DREYFOUS & ASSOCIATES Descripción del curso GEOMETRÍA D&A

Transcripción

1 DREYFOUS & ASSOCIATES Descripción del curso GEOMETRÍA D&A 1

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3 TABLA DE CONTENIDO Descripción del curso... 4 Estructura del curso... 6 Desglose de unidades Unidad 1. Principios de la geometría..11 Unidad 2. Puntos, rectas y planos 14 Unidad 3. Ángulos..16 Unidad 4. Perpendiculares y paralelas..18 Unidad 5. Triángulos..21 Unidad 6. Congruencia y semejanza..24 Unidad 7. Relaciones métrica en los triángulos.27 Unidad 8. Polígonos 29 Unidad 9. Circunferencias y círculos..31 Unidad 10. Perímetros y áreas Unidad 11. Geometría del espacio.35 Unidad 12. Área superficial y volumen Unidad 13. Fundamentos de trigonometría

4 Descripción del curso El curso de Geometría tiene como objetivos desarrollar en el estudiante destrezas matemáticas de alto nivel y crear conciencia de la importancia del estudio de las matemáticas para atender problemas y situaciones que se presentan en el mundo cotidiano. A través del contenido desarrollado y de las estrategias y técnicas utilizadas, se propicia en el estudiante el entendimiento profundo de los conceptos, así como las destrezas técnicas necesarias para el estudio posteriores cursos y sus aplicaciones. La manera en la que se introducen y se presentan los temas, los ejemplos y aplicaciones que se utilizan, tanto como en la forma en la que se desarrollan las destrezas matemáticas, permiten que el estudiante visualice, entienda y valore la utilidad de la matemática en la vida diaria. Las áreas y temas que se discuten en el curso incluyen: fundamentos histórico de la geometría, el punto la recta y el plano, ángulos y sus relaciones, triángulos y cuadriláteros, polígonos, circunferencia y círculos, figuras tridimensionales, fundamentos de trigonometría y construcciones. Los contenidos contemplan los Estándares de Contenido y Expectativas de Grado (Puerto Rico Core Standards) del Departamento de Educación de Puerto Rico y los Common Core State Standards de Estados Unidos. La delineación de objetivos por lección considera al detalle todos los conceptos y destrezas necesarios para que el estudiante pueda establecer las conexiones entre los estándares: numeración y operación, álgebra, funciones, geometría, medición y análisis de datos, en los que actualmente se categoriza la matemática. El enfoque de enseñanza se fundamenta en el entendimiento conceptual, el desarrollo de destrezas y la solución de problemas matemáticos; de la mano del desarrollo de destrezas de pensamiento crítico, como medio para la formación integral del estudiante. El curso integra, de forma deliberada, contenidos de Ciencias, Tecnología, Ingeniería, entre otros, con un doble propósito; uno de ellos es propiciar que el estudiante vea la aplicación directa de lo que aprende y visualice la importancia de las Matemáticas como disciplina universal al servicio de la sociedad y sus instituciones. Por otro lado, la incorporación de situaciones y problemas de la vida diaria en cada uno de los temas que se discuten, pretende despertar en el estudiante su interés hacia el estudio de las matemáticas. 4

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6 Estructura del curso El curso de Geometría consiste de trece unidades, cuidadosamente subdivididas en diferentes lecciones. La cantidad de lecciones por unidad, depende del alcance y profundidad con el que se discuten y desarrollan los diferentes temas. Cada unidad comienza con una serie de preguntas esenciales para explorar y exponer al estudiante a las interrogantes que encontrará a lo largo de la lección. También podrá encontrar vídeos que expone de forma concreta, la importancia para la vida diaria de los temas que se van a discutir. Cada lección cuenta con una presentación interactiva, dividida a su vez en secciones, en las que se exponen y explican los contenidos del tema a estudiar. En cada presentación se incluyen definiciones conceptuales, ejemplos concretos, explicaciones, múltiples representaciones, representaciones con manipulativos, ejercicios de práctica, actividades de laboratorio, actividades de construcciones geométricas y aplicaciones de los conceptos y destrezas en la vida diaria. Por otro lado, las lecciones incluyen: ejercicios de práctica, pruebas cortas, laboratorios de práctica adicional; asignaciones, autoevaluación y la ficha descriptiva con información detallada para el maestro, así como una variedad de enlaces a internet, entre otros. Algunas lecciones incluyen laboratorios que presentan y refuerzan conceptos algebraicos y geométricos, mediante el uso de manipulativos y herramientas tecnológicas como la calculadora gráfica y enlaces de actividades interactivas. Las actividades son variadas y flexibles, con el propósito de satisfacer las necesidades e intereses particulares de cada estudiante. Las actividades de práctica y de autoevaluación, persiguen concienciar al estudiante sobre sus fortalezas y debilidades en el dominio del contenido, con el propósito de que poco a poco asuma control de su aprendizaje. El maestro, como parte integral y esencial en ese proceso, tendrá la responsabilidad de estimular, orientar, guiar y evaluar periódicamente el aprendizaje alcanzado por el estudiante. 6

