CAPÍTULO IX / FUERZAS

Transcripción

1 CAPÍTULO IX UERZAS La idea priera de fuerza está íntiaente ligada a la actividad uscular. Al epujar una carretilla, al arrastrar un ueble, al trepar un cerro, al levantar y sostener una piedra, al lanzar una pelota, al doblar un tubo, al estirar un elástico, nuestros úsculos nos hacen saber que estaos ejerciendo una fuerza. Las situaciones presentadas ilustran cabios del estado de oviiento y deforaciones de objetos. Podeos definir fuerza coo la causa o agente físico que produce cabios del estado de oviiento (aceleraciones), deforaciones y equilibrios de objetos. Observe que estaos definiendo fuerza por los efectos que ella produce. Hablaos de: la fuerza que actúa sobre un objeto (la que produce efectos en él). a fuerza ejercida por un objeto sobre otro, pero carece de sentido hablar de la fuerza que tiene un objeto. A B Las fuerzas son interacciones entre objetos y no son propiedades de los objetos en sí. En otras palabras, la fuerza no es una propiedad de los cuerpos coo la asa o el voluen, sino ás bien una inforación que recibe cada uno de los cuerpos de la presencia de los otros. Una interacción entre los objetos, significa que hay una fuerza actuando sobre cada uno de ellos, esto es, las fuerzas se presentan siepre en parejas. Debido a esto, usareos la siguiente notación para noinar las fuerzas de interacción entre dos cuerpos A y B. A B A A B B en donde: 303

2 B A : es la fuerza ejercida por el cuerpo B sobre el cuerpo A A B : es la fuerza ejercida por el cuerpo A sobre el cuerpo B. En ocasiones, cuando sea conveniente, indicareos adeás el tipo de fuerza. Considereos algunos ejeplos para ilustrar este punto. Al acercar un ián a un clavo observaos que el clavo es atraído por el ián. Si anteneos el ián en la vecindad de un riel, sentios que el ián es atraído por el riel. En el prier caso podríaos decir que el ián ejerce una fuerza sobre el clavo y en el otro, que es el riel el que ejerce una fuerza sobre el ián. Lo que sucede en realidad es que cada objeto actúa sobre el otro en cada caso. Si anteneos el ián en una ano y el clavo en la otra y los acercaos sentios abas fuerzas. En el caso ián-riel tabién existen las dos fuerzas, pero teneos que buscar otros étodos para detectarlas. agnética clavo ián agnética ián clavo ag clavo ián : Es la fuerza agnética ejercida por el clavo sobre el ián ag ián clavo : Es la fuerza agnética ejercida por el ian sobre el clavo Al soltar una piedra desde una altura cualquiera observaos que la piedra cae a la Tierra y decios que la Tierra atrae a la piedra con cierta fuerza. Pero tabién la piedra atrae a la Tierra, lo que está de acuerdo con nuestro concepto de interacción. Aunque realente la piedra y la Tierra se acercan una a otra, decios que la piedra cae sobre la Tierra porque la aceleración que adquiere la Tierra es prácticaente cero. Tierra piedra piedra Tierra 304

3 La Tierra atrae a la Luna y la antiene girando en órbita alrededor suyo. A su vez, la Luna ejerce una fuerza sobre la Tierra; esta fuerza se hace notoria, por ejeplo, en el oviiento de las areas. Aunque un autoóvil tuviera un otor uy poderoso su desplazaiento no sería posible si no estuviera presente la fuerza de roce que el caino ejerce sobre los neuáticos del autoóvil. Tabién los neuáticos ejercen una fuerza sobre el caino. neuático caino caino neuático Noteos que en algunos de estos ejeplos la interacción tiene lugar aún cuando los objetos estén separados, es decir, no tienen superficies en contacto directo. En tales casos, se suele hablar de acción a distancia. La caída de una piedra, el oviiento de satélites y planetas y la agrupación de estrellas en galaxias son algunos casos de un iso tipo de interacción, la interacción gravitacional. Las fuerzas usculares, las ejercidas por resortes y elásticos, el roce y las interacciones interoleculares e interatóicas son diversas foras en que se anifiesta la interacción electroagnética. En las actividades de la vida diaria y en la práctica corriente de la ingeniería las interacciones gravitacionales y electroagnéticas son las que se presentan ás frecuenteente. En ísica todas las interacciones que periten la descripción de los fenóenos pueden clasificarse en: Interacción gravitacional Interacción electroagnética Interacción fuerte (nuclear) Interacción débil (leptónica) Los protones y neutrones peranecen juntos forando un núcleo atóico debido a la interacción nuclear. La interacción leptónica es responsable, en particular, de la desintegración radiactiva de un neutrón ( n p + e + ν ). Estos tipos de interacciones se presentan, tabién, entre otras partículas fundaentales. 305

4 edición de una fuerza Heos definido fuerza por los efectos que ella produce; en particular, al aplicar una fuerza a un cuerpo, éste puede adquirir una aceleración. Esto nos da la posibilidad de elaborar un étodo para edir fuerzas y definir unidades de fuerza. Apliqueos una fuerza a un cuerpo de 1[kg] de asa, de odo que éste adquiera una aceleración de 1[/s ]. A la agnitud de esta fuerza le asignaos el valor un newton ; siendo 1 el núero de edición y newton el nobre de la unidad correspondiente. 1[kg] Roce despreciable Unidad de fuerza: Un newton.... 1[N] asa 1[kg] aceleración 1[/s ] fuerza 1[N] El étodo anteriorente indicado iplica edir aceleraciones para coparar fuerzas. Basado en él, explicareos la graduación de un instruento que nos perita edir directaente una fuerza. Recurrireos a otro efecto que puede producir una fuerza, una deforación. Coo objeto deforable elegireos un resorte, que tiene la propiedad de recuperar su fora inicial cuando la fuerza deje de actuar. Cuando el cuerpo de asa 1[kg] adquiere la aceleración de 1[/s ] colocareos una arca frente al indicador con la anotación 1[N], cuando la aceleración tenga el valor [/s ] colocareos frente al indicador [N] y así sucesivaente. Cuando la rapidez del carrito sea constante colocareos la arca 0[N]. 1 [kg] Roce despreciable Un resorte calibrado de esta anera se llaa dinaóetro o balanza de Newton. Debeos aclarar que no todas las fuerzas pueden ser edidas por este procediiento. Para lograr edir algunas interacciones se requiere de técnicas especiales uy refinadas. 306

