Ramón Galán González.

Transcripción

1 Ramón Galán González.

2 INTRODUCCIÓN. Uno de los males que aqueja a la enseñanza de las matemáticas dentro de nuestras aulas es la desconexión entre los distintos aspectos del contenido. La división de números naturales, los números decimales, las fracciones y los porcentajes, la mayor parte de las veces se trabajan de forma separadas en el tiempo, en unidades didácticas que poco tienen que ver las unas con las otras. Del filósofo alemán Hegel aprendí que debo separar y distinguir la forma de manifestación y lo que en ella se manifiesta. Lo que se manifiesta constituye la esencia; la forma de manifestación, la apariencia. Y, finalmente, la esencia, aquello que se manifiesta, puede adoptar múltiples y variadas formas de manifestación. Estas ideas sacadas de la esfera del saber de la filosofía me aportaron luz y claridad a la hora de determinar las estrategias de aprendizaje propuestas en mis investigaciones sobre didáctica de las matemáticas. Llevemos estas ideas abstractas a un terreno más concreto y, para ello, vamos a ilustrarlas con un ejemplo. Observemos estas operaciones matemáticas: 514 : 2 = x 514 = de 514 = El 50 % de 514 = : 6 = X : 514 ; X = 257 Si estas cinco expresiones matemáticas diferentes entre sí son iguales a 257, quiere decir que estas expresiones matemáticas tienen que tener algo en común o ser distintas formas de manifestación de la misma cosa. Efectivamente, las cinco expresiones matemáticas son manifestaciones diferentes de la mitad de 514. Este ejemplo nos muestra que la mitad de un número tiene múltiples y variadas formas de manifestación. Como podemos ver, puede manifestarse en forma de dividir entre dos, en forma de multiplicación por 0 5, en forma de fracción que represente al número racional ½, en forma de 50 % o en forma de proporción. Por lo tanto, lo esencial, lo que se manifiesta es la relación numérica de la mitad y debemos distinguirla de las distintas formas de manifestación matemática con que se nos presenta. Llegado a este punto de la exposición, bastaría determinar un procedimiento de cálculo mental para hallar la mitad de 514 y aplicarlo a las distintas expresiones matemáticas para conseguir que todas ellas se resuelvan del mismo modo. De esta forma, nos evitaremos realizar cinco algoritmos diferentes para resolver operaciones matemáticas que en apariencia son diferentes pero que en esencia es una y la misma.

3 En concreto, nos bastaría calcular la mitad de 514 de la siguiente forma: En términos generales podemos concluir que lo esencial son las relaciones numéricas (mitad, la cuarta parte, la quinta parte, la décima parte, etc.) y que, por ello, deben ser objeto de estudio, de un lado, su cálculo mental y, de otro lado, sus distintas formas de manifestación: en forma de división, de multiplicación por un número decimal, en forma de fracción, bajo la forma de porcentaje o proporción. Debemos entender, pues, que lo que proporciona conexión y unidad a la división de números naturales, a los números decimales, a las fracciones y a los porcentajes son las relaciones numéricas. En el presente trabajo, nos limitaremos a exponer distintas estrategias de aprendizaje que posibilitará al alumno calcular mentalmente la mitad de un número natural. En trabajos posteriores se abordará la aplicación del cálculo mental de la mitad en relación a la división de números naturales, a los números decimales, a las fracciones y a los porcentajes y todo ello bajo la forma de la resolución de problemas. En este documento se adjunta el cuaderno de actividades escritas. Dicho cuaderno, aunque está referido al Tercer Ciclo de Primaria puede aplicarse, de igual modo, al Segundo Ciclo dado que las actividades están secuenciadas según las fases de aprendizaje y el nivel de dificultad. Dependiendo de las fases que se recorran en el Segundo Ciclo, se aplicarán las correspondientes actividades escritas de dicho cuaderno del alumno.

4 ESTRATEGIAS DE CÁLCULO. A lo largo de los distintos cursos académicos que hemos trabajado con los alumnos la relación de la miad, siempre se ha puesto de manifiesto que éstos emplean de manera intuitiva tres estrategias de aprendizaje. Por ello y en nuestro caso, nos limitamos a sistematizar y secuenciar los razonamientos lógicos del cálculo de la mitad que hemos observado en los alumnos. a) La estrategia de la descomposición del número. La primera estrategia de cálculo, la más empleada, la denominaremos la estrategia de la descomposición. Consiste en descomponer el número en dos partes, o tres, de las que el alumno ya sabe de antemano cual es su mitad. La secuencia es, por tanto: Descomponer Calcular la mitad (descomponer) Componer Lo ilustramos con un ejemplo: El alumno quiere hallar la mitad de 350. Sin embargo, sabe que la mitad de 300 es 150 y, de igual modo, que la mitad de 50 es 25. Entonces procede del siguiente modo: - Descompone 350 en Calcula la mitad de 300 y la mitad de Compone ambas mitades: = 175. Esta estrategia de cálculo la expresa inicialmente en forma de diagrama: = Posteriormente, lo expresará mediante el siguiente lenguaje matemático: 350 : 2 = ( ) : 2 = 300 : : 2 = = 175