7 Las unidades se componen de las siguientes partes: Lecciones Cada unidad se compone de diferentes lecciones, divididas por temas, macro conceptos y destrezas. A su vez, cada lección se compone de cinco elementos fundamentales: Presentación o contenido del curso, Documentos en PDF, Enlaces a internet, y Ficha descriptiva. Tales elementos se describen a continuación: Ficha descriptiva Es el plan detallado de la lección. Esta incluye los objetivos específicos de la lección, los estándares y expectativas, las estrategias y recursos de enseñanza, términos claves, enlaces a internet, referencias, entre otros. Solo el maestro tendrá acceso a las fichas descriptivas de las lecciones. Presentación (Lesson Content) Cada presentación contiene de forma detallada, la explicación de los conceptos y destrezas de la lección, según se establecen en los objetivos. Además se compone de las siguientes secciones que contribuyen sistemáticamente al desarrollo de aprendizaje deseado en el estudiante: Ejemplos En cada sección, cuando se desarrollan destrezas, se incluyen ejemplos que explican paso a paso la solución de un ejercicio o un problema, de manera que el estudiante repase los conceptos y las destrezas presentadas. Práctica Incluye una serie de ejercicios cuidadosamente seleccionados para exponer al estudiante a practicar las destrezas y conceptos discutidos. Tiene el propósito de cotejar periódicamente el aprendizaje alcanzado por el estudiante antes de continuar con otros temas y destrezas. No incluye procedimientos, ni explicaciones, solo incluye la solución de los mismos. Solución Se utiliza para mantener oculto la solución a un ejercicio o problema que el estudiante debe tratar de contestar antes de pulsar este icono, ya que con esta acción se despliega la solución o respuesta al mismo. 7

8 Procedimiento Es un rótulo detrás del cuál aparecen los pasos o el algoritmo a seguir al resolver un ejercicio o problema. Demostración Presenta demostraciones formales de la derivación de fórmulas o algoritmos importantes. Calculadora Incluye la explicación de procesos en el uso y manejo de la calculadora para resolver los ejercicios de la sección. También conecta al estudiante con la calculadora gráfica virtual. Animación Permite acceder a explicaciones, procedimientos o gráficas que muestran de manera visual los conceptos y destrezas discutidos en la sección. Permiten atender el desarrollo y entendimiento conceptual del estudiante. Definición Incluye definiciones matemáticas formales de conceptos y procesos mencionados o discutidos. Biografía Incluye una corta biografía del matemático o científico al que se le atribuye el desarrollo de la definición, fórmula, procedimiento o demostración que se utiliza en la lección. Nota En este icono se puntualizan errores comunes o se refuerzan detalles que no se deben olvidar. Sabías que Es una sección que presenta una explicación o situación que conecta aspectos de la vida diaria con los conceptos y destrezas matemáticas discutidas. En algunos casos esta sección muestra el vínculo entre el desarrollo del pensamiento lógico de los seres humanos con ciertos destrezas y procesos matemáticos. 8

9 Pestañas Se encuentran al lado derecho de la presentación y pueden ser de color vino o azules. Se despliegan hacia la izquierda e incluyen: flujo-gramas, biografías, notas, fotos, explicaciones, sugerencias, recordatorios, sabías que o conocimiento previo necesario. Incorrecto Indica cuando el estudiante ha seleccionado una respuesta incorrecta en los ejercicios de práctica que se incluyen. Correcto Indica la selección correcta a la respuesta de un ejercicio o problema de práctica. Foto o imagen Conecta una explicación particular con una foto o imagen que probablemente se accede del internet. Vídeo Es el acceso a un corto vídeo que vincula el contenido matemático con la vida diaria. Internet Es un enlace directo a un sitio o portal del internet estrechamente relacionado con el tema. Cada una de las secciones que incluye la presentación, están conectadas a un icono en particular que la identifica, según se muestra en la explicación ofrecida. En las presentaciones iniciales del curso, se incluye el icono con la palabra que describe la sección, para que el estudiante se vaya familiarizando con lo que representa cada uno de los iconos. En presentaciones posteriores, solo se incluye el icono que da acceso a la sección. Presionar el icono, llevará la presentación inmediatamente a la sección específica que el mismo representa. 9

10 Documentos en PDF Estos documentos incluyen: Copia de ejercicios de práctica de la lección, Sección de Práctica adicional, Actividades para trabajar con la calculadora o asignaciones. Estos son documentos que se pueden imprimir para que el estudiante los trabaje a lápiz y papel. Las asignaciones son ejercicios y problemas que el estudiante trabaja en el hogar y le permiten, mediante la práctica, afianzar los conceptos y destrezas aprendidas. Las mismas son opcionales. Enlaces a internet Estos enlaces son una conexión directa al internet y se pueden acceder directamente desde la presentación. Los mismos incluyen explicaciones adicionales, ejemplos, aplicaciones o demostraciones que permiten el desarrollo conceptual de los estudiantes en los temas y destrezas discutidas. Documentos de unidad Lección 0 No es una lección de contenido, sino un archivo que contiene los elementos de la unidad: Documentos en PDF, evaluaciones de la unidad y vídeo de introducción entre otros. o Documentos PDF Actividades de laboratorio de aplicación y desarrollo conceptual, Actividades de laboratorio para el desarrollo de las destrezas, Actividades con el uso de la calculadora, Ejercicios adicionales, Actividades de Assessment. o Evaluaciones Incluye las evaluaciones a usarse en la unidad. Pre prueba y pos prueba de la unidad. En la lección 00 de la Unidad I, habrá una prueba diagnóstica del curso completo. o Zona real Consiste de un corto vídeo que presenta situaciones o elementos de nuestro entorno inmediato, en el que se visualiza de forma concreta el uso y la aplicación de los conceptos y destrezas que se van a estudiar en la unidad. Con este vídeo se puede introducir el tema a estudiar y se presenta la utilidad para la vida diaria de lo que se va a aprender. 10

