Gravitación y mecánica

Transcripción

1 Resumen 1 1 Gavtacón y mecánca Las leyes de Keple Las leyes de Keple son unas leyes astonómcas empícas dadas po Johannes Keple en 1609 (la pmea y la segunda y en 1619 (la tecea, basándose en los datos complados po Tycho Bahe. Pmea ley. Las óbtas de los planetas son elpses con el Sol en uno de sus focos. Segunda ley. La línea que une un planeta y el Sol bae áeas guales en tempos guales. Tecea ley. El cuadado del peodo obtal de un planeta es popoconal al cubo del semeje mayo de su óbta. En tempos de Keple sólo se conocían 6 planetas. Excepto en el caso de Mecuo, las óbtas son cas cculaes, lo que hace más notable el enuncado de sus leyes. Po oto lado, un vstazo a [Kep5] y a algunas de sus afmacones lo alejan del concepto actual que tenemos sobe un centífco. Esta leyes, como veemos, son coectas con el modelo matemátco newtonano sn tene en cuenta las petubacones debdas a la nteaccón ente los planetas y otos objetos del Sstema Sola, es dec, consdeando sólo la ataccón del Sol. La ley de gavtacón unvesal La dea de que las masas ejecían una fueza atactva e ncluso que dependía del nveso del cuadado de la dstanca, ya había sdo aventuada po centífcos contempoáneos de Isaac Newton. De hecho esta últma paece debese a su val Robet Hooke que fue menospecado po Newton en dfeentes ocasones. Una beve descpcón de la contbucón de Newton y de otos autoes puede encontase en [G0]. El gan méto de Newton fue demosta que a pat de la ley de gavtacón unvesal (1 F = GMm podían devase las leyes de Keple y, teócamente, descb exactamente los movmentos de los astos. Esto consttuyó una evolucón no sólo centífca sno tambén flosófca. La fueza gavtatoa ente dos patículas es atactva y en la deccón del vecto que las une. Entonces (1 se escbe en foma vectoal como ( F = GMm x 3 x donde x es el vecto que va de la patícula usada como efeenca a la ota. Como hemos apuntado, consdeamos sólo la accón debda a la masa M S del Sol (los planetas tenen una masa compaatvamente despecable. Consdeamos tambén el Sol y los planetas como patículas, despecando sus dmensones (más adelante veemos que esto es matemátcamente lícto. Entonces s escbmos x = x(t paa el vecto que descbe el planeta, vsto desde el Sol, en funcón del tempo t y ecodamos F = m a = m x, susttuyendo (, tenemos que esolve el sstema de ecuacones dfeencales (3 x = GM S x 3 x con x(t = ( x(t, y(t, z(t. Esta ecuacón mplca (devando que x x es un vecto constante (esto se llama consevacón del momento angula y, po supuesto, x es pependcula a ese vecto. Entonces las cuvas desctas po x(t, las óbtas,

2 Resumen 1 son planas. Además la ecuacón es nvaante po gos y podemos supone que dcho plano es z = 0. Con ello nos quedan dos funcones ncógnta x(t, y(t. y la smetía adal sugee hace el cambo a polaes x = cos θ, y = sen θ. Las ecuacones, cambando sólo el segundo membo, seían: (4 x = K cos θ y y = K sen θ donde K = GM S es una constante (unvesal postva. En el sstema ntenaconal, se tene G = y M S = Calculando x cos θ + y sen θ y x sen θ y cos θ, se llega a que estas ecuacones equvalen a (5 K = 3 (θ y 0 = θ + θ Recodemos que I. Newton fue uno de los nventoes del cálculo nfntesmal. Sn embago en su oba maesta Phlosophæ natuals pncpa mathematca, paa deduc las leyes de Keple utlzó una fomulacón oscua paa sus contempoáneos, y más aún en la actualdad, pocedendo po combnacón de agumentos geométcos y analítcos [New99]. Deduccón de las leyes de Keple Las ecuacones (5 no tene solucones explíctas = (t, θ = θ(t peo sí se puede poba que, sn atende a la dependenca en t (la paametzacón de la cuva, las óbtas son seccones cóncas y satsfacen las leyes de Keple en el caso de los planetas. La segunda ecuacón de (5 se puede eescb como 1 ( θ = 0 y esto mplca que (6 θ = h con h constante (dependendo del planeta. De nuevo, en témnos físcos, esto es povene de la consevacón del momento angula. Ahoa ben, el áea bada po una cuva en polaes ente el ángulo 0 y el ángulo θ es (cambo de vaable o agumento geométco: (7 1 θ 0 (α dα. S A(t es el áea bada po una solucón de (5 en funcón del tempo, se tene, po la egla de la cadena: (8 A (t = 1 ( θ(t θ (t = 1 h. Esto pueba la segunda ley de Keple. Tenendo en cuenta θ = h, la pmea ecuacón de (5 es K = h 1, que tas el cambo u(t = 1/(t se escbe de manea más complcada como (9 Ku = h u 3 u 3 (u + u u. Como hemos avanzado no hay solucones explíctas de esta ecuacón en funcón de tempo. Escbamos U paa ndca u como funcón de θ, es dec u(t = (U θ(t. Po la egla de la cadena y usando que θ = hu se tene después de unos cuantos cálculos que la ecuacón equvale a (10 U + U = Kh Cuya solucón geneal es U(θ = Kh +µ cos(θ λ. Cambando el ogen del ángulo en las coodenadas polaes, podemos supone λ = 0 y se tene fnalmente que, salvo otacones, las solucones de (5 descben una cuva en polaes dada po (11 (θ = h K λh K 1 cos θ.

