Cálculo infinitesimal de varias variables reales Volumen 2

Transcripción

1 Cálculo infinitesimal de varias variables reales Volumen 2 C Gabriel D. Villa alvador Departamento de Control utomático Centro de Investigación y de Estudios vanzados del I.P.N.

2 Contenido Contenido Prefacio ii iii 1 Integrales en R n Generalidades Interpretación Geométrica de la Integral Numerabilidad Ejercicios Medida y Contenido Conjuntos de Medida y de Contenido Ejercicios Teorema de Lebesgue Teorema de Lebesgue Conjuntos Jordan medibles Ejercicios Teorema de Fubini Integrales Paramétricas Teorema de Fubini Integrales Impropias Ejercicios Cambio de Variable Particiones de Unidad plicaciones de las Particiones de Unidad Teorema del Cambio de Variable Coordenadas Polares, Esféricas y Cilíndricas Ejercicios

3 ii 6 Integrales de Línea y de uperficie Integrales de Línea Interpretación Geométrica de la Integral de Línea Propiedades de la Integral de Línea Teorema de Green Integrales de uperficie Interpretación Geométrica de g u g v Teoremas de tokes y Gauss Ejercicios Teorema de Cantor-Bernstein 175 Teorema de Cantor-Bernstein Bibliografía 179 Notaciones 181 Indice 183

4 Prefacio El cálculo infinitesimal de varias variables reales es un tema de particular relevancia en las áreas de ingeniería y de ciencias físico matemáticas. El presente volumen trata sobre el cálculo integral de varias variables reales. Hay muchas formas de presentar el material aquí tratado. Nosotros elegimos un punto de vista teórico, aunque sin descuidar ejemplos que ilustren nuestros resultados. Debido a lo anterior, la aproximación al cálculo integral aquí presentada hace adecuado este texto para los estudiantes del segundo ó tercer año de licenciatura en las carreras de física y/ó matemáticas. En el Capítulo 1 primero introducimos el concepto de Integral de Riemann en el espacio R n y a continuación damos una interpretación geométrica de ella. Finalizamos dando los conceptos fundmentales sobre numerabilidad. El Capítulo 2 damos los conceptos de medida y de contenido. El Capítulo 3 trata fundamentalmente sobre el Teorema de Lebesgue, el cual nos caracteriza la integrabilidad de una función por medio de su conjunto de discontinuidades. Posteriormente introducimos el concepto de conjuntos Jordan medibles, los cuales serán los conjuntos sobre los cuales tenemos el concepto de volumen y sobre los cuales podemos definir la Integral de Riemann de R n. El Capítulo 4 es sobre el Teorema de Fubini, el cual nos da la relación fundamental entre el concepto de integral de Riemann y el concepto de integral iterada. El Teorema de Fubini es el que nos permite, de alguna manera, simplificar la integral n dimensional a la integral de una variable real. Finalizamos el capítulo dando una sección sobre integral impropia tratada de una manera práctica, en contraste con los conceptos tratados en el siguiente capítulo. En el Capítulo 5 tratamos sobre el cambio de variable en el caso n-dimensional, el cual es, en contraste con el caso de una variable real, un tema bastante complejo. Introducimos el concepto de Partición de Unidad el cual nos permite dar el concepto más general de Integral de Riemann en R n. Finalizamos el capítulo aplicando los resultados generales a tres casos particulares: coordenadas polares, esféricas y cilíndricas. El último capítulo es sobre integrales de línea y de superficie. Estudiamos las relaciones existentes entre estas integrales por medio de los Teoremas de Green, tokes y Gauss. Finalizamos con un apéndice en el cual se presenta la demostración del Teorema de Cantor Bernstein, el cual nos dice que si el conjunto es más chico que B y que

5 iv si B es más chico que, entonces los dos conjuntos son iguales. El Teorema de Cantor Bernstein lo utilizamos en el primer capítulo. l final de cada capítulo proponemos una lista de ejercicios, 139 en total, los cuales complementan y aclaran lo tratado en el texto. e debe intentar resolver todos ellos. Mucho de lo aquí tratado está basado en los libros mencionados en la bibliografía, principalmente en los libros de postol [1], Mardsen [7], pivak [9] y Williamson, Crowell y Trotter [1]. Para los Capítulos 1 y 2 recomendamos los libros de Mardsen y pivak. Para los Capítulos 3, 4 y 5, recomendamos principalmente los libros de Mardsen, pivak y el de Williamson, Crowell y Trotter. El capítulo 6 se basa esencialmente en [1], aunque también es recomendable [1]. El apéndice se basa en [5]. En el Capítulo 6, decidimos dar algunos conceptos y resultados basados en la intuición geométrica en lugar de desarrollar toda la herramienta necesaria para poder presentar los resultados de una manera absolutamente formal. in embargo si el lector está interesado en una mayor formalidad, le recomendamos los libros de Cartan [3] y de pivak. Los requisitos que se necesitan para este libro son principalmente un conocimiento general de cálculo diferencial e integral de una variable real, así como cálculo diferencial de varias variables, incluyendo algo de topología de R n. Gabriel Villa alvador. México, D.F. Mayo de 23.

6 Capítulo 1 Integrales en R n. 1.1 Generalidades En esta primera parte se dan las definiciones básicas, así como los primeros resultados que se nos presentan en la construcción de la integral en R n. Definición Un rectángulo cerrado en R n es un conjunto de la forma [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] con a i, b i R, 1 i n. e define el volumen del rectángulo [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] por: vol () v() (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ) n (b i a i ) si a i b i 1 i n y vol () si. Definición Una partición del rectángulo es una colección [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] P (P 1, P 2,..., P n ) P 1 P 2... P n donde P j, 1 j n, es una partición del intervalo [a j, b j ]. Definimos las particiones canónicas (ó la sucesión de particiones canónicas) de, por la sucesión {P m } m1, donde P m (P m 1, P m 2,..., P m n ), m N

7 2 y {P m j } m1, 1 j n, es la sucesión de particiones canónicas de [a j, b j ], es decir P j m { a j t j,m, t 1 j,m,..., t m j,m b j } y t k j,m a j + k m (b j a j ), 1 k m. t j,m t 1 j,m t 2 j,m t 3 j,m t k j,m t k+1 j,m tm 2 j,m t m 1 j,m a j t k+1 j,m tk j,m 1 m (b j a j ) Las particiones canónicas de [a j, b j ] son las que dividen al intervalo [a j, b j ] en m partes iguales. y t 3 2 b 2 t 2 2 t 1 2 t m j,m b j t 2 a 2 t 1 a 1 t 1 1 t 2 1 t 3 1 t 4 1 b 1 x Representación geométrica de una partición del rectángulo [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] en R 2. Dado un rectángulo [a 1, b 1 ] [a n, b n ] y una partición P (P 1, P 2,, P n ) de con: P j { t j < t 1 j < t 2 j <... < t m } j j, j 1, 2,..., n, es decir, P j divide al intervalo [a j, b j ] en m j subintervalos, entonces tendremos que P n divide al rectángulo en los m 1 m 2... m n m i subrectángulos: [t i 1 1 1, t i 1 1 ] [t i 2 1 2, t i 2 1 ] [t in 1 n, t in n ], 1 i j m j, 1 j n.