11 Desglose de unidades A continuación se desglosa el contenido del curso con sus respectivas unidades, lecciones, objetivos generales por unidad, tema o título de las unidades y de cada lección, así como los objetivos y conceptos específicos por lección. Unidad 1. Principios de la geometría Esta es una unidad que enmarca el estudio de la geometría desde su aspecto histórico y como las civilizaciones antiguas aportaron a la construcción de los conceptos y destrezas matemáticas relacionadas con la geometría. También se presenta las aportaciones de personajes relevantes que han tenido un protagonismo en el desarrollo de la geometría. Fundamentos como axiomas, postulados, teoremas y el proceso de demostración son temas que se elaboran en esta unidad. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Discutirá el objetivo de estudio de la geometría, los eventos y personajes históricos de relevancia. Identificará los elementos básicos de la geometría con la nomenclatura correcta. Lección 0. Principios de la geometría Código: C317G0SU01L00 Documentos de unidad Lección 1. Fundamentos históricos de la geometría Código: C317G0SU01L01 Mencionar el objetivo del estudio de la geometría. Babilonia Egipto Grecia Investigar y reconocer la aportación de las civilizaciones de Babilonia, Egipto y Grecia a la geometría. 11

12 Lección 2. Grandes pensadores matemáticos Código: C317G0SU01L02 Identificará los personajes más relevantes en el desarrollo de la geometría. Investigar y reconocer la aportación de diferentes personajes a la ciencia de la geometría. Establecer una línea del tiempo sobre los pensadores y estudiosos de la geometría a lo largo de la historia. Tales de Mileto Pitágoras de Samos Euclides Arquímides de Siracusa Apolonio de Perga Herón de Alejandría Lección 3. Geometría no Euclidiana Código: C317G0SU01L03 Explorar las aportaciones de matemáticos contemporáneos a la geometría. Contrastar la geometría euclidiana y la no euclidiana. Identificar la aportación de las diferentes disciplinas dentro de la geometría. Geometría no Euclidiana Lobatcheusky Riemann Lección 4. Fundamentos y generalidades Código: C317G0SU01L04 Definir y reconocer el método inductivo y deductivo. Identificar los caracteres o propiedades de la igualdad. Definir las características de un cuerpo geométrico. Método inductivo Método deductivo Caracteres de la igualdad Caracteres de la desigualdad Cuerpos geométricos Falacias 12

13 Lección 5. Terminologías y conceptos generales Código: C317G0SU01L05 Definir axioma y postulado. Definir términos como teorema, hipótesis, tesis, corolario. Determinar la hipótesis y tesis de un teorema. Determinar el teorema reciproco de un teorema dado. Axioma Postulado Teorema Hipótesis Tesis Demostración Corolario Teorema recíproco 13

14 Unidad 2. Puntos, rectas y planos Esta unidad presenta los elementos o cuerpos geométricos en los que se fundamenta la geometría euclidiana. El reconocimiento de la notación y nomenclatura de los puntos, rectas y planos como el entendimiento de los postulados relacionados al punto, la recta y el plano es la esencia de esta unidad. En esta unidad se introduce el proceso de la demostración a dos columnas de teoremas utilizando los postulados y propiedades de la igualdad y los números reales. También se introduce los conceptos y destrezas relacionados a la transportación de cuerpos geométricos en especial el segmento como también las operaciones de segmentos. generales Identificar en un diagrama los elementos de la recta y la nomenclatura. Realizar operaciones de segmentos. Identificar los postulados de la recta y los segmentos. Demostrar el teorema de la envuelta y envolvente. Demostrar teoremas y resolver problemas relacionados con la suma y resta de segmentos. Lección 0. Puntos, rectas y planos Código: C317G0SU02L00 Documentos de unidad Lección 1. Puntos y líneas Código: C317G0SU02L01 Identificar puntos en el plano. Utilizar la nomenclatura correcta para puntos y líneas. Representar los postulados relacionados con los puntos y líneas. Definir e identificar líneas quebradas. Clasificar líneas quebradas en convexas o cóncavas, y abiertas o cerradas. Notación Tipos de líneas Abierta cerrada Cóncava convexa Quebrada o poligonal Lección 2. Rectas Código: C317G0SU02L02 Identificar y establecer la nomenclatura correcta relacionada con la recta, segmento y semirecta. Discutir los postulados relacionados con los puntos, rectas y segmentos. Definir la suma y resta de segmentos. Resolver problemas relacionados con las operaciones de segmentos. 14

15 Demostrar la ley de la monotonía y propiedad uniforme. Demostrar del teorema de la envuelta y la envolvente. Notación Postulados Semirecta/rayo Segmento (Postulado) Puntos colineales Medida y operaciones con segmentos Teorema: Envuelta y envolvente Lección 3. Plano y superficie Código: C317G0SU02L03 Identificar y establecer la nomenclatura correcta relacionada a los planos. Representar los postulados relacionados con los puntos, rectas y planos. Identificar puntos en el plano y la relación entre ellos. Identificar puntos coplanarios. Notación Plano (Postulados) Coplanario Semiplano Lección 4. Construcciones de segmentos Código: C317G0SU02L04 Construir la longitud de un segmento dada su medida. Utilizar un transportador de segmento para construir un segmento congruente. Dividir un segmento en partes iguales utilizando el compás. Transportación de segmentos División de un segmento en n partes 15

