Universidad Técnica Federico Santa María

Transcripción

1 3. Comportamiento cualitativo de las EDO Hasta aquí, hemos estudiado algunas técnicas que nos permiten resolver analíticamente algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, es importante tener presente que la mayoría de las ED no puede resolverse explícitamente, ó, como sucede en muchas aplicaciones, la solución general importa menos que la solución particular que satisface una determinada condición inicial. Interesa, no obstante, describir cómo se comportan las soluciones; por ejemplo al aumentar t crecen sin cota las soluciones? 2. tienden las soluciones a algún valor (0 por ejemplo)? 3. oscilan entre ciertos valores? Para comprender mejor la situación, consideremos el siguiente ejemplo: = 4y(1 y) = / 4y(1 y) = Podríamos encontrar la solución tras la integración, pero las fórmulas obtenidas no son fáciles de interpretar. Por ello, los métodos geométricos y cualitativos permiten obtener mucha información con poco trabajo. Esto es importante sobre todo para ED «difíciles»; considerar la ecuación: = = /10 ey2 sen 2 y ( 1 e y2 /10 sen y) 2 = La integral del lado izquierdo es complicada, sin embargo, cualitativamente, notamos que excepto para y = nπ; f(y) = e y2 /10 sen 2 y > 0 veremos en esta sección que esta información es suficientemente útil. Otra relación que es importante considerar cuando se trata de modelos cuya información, por tanto, puede provenir de mediciones ó datos aproximados, es la dependencia (continua) de las soluciones respecto de las condiciones iniciales, ya que si éstas cambian ligeramente, es deseable que la solución no varíe mucho. Observación. Sea F : D R, donde D R R. Por lo tanto, es posible expresar una EDO de primer orden en la forma dx = F (t, x) ó ẋ = F (t, x) Si F (t, x) = F (x), i.e., si F depende sólo de la variable x, entonces ẋ = F (x), y en este caso la ecuación se dice autonóma. MAT023 (2 sem. 2011) 33

2 Nótese que si en (2), F es un polinomio en la variable x, entonces la ED admite solución única (t, x) R 2. En lo que sigue, siempre supondremos existencia y unicidad de los problemas de Cauchy. Para Una el estudio solución cualitativo, x(t) de ẋ una = F solución (t, x) se x(t) representa de ẋ = geométricamente F (t, x) se representa en el geométricamente plano en el plano t x. t x. Como Como dado dado cualquier cualquier (t 0,x (t 0,) x 0 ) D existe D existe una una solución única que solución pasa que por pasa (t 0,xpor 0 ), (t 0, x 0 ), (por los teoremas ello quiere de existencia decir que ylas unicidad soluciones de soluciones); de la ED seello representan quiere decir porque unalasfamilia soluciones de de la ED (el conjunto curvas de solución todas ellas) en Dse yque representan! curva porsolución una familia que de pasa curvas por un solución punto en determi- curva solución que pasa por un punto D y que existe una únicanado. determinado. 1. ẋ = 1) Estudie ẋ = } x x t }{{ t {{}} f(x,t) f(x,t) dx = 0Cualitativamente x(t) alcanza =0 sus puntos x(t) críticos alcanza sus puntos críticos en x t =0 Método 1 ẋ x = t ED lineal Analíticamente x t = 0 Cualitativamente: Analíticamente: ( x(t) =e ) Método1 ẋ tx e = t ED+ lineal C =e t ( ( t e t +e t +C ) x(t) = e ) t e + C 2 = t +1+C t = e t ( t e t + e t +C ) = t C e t Método 2 u x t 1 2 Método 2 du u = x dx t du +1=u du du = dx u 1 =0 1 ln(u 1) = t + k u 1 = 2 u(t) 1=C ln(u e t 1) = t + k x(t) t = u(t) C e t +11 = C e t x(t) t = C e t ẋ = x t,t 0 dx x = 2) Estudiar ẋ = x t t, t 0. ln x dx = ln t + C Claramente, lo anterior implica x(t) = k 1 que dx t =0 x x = t. Luego: =0 x =0(solución trivial) ln t x = ln t + C de donde Pero x(t) = k 1 t. Además: dx = 0 x t = 0 x = 0 (solución trivial) Pero x>0 t>0 ẋ<0 x>0 t<0 ẋ>0 x<0x > 0 t>0 t > 0 ẋ>0 ẋ < 0 x<0x > 0 t<0 t < 0 ẋ<0 ẋ > 0 x < 0 t > 0 ẋ > 0 x < 0 t < 0 ẋ < MAT023 (2 sem. 2011) 34