8 1.1 Generalidades 3 Definición ea un rectángulo de R n y sea f : R una función acotada. i P es una partición de que determina a 1, 2,..., m como los subrectángulos de esta partición, entonces se definen los números: m i inf {f ( x) x i } i 1, 2,..., m. M i sup {f ( x) x i } Por último se define: uma inferior de f para P I(f, P ) uma superior de f para P (f, P ) m m i vol ( i ). m M i vol ( i ). Hay varios resultados sobre sumas superiores e inferiores que nos conducen a la definición de integral. Proposición ean un rectángulo cerrado de R n, f : R una función acotada y P una partición cualquiera de. Entonces se tiene: I(f, P ) (f, P ). Demostración. ean 1, 2,..., k los subrectángulos de definidos por P. e tiene que vol ( i ), 1 i k y que m i M i, 1 i k, de donde obtenemos que m i vol ( i ) M i vol ( i ), 1 i k y por lo tanto I(f, P ) k m i vol ( i ) k M i vol ( i ) (f, P ). Proposición ea un rectángulo cerrado de R n y sea P una partición de que da origen a los subrectángulos 1, 2,..., k de. Entonces se tiene: vol () k vol ( i ). Demostración. e hará por inducción en k. i k 1, se tiene que 1 y por lo tanto vol () vol ( 1 ). Hagámoslo en el caso particular de k 2. i k 2 y [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] entonces la partición P (P 1,..., P j,..., P n ) necesariamente satisface que, para i j, P i es la partición trivial de [a i, b i ] y P j consta de 3 puntos, es decir, se tiene: P i {a i, b i }, i j y P j {a j, c, b j }, a j < c < b j.

9 4 Entonces: vol ( 1 ) + vol ( 2 ) (b 1 a 1 )... (b j 1 a j 1 )(c a j )(b j+1 a j+1 )... (b n a n )+ +(b 1 a 1 )... (b j 1 a j 1 )(b j c)(b j+1 a j+1 )... (b n a n ) (b 1 a 1 )... (b j 1 a j 1 )(b j+1 a j+1 )... (b n a n )(c a j + b j c) (b 1 a 1 )... (b j 1 a j 1 )(b j+1 a j+1 )... (b n a n ) vol (). Por último sea k > 1 y supongamos el resultados válido para todo número natural menor que k. Podemos suponer k > 2 y podemos tomar a j < c < b j con c P j para algún 1 j n, P (P 1, P 2,..., P j,..., P n ). Entonces se divide en los 2 siguientes subrectángulos: T 1 [a 1, b 1 ]... [a j, c]... [a n, b n ] y T 2 [a 1, b 1 ]... [c, b j ]... [a n, b n ]. Reenumerando los subrectángulos 1, 2,... k, podemos suponer que T 1 está dividido en los subrectángulos 1, 2,... r y T 2 en los subrectángulos r+1,... k. Por hipótesis de inducción y por el caso k 2, tendremos que vol () vol (T 1 ) + vol (T 2 ) r k vol ( i ) + vol ( i ) ir+1 k vol ( i ). Proposición ea un rectángulo cerrado de R n y sea f : R una función acotada. ean Q y P dos particiones de tales que P Q, es decir Q es más fina que P. Entonces se tiene: I(f, Q) I(f, P ) y (f, Q) (f, P ). Demostración. ean 1, 2,... k los subrectángulos de determinados por P y sean T 1, T 2,... T m los subrectángulos de determinados por Q. e tiene que cada T i está contenido en algún j y además cada i es la unión de algunos T j, digamos que: i T ji +1 T ji T ji +r i r i s i 1 T ji +s i. e tendrá que Pongamos: {1, 2,..., m} k ( ri s i 1 j i + s i ). m i inf {f( x) x i }, M i sup {f( x) x i }, 1 i k, m j inf {f( x) x T j }, M j sup {f( x) x T j }, 1 j m.

10 1.1 Generalidades 5 e tiene que m i m j i +s i y M i M j i +s i con 1 i k y 1 s i r i. Por la proposición anterior se tiene: y y Por lo tanto Por tanto se tiene que I(f, P ) (f, P ) r i vol ( i ) vol (T ji +s i ), 1 i k. s i 1 r i r i m i vol ( i ) m i vol (T ji +s i ) m j i +s i vol (T ji +s i ) s i 1 s i 1 r i r i M i vol ( i ) M i vol (T ji +s i ) M j i +s i vol (T ji +s i ). k m i vol ( i ) k M i vol ( i ) sí, obtenemos: s i 1 k k ( ri s i 1 ) m j i +s i vol (T ji +s i ) s i 1 ) M j i +s i vol (T ji +s i ) ( ri s i 1 I(f, P ) I(f, Q) y (f, P ) (f, Q). m m j vol(t j ) I(f, Q) j1 m j1 M j vol(t j ) (f, Q). Juntando las proposiciones anteriores, obtenemos un resultado importante para el concepto de integral. Teorema ea un rectángulo de R n y sea f : R una función acotada. ean P 1 y P 2 dos particiones de cualesquiera. Entonces i P 1 (P 1 1, P 2 1,..., P n 1 ) y P 2 (P 1 2, P 2 2,..., P n 2 ) consideremos la par- Demostración. tición I(f, P 1 ) (f, P 2 ). Q : P 1 P 2 : (P 1 1 P 1 2, P 2 1 P 2 2,..., P n 1 P n 2 ) llamada la partición unión de P 1 y P 2 (notemos que no es la unión de conjuntos, sino solamente una notación). Entonces Q es más fina que P 1 y que P 2, es decir, Q P 1 y Q P 2. plicando dos veces la proposición anterior obtenemos que I(f, P 1 ) I(f, Q) (f, Q) (f, P 2 ). Con estos resultados podemos ahora dar la definición de integral.

11 6 Definición ean un rectángulo cerrado de R n, f : R una función acotada. Definimos: Integral inferior de f en Integral superior de f en donde P {P P es una partición de }. f sup I(f, P ) P P f inf P P (f, P ) Observación Puesto que para cualesquiera particiones P 1, P 2 de se tiene que I(f, P 1 ) (f, P 2 ), entonces de donde se sigue que sup I(f, P ) (f, P 2 ) y I(f, P 1 ) inf (f, P ), P P P P f y f existen y f f. Definición i f f o lo que es lo mismo f f, entonces f se llama Riemann-integrable (o simplemente integrable) en y se define la integral de f sobre por: f f f Notación Cuando f es integrable en, algunas veces la integral se denota por: f f(x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2... dx n. Ejemplos ).- ean [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] y f : R dada por f( x) c constante x. Entonces P P se tiene que I(f, P ) (f, P ) c vol () por lo que f es integrable y f c vol () c(b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ).

12 1.1 Generalidades 7 2).- ea R n un rectángulo cerrado y sea f : R dada por: 1 si x Q n Q... Q f( x) si x Q n. Para toda partición P de se tiene que m i y M i 1. Por tanto m I(f, P ) m i vol ( i ) y (f, P ) Por tanto se tiene que m M i vol ( i ) f m vol ( i ) vol (). f vol (), es decir f no es integrable en, salvo en el caso trivial de que vol (). Un criterio importante de integrabilidad nos la da el siguiente resultado. Teorema ea un rectángulo cerrado en R m y sea f : R una función acotada. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1).- f es integrable sobre. (2).- ɛ >, existe una partición P de tal que (f, P ) I(f, P ) < ɛ. (3).- Existe una sucesión de particiones {P n } n1 de tales que lim [(f, P n) I(f, P n )]. n En este último caso se tiene que f lim (f, P n ) lim I(f, P n ). n n Demostración. (1) (2). ea ɛ >. Existen particiones P 1 y P 2 de tales que: (f, P 1 ) f < ɛ/2 y f I(f, P 2 ) < ɛ/2. Entonces si P P 1 P 2 es la partición unión (en el sentido definido anteriormente), se tendrá que: (f, P ) f (f, P 1 ) f < ɛ/2