16 Unidad 3. Ángulos Esta unidad presenta la definición y clasificación de ángulos. Se presenta el sistema sexagesimal para medir los ángulos y a su vez discute la relación entre ángulos tales como los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice. Se presentan diferentes demostraciones para comprobar teoremas relacionados a los ángulos. Se establece la relación entre otros sistemas de medida de ángulos como es el concepto de radián. Se presenta la transportación de segmento y la construcción de ángulos congruentes. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Definir el concepto de ángulo y la nomenclatura utilizada. Clasificar los ángulos de acuerdo a su medida. Realizar operaciones con ángulos. Identificar ángulos consecutivos, adyacentes, complementarios y suplementarios. Demostrar el teorema de los ángulos opuestos por el vértice. Demostrar teoremas relacionados con la suma y resta de ángulos Lección 0. Ángulos Código: C317G0SU03L00 Documentos de unidad Lección 1. Ángulos Código: C317G0SU03L01 Definir el concepto de ángulo. Utilizar la nomenclatura correcta para identificar los ángulos. Clasificar los ángulos como agudos, rectos, obtusos o rectilíneos de acuerdo a su medida. Realizar la suma y resta de ángulos en el sistema sexagesimal. Definir la medida de ángulos en radianes. Convertir mediadas de ángulos del sistema sexagesimal a radian y viceversa. Definiciones Notación / nomenclatura Medida de ángulos Sistema sexagesimal Clasificación Sistema decimal Radián Operaciones con ángulos 16

17 Lección 2. Relaciones entre ángulos Código: C317G0SU03L02 Definir y comparar ángulos adyacentes y consecutivos. Resolver problemas relacionados con ángulos adyacentes. Resolver problemas de ángulos complementarios y suplementarios. Determinar la medida de ángulos consecutivos sobre una línea recta y alrededor de un punto. Demostrar el teorema de los ángulos opuestos por el vértice. Resolver problemas que envuelvan ángulos opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios, consecutivos sobre una línea recta y alrededor de un punto. Demostrar teoremas relacionados con la suma y resta de ángulos, ángulos opuestos por el vértice, ángulos complementarios y suplementarios. Definir la bisectriz de un ángulo. Consecutivos Sobre una línea recta Alrededor de un punto Complementarios Suplementarios Opuestos por el vértice Bisectriz Lección 3. Construcciones de ángulos Código: C317G0SU03L03 Utilizar el transportador de ángulo para construir ángulos congruentes. Utilizar el compás para construir ángulos congruentes. Trazar la bisectriz de un ángulo. Transportador de ángulos Transportación de un ángulo Bisectriz de un ángulo 17

18 Unidad 4. Rectas paralelas y perpendiculares En eta unidad se desarrolla el concepto de paralelismo y perpendicularidad y como se aplica a los cuerpos geométricos en especial las rectas y los planos. Se presenta la relación entre los ángulos formados al trazar una transversal a rectas paralelas y los teoremas relacionados. También se demuestra la construcción de rectas paralelas y perpendiculares desde diferentes perspectivas. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Definir el concepto de rectas paralelas y perpendiculares. Determinar la medida de los ángulos entre paralelas cortadas por una secante. Demostrar teoremas relacionados con rectas paralelas y perpendiculares. Lección 0. Rectas paralelas y perpendiculares Código: C317G0SU04L00 Documentos de unidad Lección 1. Definición y postulados de las rectas perpendiculares Código: C317G0SU04L01 Definir rectas perpendiculares. Representar los postulados relacionados a rectas perpendiculares. Identificar y utilizar correctamente la nomenclatura de rectas perpendiculares. Identificar planos perpendiculares. Teorema del punto exterior Perpendiculares Lección 2. Definición y postulados de las rectas paralelas Código: C317G0SU04L02 Definir paralelismo y rectas paralelas. Representar los postulados relacionados a rectas paralelas. Identificar y utilizar correctamente la nomenclatura de rectas paralelas. Identificar planos paralelos. Paralelas Postulados de Euclides 18

19 Lección 3 Código: Rectas intersecadas por una secante C317G0SU04L03 Identificar la recta secante que interseca otras rectas. Representar los postulados de rectas paralelas y el postulado de Euclides. Nombrar los ángulos formados por dos rectas cortadas por una secante. Demostrar los teoremas relacionados con ángulos alternos internos, ángulos alternos externos, ángulos conjugados o colaterales internos y externos entre paralelas. Resolver problemas que relacionen los ángulos correspondientes, alternos internos externos y ángulos conjugados o colaterales internos y externos entre paralelas. Aplicar los conceptos de ángulos entre paralelas intersecadas por una secante para resolver problemas de aplicación. Secante Consecutivos Alternos internos Alternos externos Colaterales internos (Conjugados) Colaterales externos (Conjugados) Lección 4. Relación entre ángulos con lados paralelos Código: C317G0SU04L04 Demostrar las propiedades de los ángulos que tienen sus lados paralelos. Resolver problemas de aplicación utilizando las propiedades de los ángulos que tienen sus lados paralelos. Paralelas Perpendiculares Lección 5. Construcciones de perpendiculares y paralelas Código: C316G0SU04L05 Construir la recta perpendicular a una recta por un punto exterior a esta. Construir la recta perpendicular que contenga un punto de la recta. Trazar la perpendicular por el extremo de un segmento. Trazar la perpendicular por el punto medio de un segmento (mediatriz). Construir una recta paralela a otra por un punto exterior. Perpendicular Punto exterior 19