3 Así, gráficamente, las soluciones son de la forma: ẋ = t,x 0 xdx= t x2 + t 2 = C 3) ẋ = t 3. ẋ x, = x t 0 = x dx = t x2 + t 2 = C x,x 0 xdx= t x2 + t 2 = C 4. Autónoma: ẋ = 4. Autónoma: ẋ = (x2 1) ẋ =0 x(t) =1o x = ± 4) Consideremos ahora un par de ecuaciones autónomas: 1+c 2 (x2 1) ẋ =0 x(t) =1o x = ± e t 1+ce t ẋ = 1 2 (x2 1) ẋ = 0 x(t) = 1 ó x(t) = 1 x(t) = x(t) =1 Vemos entonces que no es necesario tener ni la solución explícita ni un dibujo exacto para poder describir cualitativamente el comportamiento de la solución de una ED. Más aún, si dx = F (x) es una ED autónoma, las soluciones de ella tienen la siguiente propiedad: Si ξ : R R es una solución, entonces cualquier traslación de la gráfica de ξ en la dirección del eje t es la gráfica de otra solución de la ecuación. En efecto, sea η : R R con η(t) =ξ(t c),c R constante MAT023 (2 sem. 2011) 35 η = ξ(t c) F (ξ(t c)) F (η(t)) η también es una solución

4 tienen la siguiente propiedad: Si ξ : R R es una solución, entonces cualquier traslación de la gráfica de ξ en la dirección del eje t es la gráfica de otra solución de la ecuación. Universidad En efecto, sea Técnica η : R R Federico con η(t) =ξ(t Santa c),c María R constante η = ξ(t c) F (ξ(t c)) F (η(t)) η también es una solución 5) ẋ Ejemplo = x ẋ = x Observación 2. Notemos que el comportamiento está determinado por f(x) 1. Vemos Si centonces R : f(c) que =0, noentonces es necesario x(t) =c tener es una ni lasolución explícita ni un dibujo exacto para poder describir cualitativamente el comportamiento de la solución de una ED. Más aún, si dx = F (x) es 4 una ED autónoma, las soluciones de ella tienen la siguiente propiedad: Proposición 1. Si ξ : R R es una solución, entonces cualquier traslación de la gráfica de ξ en la dirección del eje t es la gráfica de otra solución de la ecuación. En efecto: sea η : R R con η(t) = ξ(t c), c R constante. Entonces: η también es una solución. η = ξ(t c) F (ξ(t c)) F (η(t)) Observación. Notamos que el comportamiento de la solución de las ecuaciones diferenciales autónomas está determinado por f(x). Específicamente: 1. Si c R : f(c) = 0, entonces x(t) = c es una solución. 2. Si f(x) 0, entonces x(t) es creciente o decreciente, dependiendo del signo de f(x). Esta información puede representarse en una recta real que representa a x. MAT023 (2 sem. 2011) 36

5 2. Si f(x) 0, entonces x(t) es creciente o decreciente, dependiendo del sgnf(x) Esta información puede representarse en una recta real que representa a x. Para ver esto, considere 2. Análisis analítico vs cualitativo =4y(1 y) 4y(1 y) = / Podríamos encontrar la solución tras la integración, pero las fórmulas obtenidas no son fáciles de interpretar. Por ello, los métodos = geométricos y cualitativa permiten obtener mucha información con poco trabajo. Esto es importante sobre todo para ED «difíciles». = /10 ey2 sen 2 y ( 1 e y2 /10 sen y) 2 = La integral del lado izquierdo es complicada, sin embargo, cualitativamente, notamos que Considerar /10 =ey2 sen 2 y ( ) 1 e y2 /10 sen 2 y = f(y) = e y2 /10 sen 2 y > 0 excepto para y = nπ, n Z, que nos dan las soluciones de equilibrio. Gráficamente: Pero cualitativamente 37 f(y) =e y2 /10 sen 2 y>0 excepto para y = nπ que nos dan las soluciones de equilibrio La ecuación del ejemplo tiene sólo tres soluciones esencialmente diferentes: Escrecientes, posible «resumir» decreciente yelconstante. comportamiento cualitativo de las soluciones en las llamadas líneas de fase, queeste describimos resumen de decomportamientos la siguiente manera: cualitativos se puede ilustrar geométricamente definiendo una «línea de fases» decre. x 0 crece Definición 2. Sea ẋ = F (x), yseax 0 R : F (x 0 )=0. Entonces diremos que x 0 es una singularidad ounpunto de equilibrio de la ED Definición 3.1. Sea ẋ = F (x), y sea x 0 R : F (x 0 ) = 0. Entonces diremos que x 0 es una singularidad Notaro que un x(t) punto =xde 0 esequilibrio una solución de (cte.) la EDde la ED, pues ẋ(t) =0y F (x 0 )=0 Notar que x(t) = x 0 es una solución (cte.) de la ED, pues Observación 3. La línea de fase se puede obtener directamente de ẋ(t) =F (x), simplemente mirando cuando F (x) ẋ(t) 0. = 0 y F (x 0 ) = 0 Ejemplo Supongamos que Gr F viene dado por Observación. La línea de fase se puede obtener directamente de ẋ(t) = F (x), simplemente mirando cuando F (x) 0. Ejemplo. Supongamos que Gr (F ) viene dado por MAT023 (2 sem. 2011) 37 Entonces, la línea de fase