13 8 y f I(f, P ) por lo que (f, P ) I(f, P ) (f, P ) s f + f I(f, P 2 ) < ɛ/2 f I(f, P ) < ɛ/2 + ɛ/2 ɛ. (2) (3). Elijamos para n N, ɛ n 1/n. Existe una partición P n de tal que por tanto De aquí se sigue que (f, P n ) I(f, P n ) < ɛ n 1/n 1 lim [(f, P n ) I(f, P n )] lim n n n. lim [(f, P n) I(f, P n )]. n (3) (1). ea ɛ >. Existe n N tal que y se tiene que: por lo que Por tanto tenemos que (f, P n ) I(f, P n ) < ɛ (f, P n ) inf (f, P ) f P P n N I(f, P n ) sup I(f, P ) f P P f Por último si tenemos que entonces (f, P n ) f f (f, P n ) I(f, P n ) < ɛ. f, esto es, f es integrable. lim [(f, P n) I(f, P n )] n s f (f, P n ) f (f, P n ) I(f, P n ). Por el teorema del sándwich para sucesiones se tiene que [ ] (f, P n ) f lim n

14 1.1 Generalidades 9 y además te tiene que {I(f, P n )} n1 converge y lim (f, P n) lim I(f, P n ). n n Por lo tanto tenemos que lim (f, P n) n f f f lim n I(f, P n ). En seguida demostraremos una proposición que es en extremo técnica pero que sin embargo nos demuestra la equivalencia entre la definición de integral por medio de particiones arbitrarias (como se trata aquí) y la definición de integral por medio de particiones cuyo diámetro tiende a. Es interesante resaltar el hecho de que la literatura trata indiscriminadamente que las 2 definiciones de integral son equivalentes y sin embargo no me fue posible encontrar la demostración de este hecho. Proposición ea un rectángulo cerrado de R n y sea f : R una función acotada. ea {P m } m1 una sucesión de particiones cuyo diámetro tiende a, es decir, si P m determina los subrectángulos 1 m, 2 m,..., j m m, estos son tales que dado ɛ >, existe m N tal que m m, cada lado de j m, 1 j j m, es de longitud menor a ɛ. Entonces se tiene: i).- lim (f, P m) f. m ii).- lim I(f, P m) f. m Demostración. i) Hagámoslo por reducción al absurdo suponiendo que lim (f, P m) m Entonces existe ɛ > tal que existe una subsucesión {P mk } k1 (f, P mk ) f > 2ɛ, k N. En adelante sólo trabajaremos con la subsucesión {P mk } k1 generalidad podemos suponer que f. tal que por lo que sin pérdida de {P mk } k1 {P m } m1.

15 1 Por definición de f, existe una partición P de tal que (f, P ) e tiene que (f, P m ) (f, P ) > 2ɛ + f f ɛ ɛ, f < ɛ. es decir, (f, P m ) (f, P ) > ɛ m N. La contradicción consiste en hallar un m N tal que (f, P m ) (f, P ) < ɛ. ea P (P 1, P 2,..., P n ) con P j {t j, t 1 j,..., t l j j } y t j < t 1 j <... < t l j j. Elijamos δ sujeto a: < δ min { t i j t i 1 j 1 i l j, j 1, 2,..., n } y si f( x) < M x y [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] elegimos k max {b i a i 1 i n} y le pedimos a que cumpla que M k n 1 (2l 1 1)(2l 2 1) (2l n 1)δ < ɛ (la razón de pedir estas condiciones se aclara más adelante). Elegimos m N tal que para toda m m cada lado de i m a δ, 1 i j m. ea m uno de estos índices. ea Q (Q 1, Q 2,..., Q n ) partición de tal que: { } Q j u j, u 1 j,..., u 2l j 2 j, u 2l j 1 j, sea de longitud menor donde u i j P m j, 1 i 2l j, P m (P m 1, P m 2,..., P m n ) con u 2k 1 j t k j u 2k j, k 1, 2,... l j 1, u j t j a j, u 2l j 1 t l j j y u 2i j u 2i 1 j < δ, i 1, 2,..., l j 1. u 2k j u 2l j 3 j u 2l j 2 j u 2l j 1 j u j u 1 j u 2 j u 2k 1 j t j t 1 j... t k j... t l j 1 j t l j j

16 1.1 Generalidades 11 Geométricamente las condiciones anteriores significan que tomamos puntos de las particiones P m P1 m Pn m de tal suerte que en cada componente los u i j rodean a t i j y que si u 2k 1 j y u 2k j rodean a t k j entonces la distancia entre estos u j s es menor a δ. e tiene que Q P m por lo que (f, Q) (f, P m ) y Q nos determina (2l 1 1)(2l 2 1) (2l n 1) subrectángulos de. ean k1,...,k n [ ] [ u k 1 1 1, u k u k n 1 n, u kn n los subrectángulos determinados por Q y sean k 1,...,k n [ t k 1 1 1, t k 1 1 ], donde 1 kj 2l j 1, 1 j n, ] [ ]... t k n 1 n, t kn n los subrectángulos determinados por P (1 k j l j, 1 j n). ean M k1,...,k n sup {f( x) x k1,...,k n } y M k 1,...,k n sup { } f( x) x k 1,...,k n. e tiene que por lo cual se tiene que En particular, tenemos y u 2k j+1 j u 2k j j t k j+1 j t k j j, k 1 +1,...,k n+1 2k1 +1,...,2k n+1. vol ( k 1 +1,...,k n+1) vol (2k1 +1,...,2k n+1) M 2k1 +1,...,2k n+1 M k 1 +1,...,k n+1. De la siguiente suma separaremos los sumandos en que todos los subíndices son impares y por otro lado los sumandos en que al menos un subíndice es par (a estos últimos los denotamos por I), es decir: (f, Q) 2l 1 1 k 1 1 2l 2 1 k 2 1 2l n 1 k n1 M k1,...,k n vol ( k1,...,k n ) l 1 1 l 2 1 k 1 1 k 2 1 l 1 1 l 2 1 k 1 1 k 2 1 l n 1 k n1 M 2k1 +1,...,2k n+1 vol ( 2k1 +1,...,2k n+1) + α I l n 1 k n1 M α vol ( α ) M k 1 +1,...,k n+1 vol ( ) k 1 +1,...,k n+1 + M α vol ( α ) (f, P ) + α I M α vol ( α ). Por último notemos que α I, M α M, que I tiene menos de (2l 1 1) (2l 2 1)... (2l n 1) elementos y que para cada α I, α tiene un subíndice par, por lo que α tiene un lado de longitud u 2k j u 2k 1 j < δ y los restantes (n 1) lados de longitud menor a k, por lo que vol ( α ) k n 1 δ. α I

17 12 Por lo tanto M α vol ( α ) M (2l 1 1) (2l 2 1)... (2l n 1) k n 1 δ < ɛ. α I e sigue que (f, Q) (f, P ) + α I M α vol ( α ) < (f, P ) + ɛ. Es decir, tenemos: ɛ < (f, P m ) (f, P ) (f, Q) (f, P ) < ɛ con lo se llega al absurdo ɛ < ɛ. Por lo tanto se tiene lim (f, P m) f. m ii) Es análogo al inciso i) y se deja como ejercicio. Como consecuencia del resultado anterior, podemos caracterizar la integrabilidad de una función por medio de particiones cuyo diámetro tiende a. Teorema ea R n un rectángulo cerrado y sea f R una función acotada. ea {P m } m1 una sucesión de particiones de, tales que dado ɛ >, existe m N tal que m m, los subrectángulos determinados por P m tienen lados de longitud menor que ɛ. Entonces se tiene que f es integrable en lim [(f, P m) I(f, P m )]. m En este caso se tiene que f lim (f, P m) lim I(f, P m). m m Demostración. ) Puesto que f es integrable se tiene que f f f por lo que debido a la proposición anterior tenemos: lim (f, P m) f f m f lim m I(f, P m) y en particular lim [(f, P m) I(f, P m )] f f. m ) Esta parte ya fue demostrada anteriormente.