3 Resumen 1 3 Po oto lado, la ecuacón de la elpse x /a + y /b = 1 en polaes centadas en uno de sus focos es (1 (θ = a(1 e a b donde e =. 1 + e cos θ a Nótese que la excentcdad e cumple 0 e < 1. Po tanto, sempe que 0 λh K 1 < 1, como ocue paa todos los planetas, podemos ajusta los paámetos y se obtene la pmea ley de Keple. Dgamos que T es el peodo obtal, entonces cuando t [0, T ] se ecoe toda la elpse y se habá bado el áea de toda ella, que según lo ntoducdo en la deduccón de la segunda ley de Keple, es (13 A(T = 1 T 0 ( θ(t θ (t dt = 1 T h. Po oto lado, el áea de la elpse x /a + y /b = 1 es πab = πa 1 e. Compaando con el denomnado de la fómula paa la óbta de un planeta, sabemos que a(1 e = h K 1, entonces (14 1 T h = πa3/ hk 1/. Cancelando la h y elevando al cuadado se obtene la tecea ley de Keple poque K es una constante unvesal. Gavedad de una masa con smetía esféca Al consdea una gan masa, como el Sol, cada una de las patículas que lo componen, ejecen una fueza gavtatoa sobe una masa exteo dada po (. Paa calcula la fueza total había que suma los vectoes coespondentes a todas estas fuezas. En pncpo esto equee una ntegal que no es en absoluto senclla. Newton esolvó el poblema con ngenosos agumentos geométcos en los teoemas XXX y XXXI de [New99], llegando a la conclusón de que cuando hay smetía esféca, los efectos gavtatoos extenos son déntcos a supone que toda la masa está concentada en el cento. Es dec, no hay nngún nconvenente en azona con el Sol (o los planetas como s fuean patículas, ncluso a dstancas cotas de su supefce. Este esultado se puede deduc a tavés de la ley de Gauss paa el campo gavtatoo que no es más que una aplcacón del teoema de la dvegenca. En una foma smplfcada, s tenemos masas {m } n en puntos { p } n nteoes una egón sólda B con fontea S, ejeceán una fueza gavtatoa sobe una masa m en x dada po (15 F = n Gm m x p 3 ( x p. Este campo tene dvegenca nula en la egón B n B donde las B son pequeñas esfeas centadas en los p contendas en B. Aplcando el teoema de la dvegenca y calculando dectamente las ntegales sobe la pate de la fontea coespondente a la supefce de las B se obtene (16 S F ds = 4πGm que es una foma de la ley de Gauss paa el campo gavtatoo. Con un poceso de paso al límte, es tambén aplcable a un contnuo de masas susttuyendo el sumatoo po la masa total M en el nteo. Consdeemos la fueza gavtatoa F ejecda po ejemplo po el Sol (o po cualque objeto con smetía adal sobe una patícula de masa m stuada a dstanca (mayo que el ado de su cento. Tomemos como S en (16 la esfea de ado. Po la smetía adal, F debe se sobe S de la foma F = f( n paa ceta funcón escala f y n el vecto nomal untao. La ntegal en (16 es 4π f( y se concluye f( = GMm/ que equvale a (1. m