6 Definición 2. Sea ẋ = F (x), yseax 0 R : F (x 0 )=0. Entonces diremos ẋ(t) que =0y F (x 0 )=0 x 0 es una singularidad ounpunto de equilibrio de la ED Observación 3. La línea de fase se puede obtener directamente de ẋ(t) =F (x), Notar que x(t) =x 0 es una solución (cte.) de la ED, pues simplemente mirando cuando F (x) 0. ẋ(t) =0y F (x 0 )=0 Ejemplo Supongamos que Gr F viene dado por Observación 3. La línea de fase se puede obtener directamente de ẋ(t) =F (x), simplemente mirando cuando F (x) 0. Ejemplo Supongamos que Gr F viene dado por Entonces, la línea de de fasefases esentonces, la línea de fase 38 a b c d a b c d en donde la dirección de la flecha indica si la función crece ( ) o decrece ( ) en donde la dirección de la flecha indica si la función crece ( ) o decrece ( ) en donde la dirección de la flecha en cada intervalo indica si la función crece ( ) o decrece ( ) en dicho intervalo. Escribimos la línea de fase de manera vertical, al lado del gráfico en el plano t x que representa las soluciones, de manera de simplificar su interpretación: d c b a d c b a 6 Observación 4. Dependiendo del comportamiento local de las soluciones de la ecuación de una singularidad aislada en la Línea de Fases, se distinguen los Observación. Dependiendo siguientes tipos del comportamiento de singularidadeslocal de las soluciones de la ecuación en una singularidad aislada en la Línea Observación de Fase, 4. Dependiendo se distinguen del comportamiento (y definen) local delos las soluciones siguientes de la tipos de singularidades: 1. Repulsor ecuación de una o fuente singularidad aislada en la Línea de Fases, se distinguen los siguientes tipos de singularidades 1. Repulsor o fuente: 1. Repulsor o fuente Atractor oo sumidero MAT023 (2 sem. 2011) Atractor-repulsor 3. Atractor-repulsor