20 Punto interior Mediatriz Extremo de un segmento Paralela 20

21 Unidad 5. Triángulos Esta es una unidad pretende desarrollar un visión amplia de la definición del triángulo y sus características. Se desarrollan conceptos avanzados como son los puntos y rectas notables del triángulo como son las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices y sus puntos notables. Se desarrollan los teoremas relacionados la suma de los ángulos interiores y la medida de un ángulo exterior. La lección de construcciones aporta una visión avanzada de la importancia del ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro y como se puede aplicar en la vida diaria. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Definir el concepto de triángulo como el área limitada por tres rectas que se intersecan de dos a dos Identificar los elementos del triángulo. Clasificar los triángulos atendiendo la medida de los lados y los ángulos. Identificar los puntos y rectas notables de un triángulo. Demostrar el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Demostrar el teorema relacionado con la medida de un ángulo exterior de un triángulo. Establecer la relación entre la medida de un lado y la del ángulo opuesto. Resolver problemas de aplicación relacionados con los teoremas del triángulo. Determinar e identificar las propiedades de un triángulo equilátero. Determinar e identificar las propiedades de un triángulo isósceles. Resolver problemas que relacionen las propiedades de los triángulos equiláteros e isósceles. Lección 0. Triángulos Código: C317G0SU05L00 Documentos de unidad Lección 1. Triángulos Código: C317G0SU05L01 Definirá el concepto de triángulo como el área limitada por tres rectas que se intersecan de dos a dos Identificar los elementos del triángulo. Clasificará los triángulos atendiendo la medida de los lados y los ángulos. Establecerá la relación entre la medida de un lado y la del ángulo opuesto. Triángulo Equilátero Isósceles 21

22 Escaleno Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Relación entre ángulos y lados Lección 2. Ángulos del triángulo Código: C317G0SU05L02 Demostrará el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Demostrará el teorema relacionado con la medida de un ángulo exterior de un triángulo. Resolverá problemas de aplicación relacionados con los teoremas del triángulo. Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo Teorema de la medida de un ángulo exterior de un triángulo Suma de los ángulos exteriores de un triángulo Lección 3. Puntos y rectas notables en el triángulo Código: C317G0SU05L03 Identificar y trazar los puntos y rectas notables de un triángulo. Establecer la relación entre el baricentro y la distancia al punto medio y el vértice. Establecer la relación del circuncentro y la distancia a los vértices. Establecer la relación del incentro y la distancia a los lados del triángulo. Identificar la relación entre los puntos notables y la recta de Euler. Altura Ortocentro Medianas Baricentro (centroide) Mediatriz (Bisectriz perpendicular) Circuncentro Bisectriz Lección 4. Propiedades del triángulo Equilátero e Isósceles Código: C317G0SU05L04 Determinar e identificar las propiedades de los triángulos equiláteros. Determinar e identificar las propiedades de los triángulos isósceles. 22

23 Resolver problemas que relacionen las propiedades de los triángulos equiláteros e isósceles. Relación de la altura, mediana, mediatriz y bisectriz en un triángulo equilátero. Relación de la altura, mediana, mediatriz y bisectriz en un triángulo isósceles. Lección 5. Construcciones de puntos y rectas notables Código: C317G0SU05L05 Construir las alturas de un triángulo e identificar el ortocentro. Construir las medianas de un triángulo e identificar el baricentro. Construir las mediatrices de un triángulo e identificar el circuncentro. Construir las bisectrices de un triángulo e identificar el incentro. Utilizar las construcciones geométricas para deducir propiedades de triángulos rectángulos, obtusángulos, equiláteros, isósceles. Trazar la recta de Euler. Altura Ortocentro Mediana Centroide - Baricentro Mediatriz Circuncentro Bisectriz Incentro Recta de Euler 23

24 Unidad 6. Congruencia y semejanza Esta una unidad pretende comparar las característica en común o diferentes entre dos figuras en este caso los triángulos congruentes y semejantes. Se discute el concepto de razón y proporción como base para para la demostración de teoremas avanzados en el área de geometría como es el teorema de Pitágoras entre otros. Las destrezas y conceptos desarrollados en esta unidad ofrecerá la oportunidad al estudiante obtener los fundamentos para otros cursos avanzados como es el curso de trigonometría y precálculo. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Determinar la congruencia de dos triángulos utilizando los criterios de congruencia L.L.L., L.A.L. y A.L.A. Definir y aplicar el concepto de razón. Establecer la proporción entre dos razones. Resolver proporciones utilizando las propiedades correspondientes. Resolver problemas relacionados a la proporcionalidad de segmentos. Determinar si dos triángulos son semejantes. Aplicando los criterios a.a, a.l.a y l.l.l. Demostrar el Teorema de Tales de Mileto y su aplicación en la resolución de problemas. Aplicar el teorema relativo al segmento paralelo a un lado del triangulo Lección 0. Congruencia de triángulos Código: C317G0SU06L00 Documentos de unidad Lección 1. Representaciones de relaciones Código: C317G0SU06L01 Determinar la congruencia de dos triángulos utilizando los criterios de congruencia L.L.L., L.A.L. y A.L.A. Determinar la congruencia de triángulos rectángulos. Resolver problemas relacionados con la congruencia de triángulos. Criterio LLL Criterio ALA Criterio LAL Congruencia de triángulos rectángulos 24