4 4 Resumen 1 Mecánca lagangana La enegía cnétca de un sstema de patículas de masas m y poscones (x, y, z vene dada po (17 T = 1 m v con v = (ẋ, ẏ, ż donde, sguendo una tadcón que pate de Newton, un punto sobe una funcón ndca su devada con especto del tempo. Po oto lado, la enegía potencal ndca una enegía que depende de la poscón de las patículas, ya sea po efecto del campo o po nteaccones ente ellas. Se defne como una funcón V que cumple que V es la fueza. Po ejemplo, en el caso de la gavedad ejecda po una masa M en el ogen, la enegía potencal paa una patícula de masa m en x = (x, y, z es (18 V = GMm x poque V = GMm x 3 x. S hubea vaas patículas, se sumaían las enegías potencales. En la segunda mtad del sglo XVIII, J.-L. Lagange efomuló la mecánca de Newton utlzando la expesón L = T V, hoy en día llamada lagangano. Según el pncpo de mínma accón, en un ntevalo coto de tempo [a, b], las tayectoas q = q (t son funcones que mnmzan la accón b L dt. En go había que exg que la accón fuea estaconaa en luga a de mínma peo eso es ndfeente paa nuesto análss. El cálculo de vaacones, ya desaollado L. Eule con fnes mecáncos y con antecedentes en el poblema de la baqustocona (esuelto po Johann y Jakob Benoull y el popo Newton, afma [Lán70] que s L = L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t entonces los mnmzantes satsfacen las ecuacones de Eule-Lagange d ( L (19 = L, 1 n. dt q q Una consecuenca senclla es que s L no depende de la últma vaable (no depende del tempo nada más que a tavés de las q y q a lo lago de cada tayectoa mnmzante, la enegía total (0 E = q L q L no vaía con el tempo, es dec, es constante. S utlzamos como q las poscones de las patículas en catesanas, de (17 y que V sólo depende de la poscón (no de la velocdad se deduce que T + V es constante, lo cual es la consevacón de la enegía en su foma habtual. Lo más mpotante de la fomulacón lagangana es que al ven de un poblema de mínmos, el esultado no depende de las coodenadas empleadas. La lbetad paa eleg las coodenadas es muy elegante desde el punto de vsta matemátco y además conlleva una educcón dástca de los cálculos. En el caso de la gavtacón, tas la hpótess de que el movmento tene luga en el plano z = 0, el lagangano en catesanas es (1 L = L(ẋ, ẏ, x, y = 1 m(ẋ + ẏ + GMm x + y. La smetía sugee emplea coodenadas polaes y con un sencllo cambo se obtene el lagangano en polaes ( L = L(ṙ, θ,, θ = 1 m(ṙ + θ + GMm. Las ecuacones de Eule-Lagange paa ( y la enegía son (3 = θ GM, d 1 dt ( θ = 0, y E = m(ṙ + θ GMm.

5 Resumen 1 5 De la segunda, dejada sn opea a popósto, se deduce que θ es una constante, dgamos h, en cada tayectoa. Esto pueba la segunda ley de Keple: el vecto x bae áeas guales en tempos guales, smplemente usando la fómula que calcula el áea en polaes. Ahoa podemos usa θ = h paa susttu en la pmea de las ecuacones de Eule-Lagange y así obtene una sola ecuacón dfeencal de segundo oden. Un poco más beve es utlza la consevacón de E, que es consecuenca de las dos ecuacones. Así se obtene que cada tayectoa es una solucón de (4 E = 1 mṙ + 1 mh GMm paa algunas constantes h y E. S queemos estuda como vaía en funcón de θ debemos consdea (con el abuso de notacón habtual en la egla de la cadena d dθ = d/dt dθ/dt = ṙ h que mplca d dθ = h 1 ( E m h + GM 1/. Esta últma ecuacón quzá paezca más complcada que la de patda peo se puede ntega. Completando cuadados, el segundo membo se escbe como K1 1 ( 1 (K 1 1 K 1/ con K1 y K constantes en funcón de E/m, h y GM, po ejemplo, K 1 = hm 1/ (E 1/. Entonces dθ d = d(k 1/ K /d que mplca θ( = ac cos(k 1 1 K, 1 (K1 1 K donde se ha elegdo una constante de ntegacón nula (lo cual equvale a especfca ceto ogen de ángulos. Esto se escbe de una manea más atactva como (5 (θ = p 1 + e cos θ con p y e constantes, que es la ecuacón de una cónca de excentcdad e escta en polaes (centadas en uno delos focos. S susttuyéamos datos eales de los planetas, obtendíamos que 0 e < 1, lo que coesponde a una elpse. De hecho no hay duda poque las otas cóncas (paábola e hpébola no son ceadas. A pesa del enuncado de la ley de Keple, las óbtas de los planetas (con la excepcón de Mecuo tenen excentcdades pequeñas y la ecuacón anteo se paece bastante a la ccunfeenca = p. En el caso de la Tea e = 0.017, lo que sgnfca que s hcéamos un dbujo a escala de la óbta con un eje mayo de 1m, el oto seía alededo de 0.14mm más coto. Esto es totalmente napecable a smple vsta. Leyes de consevacón: el teoema de Noethe Con el uso de la mecánca lagangana, la deduccón de la pmea ley de Keple es más ápda y natual. El únco paso un poco tuculento ha sdo calcula una ntegal un poco complcado, y en el peo de los casos (que es el habtual se podía deja esta taea a un ntegado numéco. Pate del éxto se basa en que las cantdades consevadas han apaecdo natualmente, mentas que con la mecánca vectoal de Newton no sugen matemátcamente de foma nmedata sno que equeen conocmentos físcos pevos. Po oto lado, hay que confesa que, ncluso en la demostacón lagangana, hemos empleado que las óbtas son planas y esto es muy natual desde el punto de vsta físco peo no tanto en el contexto puamente matemátco. Seía deseable una teoía matemátca de cantdades consevadas de donde se pueda deduc. E. Noethe pobó un sencllo esultado llamado teoema de Noethe en el contexto de la Físca teóca, donde es mpotantísmo. En pocas palabas, este esultado establece que cada smetía del lagangano da luga a una ley de consevacón.