7 a siguientes tipos de singularidades Observación 4. Dependiendo del comportamiento local de las soluciones de la ecuación de una singularidad aislada en la Línea de Fases, se distinguen los Observación 4. Dependiendo del comportamiento local de las soluciones de la ecuación 1. Repulsor de unao singularidad fuente aislada en la Línea de Fases, se distinguen los siguientes tipos de singularidades 2. Atractor o sumidero: 1. Repulsor o fuente 2. Atractor o sumidero 2. Atractor o sumidero 3. Atractor-repulsor: 3. Atractor-repulsor 3. Atractor-repulsor Repulsor-atractor 4. Repulsor-atractor: 4. Repulsor-atractor 7 7 Ejemplo. Describir cualitativamente los tipos de soluciones que admite la EDO ẋ =(x 1) 3 e cos(x4 1). Solución. Es inmediato que x =1es la única singularidad (aislada) de la EDO. Como e cos(x4 1) > 0, x R, lagráficadef (x) =(x 1) e cos(x4 1),la línea de fases y los tipos de soluciones de la EDO, son como ilustra la figura, respectivamente. 2 Ejemplo. Describir cualitativamente los tipos de soluciones que admite la EDO ẋ = (x 1) 3 e cos(x4 1) 1 1 Ejemplo. Describir cualitativamente los tipos de soluciones que admite la EDO ẋ =(x 1) 3 e cos(x4 1). Solución. Es inmediato que x =1es La ecuación del ejercicio anterior, es muy1 la única fácil de 2 singularidad integrar 3 bajo 4 (aislada) de la el punto de EDO. vista Como del ecálculo. cos(x4 1) En consecuencia > 0, x esr, difícil lagráficadef conocer explícitamente (x) =(x las ecuaciones 1) e cos(x4 1),la línea de las fases soluciones y los que tipos indica de la soluciones figura. Sin embargo, de la EDO, la líneason de fases como permite ilustra darla figura, una descripción cualitativa del tipo de soluciones y punto de equilibrio. respectivamente. Definición 3. Dos ecuaciones diferenciales 2 autónomas, se dicen cualitativamente equivalentes si, y sólo si, tienen la misma línea de fases, en el sentido del mismo número de puntos singulares, de la misma naturaleza y distribuidos en el mismo orden. 1 1 Solución. Es inmediato que x = 1 es la única singularidad (aislada) de la EDO. Como e cos(x4 1) > 0, x R, la gráfica de F (x) = (x 1) 3 e cos(x4 1), la línea de fases y los tipos de soluciones de la EDO, son como ilustra la figura, en cada subintervalo respectivo. 1. Las ED ẋ = x, ẋ =(x 1) e cos(x4 1), son equivalentes, pues solo tiene un La ecuación del ejercicio anterior, es muy1fácil de 2 integrar 3 bajo 4 el punto de único punto atractor en sus respectivas líneas de fases. vista del cálculo. En consecuencia es difícil conocer explícitamente las ecuaciones 2. ẋ =(x+2)(x+1) ẋ = 1 2 (x2 1).Peroẋ = (x+2)(x+1) ẋ = 1 2 (x2 1) de las soluciones que indica la figura. Sin embargo, la línea de fases permite dar (pues en este último caso el atractor y el repulsor se encuentran en distinto una descripción orden). cualitativa del tipo de soluciones y punto de equilibrio. Definición 3. Dos ecuaciones diferenciales autónomas, se dicen cualitativamente3. equivalentes Sistemas si, yde sóloed si, tienen de primer la misma orden línea (en de fases, el plano) en el sentido del mismo número de puntos singulares, de la misma naturaleza y distribuidos en Consideremos el sistema el mismo orden. La ecuación del ejercicio anterior, es muy difícil de integrar, desde el punto de vista del cálculo. En consecuencia, es difícil conocer explícitamente las expresiones de las soluciones que indica la figura. Sin embargo, la línea de fases permite dar una descripción cualitativa del tipo de soluciones y sus puntos de equilibrio. ẋ = f(t, x, y) ẏ = g(t, x, y) Definición 3.2. Dos ecuaciones diferenciales autónomas, se dicen cualitativamente equivalentes si, y sólo si, tienen la misma línea de fases, en el sentido del mismo número de puntos singulares, de la misma naturaleza y distribuidos en el mismo orden. que podemos expresar matricialmente en la forma 1. Las ED ẋ = x, ẋ =(x 1) e cos(x4 1), son equivalentes, pues solo tiene un único punto atractor en sus dyrespectivas líneas de fases. = F (t, Y ), 2. ẋ =(x+2)(x+1) ẋ = 1 2 (x2 1).Peroẋ = (x+2)(x+1) ẋ = 1 2 (x2 1) (pues en este último caso el atractor y el repulsor se encuentran en distinto 8 orden). 1) Las ED ẋ = x, ẋ = (x 1) e cos(x4 1), son equivalentes, pues cada una de ellas tiene un único punto atractor en sus respectivas líneas de fases. 3. Sistemas de ED de primer orden (en el plano) 2) ẋ = (x + 2)(x + 1) ẋ = 1 2 (x2 1). Pero ẋ = (x + 2)(x + 1) ẋ = 1 2 (x2 1) (pues en este último caso el atractorconsideremos y el repulsorelse sistema encuentran en distinto orden). ẋ = f(t, x, y) ẏ = g(t, x, y) MAT023 (2 sem. 2011) 39 que podemos expresar matricialmente en la forma dy = F (t, Y ),