5 b) La estrategia del como entonces. En determinados casos los alumnos no descomponen sino que calculan directamente el resultado final mediante un razonamiento lógico deductivo: Como A, entonces B Lo aplican de la siguiente manera: Como la mitad de 16 es 8, entonces la mitad de 160 es 80. Como la mitad de 16 es 8, entonces la mitad de es 800 c) La estrategia del complementario. La aplican en aquellos casos en los que el número del que quieren calcular la mitad está a un número exacto de decenas, centenas o unidades de millar. En estas ocasiones expresan el número en forma de resta, el número exacto de decenas o centenas menos el complementario. Lo ilustramos con un ejemplo, la mitad del número 392: Como al número 392 le faltan 8 unidades para completar el 400, entonces lo expresan de la siguiente forma: Calculan la mitad de 400 y de 8 y, finalmente restan los resultados: = 196 Esta estrategia de cálculo la expresa inicialmente en forma de diagrama: = Posteriormente, lo expresará mediante el siguiente lenguaje matemático: 392 : 2 = (400 8) : 2 = 400 : 2 8 : 2 = = 196

6 FASES DE LA ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE. 1º. Hallar la mitad de los números pares hasta el 10. Esta primera fase de la estrategia de aprendizaje del cálculo mental de la mitad de un número natural puede realizarse desde los primeros niveles de la Enseñanza Primaria como una forma particular de descomponer los números 2, 4, 6, 8 y 10. Sin embargo, por nuestra parte hemos trabajado de una forma sistemática el concepto de mitad a partir del comienzo del Segundo Ciclo. Esta fase en estos niveles se realizará de forma práctica, utilizando materiales manipulativos. Nosotros en nuestra exposición utilizaremos las regletas y el franelograma. Vemos un ejemplo: Forma el número 8 Ahora vamos a separar o dividir la regleta número 8 en dos partes iguales. Las dos partes tienen que tener la misma cantidad. Saldrá uno de los alumnos y realizará la actividad con las piezas del franelograma. Están todos de acuerdo? Hemos dividido el número ocho en dos mitades, en 4 por un lado y en 4 por otro lado. Se procederá de forma similar con el resto de los números pares hasta el 10.

7 Una vez que hemos realizado la actividad de forma manipulativa, los alumnos memorizarán la mitad de estos números. El profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez: - La mitad de 2 es - La mitad de 4 es - La mitad de 6 es - La mitad de 8 es - La mitad de 10 es Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas: - La mitad de 6 es - La mitad de 2 es - La mitad de 10 es - La mitad de 4 es - La mitad de 8 es Si el grupo fuera del Primer Ciclo y mostrara dificultad a la hora de memorizar la mitad de estos números, se pospondrá dicha memorización hasta niveles superiores. En este caso únicamente se realizará la actividad de forma manipulativa. Esta fase también puede complementarse con actividades prácticas consistentes en hallar la mitad de objetos, longitudes, cantidades de objetos concretos etc. Por ejemplo, podemos hallar la mitad de un folio, a mitad de una cuerda, la mitad de un numero determinad de lápices, la mitad de una cantidad de dinero, etc.

8 2º. Hallar la mitad de los números y 20. Para esta fase de aprendizaje pueden emplearse dos estrategias diferentes. Ambas estrategias se realizarán de forma práctica o manipulativa Una. Empleando el procedimiento de formar el número y posteriormente dividirlo a la mitad. Otra. A partir de multiplicar por 2 un número natural hasta el 10. Veamos un ejemplo de la primera estrategia: - Forma el número 14 - Ahora vamos a separar o dividir el número 14 en dos partes iguales. Las dos partes tienen que tener la misma cantidad. La experiencia nos informa que los alumnos proceden de dos formas diferentes. Una de ellas consiste en ir quitando unidades de la regleta diez y poniéndoselas a las cuatro unidades hasta conseguir dos regletas de la misma altura, es decir, dos regletas 7. La otra consiste en dividir tanto la regleta 10 como la regleta 4 a la mitad y formar dos regletas del número 7. Aún respetando la iniciativa de los alumnos, debemos hacer más hincapié en el segundo procedimiento ya que tiene mayores implicaciones para posteriores aprendizajes y desarrollo del calculo mental. Tanto en un caso como en el otro, los alumnos se enfrentan a la dificultad de descomponer la regleta 10, si para formar el número 14 han empleado una regleta decena. En este caso, somos partidarios de dejar al alumno que trate de vencer esta dificultad por sí solo y únicamente proporcionaremos ayuda o sugerencia si el alumno no fuera capaz de vencer esta dificultad. De cualquier manera, esta dificultad se plantea en la fase anterior, cuando el alumno calcula la mitad del número 10.

