser expandido con la ayuda de dos espejos pequeños que estarán dirigidos de tal forma que superpongan los dos haces pequeños. Procedimiento: 1) Calcule el ángulo que existe entre los haces necesarios para producir una frecuencia de redes de 100 ciclos por milímetro. Con la ayuda del ayudante técnico, elabore un sistema óptico capaz de producir este ángulo de exposición. 2) Siguiendo las instrucciones del ayudante técnico, fije los componentes ópticos para producir los dos haces. Determine las distancias de los espejos, etc., para establecer correspondencias precisas entre las longitudes de trayectoria en el momento en que se superpongan sus haces sobre el soporte de la placa. 3) Monte el soporte de la placa en el lugar en que se cruzan los haces y compruebe que la superposición de éstos es la correcta y que sus intensidades son aproximadamente iguales. La perpendicular a la placa debe bisecar el ángulo entre los haces. 4) Prepare todo para registrar el patrón de franjas de interferencia: a. Sujete el soporte de la placa a la mesa en la orientación y ubicación deseadas. 81

15 b. Mida la intensidad de luz del láser en el área superpuesta y calcule un tiempo de exposición para una media de exposición de 60 microjulios por centímetro cuadrado (600 ergios/cm. 2 ; lo que debería proporcionar una densidad procesada aproximada de 0,6). Cada equipo de estudiantes debería disparar diferentes exposiciones, encuadrando la exposición central por una raíz cuadrada de dos ( medio stop ). Cierre el obturador y compruebe antes su operación con el tubo de presión (squeeze-bulb). c. El ayudante técnico le proporcionará una pequeña placa (aproximadamente la mitad de una placa de 4 x 5 pulgadas, o su equivalente en el sistema métrico, 10,16 x 12,7 cm.). Observe cuál es el lado de la emulsión (existen tres tipos de pruebas para hallar el lado de la emulsión), y sitúe la placa en el soporte con la emulsión en posición opuesta al láser. Exponga la placa el tiempo requerido. Revele la placa siguiendo las indicaciones del ayudante técnico. 5) Una vez seca la placa, debe examinarla cuidadosamente. Halle el área de franjas. Mida el número de franjas por milímetro (la frecuencia espacial) lo mejor que pueda con un microscopio y un retículo y verifique que el resultado es de aproximadamente 100 ciclos/mm. Difracción y análisis de redes 1) Utilizando un nuevo montaje óptico, sitúe la red que ha realizado en la parte anterior de la práctica en el haz sin divergir y proyecte el patrón en una pared u otra superficie. m λ f = ( sen θ fuera sen θ dentro ) en la práctica tiene esta apariencia: para el ojo tiene esta apariencia: 82

16 2) Confirme que uno de los haces difractados es difractado por el mismo ángulo que usted fijó entre los haces expuestos. Deduzca la frecuencia espacial de la red a partir del ángulo del haz difractado utilizando la ecuación de difracción m λ f = (sin θ fuera sin θ dentro ). 3) Compare los esquemas de difracción de diferentes redes expuestas y describa las diferencias. Qué exposición dio como resultado el haz difractado de mayor brillo? 4) Gire la red de tal forma que el rayo láser sea 30 grados incidente a la perpendicular de la placa. Mida los ángulos de los haces difractados y confirme que se corresponden con las predicciones de la ecuación de difracción. 5) Repita el apartado 1 utilizando el láser verde de He-Ne (Gre-Ne laser), que tiene una longitud de onda de 543,4 nm. Éste es simplemente un láser de helio-neón con espejos reflectantes especiales y una mezcla de gas optimizada para esta nueva y extraña longitud de onda. Difracción multi-rendijas Cuando la luz atraviesa dos rendijas paralelas cercanas, se propaga por cada una de ellas para convertirse en dos ondas cilíndricas. En el punto en el que los haces se superponen, estas ondas interfieren (de forma parecida a ondas planas de diferente inclinación) para producir un suave patrón de interferencia de franjas paralelas de variación sinusoidal. Si una tercera rendija, separada por la misma distancia, se abre, las franjas brillantes se vuelven más nítidas y entre ellas aparecen otras más tenues. A medida que se abren más rendijas, las definición de las franjas brillantes aumenta y los espacios entre éstas se vuelven más oscuros, hasta parece que el haz se divide en sólo unos pocos haces difractados que no superan en anchura al haz original. Dicha distribución de varias rendijas de igual espaciamiento es lo que generalmente se denomina red de difracción. En esta práctica observaremos esta acumulación de comportamiento de redes de difracción proveniente de un número cada vez mayor de rendijas, que se registran en el Cornell Interference and Diffraction Slitfilm Demonstrator, que es una placa portaobjetos de vidrio que le proporcionará el ayudante técnico. Procedimiento: Hemos examinado la placa de matrícula de California (CAL). En esta parte de la práctica, realizará algunas observaciones cuantitativas de un pequeño grupo de patrones de dicha placa de matrícula. 1) Halle la esquina de la placa portaobjetos en la que se encuentran las letras CAL y una especie de ala en un círculo de aproximadamente una cuarta de diámetro. Este logotipo debería estar situado en la esquina superior derecha. La segunda columna por la izquierda es, en su mitad inferior, una rendija cuya anchura disminuye continuamente. Alumbre con un láser de He-Ne sin divergir a través de la rendija en una pantalla. Moviendo cuidadosamente la placa portaobjetos de arriba a abajo, observe que la anchura del haz difractado aumenta cuando disminuye la anchura de la rendija. La rendija se encuentra situada en un trozo de película fotográfica situada entre dos cristales, por lo que hay bastantes reflejos internos que no hacen sino aumentar la confusión. Trate de recoger los patrones significativos de esta mezcla confusa! 2) La segunda columna por la derecha se compone de una única rendija en la parte superior y por debajo de ésta hay dos, tres, cuatro y diez rendijas idénticas, una al lado de la otra. El espacio entre las rendijas es dos veces la anchura de la rendija en todos los casos. 83

