Tabla III ln

Transcripción

1 Crecimiento y decrecimiento exponencial Existe una gran variedad de problemas de aplicación relacionados con las funciones exponenciales y logarítmicas. ntes de tomar en consideración estas aplicaciones, será útil aprender a resolver una ecuación exponencial. como 2 x x 35 ln 2 x ln 35 x ln 2 ln 35 Por qué? x ln 35 ln 2 Si B, entonces : ln ln B Se puede obtener una aproximación al valor de x usando la tabla III del apéndice. Los números de esta tabla suministran los valores de ln x aproximados hasta milésimos. (En la mayor parte de los casos, ln x es irracional.) En esa misma tabla, tenemos: ln 2 = unque ln 35 no se suministra (directamente) en la tabla, podemos encontrarlo aplicando la segunda ley de los logaritmos. hora, tenemos: ln 35 ln3.5 0 ln 3.5 ln 0 x Tabla III ln 35 ln Como tosca verificación, observamos que 5.3 es un valor razonable, ya que 2 5 = 32. Observe que los valores encontrados en la tablas de logaritmos son sólo aproximaciones. Para evitar complicaciones. Empero, usaremos el signo igual (=) VERIFIQUE SU COMPRENSION Resuelva para x cada ecuación expresada con logaritmos naturales. Señale la solución aproximada usando la tabla III.. 4 x = x = 5 3. x x = x = x = 4 l principio de la Sección, desarrollamos la fórmula y = (0,000)2 x, que nos da el número de bacterias presentes en un cultivo, después de x horas de proliferación; 0,000 es el número inicial de bacterias. Cuánto tardará este cultivo de bacterias en llegar a 00,000? Para contestar este pregunta, hagamos y = 00,000 y resolvamos la ecuación para x.

2 Tardará aproximadamente 3.3 horas. 0,0002 x 00,000 2 x 0 Dividim os entre0,000 x ln 2 ln 0 x ln 0 ln En el ejemplo anterior, se usaron funciones exponenciales y logarítmicas para resolver un problema de crecimiento exponencial. Muchos problemas que implican el crecimiento exponencial o el decrecimiento exponencial se pueden resolver usando la fórmula general: y f x e kx que muestra en qué forma depende del tiempo x la cantidad de una sustancia determinada y. Como f 0, la propia representa la cantidad inicial de la sustancia, en tanto que k es una constante. En una situación dada, significa que y es un valor creciente (aumenta) con el tiempo. Para sustancia decrece (disminuye). (Compare usted las gráficas de y e x y de y e x ). También el citado problema de las bacterias se ajusta a esta fórmula general, como se puede observar al sustituir 2 e ln2 en la ecuación y 0,0002 x : y 0,0002 x 0,000 e ln 2 x 0,000e ln2x k 0 k 0, la EJEMPLO Una sustancia radiactiva se desintegra (y se convierte en otro elemento químico) de acuerdo con la fórmula: y e 0.2x, donde y es la cantidad remanente después de x años. (a) Si tenemos la cantidad inicial = 80 gramos. qué cantidad quedará después de 3 años? (b) La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en descomponerse la mitad de la misma. Encuentre la vida media de esta sustancia. en la que = 80 gramos. Solución (a) Como = 80. tenemos: x 3. y 80e 0.2x. Necesitamos resolver esta ecuación para la cantidad y, cuando

3 y 80e 0.2x 80e e 0.6 Tabla II Habrá alrededor de 43.9 gramos después de 3 años. (b) Esta pregunta se refiere al tiempo x en el que sólo queda la mitad de la cantidad inicial. En consecuencia, la vida media x constituye la solución de 40 80e 0.2x. Dividimos ambos lados entre 80: 2 e0.2x Tomamos el logaritmo natural de ambos lados, o convertimos la expresión en la forma logarítmica, para obtener: siguiente: 0.2x ln 2. Como ln ln ln 2 ln 2, resolvemos la ecuación para x de la manera 2 La vida media aproximadamente años. 0.2x ln 2 x ln El carbono 4, representado mediante 4 C, es un isótopo radiactivo de dicho elemento, que tiene una vida media de alrededor de 5750 años. Encontrando qué cantidad de 4 C contienen los restos de lo que fue un organismo vivo, es posible determinar qué porcentaje representa de la cantidad original de 4 C, en el momento de la muerte. Una vez que se tiene esta información, la fórmula y e kx nos permite calcular la antigüedad de los restos. La fecha correspondiente se obtiene al resolver la ecuación para la constante k. Dado que la cantidad de 4 C después de 5750 años será Explique cada paso de esta solución 2, obtenemos lo siguiente: 2 e5750k 2 e5750k 5750k ln 2 ln 0.5 k 5750