18 1.1 Generalidades 13 Corolario ean, f y {P m } m1 como en el teorema. i f es integrable en, entonces j m f ( y i m ) vol (i m ) f, lim m donde P m determina a los subrectángulos m 1, m 2,..., m j m de y elegimos y m i m i arbitrario Demostración. ean m (m) i j m. Entonces se tiene inf{f( x) x m i }, M (m) i sup{f( x) x m i }, 1 i I(f, P m ) m f j m f m (m) i vol( m i ) j m f ( y m i ) vol ( m i ) j m M (m) i vol( m i ) (f, P m ) m f f Por el teorema del sándwich para sucesiones se sigue el resultado. Corolario ea un rectángulo cerrado de R n y sea f : R acotada. ea {P m } m1 la sucesión de particiones canónicas de. Entonces f es integrable lim m [(f, P m) I(f, P m )]. En este caso: f lim m (f, P m) lim m I(f, P m). Demostración. Inmediata del teorema anterior. Ejemplo ea [, 1] [, 1] R 2 y sea f : R dada por f(x, y) xy. e quiere calcular f. ea P m (P m 1, P m 2 ) partición de con m N y P m 1 P m 2 {t < t 1 < t 2 <... < t m 1 < t m 1}, t k k m, k m.

19 14 1 t m 1 t m 2. y (1, 1) t 3 t 2 t 1 t 1 t 2 t 3 t m 2 t m 1 1 x [ ean k m k1 1 1,k 2 m, k ] 1 m Entonces se tiene: [ k2 1 m, k ] 2, 1 k 1, k 2 m. m y M (m) k 1,k 2 sup{f(x, y) (x, y) (m) k 1,k 2 } k 1 m k2 m k 1k 2 m 2 m (m) k 1,k 2 inf{f(x, y) (x, y) (m) k 1,k 2 } k 1 1 m k2 1 m (k 1 1)(k 2 1), m 2 ( ) vol (m) k 1,k 2 1 m 1 m 1 m. 2 Entonces (f, P m ) I(f, P m ) m k 1 1 k 2 1 m ( ) k1 + k 2 1 m 2 [ 1 m (k m 3 1 1) + k 1 1 m k 1 1 m m k 1 1 k m 2 1 m 4 ( M (m) k 1,k 2 m (m) k 1,k 2 ) vol m k 1 1 [ m(k 1 1) + ] (m + 1) 1 [ m(m 1) + 2 m 3 2 ( (m) k 1,k 2 ) ] m(m + 1) 2 ] m(m + 1) 2 Por lo tanto f es integrable en. hora f 1 m 2 2m 2 1 m m. [,1] [,1] xy dxdy lim m (f, P m)

20 1.2 Interpretación Geométrica de la Integral 15 lim m m m k 1 1 k 2 1 k 1 k 2 m 2 1 m 2 lim m 1 m 4 m k 1 1 k 1 m(m + 1) 2 m + 1 m(m + 1) lim m 2m 3 2 (m + 1) 2 lim m 4m 2 ( 1 lim ) 2 1 m 4 m 4. Por lo tanto f xy dxdy 1 4. [,1] [,1] 1.2 Interpretación Geométrica de la Integral ea [a, b] [c, d] R 2 y sea f : R una función acotada e integrable. z G f b a c d y x ea P m (P m 1, P m 2 ) con P m 1 {t 1, t 1 1,..., t 1 m} y P m 2 {t 2, t 2 1,..., t 2 m} con t 1 j a + j m (b a), t2 j c + j (d c), j m y sean m (m) k 1,k 2 [ t 1 k 1 1, t 1 k 1 ] [ t 2 k2 1, t 2 k 2 ], 1 k1, k 2 m, m (m) k 1,k 2 inf{f(x, y) (x, y) (m) k 1,k 2 }, M (m) k 1,k 2 sup{f(x, y) (x, y) (m) k 1,k 2 }.

21 16 z G f (m) M i j (m) m i j t 1 i t 1 i-1 (m) i j t 2 j-1 t 2 j y x e tiene que I(f, P m ) es la suma de los volúmenes de los prismas de base (m) k 1,k 2 y altura m (m) k 1,k 2, los cuales se hallan por abajo de la gráfica Γ f de f y que (f, P m ) es la suma de los volúmenes de los prismas de base (m) k 1,k 2 la gráfica de f. y altura M (m) k 1,k 2 y que se hallan por arriba de Puesto que f es integrable en, se tiene que lim (f, P m) lim I(f, P m) m m es decir: f volumen de la figura geométrica en R 3 acotada por {}, Γ f gráfica de f {(x, y, f(x, y)) R 3 (x, y) } y los planos x a, x b, y c, y d. f, 1.3 Numerabilidad La noción de numerabilidad y de cardinalidad nos serán de vital importancia en varios temas subsiguientes de este trabajo, como por ejemplo, en medida, cubiertas, uniones numerables de compactos, particiones de unidad, etc. quí sólo se exponen los resultados indispensables en este tratado. Proposición ean, B dos conjuntos no vacíos. suprayectiva existe g : B inyectiva. Entonces existe f : B Demostración. ) ea f : B suprayectiva. Dada b B, existe a b tal que f(a b ) b. Definimos g : B dada por g(b) a b (el a b electo, lo cual es posible gracias al axioma de elección). hora, puesto que f es función, si b 1, b 2 B, b 1 b 2, f(a b1 ) b 1 b 2 f(a b2 ), por lo que g(b 1 ) a b1 a b2 g(b 2 ), es decir g es inyectiva.

22 1.3 Numerabilidad 17 ) ea g : B inyectiva. Entonces g(b). ea b B fijo (existe puesto que B ). ea f : B dada por b si a g(b), a g(b) f(a) b si a g(b) Claramente f es una función suprayectiva. Definición Un conjunto se llama numerable o contable si existe f : N biyectiva. Ejemplos (1).- En forma obvia N es numerable. (2).- ea k N y sea k {k n n N}. ea f : N k dada por f(n) k n. Entonces f es biyectiva y por lo tanto k es numerable. En particular con k 2, 2 {2n n N} {m N m es par} es numerable. (3).- ea Z. ea f : N Z dada por: k 1 si n 2k, k N f(n) k si n 2k 1, k N. Entonces f es biyectiva y por lo tanto Z es numerable. Teorema (Cantor Bernstein) ean, B dos conjuntos tales que existen funciones f : B y g : B inyectivas. Entonces existe h: B biyectiva. Demostración. e dará en el apéndice. Observación El Teorema de Cantor Bernstein se puede enunciar con f y g suprayectivas y se tiene la misma conclusión. Esto se sigue inmediatamente de la primera proposición para numerabilidad. Con este teorema podemos deducir resultados muy interesantes. Proposición ea un conjunto infinito. numerable. Entonces contiene un subconjunto