5 uerza: órdenes de agnitud La deterinación de los valores de las fuerzas, ya sea por ediciones o por cálculo, es en general un asunto de no fácil solución. Le presentaos a continuación una escala en que se indican valores estiados de agnitudes de fuerzas que intervienen en algunas circunstancias específicas. [N] agnitud de la uerza 10 Gravitacional entre el Sol y la Tierra Gravitacional entre la Tierra y la Luna Epuje producido en la priera etapa del cohete Saturno V Peso del cohete Saturno V en el oento de abandonar la Tierra Nuclear entre dos protones a 1,5[] de distancia Ejercida por un capeón en levantaiento de pesas Ejercida por un otor de 100 H.P. de un autoóvil que se desplaza a 80[k/h] 10 3 Peso de un hobre Eléctrica entre dos protones a 1,5[] de distancia 10 Ejercida por un hobre para sostener un cuerpo de 10[kg] 10-7 Eléctrica entre dos electrones a 1[Å] de distancia Gravitacional entre dos cuerpos de 1[kg] colocados a 1[] de distancia Gravitacional entre dos electrones a 1[Å] de distancia 307

6 Superposición de fuerzas Heos considerado el efecto de una fuerza sobre un carrito cuya asa es 1[kg]. Considerareos ahora el efecto producido por ás de una fuerza actuando sobre el iso carrito. Aplicaos dos fuerzas sobre el carrito en la fora que se indica en la figura. edios las agnitudes de las fuerzas en las correspondientes balanzas de Newton y deterinaos la aceleración del carrito usando regla y cronóetro. 1 [kg] roce despreciable 1 Cuando las balanzas de Newton indican cada una 1[N], la aceleración es [/s ]. Resultado igual al que se obtiene aplicando una sola fuerza de [N] de agnitud. Cuando las lecturas son [N] y [N] respectivaente, se obtiene la aceleración de 4[/s ]. Aceleración que corresponde a una fuerza neta de agnitud igual a 4[N]. Al hacer un experiento siilar, pero aplicando las fuerzas coo se uestra en la figura adjunta, observaos que: A 1 [kg] B roce despreciable Si la lectura de A es 1[N] y la de B es 3[N] el carrito se ueve hacia la derecha con aceleración [/s ], coo si hubiera una sola fuerza de [N] aplicada hacia la derecha. Si la lectura de A es 5[N] y la de B es [N], el carrito se ueve hacia la izquierda con aceleración 3[/s ]. La ``fuerza resultante'' es de 3[N] dirigida hacia la izquierda. Si las lecturas de A y B son iguales, la aceleración es cero. La fuerza neta es cero. En los casos particulares estudiados veos que las dos fuerzas consideradas actuaban sobre el carrito produciendo un efecto equivalente al de una sola fuerza, a la que llaaos fuerza neta o fuerza resultante. ás adelante, estudiando casos generales del oviiento de traslación de un cuerpo, vereos que el efecto de varias fuerzas actuando sobre el cuerpo será equivalente al efecto de una única fuerza neta o resultante. 308

7 Leyes del oviiento Al estar usted situado en cierto lugar, podrá deterinar si un objeto está en reposo o en oviiento respecto a su ubicación. En un caso coo éste, usted cuple con las condiciones ínias para ser un observador en un sistea de referencia. Si este observador tiene una regla y un cronóetro puede edir cabios de posición de un objeto en el transcurso del tiepo y deterinar velocidades y aceleraciones, y verificar si el oviiento es rectilíneo con rapidez constante o rectilíneo acelerado o si el objeto describe una trayectoria curvilínea con rapidez constante o variable. Pero un observador preunido sólo de regla y cronóetro no podrá indicar a qué se deben los diferentes tipos de oviiento que pueda tener un objeto y, por tanto, no puede predecir ni reproducir oviientos. El enunciado de las leyes que nos periten describir y predecir el oviiento de los objetos acroscópicos aparecen en el Libro I de la obra fundaental de Newton Philosophiae Naturalis Principia atheatica, publicado en Esta obra, considerada el prier tratado sisteático de ísica Teórica, arca un oento draático en la historia de las ciencias naturales. Antes de Newton, el oviiento de los planetas era un isterio, su obra contribuyó a resolverlo. A partir de Newton, la ísica ha avanzado segura y rápidaente. Prier principio de Newton. Principio de Inercia Todo cuerpo sigue en estado de reposo o de oviiento unifore en línea recta a enos que sea obligado a cabiar ese estado por obra de fuerzas a él aplicadas. Aunque Newton fue el priero en expresar esta ley en térinos generales, ella fue anticipada por Galileo. Basándose en sus observaciones del oviiento de la lentejuela de un péndulo, Galileo razonó de la siguiente fora: Si un cuerpo cae libreente por un plano inclinado, subirá por el plano inclinado adyacente alcanzando la isa altura de partida, suponiendo abos planos sin fricción. La altura alcanzada será independiente del caino recorrido al ir cabiando el plano de subida. Cuando este plano coincida con la horizontal el cuerpo nunca podrá alcanzar su altura priitiva, y por tanto, concluyó Galileo, se overá indefinidaente con rapidez constante. 309

8 Segundo principio de Newton El cabio de oviiento es proporcional a la fuerza otriz aplicada y tiene la dirección de la recta según la cual esa fuerza se aplica. Este enunciado es la traducción literal del original, escrito por Newton en latín. Una anera de expresar ateáticaente este principio es: Iplicando neta neta a a, donde: aneta neta a la agnitud de la fuerza neta actuando sobre un cuerpo. la asa del cuerpo. la agnitud de la aceleración adquirida por el cuerpo en la dirección de la fuerza neta. Las expresiones para la fuerza deben ser inventadas para cada clase de agente que produce interacciones. Las expresiones obtenidas se suelen llaar leyes de fuerza, de las cuales estudiareos algunas ás adelante cuando trateos de interacción gravitacional, eléctrica u otras. Ley de uerza a / Para verificar la validez de una deterinada ley de fuerza, debeos coparar las predicciones sobre el oviiento de un cuerpo al usar esa ley en conjunto con neta a, con los valores obtenidos experientalente. sí Predicción del oviiento Hay concordancia con experiento? no La concordancia de las predicciones con la experientación producirá la aceptación de la ley de fuerza propuesta, dentro de los líites condicionados por la experientación. Aceptación de la ley Revisión de la ley La diensión de fuerza en térinos de las diensiones de asa, longitud y tiepo queda deterinada por: di( fuerza ) di( asa aceleración ) LT Heos definido que el valor de una fuerza es 1[N] cuando iprie la aceleración de 1[/s ] a un cuerpo de 1[kg] de asa, entonces: 1[N] a 1[kg] 1[/s ] ˆ 1[kg /s ] por tanto: 1[N] ˆ 1[kg /s ] Si un cuerpo tiene la asa de 1[g] y adquiere la aceleración de 1[c/s ] tendreos: 310