25 Lección 2. Razones y proporciones Código: C317G0SU06L02 Definir el concepto de razón y proporción Identificar los componentes de una proporción. Identificar y demostrar las propiedades de proporcionalidad. Resolver proporciones utilizando la multiplicación cruzada. Resolver problemas que relacionen las propiedades de proporcionalidad. Razón Proporción Propiedades de las proporciones Cuarta proporcional de tres cantidades Tercera proporcional a dos cantidades Media proporcional a dos cantidades Lección 3. Segmentos proporcionales Código: C317G0SU06L03 Demostrar el Teorema de Tales de Mileto con respecto a las paralelas cortadas por dos transversales. Aplicar el teorema de Tales de Mileto en la solución de triángulos. Segmentos proporcionales Transversales Teorema de Tales de Mileto Lección 4. Teoremas relacionados al segmento paralelo a un lado de un triángulo Código: C317G0SU06L04 Aplicar el teorema relativo a los puntos medios de los lados de un triángulo. Demostrar el teorema relacionada con la bisectriz de un ángulo y los segmentos determinados en el lado opuesto. Segmento paralelo a un lado de un triángulo Teorema de la bisectriz Lección 5. Semejanza de triángulos Código: C317G0SU06L05 Determinar la semejanza de triángulos utilizando los criterios a.a., l.l.l. y a.l.a. 25

26 Resolver problemas de aplicación utilizando la semejanza de triángulos y las propiedades de proporciones. Semejanza Criterios de semejanza 26

27 Unidad 7. Relaciones métrica en los triángulos En el estudio de la geometría y otras materias relacionadas el Teorema de Pitágoras ocupa un lugar muy especial. Esta unidad comenzará con el concepto de la proyección de segmentos continuando con el teorema relativo a la altura correspondiente a la hipotenusa con el objetivo de establecer las bases para la demostración del teorema de Pitágoras. La aplicación de este teorema permitirá al estudiante desarrollar las destrezas necesarias para enfrentar temas de cursos avanzados como es la trigonometría y la resolución de triángulo y la fórmula de distancia entre otros. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Representar la proyección de un punto o un segmento sobre una recta. Demostrar el teorema relativo a la altura correspondiente a la hipotenusa y sus corolarios. Demostrar el teorema de Pitágoras. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos. Demostrar la generalización del teorema de Pitágoras para la clasificación de triángulos. Lección 0. Relaciones métrica en los triángulos Código: C317G0SU07L00 Documentos de unidad Lección 1. Proyecciones Código: C317G0SU07L01 Determinar las proyecciones de un punto y un segmento sobre una recta. Proyección Lección 2. Teorema relativo a la altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Código: C317G0SU07L02 Demostrar el teorema relativo a la altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Proyección sobre la hipotenusa Altura correspondiente a la hipotenusa 27

28 Lección 3. Teorema de Pitágoras Código: C317G0SU07L03 Demostrar el Teorema de Pitágoras. Resolverá problemas que envuelvan el uso del teorema de Pitágoras. Hipotenusa Catetos Demostraciones Lección 4. Generalización del Teorema de Pitágoras Código: C317G0SU07L04 Desarrollar la generalización del teorema de Pitágoras. Demostrar el teorema al valor del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso en un triángulo. Clasificar un triángulo utilizando el teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras Acutángulo Rectángulo Obtusángulo 28

29 Unidad 8. Polígonos El estudio del triángulo ha permitido establecer las bases para conocer las propiedades y teoremas de otros polígonos. En esta unidad se presenta el análisis de las características de polígonos regulares e irregulares y teoremas relacionados con la suma de sus ángulos interiores y exteriores. Además se establecerán las fórmulas para determinar el número de diagonales que se pueden trazar en cualquier polígono. Como parte del estudio de los polígonos se presenta de forma especial el estudio de los cuadriláteros atendiendo la clasificación y propiedades de los mismos. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Clasificar los polígonos según el número de lados. Determinar si un polígono es regular o irregular, convexo o cóncavo. Determinar la suma de los ángulos de cualquier polígono. Determinar la medida de un ángulo interior de un polígono regular. Demostrar el teorema de la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Determinar la medida de un ángulo exterior de un polígono regular. Calcificar los cuadriláteros de acuerdo a sus características y propiedades. Resolver problemas relacionados a los cuadriláteros. Aplicar las transformaciones a polígonos en el plano cartesiano. Lección 0. Polígonos Código: C317G0SU08L00 Documentos de unidad Lección 1. Definición y clasificación de polígonos Código: C317G0SU08L01 Clasificar los polígonos de acuerdo al número de lados. Identificar y clasificar los polígonos como cóncavo o convexo. Identificar y clasificar los polígonos como regular o irregular. Cóncavos y convexos Regulares e irregulares Lección 2. Ángulos y diagonales en los polígonos Código: C31G0SU08L02 Determinar la suma de los ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono. Determinar la medida de un ángulo interior y exterior de un polígono regular. 29

30 Trazar las diagonales de cualquier polígono. Determinar el número de diagonales trazadas desde un vértice de un polígono. Determinar el total de diagonales que se pueden trazar en un polígono. Diagonal Ángulo interior Ángulo exterior Lección 3. Cuadriláteros Código: C317G0SU08L03 Clasificar los cuadriláteros de acuerdo a sus características y propiedades. Identificar las propiedades y características de cada cuadrilátero. Utilizar las propiedades de los cuadriláteros para resolver problemas. Romboides Paralelogramos Trapecios Deltoides Trapezoide Lección 4. Simetría y transformaciones Código: C317G0SU08L04 Definir los diferentes tipos de transformaciones de figuras. Realizar transformaciones en el plano cartesiano Identificar si dos figuras son congruentes o semejantes. Reflexión Ejes de simetría Traslaciones Rotaciones Homotecia Semejanza 30