23 18 Demostración. ean x 1. Entonces \ {x 1 }. Elegimos x 2 \ {x 1 }, entonces \ {x 1, x 2 } y x 1 x 2. upongamos que se han seleccionado x 1, x 2,..., x n con x i x j, 1 i, j n, i j. Entonces \ {x 1, x 2,..., x n } (pues es infinito). ea x n+1 \ {x 1, x 2,..., x n }. Entonces x n+1 x i, 1 i n y por lo tanto x j x k, 1 j, k n + 1, j k. e ha construido inductivamente el conjunto C {x n n N} con x n x m, n m, n, m N. ea ϕ: N C dada por ϕ(n) x n. Entonces ϕ es claramente biyectiva, por lo que C es numerable y C es un subconjunto de. Definición i es finito ó numerable, se dice a lo más numerable. Corolario i existe ϕ: N suprayectiva, entonces es a lo más numerable. Demostración. i es finito se sigue el resultado. i es infinito, por la proposición anterior contiene un conjunto numerable por lo que existe una función inyectiva h: N. e sigue de la hipótesis que existe una función g : N inyectiva y por el Teorema de Cantor Bernstein se sigue que existe f : N biyectiva. Por lo tanto es numerable. Ejemplo ea { x n } n1 R m una sucesión. ea ϕ: N { x n } n1 dada por ϕ(n) x n, entonces ϕ es sobre, por lo tanto { x n } n1 es a lo más numerable. Un resultado interesante es: Proposición El campo de los números racionales Q es numerable. Demostración. ea ϕ: N Q dada por ϕ(n) n. Entonces ϕ es inyectiva. i x R, definimos el signo de x por: 1 si x > sgn x 1 si x < si x ea ψ : Q N dada por ψ(x) 2 p 3 q 5 1 sgn x donde x p q y (p, q) 1. i x p q, y a, x, y Q, (p, q) 1 (a, b) y b ψ(x) 2 p 3 q 5 1 sgn x 2 a 3 b 5 1 sgn y ψ(y), entonces, por el Teorema Fundamental de la ritmética, se tiene que p a, q b, 1 sgn x 1 sgn y. Por lo tanto p q a y sgn x sgn y. e sigue que p b q x y a b, es decir, ψ es inyectiva. e sigue del Teorema de Cantor Bernstein que Q es numerable.

24 1.3 Numerabilidad 19 Proposición ea un conjunto a lo más numerable y sea B. Entonces B es a lo más numerable. Demostración. Ejercicio. Hasta ahora sólo hemos visto conjuntos numerables. El siguiente resultado nos da ejemplos de conjuntos no numerables. Proposición ean a, b R con a < b. Entonces [a, b] no es un conjunto numerable. Demostración. e probará que [, 1] no es numerable y puesto que f : [, 1] [a, b] dada por f(t) a + (b a)t es biyectiva, se seguirá que [a, b] no puede ser numerable. y b a Γ f 1 upongamos que [, 1] es numerable. Entonces podemos escribir [, 1] {x n } n1. ea x n dado por x n.a n 1a n 2... a n a n k n... 1 k con cada x k1 a n k {, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, n N. e construirá x [, 1] \ {x n } n1. b k ea x.b 1 b 2... b n... 1, b k k {, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y tal que b k, 9, k1 b k a k k, k N. upongamos que existe n N tal que x x n, es decir x x n k1 b k a n k 1 k x n x. ea k N el primer natural tal que b k a n k, el cual existe puesto que se tiene b n a n n. Digamos que b k > a n k. Por lo tanto x x n b k a n k 1 k + kk +1 b k a n k 1 k

25 2 por lo que 1 1 b k a n k k 1 k kk +1 a n k b k 1 k kk k 1 k +1 k1 1 1 k k k k 1 lo cual es posible gracias a que tenemos a n k b k 9 k N. Por lo tanto tenemos que 1 1 b k a n k k 1 k es decir se deben tener igualdades y por ende lo cual sólo es posible si kk +1 a n k b k 9 k k + 1, a n k b k 1 k 1 1 k, a n k 9 y b k k k + 1. Esto contradice la elección de b k puesto que se tiene b k k N. i se hubiese tenido b k < a n k, lo que se hubiese concluido que necesariamente b k 9 k k + 1, lo cual también contradice la elección de b k. En cualquier caso se tiene que x x n n N. Finalmente, x b n 1 n 9 1 n 9 1 n1 n Por lo tanto x [, 1] \ {x n } n1, lo cual contradice que [, 1] {x n } n1. sí, [, 1] no es numerable. Corolario Para todo n N, R n no es numerable. Demostración. e tiene que [, 1] R R n. i R n fuese numerable se seguiría que [, 1] sería numerable, lo cual contradice el resultado anterior. Teorema i y B son dos conjuntos numerable, entonces B es numerable. Demostración. ea C {2 n 3 m n, m N}. Puesto que C N y C es infinito, se sigue que C es numerable. ea h: N, g : N B funciones biyectivas. Definimos f : C B dada por: f (2 n 3 m ) (h(n), g(m)) Claramente f es biyectiva por lo que B es numerable.

26 1.4 Ejercicios 21 Corolario ean 1, 2,..., m conjuntos numerables. Entonces m es un conjunto numerable. Demostración. Ejercicio. Teorema La unión numerable de conjuntos numerables es numerable, es decir, si { n } n1 es una familia de conjuntos tal que n es numerable n N entonces es un conjunto numerable. Demostración. Puesto que 1 y 1 es infinito, se sigue que es infinito. Por el teorema anterior se tiene que N N es un conjunto numerable. Para cada n N pongamos n {x nm } m1. Entonces n x nm. n1 n1 m1 ea ϕ: N N dada por: ϕ((n, m)) x nm. Entonces ϕ es suprayectiva y por lo tanto es numerable. Observación Los dos últimos teoremas, así como el corolario son válidos si sustituimos numerable por a lo más numerable. n1 n 1.4 Ejercicios 1) Demostrar que la intersección de dos rectángulos cerrados en R n, es un rectángulo cerrado en R n. 2) ean, B R n. Demostrar que ( B) () (B) y que ( B) () (B). 3) ea f : [, 1] R dada por: f(x) Probar que f es integrable y que si x si x f(x) dx.

27 22 4) ea f : [, 2] R dada por si x 1 f(x) 1 si 1 < x 2. Calcular 2 f(x) dx usando la definición. 5) ea R n un rectángulo cerrado. ea f : R tal que f( x) x. ea x tal que f ( x ) > y f es continua en x. Probar que si f es integrable, entonces f >. 6) ea R n un rectángulo cerrado y sea f : R continua. Probar que f es integrable. 7) ea R n un rectángulo cerrado y sea f : R acotada. Probar que f es integrable existe un número c R tal que para cada ɛ >, existe una partición P que determina los subrectángulos 1, 2, 3,..., k de y que para cualquier elección x 1 1,..., x k k se tiene k f ( x i ) vol ( i ) c < ɛ. En este caso se tiene que c f. 8) ea R n un rectángulo cerrado y sea f : R una función integrable. ea g : R tal que g f salvo en un conjunto finito de puntos. Probar que g es integrable y que g f. 9) ea f : [, 1] [, 1] R dada por: si x < 1/2 f(x) 1 si 1/2 x 1 Probar que f es integrable y que [,1] [,1] f 1/2..

28 1.4 Ejercicios 23 1) ean R n un rectángulo cerrado, f, g : R funciones integrables y c R. Probar que f + g y c f son funciones integrables y que (f + g) f + g ; c f c f. 11) ea f : R y sea P una partición del rectángulo cerrado R n. Probar que f es integrable para cada subrectángulo determinado por P, f es integrable y en este caso f f. 12) ean f, g : R n R, donde es un rectángulo cerrado y f, g son funciones integrables. Probar que: i).- i f( x) x, entonces f. ii).- i f( x) g( x) x, entonces f g. 13) ea f : R n R una función integrable, un rectángulo cerrado. Probar que f es integrable y que f f. 14) ea un conjunto a lo más numerable y sea B. Probar que B es a lo más numerable. 15) ean 1, 2,..., m conjuntos numerables. Probar que 1 2 m es numerable. 16) Probar que todo conjunto abierto R n es unión a lo más numerable de bolas abiertas (y también de rectángulos abiertos). 17) ea R n y sea O una cubierta abierta de. Probar que tiene una subcubierta a lo más numerable. 18) Probar que el conjunto de todas las sucesiones que constan de y 1 no es numerable.