4 Sustituimos k por este valor en 4. después de x años: y e kx para obtener la siguiente fórmula de la cantidad residual del carbono y e ln 0.5 / 5750 x EJEMPLO 2 Se encuentra que el esqueleto de un animal contiene la cuarta parte de la cantidad original de 4 C. Qué antigüedad tiene el esqueleto? Solución Sea x la antigüedad del esqueleto. Entonces: 4 e ln 0.5 / e ln 0.5 / 5750x ln 0.5 x ln ln 4 ln 4 x 5750 ln 0.5,500 El esqueleto tiene alrededor de,500 años de antigüedad. EJERCICIOS Resuelva para k. Deje cada respuesta expresado en logaritmos naturales = = 50e 5. 3 e4 k 6. 2 e00k 7. Un cultivo de bacterias crece de acuerdo con la fórmula y 0,000e 0.6x, donde x es el tiempo, expresado en días. Calcule el número de bacterias que habrá después de semana. e 2k e 0k 8. Calcule el número de bacterias que hay en el cultivo del Ejercicio 7, después de que ha proliferado durante 2 horas. 9. Cuánto tiempo se necesitará para que se triplique el cultivo de bacterias del Ejercicio 7? 20. Cuánto tiempo hará falta para que el número de bacterias del Ejercicio 7 llegue a,000,000? 2. Cierta sustancia radiactiva se descompone de acuerdo con la fórmula exponencial S S o e 0.04t donde S o es la cantidad inicial de la sustancia y S es la cantidad de dicha sustancia que queda después de t años. Si al principio hay 50 gramos de la sustancia radiactiva, cuánto tiempo se necesitará para que se descomponga la mitad?

5 22. Demuestre usted que, cuando se resuelve para t la fórmula del Ejercicio 2, el resultado es t 25ln S S o 23. Una sustancia radiactiva está desintegrándose de acuerdo con la fórmula, donde x es el tiempo, en años. Se tiene la cantidad inicial = 0 gramos y, después de 5 años, quedan 8 gramos. (a) Encuentre el valor de k. Deje la respuesta expresada en logaritmo natural. (b) Calcule la cantidad restante después de 0 años. (c) Calcule la vida media, aproximando hasta el décimo más cercano de un año. y e kx 24. La vida media del radio es de 690 años, aproximadamente. Un laboratorio tiene 50 miligramos de radio. (a) Utilice la vida media al resolver para k la ecuación. Deje la respuesta expresada en logaritmo natural. (b) proximando a las decenas de años más cercanas, cuánto tiempo se necesitará para que sólo queden 40 miligramos? y e kx 25. Supongamos que 5 gramos de una sustancia radiactiva se descomponen a razón de 4 gramos por cada 30 segundo. Cuál es su vida media, aproximada hasta la décima de segundo más cercana? 26. Cuánto tiempo se necesita para que se desintegren las dos terceras partes del material radiactivo del Ejercicio 25? proxime su respuesta a la décima de segundo más cercana. 27. Cuando se estudió por primera vez el crecimiento demográfico de cierta ciudad, tenía una población de 22,000 habitantes. Se encontró que la población P, en función del tiempo (en años), crecía de acuerdo con la fórmula exponencial P 22,000 Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? t 28. Cuánto tiempo hará falta para que se triplique la población de la ciudad mencionada en el Ejercicio 27? 29. Se ha descubierto que una momia egipcia contiene el 60% de su 4 C. Con aproximación al siglo más cercano, qué antigüedad tiene la momia? (Observación: si es la cantidad original de 4 C, la cantidad 3 restante será 5 ) 30. Un esqueleto contiene la centésima parte de la cantidad original de 4 C. proximando el valor al milenio más cercano, cuál es la antigüedad del esqueleto? 3. Responda la misma pregunta del Ejercicio 30, si sólo queda una millonésima del 4 C.