9 a 1[g] 1[c/s ] ˆ 10-3 [kg] 10 - [/s ] 10-5 [N] e introduciendo la unidad: 1[dina] ˆ 1[ g c/s ] resulta: 1[dina] ˆ 10-5 [N] Dado que la segunda ley de Newton es una de las ás iportantes y útiles en ísica, nos parece conveniente describirle un experiento fácilente realizable y que le perita captar el coportaiento interrelacionado entre fuerza, asa y aceleración. ijeos en el suelo dos clavos a distancia conveniente para antener tenso un elástico. s Con un carrito presionaos el elástico. Cuando soltaos el carrito, el elástico ejerce una fuerza sobre el carrito durante un pequeño intervalo de tiepo Δ t. Considerando que la fuerza neta aplicada al carrito tiene dirección constante y agnitud variable en el tiepo, la aceleración edia a del carrito durante el pequeño intervalo de tiepo Δ t queda deterinada por el valor edio de la agnitud de la fuerza durante ese intervalo Δ t. i, al final del intervalo Δ t, en el instante en que pierde contacto con el elástico, ha adquirido una rapidez v dada por: Adeás, coo el carrito parte del reposo ( v 0) v a Δt Si suponeos que el oviiento continúa con tal rapidez v durante cierto tiepo t f, en el cual la influencia del roce no sea significativa, el caino s recorrido por el carrito en el tiepo t f es: Entonces: s v t f a v Δt s Δt t f Esta expresión aproxiada nos perite coparar aceleraciones al efectuar ediciones de la distancia s recorrida por el carrito en un tiepo t f fijo, por ejeplo de 1[s]. La priera parte del experiento consiste en ir variando la asa del carrito, cuidando que las deforaciones del elástico sean las isas, con lo que se logra que el valor edio de la fuerza aplicada al carrito sea constante para diferentes valores de asa. 311

10 La experiencia nos dice que al auentar la asa, el intervalo de tiepo Δ t que el elástico peranece en contacto con el carrito auenta. Este efecto lo podeos representar aproxiadaente haciendo Δ t proporcional a la raíz de la asa: Δ t. Con lo cual, la relación entre la distancia s recorrida por el carrito en un tiepo fijo t f y la aceleración edia a puede ser escrita: a γ s, siendo γ la constante de proporcionalidad. Si, s y a son los valores de la priera edición, coparaos asas y aceleraciones de las otras ediciones ediante los cuocientes: 1 y a a 1 s s 1 1 Obtuvios los siguientes resultados: [kg] s [] 1 a a 1 1 a a 1 0,97,01 1,00 1,00 1,00,01 1,4,07 0,49 1,01 3,16 1,13 3,6 0,31 1,03 5,0 0,91 5,36 0,19 1,0 Ellos nos uestran que para una fuerza constante la aceleración es inversaente proporcional a la asa, cupliéndose para las agnitudes que: constante a 1/ En la segunda parte del experiento variaos el núero de elásticos colocando uno, dos o ás elásticos iguales, y dejaos la asa del carrito constante. Cada vez que ipulseos el carrito con cada grupo de elásticos, cuidareos que éstos tengan igual deforación. Efectuando las ediciones en fora análoga a lo hecho en la priera parte, y considerando que en esta situación el intervalo de tiepo Δ t que los elásticos están en contacto con el carrito depende del núero n de elásticos según la expresión aproxiada Δt 1/ n, estableceos la relación: a s n a 1 s 1 31

11 Obtuvios los siguientes resultados: n s [] a a 1 a 1 1,8 1,00 1 1,00 a 1 1,7 1,90 0,95 a 1 3,18,94 3 0,98 a 1 4,44 3,8 4 0,96 a 1 lo que nos perite concluir que la aceleración es proporcional a la fuerza cuando la asa es constante: constante a Así, con un experiento siple podeos apreciar los valores de la aceleración que adquiere un cuerpo de acuerdo a la relación a. Naturalente, en un experiento de esta clase se introducen errores causados especialente por el roce y el coportaiento de los elásticos. Le recoendaos fuerteente que usted haga este experiento! Tercer principio de Newton. Principio de Acción Reacción Para cada acción existe siepre opuesta una reacción contraria o las acciones utuas de dos cuerpos de uno sobre el otro son siepre iguales y dirigidas a partes contrarias. Esta es una traducción literal de lo escrito por Newton. En el enunciado de Newton acción y reacción son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos debido a la interacción entre ellos. La acción no es una causa de la reacción, sino que abas coexisten y, por eso, cualquiera de estas fuerzas puede ser designada por acción o por reacción. Aunque acción y reacción son fuerzas de igual agnitud y dirección contraria, no se anulan porque actúan en distintos cuerpos. El hecho que acción y reacción tengan direcciones contrarias no iplica que necesariaente estén sobre una isa recta. En la figura se ilustra el caso ás coún en que acción y reacción están en una isa recta y el caso enos frecuente en que acción y reacción no lo están. 313

12 Al hablar del oviiento de un cuerpo nos referios a su cabio de posición respecto a un observador en cierto sistea de referencia. El oviiento de un iso cuerpo es en general descrito en fora diferente por diferentes observadores; por ejeplo, para un deterinado observador cierto cuerpo describe una trayectoria rectilínea con rapidez constante y para otro observador el oviiento resulta curvilíneo. Las leyes del oviiento establecidas por Newton requieren de un sistea de referencia fijo, ideal, o de uno que se ueva con velocidad constante respecto a él; tales sisteas de referencia se denoinan sisteas inerciales. A partir de los prieros años del siglo XX se hizo sentir la necesidad de una revisión de los conceptos fundaentales de espacio y tiepo desde el punto de vista de sus ediciones. Ello condujo al estableciiento de la teoría restringida de la relatividad ; teoría que contiene a la física newtoniana coo una buena aproxiación válida para los casos en que los cuerpos tienen rapideces uy pequeñas respecto a la rapidez de propagación de la luz en el vacío. Posteriorente se desarrolló la teoría general de la relatividad. Tabién desde el naciiento de este siglo se fue encontrando que la física basada en los principios de Newton resultaba inadecuada en el ábito de los fenóenos oleculares, atóicos, nucleares y subnucleares; esto ha originado el estableciiento de la ísica Cuántica. Ejeplos A un cuerpo de 5,80[kg] de asa que está inicialente en reposo sobre una superficie horizontal lisa, se aplica una fuerza neta constante, de 1,7[N] de agnitud, durante 10,[s]. Calcule la distancia recorrida por el cuerpo hasta el instante en que deja de actuar la fuerza y hasta,[s] después. t 0 0 s 0 0 t s Llaando t 0 al instante en que aplicaos la fuerza, teneos las condiciones iniciales: s 0, por elección del punto de referencia. 0 v 0, por estar el cuerpo inicialente en reposo. 0 Coo la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es constante, y la asa del cuerpo es tabién constante, la aceleración del cuerpo será constante, siendo su valor: a 1,7[N] 5,80[kg],19 [ / s ] Entonces, para un instante t en el intervalo que actúa la fuerza; esto es 0 t t 10,[s], teneos: a Δ v v v0 v Δt t t t 0 esto da para la rapidez en el instante t: v a t, 0 t t 314