29 24

30 Capítulo 2 Medida y Contenido 2.1 Conjuntos de Medida y de Contenido Los conceptos de medida y contenido son de vital importancia para todo el desarrollo de la integral de Riemann. Cabe hacer mención que la noción de medida es la que se aplica a la llamada integral de Lebesgue, la cual es una generalización de la integral de Riemann. Definición Un conjunto R n se dice que tiene medida si dado ɛ >, existe un recubrimiento a lo más numerable {U n } n1 de por rectángulos cerrados, es decir U n, U n rectángulo cerrado de R n, tal que n1 Ejemplos vol(u i ) < ɛ. (1).- i, elegimos U i i N, vol(u i ) y por lo tanto tiene medida. (2).- ea { x m } m1 Rn cualquier conjunto a lo más numerable. Dado cada x m, sea U m un rectángulo cerrado de R n tal que x m U m y vol(u m ) < ɛ 2 m. Entonces m1 es decir tiene medida. U m y vol(u m ) < m1 m1 ɛ 2 m ɛ,

31 26 (3).- ea R R {} R 2. ea ɛ >. e definen [ U n {[n 1, n] [ n, n + 1]} ɛ 2, ɛ ], n N. n+3 2 n+3 y } x n n n 1 n U n ɛ/2 n+3 e tiene que U n no es un rectángulo pero es la unión de dos rectángulos cerrados Vn 1 y Vn 2. demás y {Vn 1 V 2 n } n1 cerrados y n1 vol(vn 1 ) vol(vn 2 ɛ ) ɛ n+3 2 n+2 es una cubierta numerable de por medio de rectángulos vol(v 1 n ) + n1 vol(v 2 n ) 2 por lo que R tiene medida (en R 2!). Un resultado que nos será de suma utilidad es: n1 ɛ 2 n+2 ɛ 2 < ɛ, Teorema ea { i } una familia de subconjuntos de Rn con cada i, i N, de medida. Entonces i es un conjunto de medida. Demostración. ea ɛ >. Para cada i N sea { } U ij una cubierta numerable de j1 i por rectángulos cerrados tal que vol(u ij ) < ɛ 2. i j1 e tiene: ( ) i U ij j1

32 2.1 Conjuntos de Medida y de Contenido 27 por lo tanto {U ij } i,j1 es una cubierta por rectángulos cerrados. Pongamos {V i } {U ij} i,j1 y vol(v i ) converge si y sólo si es absolutamente convergente (por ser vol(v i ) ). Por lo tanto podemos sumar en cualquier orden y se tiene que ɛ vol(u i ) vol(u ij ) < 2 ɛ i y puesto que de medida. j1 V i, V i rectángulo cerrado de R n para toda i N, se sigue que es Definición Un conjunto R n se dice que tiene contenido si dado ɛ > existe un recubrimiento finito {U 1, U 2,..., U m } de por medio de rectángulos cerrados tales m que vol(u i ) < ɛ. Observación i tiene contenido, entonces tiene medida pues, dado ɛ >, consideramos {U i } m un recubrimiento de por medio de rectángulos cerrados tal que m vol(u i ) < ɛ/2. Para i m + 1, sean U i rectángulos cerrados cualesquiera tales que por lo tanto im+1 vol(u i ) < ɛ/2, U i y vol(u i ) m vol(u i ) + vol(u i ) < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ im+1 por lo que es de medida. El recíproco es falso pues claramente un conjunto de contenido debe ser acotado y Q, por ser numerable, es de medida pero no es de contenido por no ser acotado. Proposición ean a, b R con a < b. Entonces [a, b] no tiene contenido. demás si {U 1, U 2,..., U n } es cualquier recubrimiento finito de [a, b] por intervalos cerrados (los cuales son los rectángulos cerrados en R), entonces vol(u i ) b n a.

33 28 Demostración. e hará la última parte por inducción en n. i n 1, U 1 [c, d] con c a < b d por lo que vol(u 1 ) d c b a. uponemos cierto el resultado para n y lo demostraremos para n + 1. ea {U 1,..., U n, U n+1 } un recubrimiento de [a, b] por intervalos cerrados. e puede suponer que a U 1 [α, β] y por ende α a β. i β b se tiene [a, b] U 1 y n+1 vol(u 1 ) β α b a. Por lo tanto vol(u i ) vol(u 1 ) b a. i β < b, se tiene que {U 2, U 3,..., U n+1 } recubren a [β, b] y por hipótesis de inducción n+1 tenemos que vol(u i ) b β, por lo que i2 n+1 n+1 vol(u i ) vol(u 1 ) + vol(u i ) β α + b β b α b a. i2 Observación Las definiciones de medida y contenido se dieron usando rectángulos cerrados. in embargo se pueden dar estas definiciones usando rectángulos abiertos y estas definiciones son equivalentes. Más precisamente Definición Un conjunto (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 )... (a n, b n ) R n con a i, b i R, a i b i, i {1, 2,..., n} se llama rectángulo abierto y se define su volumen por vol() n (b i a i ) v(). Notemos que [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] en el caso de que a i < b i 1 i n y si. Por lo tanto vol() vol(). continuación damos las definiciones alternativas tanto de medida como de contenido. Definición ea R n. Entonces i).- se dice de medida si dado ɛ >, existe un recubrimiento {U i } de por rectángulos abiertos tales que vol(u i ) < ɛ.

34 2.1 Conjuntos de Medida y de Contenido 29 ii).- se dice de contenido si si dado ɛ > existe un recubrimiento finito {U 1, U 2,..., U m } de por medio de rectángulos abiertos tales que m vol(u i ) < ɛ. Proposición i).- Las dos definiciones de medida coinciden. ii).- Las dos definiciones de contenido coinciden. Demostración. (i), (ii): Primero supongamos que se cumple la definición de medida (resp. contenido ) por medio de la definición de rectángulos abiertos. Entonces si es de medida (resp. contenido ), dado ɛ > sea {U i } (resp. {U i} m ) una cubierta de tal que m vol(u i ) < ɛ (resp. vol(u i ) < ɛ). Entonces { U i } (resp. { U } m ) es una cubierta de por rectángulos cerrados y vol(u i ) vol(u i ). De aquí se sigue inmediatamente que es de medida (resp. contenido ) por medio de la definición de rectángulos cerrados. Recíprocamente, sea R n de medida (resp. contenido ) por medio de la definición de rectángulos cerrados. Dado ɛ >, existe una cubierta {U i } (resp. {U i} m ) de por medio de rectángulos cerrados tal que m vol(u i ) < ɛ/2 (resp. vol(u i ) < ɛ/2). ea U i [a i 1, b i 1] [a i 2, b i 2]... [a i n, b i n]. b i 2 + δ i b i 2 a i 2 a i 2 δ i y V i U i a i 1 δ i a i 1 b i 1 b i 1 + δ i x

35 3 ea V i (a i 1 δ i, b i 1 + δ i ) (a i 2 δ i, b i 2 + δ i ) (a i n δ i, b i n + δ i ). e tiene que δ i se elige de tal suerte que satisfaga vol(v i ) vol(u i ) + ɛ i N (resp. 1 i m). 2i+1 Veamos que esto es posible. e tiene que n ( ) g(δ i ) vol(v i ) b i j a i j + 2δ i (2δi ) n + vol(u i ) + δ i h(δ i ) j1 donde h(δ i ) es un polinomio. Por lo tanto g es una función continua y puesto que lim g(δ i) vol(u i ) y δ i lim g(δ i), δ i se tiene, por el teorema del valor intermedio, que existe δ i tal que < δ i < ; g(δ i ) vol(u i ) + ɛ 2. i+1 m e tiene que U i V i por lo que V i (resp. V i ), cada V i es un rectángulo abierto y vol(v i ) (resp. m vol(v i ) { vol(u i ) + ɛ } 2 i+1 m vol(u i ) + { vol(u i ) + ɛ } 2 i+1 m vol(u i ) + ɛ 2 i+1 < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ m ɛ 2 i+1 < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ). Por lo tanto es de medida (resp. contenido ) con la definición de rectángulos abiertos. Ya vimos que los conceptos de medida y contenido no son lo mismo, pero en el caso de conjunto compactos si lo es como lo prueba el siguiente: Teorema ea R n un conjunto compacto medida. Entonces tiene contenido. Demostración. ean ɛ > y {U i } una cubierta de de rectángulos abiertos, tal que vol(u i ) < ɛ, y puesto que es compacto, existe U i1, U i2,..., U ik k j1 U ij y k vol(u ij ) j1 de donde se sigue que es de contenido. U i tales que vol(u j ) < ɛ j1