17 Siguiendo el mismo sistema que en la primera parte, sitúe las redes de 1, 2, 3, 4 y 10 rendijas delante del láser y observe los cambios en el patrón de difracción. Observe y realice un esbozo de un subconjunto significativo de modelos provocados por estas rendijas. Utilizando sus mediciones, haga una estimación del número de rendijas por milímetro que hay en el Slitfilm. 3) Confirme sus observaciones mirando a través del Slitfilm hacia una fuente puntual (una luz láser o una bombilla de filamento desnudo). Estudios de transmisión y redes de reflexión A continuación, examinaremos una variedad de redes de difracción para tratar de estimar sus frecuencias espaciales (espaciado entre surcos, líneas por milímetro, etc.), el número y las orientaciones de estructuras de redes múltiples, etc. El sistema será de nuevo como en la parte 2, pero, en ocasiones, los patrones tendrán que reflejarse en una cartulina blanca para ser medidos. 1) Coloque los rayos láser a través de alguna de las redes comerciales que puedan encontrarse en el laboratorio ( cristales de espectro, filtros de cámaras, etc.), y describa las principales características de sus esquemas de difracción. Determine las frecuencias espaciales y las orientaciones de las redes de sus componentes, si es posible. 2) A pesar de que los surcos adyacentes de un videodisco y un disco compacto de audio son diferentes en cuanto a detalles (guardan diferentes tipos de datos), son lo suficientemente similares como para producir vívidos efectos de difracción. Refleje el rayo láser de estos discos, mida los ángulos de los haces difractados y determine el espaciado entre las pistas (diferencia progresiva de radios) de los discos. Analice las direcciones de la difracción de la luz de los discos. CONOCIMIENTOS PRELIMINARES Antes de realizar la práctica el estudiante debe tener claro los siguientes conceptos: 01 Principio de Huygens. 02 Interferencia de ondas. Coherencia. Caso de dos fuentes puntuales. Función de interferencia. 03 Difracción de una onda. Difracción de Fraunhofer. Función de difracción. 04 Experimento de Young. Interferencia y difracción combinada en un sistema de doble rendija. Función resultante. 05 Interferencia de n fuentes puntuales coherentes. Función de interferencia. 84

18 06 Resolución por una apertura circular. 07 Red de difracción. Poder de resolución. OBJETIVOS Al finalizar la práctica, el estudiante debe estar en capacidad de: 01 Lograr la condición de Fraunhofer utilizando las lentes disponibles en el laboratorio. 02 Identificar la franja central y las franjas laterales en un patrón de difracción. 03 Calcular el ancho de una rendija simple a partir de su patrón de difracción. 04 Identificar las bandas de interferencia y difracción en el patrón producido por dos o mas rendijas idénticas. 05 Calcular el ancho de las rendijas y su separación a partir del patrón producido por dos o mas rendijas idénticas. 06 Ordenar, cualitativamente, varios patrones de difracción en función de su número de rendijas. 07 Medir el espesor de objetos finos como cabellos, hilos o alambres, a partir del patrón de difracción producido por sus bordes 08 Determinar para una red de difracción el número de líneas por unidad de longitud, a partir del patrón observado. IE/ LC/