13 por tanto: CAPÍTULO IX / UERZAS La distancia recorrida por el cuerpo hasta ese instante t, la obteneos según: Δs s s 0 v proedio Δt v + v 0 s 0 v t a t t a t ( t t 0 ) s a t, 0 t t Para el instante t t 10, [s], en que deja de actuar la fuerza, obteneos: v a t,19[/s ] 10,[s],3 [/s] s a t,19[ / s ] ( 10,[s] ) 114 [] Si a partir del instante t consideraos que el roce es despreciable, fuerza neta igual cero, el cuerpo continuará oviéndose con rapidez constante: v v, t > t y se encontrará a una distancia s, desde el punto de partida, dada por: ( ) Δs s s v Δt v t t s s + v ( t t ), t > t En particular, para el instante t 1,4 [s] tendreos: v v,3 [ / s] s 114 [] +,3 [] ( 1,4 10, )[s] 163 [] Las relaciones encontradas v v y s s + v t t ( ) para t t >, seguirán siendo válidas ientras no se odifiquen las condiciones en que se realiza el oviiento del cuerpo; por ejeplo, ientras no cabien las características de la superficie sobre la cual se apoya el cuerpo (deje de ser lisa y horizontal) o bien, se encuentren obstáculos o se terine la superficie. 315

14 Un bloque cuya asa es 1,0[kg] reposa sobre una esa horizontal. En cierto instante se le aplica una fuerza T horizontal y constante, debido a la cual adquiere una rapidez de 6,5[/s] en,8[s]. Suponiendo que la fuerza de roce R entre el bloque en oviiento y la esa es constante y de agnitud igual a 8,3[N] cuál es la valor de la fuerza T? El enunciado previo nos perite dibujar la siguiente figura de análisis: v T R La aceleración del bloque es: a Δv Δt v v 0 t t 0 ( 6,5 0 )[/s] (,8 0 )[s],3[/s ] La agnitud de la fuerza neta actuando sobre el bloque tiene el valor: neta a 1,0 kg,3[/s ] 7,6 N Coo la fuerza de roce se opone al oviiento del cuerpo, resulta que para las agnitudes de las fuerzas se cuple: neta T R y por lo tanto: T neta + R 7,6 N + 8,3 N 36 N La rapidez w de propagación de cierto tipo de ondas en un lago en deterinadas condiciones, se expresa por la fórula: w g k + T k ρ donde g es la aceleración de gravedad, ρ es la densidad del agua y k y T son ciertas cantidades físicas. Deterine las diensiones de k y de T en térino de las diensiones de tiepo, longitud y asa. Para que la fórula dada sea válida en ísica, debe ser diensionalente consistente; esto es, cada uno de sus térinos debe tener la isa diensión, por lo tanto: g di(g) Coo di di( w ) k di(k) g Tk di( w ) di di k ρ resulta: di g di() k di w () ( ) L T ( L T ) L

15 En fora análoga, di Tk ρ di T di T ( ) di () k () di ρ () di( w ( ) ) di ρ () di k di( w ), por lo cual: 1 ( LT ) L 3 L 1 T 1 Esto es, di() k L y di( T) T. Una barra etálica tiene una densidad ρ 8, 1[ kg/d ] y una propiedad física caracterizada por 1 Y 1, 9 10 [ dina/c ]. Para la descripción de cierto fenóeno que se produce en tal barra se necesita la expresión U Y ρ. Deterine la diensión y el valor de U. 3 Observando las unidades de edición en que está expresada la cantidad Y, debe cuplirse: di Y ( ) /L LT / L L 1 T ( ) di fuerza área Coo la diensión de densidad es di() ρ L 3, resulta: di( U) di Y ρ ( ) ( ) di Y () di ρ 1 L 1 T L 3 1 LT 1 Esto es, U tiene la diensión de rapidez. El valor de U se obtiene por: U Y ρ 1, dina / c 8,1 kg / d 3 1, /10 4 N/ 8,1 / 10 3 kg / 3 1, kg /s 8, kg / 3 1, ,1 /s 4, /s 317

16 Ejercicios 9-1) Suponga que un cuerpo está describiendo una trayectoria y que en el punto A dejan de actuar todas las fuerzas sobre él. Describa cuál sería el oviiento subsiguiente del cuerpo. Justifique su respuesta. A 9-) Deterine la asa, en [kg], de un objeto que adquiere una aceleración de agnitud a 30,0 k h s cuando actúa sobre él una fuerza neta de agnitud 1, 8 10 N. [ ] 9-3) Qué fuerza, en [N], se requiere para dar a una asa de,6[kg] una aceleración de 50[c/s ]? 9-4) Qué cabio de rapidez producirá una fuerza neta constante de 5,7[N] cuando se aplica a un objeto de 4, 8 [ k g ] durante 8,1[s]? 9-5) Durante cuánto tiepo deberá actuar una fuerza neta de 96[N] sobre un cuerpo de 50,[ k g ] para producir en él un cabio de rapidez de 108[c/s] a 550[c/s] si el cuerpo se ueve rectilíneaente? 9-6) Una partícula de asa 7,[ k g ] avanza en línea recta y recorre una distancia de 4,9[]. Parte con rapidez inicial cero y terina con una rapidez de 81[c/s]. Calcule la fuerza neta sobre la partícula si la aceleración se supone constante. 9-7) Deterine el tiepo que debe actuar una fuerza constante de 450,0[N] sobre un cuerpo de 907,0[ k g ] para que alcance una rapidez de 6,5[/s], si éste parte del reposo. 9-8) Un cuerpo de asa desconocida es acelerado de 1,[/s] a 31,5[/s] en 13[s] por una fuerza resultante de 5,4[N]. Calcule la asa. 9-9) Una fuerza de 15,0[N] produce al actuar sobre un objeto de asa 1 una aceleración de 1,0[/s ] y sobre otro de asa una aceleración de 5,[/s ]. Deterine la aceleración que produciría esa isa fuerza si los dos objetos estuvieran unidos. 9-10) En un experiento se acelera un objeto con una fuerza constante de tal odo que la variación de rapidez durante un intervalo de tiepo de 1,5[s] es de 3,6[/s]. En una segunda edición, aplicando una fuerza de igual agnitud sobre otro objeto, resulta la variación de rapidez de 3,3[/s] en 0,50[s]. Calcule el cuociente entre las asas de esos objetos. 9-11) La asa en reposo de un electrón es e 9, [kg]. Calcule la fuerza necesaria para acelerar un electrón en, [/s ], suponiendo que su asa no varía. 9-1) Un objeto cuya asa es 50[g] está inicialente en reposo sobre una superficie horizontal uy lisa. Se le aplica una fuerza constante y se ide que el objeto tiene una rapidez de 40[c/s] cuando se encuentra a 5[c] de su posición en reposo. Deterine la agnitud de dicha fuerza, en [N]. 318