36 2.1 Conjuntos de Medida y de Contenido 31 Observaciones (1).- i no es compacto, el teorema anterior no se cumple en general, aún en el caso de que sea acotado. Por ejemplo, si tomamos Q [, 1] {x n } n1, tiene medida, sin embargo si {U 1, U 2,..., U n } es una cubierta de por intervalos cerrados, se tiene que por lo que n U i [, 1] n n vol(u i ) 1 1. Por lo tanto no tiene contenido. (2).- i a, b R, a < b, [a, b] no tiene medida pues es compacto y no tiene contenido. Definición ea R n un subconjunto. e define la función característica de por χ : R n R dada por: 1 si x χ ( x) si x. Proposición ean, B R n. Entonces tenemos i).- χ B χ + χ B χ B ; ii).- χ B χ χ B ; iii).- χ c 1 χ. Demostración. Ejercicio. La siguiente definición nos amplía la definición de integral a conjuntos que no son necesariamente rectángulos cerrados. Definición ea R n un conjunto acotado. ea un rectángulo cerrado tal que. ea f : R una función acotada. Entonces se define la integral de f sobre por: f f χ. U i

37 32 Notemos que f( x) si x (f χ )( x) si x. demás definimos el volumen de por: vol() χ. En otras palabras, tiene volumen χ es integrable. Observación ea R n un rectángulo cerrado, [a 1, b 1 ]... [a n, b n ]. Tenemos que vol() χ 1 (b 1 a 1 ) (b n a n ), es decir las dos definiciones de volumen para rectángulos cerrados coinciden. Proposición Un conjunto tiene volumen tiene contenido. Demostración. ) Consideramos un conjunto de volumen, χ vol(), con un rectángulo cerrado tal que. ea ɛ >. Entonces existe una partición P de que determina los subrectángulos k 1,..., k de y tal que (χ, P ) χ (χ, P ) M i vol( i ) < ɛ. hora, k i y 1 si i M i sup{f( x) x } si i. ean i1,..., ir los subrectángulos tales que ij, 1 j r. Por lo tanto r j1 ij y r vol( ij ) j1 k M i vol( i ) < ɛ, es decir, tiene contenido. ) ea un conjunto de contenido. ea ɛ > y sean V 1, V 2,..., V M rectángulos abiertos tales que M M V i y vol(v i ) < ɛ.

38 2.1 Conjuntos de Medida y de Contenido 33 ea un rectángulo cerrado tal que M V i y sea P una partición de que determina los subrectángulos 1,..., k tales que cada i ó bien está contenido en algún V j (1 j M) ó bien i V j i j M. Reenumerando los i podemos suponer que 1,..., N son los subrectángulos que están contenidos en algún V j. ea M i sup{χ ( x) x i }. Por lo tanto M 1 M N 1 y M N+1 M k. Por lo tanto tenemos (χ, P ) k M i vol( i ) N vol( i ) M vol(v j ) < ɛ, por lo que inf (χ, P ) χ. P P hora si P es cualquier partición de se tiene I(χ, P ) χ por lo tanto I(χ, P ), de donde se sigue que χ. Por lo tanto vol() χ χ χ, es decir χ es integrable y χ vol(). Definición ea R n, f : R acotada. ea x y sea δ >. e definen: j1 M(f, x, δ) sup {f( x) x B( x, δ) }, m(f, x, δ) inf {f( x) x B( x, δ) }. Entonces δ >, M(f, x, δ) m(f, x, δ). e define la oscilación de f en x por: o(f, x ) lim δ + [M(f, x, δ) m(f, x, δ)]. Observación o(f, x ) siempre existe, pues si g : R + R se define por g(δ) M(f, x, δ) m(f, x, δ), se tiene que g es decreciente pues si < δ 1 δ, entonces por lo que M(f, x, δ 1 ) M(f, x, δ) y m(f, x, δ 1 ) m(f, x, δ), g(δ 1 ) M(f, x, δ 1 ) m(f, x, δ 1 ) M(f, x, δ) m(f, x, δ) g(δ). Por lo tanto existe. demás o(f, x ). o(f, x ) lim δ + g(δ)

39 34 Teorema ean x R n, f : R una función acotada. Entonces f es continua en x o(f, x ). Demostración. ) Dada ɛ >, existe δ > tal que para toda x B( x, δ), f( x) f( x ) < ɛ/3, de donde ɛ 3 + f( x ) < f( x) < f( x ) + ɛ 3. Por lo tanto por lo que M(f, x, δ) f( x ) + ɛ 3 y m(f, x, δ) f( x ) ɛ 3, M(f, x, δ) m(f, x, δ) f( x ) + ɛ 3 + ɛ 3 f( x ) 2ɛ 3 < ɛ. Por lo tanto o(f, x ) lim [M(f, x, δ) m(f, x, δ)]. δ ) ea ɛ >. Existe un δ > tal que para toda < δ 1 δ, se tiene que ea x B( x, δ). Entonces m(f, x, δ) f( x) M(f, x, δ) y Por lo tanto M(f, x, δ) m(f, x, δ) < ɛ. M(f, x, δ) f( x) m(f, x, δ). ɛ < m(f, x, δ) M(f, x, δ) f( x) f( x ) M(f, x, δ) m(f, x, δ) < ɛ. Por lo tanto f( x) f( x ) < ɛ, es decir, f es continua en x. Proposición ean R n, f : R acotada y ɛ >. Entonces el conjunto B { x o(f, x) ɛ} es cerrado en. Demostración. e demostrará que \ B es un conjunto abierto en. ea x \ B, entonces o(f, x) < ɛ. ea δ > tal que M(f, x, δ) M(f, x, δ) < ɛ. ea y B( x, δ) y si δ 1 > es tal que B( y, δ 1 ) B( x, δ) se tiene que para z B( y, δ 1 ) : y M(f, y, δ 1 ) sup {f( z) z B( y, δ 1 ) } sup {f( z) z B( x, δ) } M(f, x, δ) m(f, y, δ 1 ) inf {f( z) z B( y, δ 1 ) } inf {f( z) z B( x, δ) } m(f, x, δ). Por lo tanto M(f, y, δ 1 ) m(f, y, δ 1 ) M(f, x, δ) m(f, x, δ) < ɛ. e sigue que o(f, y) < ɛ, por lo que B( x, δ) \ B. Por lo tanto \ B es abierto en de donde se sigue que B es cerrado en.