9 Están todos de acuerdo? Hemos dividido el número 14 en dos mitades, en 7 por un lado y en 7 por otro lado. Se procederá de forma similar con el resto de los números pares hasta el 20. Veamos ahora la segunda estrategia de aprendizaje, la basada en multiplicar por 2 un número natural hasta el 10. Con el fin de hacernos entender, indicaremos que una de las formas de abordar la multiplicación es mediante la formación de rectángulos a partir de las regletas, de manera que la base es el sumando que se repite y la altura el número de veces que se repite. En este sentido, se trata de aprovechar el aprendizaje de la multiplicación por 2 para tener un conocimiento sensible del concepto de doble/mitad. - Vamos a formar un rectángulo colocando dos veces el número 7. - Qué multiplicación hemos formado? 7 x 2 = 14 - Cuál es la mitad de 14? 7 Se procederá de forma similar con el resto de los números pares hasta el 20. Una vez que hemos realizado la actividad de forma manipulativa, los alumnos memorizarán la mitad de estos números. El profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez: - La mitad de 12 es - La mitad de 14 es - La mitad de 16 es - La mitad de 18 es - La mitad de 20 es Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas: - La mitad de 16 es - La mitad de 12 es - La mitad de 20 es - La mitad de 14 es

10 - La mitad de 18 es Veamos un ejemplo utilizando billetes y monedas de euros: a) La mitad exacta de una cantidad de dinero expresada en monedas de un euro. Actividad nº 1. La mitad de 14 euros en monedas de euros.

11 Actividad nº 2. La mitad de 16 euros expresados en monedas de 2 euros. Actividad nº 3.

12 Actividad nº 4. Actividad nº 5.

13 3º. Hallar la mitad de los números y 100. Es similar a la fase número 1. Por tal motivo, procederemos de la misma forma: - Coloca 6 regletas decenas. - Qué número hemos formado? El Vamos a dividir ahora el número 60 en dos partes iguales. (El alumno únicamente tendrá que separar 3 regletas a un lado y las otras 3 regletas al otro lado. En este sentido, calcular a mitad de 60 es igual a calcular la mitad de 6) - Cuánto vale la mitad de 60? 30. Se procederá de forma similar con el resto de los números. Veamos algunos ejemplos empleando el dinero:

14 Actividad nº 1. La mitad de 80 euros expresados en billetes de 10 euros. Actividad nº 2. La mitad de un billete de 20 euros. Actividad nº 3. La mitad de un billete de 100 euros.

15 De nuevo, una vez que hemos realizado la actividad de forma manipulativa, los alumnos memorizarán la mitad de estos números. El profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez: - La mitad de 20 es - La mitad de 40 es - La mitad de 60 es - La mitad de 80 es - La mitad de 100 es Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas: - La mitad de 60 es - La mitad de 20 es - La mitad de 100 es - La mitad de 40 es - La mitad de 80 es En este punto del proceso de aprendizaje del cálculo mental de un número ya podemos ir introduciendo ejercicios escritos referidos a calcular la mitad de los números pares vistos hasta ahora. Para tal fin, se adjunta en un apartado del presente trabajo un cuaderno de actividades escritas que el alumno debe realizar. Las actividades de este cuaderno están secuenciadas en función y de acuerdo a las fases de aprendizaje que estamos describiendo. Hemos comprobado que los alumnos de 4º Nivel resuelven fácilmente ejercicios como el siguiente: Completa las frases. Observa el ejemplo: - Como la mitad de 4 es 2, entonces la mitad de 40 será Como la mitad de 6 es 3, entonces. - Como la mitad de 8 es 4, entonces. - Como la mitad de 2 es 1,. - Como la mitad de 10 es. Este ejercicio tiene una doble finalidad. De un lado, establecer una relación entre el cálculo, por ejemplo, de la mitad de 6 con respecto a la mitad de 60. De otro lado, ejercitar al alumno en la construcción de juicios deductivos basados en la lógica formal. En este caso, el juicio en abstracto sería: Como A, entonces B.

16 4º. Hallar la mitad de los números y 90. Recomendamos que esta fase se realice igualmente de forma manipulativa o práctica. Es similar a la anterior pero ahora presenta la dificultad de tener el alumno que dividir una de las regletas de decenas en dos mitades de cinco. - Coloca 7 regletas decenas. - Qué número hemos formado? El Vamos a dividir ahora el número 70 en dos partes iguales. - Cuánto vale la mitad de 70? 35. Se procederá de forma similar con el resto de los números. De nuevo, los alumnos memorizarán la mitad de estos números. El profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez: - La mitad de 30 es - La mitad de 50 es - La mitad de 70 es

17 - La mitad de 90 es Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas: - La mitad de 70 es - La mitad de 50 es - La mitad de 90 es - La mitad de 30 es Veamos algunos ejemplos empleando el dinero: Actividad nº 1. La mitad de 30 euros expresados en billetes de 5 euros.