6 6 Resumen 1 El enuncado y la demostacón son ben smples: Supongamos que podemos hace depende q de un paámeto h de foma que L quede nvaante. Es dec, que podemos camba q = q (t po q (t, h, dgamos con q (t, 0 = q (t y h en ceto entono de ceo. Entonces (6 0 = L h = y usando (19, (7 n ( L q q h + L q = q h d ( n L q = 0 en patcula dt q h ( L d ( q + L q q dt h q h L q q h Se suele toma esta cantdad evaluada en h = 0. Éste es el teoema de Noethe. se conseva. Como ejemplo clásco de la aplcacón de (7, consdeemos un sstema de patículas que nteacconan unas con otas con un potencal que depende de la dstanca, una stuacón típca en mecánca. El lagangano es de la foma (esto se elacona la tecea ley de Newton (8 L = 1 m (ẋ + ẏ + ż V ( (x x j, y y j, z z j.,j La tansfomacón x x +h deja nvaante L y, según el teoema de Noethe, tenemos que m ẋ se conseva. Reptendo el azonamento con las tansfomacones y y + h y z z + h, se llega a la consevacón de (9 P = m v con v = (ẋ, ẏ, ż. Ésta es la ben conocda ley de consevacón del momento lneal. Ota ley ben conocda es la ley de consevacón del momento angula, que se deduce a tavés del teoema de Noethe cuando el lagangano muesta smetía esféca. Po ejemplo, en el caso de una patícula de masa m que se mueve bajo la accón de una fueza cental, que deva de un potencal que depende sólo de la dstanca al ogen, (30 L = 1 m(ẋ + ẏ + ż V ( (x, y, z. Este lagangano es nvaante po cualque go. Al aplca el teoema de Noethe paa el go genéco (x, y, z (x cos h y sen h, x sen h+y cos h, z alededo del eje Z, se obtene que m(ẏx ẋy se conseva. Ésta es la tecea componente del momento angula (31 L = m(x, y, z v = (x, y, z P donde, como antes, v = (ẋ, ẏ, ż y P es el momento lneal paa una patícula. Con gos alededo de los otos ejes, se deduce que L se conseva y de ahí, como hemos vsto, que las óbtas son planas. Una obsevacón fnal, es que la consevacón de la enegía no se obtene con la foma que hemos dado del teoema de Noethe peo sí de ota genealzada [An78]. Refeencas [An78] V. I. Anold. Mathematcal methods of classcal mechancs. Spnge-Velag, New Yok, Tanslated fom the Russan by K. Vogtmann and A. Wensten, Gaduate Texts n Mathematcs, 60.

7 Resumen 1 7 [G0] J. Gbbn. Hstoa de la Cenca Cítca, 00. [Kep5] J. Keple. The hamones of the wold. Geat Books of the Westen Wold, no. 16. Encyclopaeda Btannca, Inc., Chcago, London, Toonto, 195. [Lán70] C. Lánczos. The vaatonal pncples of mechancs. Mathematcal Expostons, No. 4. Unvesty of Toonto Pess, Toonto, Ont., fouth edton, [New99] I. Newton. The Pncpa: mathematcal pncples of natual phlosophy. Unvesty of Calfona Pess, Bekeley, CA, A new tanslaton by I. Benad Cohen and Anne Whtman, asssted by Jula Budenz, Peceded by A gude to Newton s Pncpa by Cohen.