17 9-13) Un disco de hielo seco tiene una asa de 00[g] y se ueve sobre una láina de etal con una rapidez constante de 50[c/s]. Al salir de la superficie etálica entra en una superficie de concreto. La fuerza de fricción ejercida sobre el disco por esta superficie de concreto es de 15[dina]. En cuántos segundos se detendrá el disco? 9-14) Cuando un tren de 150[ton] se desplazaba con una rapidez de 7,0[k/h] se aplicaron los frenos y el tren epleó 70[s] en detenerse. Calcule la fuerza, en [N], que ejercen los rieles sobre las ruedas del tren suponiendo que dicha fuerza hubiese sido constante. Deterine la distancia recorrida por el tren desde que se aplicaron los frenos hasta que se detuvo. 9-15) Un cuerpo de asa 0,60[kg] se encuentra en reposo en una esquina de una esa cuadrada de 1,[] de lado. Aplicando una fuerza de dirección apropiada se hace over al cuerpo a lo largo de la diagonal de la esa. Si la agnitud de la fuerza es constante e igual a 4, [dina] y se desprecia el roce cuánto tarda el cuerpo en caer de la esa? 9-16) Sobre un cuerpo de asa 0,43[ k g ] actúan las fuerzas 1 y de odo que adquiere una aceleración de,1[/s ]. a 1 Cuál es la agnitud de 1 si la agnitud de es 0,8[N]? 9-17) Un cuerpo, de asa 1,3[ k g ], que se desliza con rapidez constante de 5,3[/s] sobre un plano horizontal, sube por un plano inclinado. Desde el oento en que el cuerpo entra al plano inclinado actúa sobre él una fuerza neta constante, de agnitud 4,[N] y dirección según la figura. Calcule la altura áxia a la cual llega el cuerpo ) Una cápsula Géinis fue acoplada a la etapa final de un cohete Agena que orbitaba alrededor de la Tierra. Los ipulsores de la Géinis aplicaron al conjunto una fuerza edia de 890[N] de agnitud durante 7,0[s]. El cabio de rapidez producido fue de 0,93[/s]. La asa del Géinis era de 3360[kg]. Calcule la asa de esta etapa del Agena. 9-19) Una fuerza constante de agnitud 19,6[N], hace que un cuerpo se ueva rectilíneaente de odo que la distancia recorrida por él está expresada por s A Bt + Ct, en función del tiepo. Hallar la asa del cuerpo si la constante C vale 3,1[ /s ]. 9-0) Un cuerpo cuya asa es 0,50[kg] se ueve rectilíneaente de anera que la relación entre la 3 posición s y el tiepo epleado t viene dado por la ecuación: s A Bt + Ct Dt, siendo A 18,0[]; B,1[/s]; C 4,5[/s ] y D0,49[/s 3 ]. Calcule la posición, la rapidez, la aceleración y la agnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo en el instante t 1,3[s]. 9-1) La rapidez v con que avanza el agua en cierto tipo de ríos puede ser calculada por la fórula v U J α + β U 1, en que U tiene diensión de longitud y J es un núero puro. Deterine ( ) di α y di() β. Al usar el sistea étrico se ha encontrado que los núeros de edición de α y β son 319

18 α, y β 3, respectivaente, y resulta v v [/ s]. Calcule los valores de α y β en el sistea inglés para que resulte la rapidez en [ft/s]. 9-) Por un tubo de diáetro D fluye con rapidez v un líquido de densidad ρ. El líquido tiene la propiedad llaada coeficiente de viscosidad η que se expresa en las unidades N s encontrado conveniente definir la cantidad R ρdv η. Deterine la diensión de η y de R.. Se ha 9-3) Sobre una gota de agua de radio R que cae con rapidez v, el aire opone una fuerza de agnitud a b c 1 1 B que puede expresarse por B k υ v R. Si di() k 1 y di( υ ) T L, deterine los valores de los núeros a, b y c tales que la expresión para B sea diensionalente correcta. 9-4) Una constante física h tiene el valor 6, N s. Resulta conveniente en ciertas situaciones asociar a una partícula de asa la cantidad física λ h ( c), donde c es la rapidez de propagación de la luz en el vacío. Deterine la diensión de λ. Calcule el valor de λ para un protón, exprese el resultado en notación científica, eligiendo la unidad del sistea étrico decial con el prefijo ás adecuado ) Una constante física tiene el valor k 1,38 10 [ N K]. Calcule el valor de la cantidad física U k T cuando la teperatura es 0ºC; exprese el resultado en [dina c]. Interacción gravitacional La descripción del oviiento de los astros y su posible explicación es una de las inquietudes que aparece desde épocas uy antiguas. Las observaciones a ojo desnudo de los oviientos de los planetas llevaron a forular odelos del sistea planetario, coo el geocéntrico de Toloeo, el heliocéntrico de Copérnico y un odelo de Ticho Brahe, en que los planetas giraban alrededor del Sol y éste lo hacía alrededor de la Tierra, considerada fija. Observaciones con epleo de instruentos, coo el telescopio y el sextante, peritieron a Kepler enunciar leyes sobre el oviiento de los planetas alrededor del Sol. Esos diversos odelos y leyes trataban sólo de los aspectos cineáticos del oviiento de los planetas. Newton construye su teoría sobre la atracción de los cuerpos, dándole un carácter universal; la que perite, en particular, explicar dináicaente el oviiento de los planetas, pudiéndose deducir las leyes cineáticas correspondientes. 30

19 Las anifestaciones de la atracción gravitacional ás directas para nosotros se presentan en la caída y en el peso de los objetos. Al tratar el tea sobre caída libre y lanzaiento vertical de cuerpos, le sugerios que realizara un experiento que le peritiera failiarizarse con el concepto de aceleración de gravedad y sus posibles valores. Se encuentra experientalente que la aceleración de gravedad tiene valores leveente distintos en diferentes lugares de la Tierra, debido a su fora no esférica y a su rotación. Tabién influye la altura respecto al nivel del ar del lugar en que se efectúan las ediciones. Algunos valores se presentan en la siguiente tabla: nivel de ar latitud de 45 latitud g [/s ] altitud [k] g [/s ] 0 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8317 Por acuerdo internacional se adopta coo aceleración de gravedad noral el valor g n 9,80665[/s ]. Peso Un cuerpo cae a la Tierra debido a la fuerza que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. Por el iso otivo, usted debe ejercer una fuerza para levantar y para sostener un cuerpo. El peso de un cuerpo en la Tierra es la fuerza con la cual es atraído hacia el centro de la Tierra. Coo la aceleración que experienta un cuerpo al caer a la Tierra tiene un valor g que es independiente de la asa del cuerpo, la fuerza peso de un cuerpo debe ser, de acuerdo con el segundo principio de Newton, a, proporcional a la asa del cuerpo. Resulta para el peso de un cuerpo: P Tierra P g TIERRA Aunque la asa de un cuerpo no varíe, su peso cabia según el lugar en que se encuentre. 31