18 Actividad nº 2. La mitad de 30 euros en un billete de 20 y otro de 10 euros. Actividad nº 3. La mitad de un billete de 50 euros empleando el menor número de billetes posibles. Actividad nº 4. La mitad de un billete de 50 euros empleando billetes de 10 y 5.

19 5º. Hallar la mitad de los números y 200. Es similar a la fase número 2: hallar la mitad de los números y 20. Hay que tener en cuenta que en ambas fases, en la 2º y en la 5º, el alumno tendrá que separar a la mitad el mismo número de regletas con independencia del valor o del tamaño de las regletas. Desde el punto de vista de la cantidad de regletas y como actividad práctica, ambas fases son idénticas. Por tal motivo, procederemos de la misma forma. - Coloca 14 regletas de decena. - Qué número hemos formado? El Ahora dividan el número 140 en dos partes iguales. (Hemos observado que ahora el alumno separa directamente las 14 decenas en 7 y 7. Es decir, no procede dividiendo el número 100 en dos mitades de 50 y el número 40 en dos mitades de 20, para agrupar finalmente 50 y 20. Simplemente como ya tienen conquistado o memorizado que la mitad de 14 es 7 halla directamente la mitad de 140.) - Cuánto te ha dado a mitad de 140? 70 Se procederá de forma similar con el resto de los números.

20 De nuevo, los alumnos memorizarán la mitad de estos números. El profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez: - La mitad de 120 es - La mitad de 140 es - La mitad de 160 es - La mitad de 180 es - La mitad de 200 es Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas: - La mitad de 160 es - La mitad de 120 es - La mitad de 200 es - La mitad de 180 es - La mitad de 140 es Finalmente, los alumnos realizarán los ejercicios escritos del cuaderno de actividades. De nuevo, aplicarán el siguiente razonamiento lógico formal: - Como la mitad de 14 es 7, entonces la mitad de 140 será 70 Veamos un ejemplo empleando los billetes y las monedas: Actividad nº 1. La mitad de 160

21 6º. Hallar la mitad de un número par menor que 100 siendo las cifras de las decenas números pares. ( etc.) Esta será la última fase que se realizará de forma práctica. En primer lugar, porque las actividades anteriores se muestran suficientes como para presentar al alumno el concepto de mitad de forma intuitiva o perceptiva. En segundo lugar porque llegado a este punto, el pensamiento opera de forma más rápida que las manos. Ahora las manos suponen un freno al pensamiento. Cuando un alumno realiza una actividad práctica de este tipo, las manos ejecutan la acción pero éstas son dirigidas o guiadas por el pensamiento. Después de varias actividades prácticas, el alumno tiene ya la capacidad de representarse interiormente la acción que va a realizar. Ahora el pensamiento se libera y se anticipa a la acción real y, por consiguiente, no necesita de ella. Se les propone a los alumnos diversas actividades como la siguiente: - Forma con regletas el número 68 - Dividan ahora el número 68 en dos partes iguales: Posteriormente, los alumnos resolverán las actividades escritas de su cuaderno. Evidentemente, estas actividades las resolverán empleando la misma estrategia que

22 han empleado a la hora de hallar la mitad de estos números de forma práctica. Es decir: 1º. Descomponen el número en una suma, en este caso, en sus decenas y unidades. 2º. Calculan la mitad tanto de las decenas como de las unidades. 3º. Agrupan las mitades obtenidas. En primer lugar, realizarán las actividades mediante frases que expresen la acción que realizan. Posteriormente, realizarán las actividades mediante un esquema gráfico o diagrama. Lo vemos con el número Descomponemos el número 68 en La mitad de 60 es 30 - La mitad de 8 es 4. - Por lo tanto, la mitad de 68 será: = 34 En forma de diagrama sería: = 34

23 7º. Hallar la mitad de un número par menor que 100 siendo las cifras de las decenas números impares. ( etc.) Se procede del mismo modo que en la fase anterior pero ahora sin realizar el ejercicio de forma práctica. Por ello, se empleará la siguiente estrategia del cálculo: 1º. Descomponer el número en una suma, en este caso, en sus decenas y unidades. 2º. Calcular la mitad tanto de las decenas como de las unidades. 3º. Agrupar las mitades obtenidas. En este caso aparecen dos pequeños gradientes de dificultad: - La dificultad de hallar la mitad de un número que tienen una cifra impar como decenas. Es decir, presenta mayor dificultad calcular la mitad de 70 que calcular la mitad de 60 u 80. Sin embargo, el alumno ya ha conquistado la capacidad de calcula mentalmente la mitad de los números. ( y 90) - La mayor dificultad que presenta la suma a la hora de agrupar las dos mitades obtenidas. Es decir, presenta mayor dificultad, por ejemplo, sumar que sumar Vemos un ejemplo, expresado en lenguaje escrito y expresado en forma de esquema: Calcula la mitad de Descomponemos el número 68 en La mitad de 60 es 30 - La mitad de 8 es 4. - Por lo tanto, la mitad de 68 será: = 34 En forma de diagrama sería: = 39