31 Unidad 9. Circunferencias y círculos Esta unidad presenta los cuerpos geométricos de la circunferencia y círculos y los elementos que la componen. Se analiza la relación entre dos circunferencia y la distancia de sus centros. Se estudiaran la relación entre los ángulos que intersecan los arcos de una circunferencia y la relación de estos con la medida en grados. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Definir circunferencia y círculo. Establecer la diferencia entre circunferencia y círculo. Identificar los elementos relacionados con la circunferencia y círculo. Clasificar dos circunferencias de acuerdo a la distancia de sus centros. Determinar la medida de los ángulos que intersecan una circunferencia de acuerdo a la longitud. Construir la recta tangente a una circunferencia. Construir las tangentes interiores y exteriores entre dos circunferencias secantes, tangentes o exteriores. Lección 0. Circunferencias y círculos Código: C317G0SU09L00 Documentos de unidad Lección 1. Definición y elementos de la circunferencia y el círculo Código: C317G0SU09L01 Definir circunferencia y círculo Identificará las partes del círculo y la circunferencia. Demostrar teoremas relativos a la circunferencia. Demostrar teoremas relacionados a las tangentes a una circunferencia. Circunferencia Círculo Radio Cuerda Diámetro Arco Secante Tangente 31

32 Lección 2. Relación entre circunferencias Código: C317G0SU09L02 Clasificar la relación entre dos circunferencia de acuerdo a la distancia entre los centros Demostrar teoremas relacionados a las distancias entre el centro de dos circunferencias. Interiores Exteriores Tangentes exteriormente Tangentes interiormente Secantes Lección 3. Ángulos en las circunferencias Código: C317G0SU09L03 Clasificar los ángulos relacionados a la circunferencia como central, interior, inscrito, semiinscrito o exterior. Establecer la relación entre el ángulo y la medida del arco intersecado por este. Determinar la medida de los ángulos relacionados a la circunferencia. Central Interior Inscrito Semiinscrito Exterior Lección 4. Construcciones de tangentes Código: C317G0SU09L04 Construir una recta tangente a una circunferencia. Construir las tangentes interiores entre dos circunferencias exteriores. Construir las tangentes exteriores a dos circunferencias secantes, tangentes o exteriores. Tangente a la circunferencia por un punto Tangentes a dos circunferencia exteriormente Tangentes a dos circunferencia interiormente 32

33 Unidad 10. Perímetros y áreas Esta unidad presenta dos conceptos fundamentales de la geometría, el perímetro y área de figuras planas. Se presentan las fórmulas básicas para determinar el perímetro y área del triángulo, cuadriláteros y otros polígonos regulares. También se presenta el análisis y cómputo del perímetro y área de figuras compuestas. Se presenta la fórmula para determinar la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Definir el concepto de perímetro y área de una figura. Determinar el perímetro y área de triángulos y cuadriláteros. Determinar el perímetro y área de polígonos regulares. Calcular la circunferencia y área de un círculo. Determinar el perímetro y el área de figuras planas compuestas. Lección 0. Perímetros y áreas Código: C317G0SU10L00 Documentos de unidad Lección 1. Perímetro y área de los triángulos Código: C317G0SU10L01 Determinar el área de triángulos utilizando la fórmula de la base y la altura. Utilizar la fórmula de Herón para determinar el área de un triángulo dado las longitudes de sus lados. Mitad de la base por la altura Fórmula de Herón Lección 2. Perímetro y área de los cuadriláteros Código: C317G0SU10L02 Determinar el área de un cuadrilátero utilizando la fórmula de base por altura. Utilizar la longitud de las diagonales para determinar el área de cuadriláteros. Determinar el área de trapecios utilizando la base media y la altura. Cuadriláteros Base Base media Altura Diagonal 33

34 Lección 3. Perímetro y área de polígonos Código: C317G0SU10L03 Determinar el perímetro de un polígono regular. Determinar el área de un polígono regular utilizando la apotema. Base Altura Diagonal Apotema Lección 4. Circunferencia y círculo Código: C317G0SU10L04 Determinar la longitud de la circunferencia. Determinar la longitud del arco de una circunferencia. Calcular el área de un círculo. Determinar el área de un sector circular. Determinará el área de un trapecio. Calcular el área de un segmento circular. Sector circular Corona circular Trapecio circular Segmento circular Lección 5. Áreas compuestas y regiones Código: C317G0SU10L04 Determinar el área de figuras planas compuestas. Resta de regiones Suma de regiones 34

35 Unidad 11. Geometría del espacio Esta unidad presenta las figuras tridimensionales y su clasificación. Dentro del conjunto de los cuerpos tridimensionales se distinguen los poliedros en los que se pueden distinguir los paralelipedos, prismas, pirámides y los sólidos Platónicos. También se presenta el estudio de los cuerpos redondos y sus características como son los cilindros, conos y esferas. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Clasificar las figuras tridimensionales como poliedros o cuerpos redondos. Identificar las características de los poliedros. Identificar las características de los cuerpos redondos. Lección 0. Geometría del espacio Código: C317G0SU11L00 Documentos de unidad Lección 1. Figuras tridimensionales poliedros Código: C317G0SU11L01 Identificar figuras sólidas como poliedros. Dibujar vista transversal de poliedros. Construir redes de los sólidos platónicos. Identificar poliedros a su alrededor. Prismas Pirámides Sólidos Platónicos Lección 2. Figuras tridimensionales cuerpos redondos Código: C317G0SU11L02 Identificar figuras sólidas como cuerpos redondos. Dibujar vista transversal de los cuerpos redondos como conos, cilindros y esferas. Identificar cuerpos redondos a su alrededor. Cono Cilindro Esfera 35