8 3.1. Algunos Modelos Sencillos Para ilustrar de mejor manera cómo se utilizan las ecuaciones diferenciales para modelar, consideremos algunos modelos sencillos, y comenzaremos con algunos modelos clásicos de crecimiento de población. 1) Crecimiento ilimitado de Poblaciones Este modelo se basa en el supuesto que la velocidad de crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la misma. Las variables implicadas en este modelo son: t: tiempo, que es la variable independiente P : número de sujetos de la población, que es la variable dependiente k: constante de proporcionalidad (ó parámetro), que se denomina a veces «coeficiente de velocidad del crecimiento» Así, la hipótesis de que la variación del tamaño de la población es proporcional a ella se escribe como: 2) Modelo logístico de población dp = kp Claramente, el modelo anterior no considera las condiciones del entorno y la cantidad de recursos disponibles. Para considerar estos factores, agregamos a la hipótesis anterior, las siguientes: Si la población es pequeña, la tasa de crecimiento de ella es proporcional a su tamaño. Si la población es grande con respecto a la capacidad de soporte del entorno y de los recursos disponibles, la población disminuirá; es decir, en este caso la tasa de crecimiento es negativa. Usamos los mismos parámetros anteriores, sólo que en este caso la constante k es la razón de cambio de la población en el caso en que ésta sea pequeña. Debemos introducir un nuevo parámetro que dé cuenta de la «capacidad de soporte» del entorno. Es decir, necesitamos un parámetro N que permita modelar la situación: Si P (t) < N, entonces la población P crece. Si P (t) > N, entonces la población P decrece. Luego, el modelo puede ser expresado como dp = k P ( 1 P ) N 40 MAT023 (2 sem. 2011) 40

9 3.2. Ejercicios 1. Obtenga la solución de los siguientes problemas de valores iniciales a) xy = x 2 + y 2 + y, y(3) = 0 b) xy y y = ln(y) ln(x), y(1) = e c) y y = 2e 4x, y(0) = 3 d) y + 5y 9x = 3x3 + x, y( 1) = 4 e) y + 2 x + 1 y = 3, y(0) = Determine los puntos de equilibrio de las siguientes ecuaciones autonomas: a) x = x + 1 b) x = x x 3 c) x = sinh x 2 d) x = x 4 x 3 2x 2 e) x = sen x f) x = sen x x y clasifique la naturaleza (atractor, repulsor, atractor-repulsor) de cada punto de equilibrio. Construya el retrato de fase de cada ecuación. 3. Determine todos los posibles retratos de fases y los respectivos intervalos para λ en la siguiente ecuación diferencial dependiente del parámetro λ: ˆx = (x λ)(x 2 λ), λ R 4. Para las siguientes EDO, encuentre la solución general y esboce las gráficas de varios elementos de la familia de curvas solución. Muestre que no hay soluciones que satisfagan las condiciones iniciales dadas. Por qué no contradice esto el teorema de existencia de soluciones? a) tx x = t 2 cos t, x(0) = 3 b) tx = 2x t, x(0) = 2 5. Suponga que x es una solución del problema de v.i. x = x cos 2 t, x(0) = 1. Pruebe que x(t) > 0 para todos los t para los que x está definido. 6. Suponga que y es una solución del problema de v.i. y = (y 2 1)e ty, y(1) = 0. Pruebe que 1 < y < 1, t para los que y está definido. 7. Suponga que x es una solución del problema de v.i. x = x3 x 1 + t 2 x 2, x(0) = 1 2. Pruebe que 0 < x(t) < 1, t para los que x está definido. 8. Cuál(es) de los siguientes problemas de valor inicial tienen garantizada una única solución, por el teorema de unicidad de soluciones de ED? Justifique. a) y = 4 + y 2, y(0) = 1 b) y = y, y(4) = 0 MAT023 (2 sem. 2011) 41

10 c) y = t arctan y, y(0) = 2 d) y = y sin y + s, y(0) = 1 e) x = t x + 1, x(0) = 0 f) y = 1 y + 2, y(0) = 1 x 9. Considere la ecuación diferencial x (t) = x3 4x 1 + e 3x. a) Describa las singularidades de la ecuación diferencial. b) Encuentre lím t x(t), donde x(t) es la solución que satisface x(0) = Considere la ecuación = a[(y 1)(y 4) b] Determine todos los valores de a y b tales que y 0 = 5 sea un punto de equilibrio atractor para la ecuación. 42 MAT023 (2 sem. 2011) 42