40 2.2 Ejercicios Ejercicios 1) i es de medida y B, probar que B es de medida. 2) i es de contenido y B, probar que B es de contenido. 3) i es de medida, es de medida? 4) i tiene contenido, tiene contenido? 5) i tiene contenido, probar que Fr tiene contenido. 6) i es acotado y tiene medida, tiene medida? 7) ean a < b, a, b R. Probar que I [a, b] no tiene medida. 8) ea {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. Probar que tiene medida. 9) ea ϕ: R n R m continua. Probar que la gráfica de ϕ, Γ ϕ, es de medida. 1) Probar que si V es subespacio propio de R n entonces V es de medida, siguiendo los siguientes pasos: i).- i V es de dimensión n 1 con base α 1 (α 1,1,..., α 1,(n 1), α 1,n ), α 2 (α 2,1,..., α 2,(n 1), α 2,n ),. α n 1 (α (n 1),1,..., α (n 1),(n 1), α (n 1),n ), tal que { α 1, α 2,..., α n 1 } generan R n 1. Probar que V es la gráfica de una transformación lineal T : R n 1 R y por lo tanto V es de medida. ii).- i T : R n R n es una transformación lineal tal que T (a 1,..., a i,..., a j,..., a n ) (a 1,..., a j,..., a i,..., a n ) y es de medida, entonces T () es de medida. iii).- Concluir que si V es un subespacio propio de R n, entonces V tiene medida. 11) Probar que la elipse: {(x, y) R 2 x 2 + 3y 2 1}, tiene medida en R 2. 12) Probar que la esfera: ( x, r) { x R n x x r} con x R n, r > tiene medida en R n.

41 36 13) Probar que (a, b), a < b, a, b R, no tiene medida, ni contenido. 14) i a, b R, a < b y [a, b] tiene medida, entonces [a, b] \ no tiene medida. 15) ea f : B R n R. ea x B. Probar que si o(f, x) >, entonces o(f, x) > y concluir que: { } x o(f, x) > { x B o(f, x) > }. 16) ean, B R n y sea f : B R. Probar que: { x B o(f, x) > } { x o(f, x) > } { x B o(f, x) > } B. 17) ea f : [a, b] R una función creciente y sean a x 1 < x 2 <... < x n b. Probar que n o(f, x i ) < f(b) f(a). 18) ean, B R n. Probar que: i).- χ B χ + χ B χ B. ii).- χ c 1 χ. iii).- χ B χ χ B. 19) Demostrar que si a i < b i, 1 i n, a i, b i R, entonces [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] no tiene contenido. 2) Probar que si un conjunto no es acotado, no puede tener contenido. 21) Dar un ejemplo de un conjunto cerrado que tenga medida, pero que no tenga contenido. 22) Dar un ejemplo de un conjunto C de medida tal que C no sea de medida. 23) i).- i [, 1] es una unión numerable de intervalos abiertos (a i, b i ) tales que cada número racional de (, 1) está en algún (a i, b i ), probar entonces que [, 1] \. ii).- i (b i a i ) < 1, probar que no es de medida.

42 2.2 Ejercicios 37 iii).- Dar un ejemplo explícito de un conjunto como en ii). 24) ea f : [a, b] R una función creciente. Probar que {x [a, b] o(f, x) > } es de medida. (ugerencia: Probar que si n N, {x [a, b] o(f, x) > 1/n} es finito).

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44 Capítulo 3 Teorema de Lebesgue 3.1 Teorema de Lebesgue abemos, por un ejercicio anterior, que toda función continua es integrable. El siguiente resultado nos caracteriza las funciones integrables por medio del conjunto de discontinuidades de la función. Teorema (Lebesgue) ea R m un rectángulo cerrado y sea f : R una fucnción acotada. ea B { x o(f, x) > } { x f es discontinua en x}. Entonces f es integrable B es un conjunto de medida. Demostración. ) upongamos primero que B es de medida. U 1 U n B U 2 U 3

45 4 ea ɛ > y sea M > tal que f( x) < M x. ea {U i } rectángulos cerrados tales que B U i y una colección de vol(u i ) < ɛ 2M + vol() δ. Para cada x \ B, f es continua en x por lo que o(f, x). rectángulo cerrado V x tal que x V x y M V x (f) m V x (f) < δ, donde sí, existe un M V x (f) sup {f( y) y V x } y m V x (f) inf {f( y) y V x }. e tiene que B ( \ B) ( U i ) x \B V x y puesto que es compacto y esta es una cubierta abierta, se tiene que existen U i1,..., U in y x 1,..., x r \ B tales que ( n ) V xi. j1 U ij) ( r ea P una partición de tal que todo rectángulo determinado por P está contenido en algún U ij, 1 j n, o en algún V xi, 1 i r. ea Ω 1 la colección de rectángulos T determinados por P tales que T V xi para algún 1 i r y sea Ω 2 la colección de subrectángulos T determinados por P tales que T U ij para algún 1 j n. i M T (f) sup {f( x) x T } y m T (f) inf {f( x) x T } con T Ω 1 Ω 2, se tiene que (f, P ) I(f, P ) T Ω 1 [M T (f) m T (f)] vol(t ) + T Ω 2 [M T (f) m T (f)] vol(t ) < < T Ω 1 δ vol(t ) + T Ω 2 2 M vol(t ) δ T Ω 1 Ω 2 vol(t ) + 2 M δ vol() + 2 M δ ɛ, es decir, f es integrable sobre. { ) ea B n x o(f, x) 1 }, n N. e tiene que B n B 1/n B por lo que n vol(u ij ) j1 B 1/n (pues cada B 1/n B y por otro lado si x B se tiene que o(f, x) > por n1 n1

46 3.1 Teorema de Lebesgue 41 lo que existe n N tal que o(f, x) 1/n lo cual implica que x B 1/n. Por lo tanto B B 1/n ). n1 e probará que n N el conjunto B 1/n tiene contenido. Esto implica que B 1/n tiene medida lo cual a su vez implica que B tiene medida. ea ɛ > y sea P una partición de tal que (f, P ) I(f, P ) < ɛ/2n. ean T 1,..., T k los subrectángulos de determinados por P. ea Ω la colección de subrectángulos T determinados por P tales que T B 1/n. T' œ W T Œ W B 1/n k e tiene que T i tiene contenido. ean U 1,..., U r rectángulos cerrados tales que k r T i j1 U j y r vol(u j ) < ɛ/2. j1 hora si T Ω se tiene que M T (f) m T (f) 1/n pues si x T B 1/n, existe δ > tal que B( x, δ) T y M(f, x, δ) m(f, x, δ) 1/n por lo que M T (f) m T (f) M(f, x, δ) m(f, x, δ) ( 1/n. r ) e tiene que B 1/n T y además: j1 U j) ( T Ω 1 vol(t ) 1 n n vol(t ) [M T (f) m T (f)] vol(t ) T Ω T Ω T Ω k [M Ti (f) m Ti (f)] vol(t i ) (f, P ) I(f, P ) < ɛ/2n, de donde obtenemos que T Ω vol(t ) < ɛ/2 y por ende n vol(u j )+ vol(t ) < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ. T Ω De esto concluimos que B 1/n tiene contenido y por lo tanto B tiene medida. Corolario ea R n un rectángulo cerrado y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable. j1

47 42 Demostración. La función f es acotada por ser continua en el compacto y B { x o(f, x) > }. Por lo tanto B es de medida, por lo que f es integrable. Corolario ea R n un rectángulo cerrado y sea f : R una función acotada. i f tiene una cantidad a lo más numerable de discontinuidades, entonces f es integrable. Demostración. Inmediata. Ejemplos (1).- ea f : [a, b] R dada por si x I f(x) 1 si x p q q Q, (p, q) 1. Entonces f es continua en I [a, b] y discontinua en Q [a, b] el cual es de medida pues Q lo es, de donde se sigue que f es integrable en [a, b]. hora bien, para toda partición P de [a, b], I(f, P ) por lo que b a f [a,b] f. (2).- ea f : [a, b] [c, d] R dada por: si x I si x Q, y I f(x, y) 1 q si x Q, y p q Q y (p, q) 1. e tiene que f es discontinua en (R Q) ([a, b] [c, d]) y puesto que este conjunto es de medida, se sigue que f es integrable y f. [a,b] [c,d] Como consecuencia del teorema de Lebesgue se pueden probar fácilmente los teoremas del álgebra de funciones integrables.