36 Unidad 12. Área superficial y volumen Esta unidad presenta los conceptos de área superficial y volumen de las figuras tridimensionales como los poliedros y las figuras redondas. Se discute el proceso para determinar el área superficial y volumen de figuras como las pirámides y los prismas como el cubo y los paralelipedos. Además se presenta el cómputo del área superficial y volumen de las figuras redondas como el cilindro, cono y esfera. También se presenta el proceso para determinar el área superficial y volumen de figuras compuesta. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Definir el concepto de área superficial y volumen. Determinar el área de figuras tridimensionales como los poliedros. Determinar el área superficial y volumen de cuerpos redondos. Calcular el área superficial de figuras tridimensionales compuestas. Lección 0. Área superficial y volumen Código: C317G0SU12L00 Documentos de unidad Lección 1. Área superficial y volumen de poliedros Código: C317G0SU12L01 Determinar el área superficial de prismas y pirámides. Determinar el volumen de prismas y pirámides Cubos Prismas Pirámides Lección 2. Área superficial y volumen de cuerpos redondos Código: C317G0SU12L02 Determinar el área superficial de cilindros, conos y esferas. Determinar el volumen de cilindros, conos y esferas. Cilindro Cono Esfera 36

37 Lección 3. Código: Área superficial y volumen de figuras compuestas C317G0SU12L03 Determinar el área superficial de figuras compuestas Determinar el volumen de figuras compuestas. Comparar el volumen de figuras prismáticas y redondas. Volumen Área superficial 37

38 Unidad 13. Fundamentos de trigonometría Esta unidad pretende introducir los conceptos básicos de trigonometría basados en los temas estudiado en el curso de geometría. El análisis del triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, la razón entre los segmentos de un triángulo, las razones trigonométricas, los valores trigonométricas y los valores trigonométricos de los ángulos de 30, 45, 60 y la relación de sus colaterales es parte del contenido matemático discutido en esta unidad. Estos temas permitirán al estudiante desarrollar las destrezas y conceptos necesarios para iniciar el curso de Trigonometría de escuela superior. Al finalizar esta unidad el estudiante habrá completado los siguientes objetivos que se trabajan en las diferentes lecciones. generales Identificar el uso general de las funciones trigonométricas Definir las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo Resolver triángulos rectángulos utilizando las funciones trigonométricas. Determinar los valores trigonométricos de los ángulos de 30, 60 y 45 grados. Determinar los valores trigonométricos para ángulos formados en cualquier cuadrante del plano cartesiano. Identificar ángulos positivos negativos y mayores de 360 grados. Determinar los valores trigonométricos para ángulos formados en el plano cartesiano. Simplificar ángulos y determinar su equivalente entre 0 y 360 grados. Determinar los valores trigonométricos para cualquier ángulo equivalente a 30, 45, 60 y 90 grados. Transformar la medida de ángulos del sistema sexagesimal a radianes y viceversa. Resolver triángulo rectángulos utilizando el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Lección 0. Fundamentos de trigonometría Código: C317G0SU13L00 Documentos de unidad Lección 1. Fundamentos de trigonometría Código: C317G0SU13L01 Mencionar la importancia de la trigonometría dentro del marco histórico del hombre. Definir e investigar sobre los orígenes de la trigonometría. Repasar los conceptos y teoremas relacionados al triángulo rectángulo. Aspectos históricos 38

39 Triangulo rectángulo Hipotenusa Catetos Triángulos semejantes Lección 2. Razones trigonométricas Código: C317G0SU13L02 Determinar las razones entre los lados de un triángulo rectángulo. Definir las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo. determinar las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo utilizando las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Seno Coseno Tangente Lección 3. Código: Lección 4. Código: Razones trigonométricas de 30 o, 45 o y 60 o C317G0SU13L03 Demostrar los valores trigonométricos de los ángulos de 30 y 60 grados utilizando un triángulo equilátero y la altura correspondiente de uno de los vértices. Demostrar los valores trigonométricos del ángulo de 45 grado utilizando un triángulo rectángulo isósceles. Resolver problemas relacionados con los ángulos de 30, 45 y 60 grados. Determinar el valor de expresiones trigonométricas que contengan ángulos de 30, 45 y 60 grados Valores trigonométricos de 30 o y 60 o Valores trigonométricos de 45 o Valores trigonométricos para ángulos mayores de 90 o C317G0SU13L04 Determinar las funciones trigonométricas de un ángulo formado por un lado terminal que contiene un punto del plano cartesiano y el eje de x. Definir el signo correspondiente de las funciones trigonométricas de acuerdo al cuadrante en el plano cartesiano. Determinar los valores trigonométricos para los ángulos cuadrantales formados en los ejes como son 90, 180, 270 y 360 grados. Determinar el valor de expresiones trigonométricas que contengan los ángulos de 90,180, 270 y 360 grados. 39

40 Determinar el ángulo de referencia para cualquier ángulo en plano cartesiano. Determinar el ángulo equivalente positivo de un ángulo negativo. Convertir un ángulo a su equivalente positivo menor de 90 grados. Determinar los valores trigonométricos de ángulos negativos. Simplificar ángulos mayores de 360 grados. Determinar los valores trigonométricos para ángulos mayores de 360 grados. Expresar ángulos del sistema sexagesimal a radianes. Determinar valores trigonométricos de ángulos en radianes. Cuadrantes Ángulo cuadrantal Ángulo de referencia Lado coterminal Radián Lección 5. Resolución de triángulos rectángulos Código: C317G0SU13L05 Resolver triángulos rectángulos utilizando el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas triángulos rectángulos. Aplicar la función inversa de las razones trigonométricas para determinar el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo. Resolver problemas de aplicación utilizando las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Seno inverso Coseno inverso Tangente inversa Ángulo de elevación y depresión 40