24 Hemos observado que en la medida que los alumnos se adentran en el cálculo mental, empiezan a desarrollar estrategias de cálculo muy diversas. Por ejemplo, en el caso que acabamos de exponer, la mitad de 78, hay alumnos que razonan de la siguiente forma: Primero, expresan el número 78 en forma de resta: 80 2 A continuación, calculan la mitad de estos números: 40 y 1. Finalmente restan: 40 1 = 39. Lo vemos en forma de diagrama: = 39 Veamos otro caso. Cuando propusimos que calcularan la mitad de 72, ciertos alumnos en lugar de descomponer el número 72 en la suma de , lo descompusieron en dado que ya tenían adquirido el aprendizaje de la mitad de 60 y de 12 Lo vemos en forma de diagrama: = 36

25 8º. Hallar la mitad de los números y De nuevo aquí los alumnos emplean la lógica formal y calculan la mitad de estos números razonando de la siguiente forma: - Como la mitad de 8 es 4, entonces la mitad 80 será 40 y la mitad de 800 será Como la mitad de 18 es 9, entonces la mitad 180 será 90 y la mitad de será 900. Hay alumnos que en lugar de emplear esta lógica, calculan la mitad de estos números mediante el procedimiento de la descomposición. Lo vemos con la mitad del número Descomponen el número en la suma: Calculan la mitad de estos números: 500 y Agrupan estas dos mitades: = 900. El procedimiento es más largo pero también más enriquecedor. De cualquier manera, nuestro criterio es respetar, e incluso, fomentar los procedimientos personales de cálculo.

26 9º. Hallar la mitad de los números y 900. De nuevo aquí los alumnos emplean la lógica formal y calculan la mitad de estos números razonando de la siguiente forma: - Como la mitad de 30 es 15, entonces la mitad 300 será Como la mitad de 50 es 25, entonces la mitad 500 será Como la mitad de 70 es 35, entonces la mitad 700 será Como la mitad de 90 es 45, entonces la mitad 900 será 450. Hay algunos alumnos que después de realizar estas actividades, se anticipan al cálculo de la mitad de los números impares y, aplicando el mismo razonamiento lógico, deducen que la mitad de 3 es 1 5, que la mitad de 5 es 2 5, que la mitad de 7 es 3 5 y que la mitad de 9 es 4 5. Finalmente, hemos observados que algunos alumnos reproducen el procedimiento realizado de forma práctica con los boques multibase cuando en las primeras fase aprendió a calcular la mitad de ó 90. Es decir, mediante el procedimiento de la descomposición: Lo vemos con la mitad del número Descomponen el número 700 en la suma: Calculan la mitad de estos números: 300 y Agrupan estas dos mitades: = 350.

27 10º. Hallar la mitad de un número de tres cifras terminado en cero. En estos momentos los alumnos ya tienen todas las herramientas para calcular la mitad de un número par mediante el procedimiento de la descomposición. El hecho de memorizar la mitad de determinados números en las fases iniciales, posibilitará ahora el cálculo de la mitad de cualquier número par y, posteriormente, de cualquier número. Sin embargo, aunque la estrategia para calcular la mitad de un número de tres cifras terminado en cero sea la misma, independientemente del número de que se trate, hemos creído conveniente contemplar dentro de esta fase cuatro gradientes de dificultad. Por este motivo, secuenciaremos las actividades de esta fase en cuatro apartados o momento de menor a mayor dificultad. Con el fin de abreviar nuestra exposición, nos limitaremos a señalar estos cuatro gradientes de dificultad y exponer, mediante un ejemplo, el modo más frecuente que tienen los alumnos de hallar la mitad de estos números. Primer gradiente de dificultad: hallar la mitad de un número par de tres cifras siendo par las cifras de las centenas y de las decenas. Entran dentro de esta categoría el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. Calcula la mitad del número Descomponemos el número 680 en La mitad de 600 es 300. La mitad de 80 es Por lo tanto, la mitad de 680 será 340 (Es importantísimo no permitir al alumno que calcule la mitad de estos números hallando la mitad de las cifras, puesto que consideramos que uno de los errores que se producen en el proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas es que los alumnos operan con cifras y no con cantidades. Es decir, no permitiremos que los alumnos calculen la mitad de 6 y la mitad de 8 en lugar de la mitad de 600 y 80) - Calcula la mitad de 420: = 210

28 Segundo gradiente de dificultad: hallar la mitad de números pares de tres cifras siendo par las cifras de las centenas e impar las cifras de las decenas. Entran dentro de esta categoría, el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. Calcula la mitad del número Descomponemos el número 830 en La mitad de 800 es 400. La mitad de 30 es Por lo tanto, la mitad de 830 será 415 Otro ejemplo, empleando ahora el diagrama: - Calcula la mitad de 610: = 305 Tercer gradiente de dificultad: hallar la mitad de números pares de tres cifras siendo impar las cifras de las centenas y par las cifras de las decenas. Entran dentro de esta categoría, el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. Calcula la mitad del número Descomponemos el número 980 en La mitad de 900 es 450. La mitad de 80 es Por lo tanto, la mitad de 980 será 490