20 Podeos edir el peso de un cuerpo ediante una balanza de Newton previaente calibrada. Esta balanza la usaos en la fora indicada en la figura. Si de la balanza pende un cuerpo cuya asa es 1[kg], ésta indicará un peso de: 1[kg] [ ] 98, N 9,8 [/s ] [ ] en un lugar en que g 85, N 8,5 [/s ] Para que usted tenga un valor de coparación directo de la agnitud de una fuerza, piense que cuando sostiene un cuerpo de 1[kg] de asa usted ejerce una fuerza aproxiada de 10[N] sobre él. El peso de un objeto en la Tierra es un caso particular de la interacción gravitacional entre dos cuerpos. 3

21 Equilibrio de fuerzas Considereos una situación tan coún coo la de un libro y otros objetos en reposo sobre una esa horizontal. Decios que esos cuerpos están en equilibrio. La fuerza neta que actúa sobre cada uno de ellos es cero. En la figura se representan las fuerzas que se ejercen sobre el libro. Una es el peso: P Tierra Libro, y la otra es la fuerza de contacto ejercida por la superficie de la esa sobre el libro N esa Libro. La superposición (sua De contacto N esa Libro vectorial) de estas dos fuerzas: P Tierra Libro + N esa Libro da una fuerza neta cero, condición que debe cuplirse para que el libro esté en equilibrio. P Tierra Libro + N esa Libro 0 ; Gravitacional P Tierra Libro condición de equilibrio. Observe que al dibujar las fuerzas heos representado al libro coo un siple punto, es decir, heos usado un odelo siplificado de él. Llaareos diagraa de cuerpo libre a esta representación esqueática del cuerpo y las fuerzas que actúan sobre él. En situaciones ás generales es posible que la superposición de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo sea cero y que el cuerpo esté rotando y no esté en equilibrio. Por ahora, nos ocupareos solaente de algunos casos en que el equilibrio de un cuerpo está asegurado por la condición que la fuerza neta sobre él sea cero. Experiento Sobre un cuerpo que está colgado de un resorte actúan dos fuerzas: el peso del cuerpo debido a la gravitación, y la fuerza ejercida por el resorte. Cuando el cuerpo está en equilibrio la sua de abas fuerzas es cero y por tanto son iguales en agnitud. P Tierra cuerpo : peso del cuerpo Resorte cuerpo : fuerza del resorte sobre el cuerpo Condición de equilibrio: P T c + R c 0 agnitudes de las fuerzas: P Tierra bloque resorte resorte bloque P Tierra bloque 33

22 Tensión en una cuerda Considereos un bloque suspendido de un soporte ediante una cuerda. Exaineos las fuerzas ejercidas sobre el bloque, la cuerda y el soporte. En fora abreviada, escribaos: P T B el peso del cuerpo. T C B la fuerza que la cuerda ejerce sobre el bloque. S S C la fuerza que el soporte ejerce sobre la cuerda y así sucesivaente. Por equilibrio del cuerpo: P T B + T C B 0 Suponiendo que la asa de la cuerda es despreciable en coparación con la asa del bloque, por equilibrio de la cuerda: S S C + T B C 0 Soporte Cuerda Bloque Tierra Tierra S Cuerda Soporte S Soporte Cuerda T Bloque Cuerda T Cuerda Bloque P Tierra Bloque P Bloque Tierra Coo T C B y T B C Entonces: foran un par acción-reacción: T C B T B C P T B T B C S C S por lo cual, para sus agnitudes se cuple: S T P En esta situación la cuerda se pone tensa o tirante. Si cortáraos la cuerda y colocáraos un dinaóetro entre los extreos producidos por el corte, éste ediría la tensión en la cuerda. El valor de la tensión es igual a la agnitud de la fuerza transitida por la cuerda. Exaine que ocurriría si la asa de la cuerda fuera coparable a la del bloque. 34

23 Aplicando una fuerza a uno de los extreos de una cuerda, podeos ejercer una fuerza sobre un objeto unido al otro extreo de la cuerda. Si la cuerda pasa sobre una polea, abas de asa despreciable, la dirección de la cuerda sobre el cuerpo puede ser diferente a la dirección de la fuerza aplicada en extreo libre de la cuerda. La dirección de la fuerza aplicada por una cuerda en un punto de un cuerpo coincide con la del trozo de cuerda próxio al cuerpo. CAPÍTULO IX / UERZAS Si el roce es despreciable, entonces la agnitud de la fuerza transitida por la cuerda es igual a la agnitud de la fuerza aplicada en el extreo libre de la cuerda. Al colgar cuerpos de diferente asa en un resorte dado observaos que el largo del resorte varía. Elegios cuerpos de deterinados valores de asa. edios el largo que adquiere el resorte cuando cada uno de estos cuerpos pende de él en equilibrio. Las ediciones hechas las agrupaos en la siguiente tabla de valores: Δ L i [g] L i [c] 0 3,3 P i [N] ΔL i [c] P ΔL i [N/] 5 9,1 0,45 5,8 4, 45 33,8 0,441 10,5 4, ,3 0,588 14,0 4,0 80 4,0 0,784 18,7 4, ,0 1,17 6,7 4, i Increento del largo [c] ,5 1 1,5 Peso [N] donde: P i i g es el peso del cuerpo de asa i L i es el largo del resorte con el cuerpo de asa i L 0 es el largo del resorte sin un cuerpo colgado de él Δ Li Li L es el increento del largo del resorte respecto al largo 0 L 0 35

24 Observaos que, dentro de los errores experientales, el increento Δ L del largo del resorte es proporcional al peso del cuerpo que pende de él, ya que el cuociente P i ΔL i resultó aproxiadaente constante. Experientos de este tipo periten establecer que el alargaiento de un resorte es proporcional a la agnitud de la fuerza que actúa sobre él. Esto lo escribios coo: k Δ L (Ley de Hooke) y nos referios a k coo el coeficiente de elasticidad o la constante de rigidez del resorte. Teneos que recalcar que la proporcionalidad entre la elongación y la fuerza aplicada a un resorte tiene validez dentro de cierto rango de su alargaiento, rango que es característico de cada resorte. La propiedad de que el alargaiento de un resorte depende de la fuerza que se ejerce sobre él, perite construir un instruento para edir agnitudes de fuerzas, llaado dinaóetro o balanza de Newton. Si colocaos un cuerpo sobre un resorte, éste quedará copriido. El cuerpo peranece en equilibrio cuando la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo sea de igual agnitud que la agnitud del peso P del cuerpo. resorte bloque L 0 ΔL L0 ΔL bloque P Tierra bloque bloque resorte resorte N superficie resorte Si llaaos Δ L al acortaiento del resorte, ocurrirá que: k ΔL 36