29 (Hay alumnos que también resuelven este ejercicio expresando e número 980 en forma de la resta Calculan la mitad de mil (500) y la mitad de 20 (10). Finalmente restan = 490) Otro ejemplo, empleando ahora el diagrama: - Calcula la mitad de 560: = 280 Cuarto gradiente de dificultad: hallar la mitad de números pares de tres cifras siendo impar las cifras de las centenas e impar las cifras de las decenas. Entran dentro de esta categoría, el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. Calcula la mitad del número Descomponemos el número 350 en La mitad de 300 es 150. La mitad de 50 es Por lo tanto, la mitad de 350 será 175 Otro ejemplo, empleando ahora el diagrama: - Calcula la mitad de 770: = 385

30 11º. Hallar la mitad de cualquier número par hasta el Es similar a la fase anterior aunque en ésta los alumnos ponen en práctica y nos sorprenden con diversas y diferentes estrategias de cálculo. En nuestra exposición únicamente mostraremos las más usuales que hemos observado. Igualmente, consideramos conveniente presentar a los alumnos las distintas actividades de forma graduada en función de los distintos niveles de dificultad. Primer gradiente de dificultad: hallar la mitad de un número par de tres cifras siendo par las cifras de las centenas y de las decenas. Entran dentro de esta categoría el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. De forma mayoritaria, los alumnos calculan la mitad de estos números descomponiendo el número solamente en dos partes ya que a estas alturas los alumnos muestran una capacidad de cálculo que así se lo permite. Calcula la mitad del número Descomponemos el número 6840 en La mitad de 600 es 300. La mitad de 84 es Por lo tanto, la mitad de 684 será 342 En forma de diagrama: - Calcula la mitad de 428: = 214

31 Segundo gradiente de dificultad: hallar la mitad de números pares de tres cifras siendo par las cifras de las centenas e impar las cifras de las decenas. Entran dentro de esta categoría, el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. En este nivel de dificultad, la mayoría de los alumnos calculan la mitad descomponiendo también los números en dos partes Calcula la mitad del número Descomponemos el número 836 en La mitad de 800 es 400. La mitad de 36 es Por lo tanto, la mitad de 836 será 418 Otro ejemplo, empleando ahora el diagrama: - Calcula la mitad de 618: = 309 Tercer gradiente de dificultad: hallar la mitad de números pares de tres cifras siendo impar las cifras de las centenas y par las cifras de las decenas. Entran dentro de esta categoría, el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. Con este nivel de dificultad, los alumnos siguen descomponiendo el número en dos partes, de un lado las centenas y, de otro lado, el número formado por las decenas y unidades. Calcula la mitad del número Descomponemos el número 748 en La mitad de 700 es 350. La mitad de 48 es Por lo tanto, la mitad de 748 será 374.

32 Hemos observado que la mayoría de los alumnos suman, siguiendo con el ejemplo anterior, , sumando Lo cual demuestra que no operan con cifras sino con cantidades. Otro ejemplo, empleando ahora el diagrama: - Calcula la mitad de 562: = 281 Cuarto gradiente de dificultad: hallar la mitad de números pares de tres cifras siendo impar las cifras de las centenas e impar las cifras de las decenas. Entran dentro de esta categoría, el cálculo de la mitad de números como los siguientes: etc. Ahora, en este tipo de actividades, con este gradiente de dificultad, muchos alumnos descomponen el número en tres partes Calcula la mitad del número Descomponemos el número 378 en La mitad de 300 es 150. La mitad de 70 es 35. La mitad de 8 es 4 - Por lo tanto, la mitad de 350 será: = 189 En este caso, en este ejemplo, muchos alumnos para efectuar la última suma, proceden sumando en primer lugar las dos últimas mitades y, al resultado, le añaden la primera mitad. De esta forma: (35 + 4) = = 189 Como puede observarse, estos ejercicios ofrecen la posibilidad de trabajar la propiedad asociativa de la suma.

33 Otro ejemplo, empleando ahora el diagrama: - Calcula la mitad de 376: = 188 Hay algunos alumnos que calculan la mitad de estos números, haciendo abstracción de la cifra de las unidades, es decir, como si el número terminara en cero y a la mitad obtenida, le añaden la mitad de las unidades. Así, por ejemplo, en la actividades que acabamos de analizar, la mitad de 376, calcula la mitad de 370 ( = 185) y al resultado, 185, le añaden 3. En total, 188. Veamos ahora otras formas de cálculo que han mostrado algunos alumnos: La mitad de Descomponen 798 en forma de resta: Calculan la mitad de estos dos números: 400 y 1. - Restan ambas mitades: = 399 La mitad de 148. Algunos la realizan descomponiendo el número en , calculando la mitad de estas partes (50 y 24) y sumando = 74. Sin embargo otros alumnos hallan esta mitad procediendo de la siguiente forma: 148 = La mitad de 140 es 70 porque la mitad de 14 es 7. La mitad de 8 es 4. Por lo tanto, la mitad de 148 será = 74

34 12º. Hallar la mitad de cualquier número par hasta el Aquí los alumnos muestran una disparidad de razonamientos de cálculo. Por nuestra parte, nos limitaremos a exponer la secuencia de actividades que figura en el cuaderno de actividades del alumno en función del gradiente de dificultad. 1º. La mitad de y º. La mitad de y º. La mitad de º. La mitad de º. La mitad de º. La mitad de º. La mitad de A pesar de la disparidad de razonamientos de cálculo, los alumnos tienden a calcular la mitad de estos números haciendo abstracción de las unidades de millar, considerando el número de tres cifras y, al resultado obtenido, le suman 500 que es la mitad de Veamos, como ejemplo, la mitad de Calculan la mitad de 580 que es 290 ( ) y, a continuación le suman 500 y obtienen como resultado 790 ( ). Otros alumnos incorporan como herramientas de cálculo la mitad de los números y Así, por ejemplo, para calcular la mitad de Descomponen el número en y 48. Calculan ambas mitades (650 y 24) y posteriormente las suman 674. Por último, estimamos conveniente señalar que a la hora de la corrección de las actividades, si esta se realiza con el gran grupo, hay que procurar que sea el mayor número posible de alumnos quienes expongan su procedimiento de cálculo. Veamos algunos ejemplos de cómo hallar la mitad de un número par de tres cifras si decidiéramos emplear las regletas:

35 La mitad de 400. La mitad de 280.

36 La mitad de La mitad de 300.

37 La mitad de 360

38 La mitad de 364

39 La mitad de 350

40 La mitad de 354

41 13º. Hallar la mitad de un número impar menor que 10. Con esta fase se inicia el aprendizaje del cálculo de la mitad de un número impar. De nuevo retornamos al aprendizaje intuitivo, sensible. Sin embargo, no utilizaremos los bloques multibase de Dienes sino la cinta métrica. Esta cinta métrica ha de tener un metro de longitud y deben estar marcados, o señalados con trazos más gruesos, las líneas que delimitan los decímetros. Esta fase se ha de acometer coincidiendo con el inicio del aprendizaje de los números decimales. Los alumnos deben saber antes de comenzar esta fase, que medio metro mide 5 decímetros o 50 centímetros. Igualmente deben saber expresar estas longitudes en forma de número decimal referidos al metro. Es decir: Medio metro = 5 decímetros = 0 5 m. Medio metro = 50 centímetros = 0 50 m. Con el fin de reforzar este conocimiento previo, cada alumno tomará su cinta métrica y la doblará a la mitad, haciendo coincidir ambos extremos y comprobar que la mitad llega hasta el centímetro 50 o, hasta el decímetro 5. A la hora de expresar el resultado obtenido diremos: - En un principio: La mitad de un metro mide 0 metros enteros y 5 dm. La mitad de un metro mide 0 metros enteros y 50 cm. - Posteriormente: La mitad de un metro mide 0 5 m. La mitad de un metro mide 0 50 m. Para trabajar e aprendizaje que nos ocupa, compramos cintas métricas de costura. Estas cintas métricas tienen una longitud de 1m y 50 cm. Cortamos los 50 centímetros y, de este modo, obtenemos dos trozos: uno de un metro de longitud y, el otro, de 50 centímetros de longitud. Finalmente, les colocamos un trozo de velcro en la parte posterior para que puedan ser adheridos al franelograma. De este modo tenemos metros enteros y mitades de metro. Con este nuevo recurso didáctico ya podemos realizar las actividades que a continuación vamos a describir. Colocamos en el franelograma tres metros, estando uno de ellos formados por dos mitades: De esta manera:

42 Preguntaremos al grupo: - Cuántos metros enteros tenemos en el franelograma? 3 metros enteros. A continuación, le pediremos a un alumno que divida los tres metros enteros en dos mitades, es decir, en dos partes iguales. Preguntaremos al grupo: - Cuántos metros hay en cada una de las dos partes? Un metro entero y medio metro. - Cómo podemos expresar metro y medio en forma de número decimal? 1 5 ó Cuánto vale entonces la mitad de 3? 1 5 ó (Hay que tener en cuenta que el alumno en estos momentos ya es capaz de expresar una longitud en forma de número decimal ya que como dijimos anteriormente, esta fase de aprendizaje la haremos coincidir con el inicio del concepto de número decimal) Procederemos de forma similar con la mitad de los números 5, 7 y 9.