25 siendo k el coeficiente de elasticidad del resorte. Observe que al construir el diagraa de cuerpo libre heos oitido la platafora o plato de la balanza, cuyo peso consideraos despreciable, al igual que al peso del resorte. Bajo estas condiciones las agnitudes y P son iguales. P k ΔL Experiento Sobre una base are un arco de adera. En el travesaño superior ubique dos poleas. Elija tres cuerpos y ida sus asas. ediante hilos cuelgue los tres cuerpos en la fora que indica la figura. Cuando vea que el sistea forado por los tres cuerpos está en equilibrio ida, ediante un transportador, los ángulos α y β. Usted 1 α β A 3 puede coprobar que la sua vectorial de las fuerzas que actúan sobre el nudo A es cero. Insistios que usted realice esta experiencia. A continuación le entregaos un cuadro de valores obtenidos al realizar el experiento con varios tríos de cuerpos. 1[ kg ] [ kg ] 3 [ ] kg α β 0,10 0,15 0, ,10 0,10 0, ,14 0,15 0, ,10 0,0 0, Analiceos la situación de equilibrio el sistea: Sean 1, y 3 las fuerzas que actúan sobre el nudo A debido a los pesos P 1, P y P 3 de los cuerpos. Suponiendo roce despreciable en las poleas, las agnitudes de las fuerzas transitidas hasta A por los hilos son iguales a las respectivas agnitudes de los pesos: 1 A y α β 3 x 1 P 1 1 g P g 3 P 3 3 g 37

26 El equilibrio del sistea queda expresado por la ecuación vectorial: Dado que estas tres fuerzas son coplanares, para realizar esta sua vectorial nos conviene eligir un sistea de referencia con su origen en el punto A y cuyos ejes coincidan con las líneas vertical y horizontal. La ecuación vectorial iplica dos ecuaciones para las coponentes de las fuerzas en los ejes escogidos: Coponentes horizontales: 1 senα senβ 0 Coponentes verticales: 1 cosα + 3 cosβ 0 Dividiendo por la aceleración de gravedad g, resulta para la condición de equilibrio del sistea estudiado: 1 senα + 3 senβ 0 1 cosα + 3 cosβ 0 Coprobeos si el prier conjunto de datos obtenidos en nuestras ediciones satisface estas igualdades 0,10 sen53 + 0,1 sen4 0, ,0803 0,0004 0,10 cos53 0,15 + 0,1 cos4 0,060 0,15 + 0,089 0,0006 Observeos que dentro de los errores de edición, efectivaente se cuplen las ecuaciones para el equilibrio. Dejaos a usted la tarea de trabajar con los otros conjuntos de datos. Ejeplos Se aplica una fuerza ediante un resorte a un cuerpo de asa 1 aceleración a [ ] a1 1,4 s 3,[kg] produciéndole una. Al aplicar otra fuerza ediante el iso resorte a otro cuerpo de asa 5,1 kg el resorte se estira 3,6[c] ás que la priera vez y se obtiene una aceleración,9 s. Calculeos la constante elástica K del resorte, suponiendo que los cuerpos se ueven sobre una superficie horizontal lisa. Usando el segundo principio de Newton resulta para las agnitudes de la fuerzas netas en cada caso. 38

27 a a a 1 1 Coo los cuerpos se ueven sobre una superficie horizontal lisa, la fuerza neta es igual a la ejercida por el resorte. Entonces, según la ley de Hooke: K x 1 1 K x 1 a siendo x y 1 x x + 3,6[c] los respectvos alargaientos del resorte. Dividiendo cada par de 1 ecuaciones se obtiene: a x y a x luego: de donde x 1 1, 6 c. 1 a 1 a x 1 x 1 + 3,6, con x en [c] 1 De 1 1 K x resulta K a 1 1 x 1 3, 1, 4 0,016 N 80 N Calculeos la fuerza que hay que aplicar horizontalente en el punto A para que la cuerda que suspende a un cuerpo de asa 3,1[kg] fore un ángulo de 30 con la vertical. 30 A Las fuerzas que actúan en el punto A son: : la fuerza que calculareos P : el peso del cuerpo de asa T : la tensión de la cuerda Elegios un sistea de referencia con eje x horizontal y eje y vertical. 39

28 La ecuación de equilibrio da lugar a las dos ecuaciones escalares: T sen30 T cos30 g + P + T 0 T y 30 A x P De la segunda ecuación se tiene: que reeplazada en la priera resulta: g T cos30 g tan30 3,1 9,8 0,58 18[N] Podeos calcular adeás la tensión en la cuerda: g T cos 30 3,1 9,8 35 N cos 30 Ejercicios 9-6) Una fuerza de 1[N] se aplica sobre un resorte de coeficiente elástico K 00 [N/]. Qué alargaiento del resorte se produce? 9-7) Se ha edido que un resorte experienta un alargaiento igual a Δ L 1,3 [c] cuando se aplica sobre él una fuerza de agnitud 85,4[N]. Deterine el coeficiente de rigidez del resorte, exprese el resultado en [N/] y en [pdl/ft]. 9-8) Los coeficientes de elasticidad de dos resortes tienen los valores K 17,6[N/c] y K 1 a[pdl/in], respectivaente. Al aplicar cierta fuerza sobre el prier resorte se produce un alargaiento de 7[] ; la isa fuerza produce en el segundo resorte un alargaiento de 3[]. Deterine el núero de edición a. 9-9) En un lugar en que la aceleración de gravedad vale 9,87[/s ] un cuerpo cuyo peso es 48,0[kp] produce un alargaiento de 1[] en cierto resorte. Calcule la constante de rigidez del resorte en [N/]. 330

29 9-30) Usando una caja de asas se ha calibrado un dinaóetro en un lugar en que la aceleración de gravedad vale 9,78[/s ]. En otro lugar, con aceleración de gravedad de 9,84[/s ], se ha edido con este dinaóetro que el peso de un objeto es 50,0[lbf]. Exprese la asa de este objeto en [kg]. 9-31) Con un resorte cuyo coeficiente de rigidez vale K 3, [N/] se tira un objeto haciendo que se ueva sobre una superficie horizontal lisa. Cuando la aceleración del objeto tuvo un valor a 1,6[/s ], el alargaiento del resorte fue Δ L 6,5[c]. Calcule la asa del objeto. 9-3) Sobre un cuerpo situado en una superficie horizontal lisa actúa una fuerza por edio de un resorte extendido hasta una largo tal que, la aceleración del cuerpo es de 15[c/s ]. Cuál sería la aceleración del cuerpo soetido a la acción de dos resortes, cada uno idéntico al priero, colocados paralelaente y extendidos abos hasta un largo igual al doble del largo en el prier caso? 9-33) Tres cuerpos de asas 1 80 [g], 110 [g] y 60[g] que penden de sendos hilos coo se 3 uestra en la figura, están en equilibrio. Calcule el ángulo entre cada par de hilos y los ángulos que los hilos foran con la vertical ) Dos cuerpos de igual asa 0,80[kg] están suspendidos en los extreos de un hilo que pasa por una polea. La polea se considera de asa despreciable y tabién se desprecia el roce entre la polea y el hilo y el roce entre la polea y su eje. Calcule la tensión en el hilo y la tensión en la cuerda de la que cuelga la polea. 9-35) Tres cuerpos, de asas 1, y, 3 aarrados a dos hilos coo se indica en la figura, están en equilibrio. Si 1,1[kg] y 3 1, 3 [kg]. Cuál es el valor de? Calcule la tensión en los extreos a, b y c de los hilos. a b 3 c 1 331

30 9-36) Calcule las tensiones en las cuedas para cada una de las situaciones de equilibrio ostradas en las figuras siguientes: Horizontal Horizontal g 9,8 s 80 5,0[kg] 8,0[kg] 9-37) Para este sistea en equilibrio se tiene: L A 60 [c], LB 43 y d 87[c]. Calcule las tensiones en las cuerdas si el cuerpo tiene una asa de 6,0[kg]. L A d L B 9-38) Calcular la tensión T B en la cuerda B y la asa del cuerpo que pende, si la tensión en la cuerda A es T A 9, [kp] cuando el sistea está en equilibrio. Horizontal 65 4 A B Ley de gravitación universal de Newton La interacción gravitacional que se ejerce entre cuerpos ateriales es un fenóeno que se presenta en todo el universo, produciendo siepre atracción entre los cuerpos La agnitud de la fuerza de atracción gravitacional entre dos partículas de asas 1 y, situadas a una distancia d una de la otra está dada por: 1 1 G 1 d

31 Esta expresión supone que los cuerpos son idealente puntuales, es decir, que sus diensiones geoétricas son uy pequeñas en coparación con la distancia que los separa. Podeos aplicar esta expresión a cuerpos esféricos considerando coo distancia la separación entre los centros de las esferas, obteniendo en general valores con buena aproxiación. El valor de la constante de gravitación universal G, deterinado experientalente, es de: G ( 6,6748 ± 0,00067 ) N kg Este valor de G indica lo débil que es la interacción gravitacional. La Tierra atrae gravitacionalente a un cuerpo de 1[kg] de asa con una fuerza del orden de 10[N]. En coparación, la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos con asas de 1[kg] a 1[] de distancia tiene el orden de agnitud de [N], esto es, del orden del diezbillonésio de la fuerza necesaria para levantar a una persona. Que la fuerza gravitacional es débil se aprecia en la vida diaria: se pasa cerca de edificios o de personas y no se siente la atracción gravitacional. Sin ebargo, la atracción producida por la Tierra, debido a su enore asa, hace que nosotros vivaos pegados a ella y que la atósfera no escape de la Tierra. Por otra parte, la existencia de los sisteas Tierra-Luna y Sol-Planetas y de las diferentes agrupaciones de estrellas, son anifestaciones de la atracción gravitacional haciendo sentir sus efectos a enores distancias. La ley de gravitación universal de Newton, representada por la fórula G 1 d, no es una ley de oviiento, sino una expresión particular de un tipo de fuerza. Noteos que el hecho de tener las asas el iso exponente hace que la expresión tenga una sietría que perite intercabiar los índices de las asas; esto significa que no hay una asa que atrae y otra que es atraída, sino que abas se atraen con fuerzas de igual agnitud de acuerdo con el principio de acción y reacción. Las teorías sobre la interacción gravitacional enunciadas en el presente siglo tienen estructuras conceptualente uy diferentes a la de Newton, pero contienen a su ley de gravitación universal coo una priera aproxiación. Ejeplos Un cuerpo pesa 50[N] en un lugar en que la aceleración de gravedad vale 9,78[/s ]. Calcule la aceleración que adquiere este cuerpo al estar soetido a una fuerza neta de agnitud igual a 146[N]. n La agnitud de la aceleración del cuerpo la obteneos de: n n a 333

32 La asa está deterinada por P g, por tanto: P g y a n n P g 146 N 50 N 9,78 s,75 s Un cohete de 50 toneladas de asa se alcanzó a elevar 0[] en 5,0[s] antes de explotar. Si suponeos que la aceleración, la asa y la fuerza ipulsora fueron constantes, qué agnitud tenía la fuerza ipulsora? Considerando que el cohete parte del reposo, su aceleración queda deterinada por: ip. h a t P dando: a h t 0[] 1,6 [/s ] ( 5,0 [s] ) Esta aceleración es producida por la fuerza neta, cuya agnitud es igual a la agnitud de la fuerza ipulsora enos la agnitud del peso: por tanto: P a neta ip. ( ) ip. a + P a + g a + g 50 [t] 10 3 [kg / t] ( 1,6 + 9,8 ) [/s ] ,4 [N] 5, [N] Calcule la agnitud de la fuerza gravitacional con que el Sol atrae a Saturno. Use los datos: asa del Sol 1, [kg], asa de Saturno 5, [kg] y distancia edia de Saturno al Sol de 9,5[UA]. La agnitud de la fuerza de atracción gravitacional queda deterinada por: St S G S St, con G 6,67 g 10 ( d S,St ) 11 [N /kg ] 334

33 Recordando la equivalencia 1 [UA] 1, [], obteneos: 1, , St S 6, [N] 3,7 10 ( 9,5 1, ) [N] 11 * Calcule aproxiadaente el valor de la constante de gravitación universal G usando coo datos: el valor de la aceleración de gravedad en la superficie de la Tierra g 9,8 [/s ], el radio de la Tierra R 6, [] y la asa de la Tierra 6, [kg]. Considereos un cuerpo de asa en la superficie de la Tierra. Su peso es la atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre él: por tanto: G g R P g G R 9,8 [/s ] ( 6, []) 6, [kg] 9,8 ( 6,4) 10 1 R 6, s kg 6, [N /kg ] Deterine una expresión aproxiada que nos indique las variaciones de la aceleración de gravedad en función de la altitud (altura sobre la superficie de la Tierra). De la ley de gravitación universal de Newton obteneos: d h g G R d G G ( R + h) R ( 1+ hr) Hagaos ε hr. Coo el radio de la Tierra R es del orden de agnitud de 10 7 [], aún para altitudes del orden de 10 5 [] resulta ε 10, por tanto en: ε + 3 ε 4 ε ε + ε ( 1+ ε) 335

34 podeos despreciar los térinos que contienen resultado aproxiado: ε, gh () g 0 ( 1 h R) 3 ε y potencias superiores de ε, dando coo donde heos puesto g 0 G R, para indicar la aceleración de gravedad en la superficie de la Tierra. Para apreciar el cabio de los valores de la aceleración de gravedad con la altitud, calculaos el valor de g para un satélite artificial a 300[k] de altitud: g 9,8 1 i [/s ] 9, [/s ] 8,9 [/s ] lo que representa una disinución de sólo un 9%. Calculeos la aceleración con que un observador en un sistea inercial vería overse la Tierra hacia una piedra. La agnitud de la fuerza de atracción gravitacional entre la Tierra y la piedra está dada por: G p T T p p T T p p d T d p Tierra piedra piedra Tierra T Sistea Inercial La aceleración de la piedra resulta: a p T p p G T d La aceleración de la Tierra es: a T p T T G p d El cuociente entre las respectivas aceleraciones es: a a T p p T 336