43 Finalmente, estimamos conveniente que los alumnos memoricen estas mitades. Para ello, el profesor preguntará al gran grupo, debiendo responder todos los alumnos a la vez: - La mitad de 1 es - La mitad de 3 es - La mitad de 5 es - La mitad de 7 es - La mitad de 9 es Posteriormente se cambiará el orden de las preguntas: - La mitad de 5 es - La mitad de 7 es - La mitad de 3 es - La mitad de 9 es - La mitad de 1 es Como dijimos en su momento, hay alumnos que se anticiparon a este aprendizaje y dedujeron que, por ejemplo, la mitad de 3 es 1 5 porque la mitad de 300 es 150 y la mitad de 30 es 15. De cualquier forma, incluso en estos casos, se estima conveniente realizar esta fase de forma práctica y sensible. Esta misma fase, la de calcular la mitad de un número impar menor que 10, podemos realizarla mediante otra actividad. Consistiría en la siguiente: Tomamos un trozo de cuerda, por ejemplo, de 3 metros de longitud. La doblamos a la mitad y cortamos. Medimos la longitud de cada trozo y expresamos esta longitud en forma de número decimal. Posteriormente, para los restantes números, podemos sustituir los trozos de cuerda por segmentos trazados en la pizarra o en el suelo. Veamos algunos ejemplos empleando el dinero y las medidas de capacidad: La mitad de 3 euros

44 La mitad de 5 litros: De forma esquemática: 5 L. 4 L + 1 L 2 L + 0,5 L = 2,5 L Expresado en forma de lenguaje matemático y de manera general: 5 : 2 = (4 + 1) : 2 = 4 : : 2 = 2 + 0,5 = 2,5

45 14º. Hallar la mitad de un número impar. En estos momentos los alumnos ya muestran la capacidad de calcular la mitad de cualquier número natural que no sea excesivamente grande. Para ello, basta incorporar la fase anterior a lo aprendido hasta ahora. Vamos a exponer algunas actividades que propusimos a los alumnos y el modo de calcular que observamos en ellos. Casi todos ellos procedieron por descomposición pero realizaron dicha descomposición de dos formas diferentes. Cuando les propusimos que calcularan la mitad de y 19, casi todos ellos calcularon la mitad del número par inmediatamente inferior y le añadieron las 5 décimas. Veamos un ejemplo: Propusimos calcular la mitad de 13. Gran parte de los alumnos razonaron de la siguiente forma: Como la mitad de 12 es 6, entonces la de 13 será 6 5. Otros alumnos, en la creencia de que exponían un razonamiento distinto, expresaban lo mismo pero bajo la forma de diagrama: = 6 5 Sin embargo en la medida que fuimos aumentando el tamaño de los números, los alumnos comenzaron a descomponer de otra forma algo diferente. Por ejemplo, para calcular la mitad 87, muchos de ellos no calcularon la mitad de 86 (43) y, posteriormente, le sumaron las 5 décimas (43 5) sino que procedieron de la siguiente forma: = 43 5 Otro ejemplo. A la pregunta de cuánto daba la mitad de 169, fueron varios los alumnos que respondieron razonando de la siguiente forma:

46 La mitad de 160 es 80 porque la mitad de 16 es 8. La mitad de 9 es 4 5. Sumamos 80 y 4 5 y nos da Pero como hemos afirmado de forma repetida, los alumnos manifiestan múltiples y variadas formas de razonamiento. Por ello, una alumna razonó, en este mismo ejercicio, de esta otra forma: La mitad de 170 es 85 porque la mitad de 100 es 50 y la 70 es 35. Como a 169 le falta 1 para llegar a 170, tendremos que quitar la mitad de 1, que es 0 5. A 85 le quitamos 0 5, nos da Le propusimos a la alumna que lo hiciera en forma de diagrama, para que todos sus compañeros entendieran mejor su razonamiento = 84 5 Nuestra experiencia nos indica que no es necesario hacer de nuevo el recorrido de las distintas fases pero ahora aplicadas a los números impares. Basta una serie de ejercicios suplementarios para incorporar la mitad de los números impares menores que 10 a lo hasta ahora aprendido. En cualquier caso, se puede posponer el aprendizaje de la mitad de los números impares hasta el comienzo del Tercer Ciclo de Primaria si los alumnos mostraran dificultad para realizar estas últimas fases. Por último, ahora los alumnos ya están capacitados para calcular mentalmente operaciones que constituyan, o sean, formas de manifestación de la mitad de un número. Operaciones como las siguientes: 615 : 2 = x = de 970 = El 50 % de 167 = : 2 = X : ; X = 1.225

47 ÁREA DE MATEMÁTICAS TERCER CICLO UNIDAD DIDÁCTICA: CALCULANDO LA MITAD. CUADERNO DE ACTIVIDADES Alumno/a:

48 Calculando la mitad. Actividad 1. - Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 6 es La mitad de 4 es La mitad de 8 es La mitad de 2 es La mitad de 10 es La mitad de 14 es La mitad de 12 es La mitad de 16 es La mitad de 18 es Completa las siguientes frases. Observa el ejemplo: - Como la mitad de 4 es 2, entonces la mitad de 40 será Como la mitad de 6 es 3, entonces. - Como la mitad de 8 es 4, entonces. - Como la mitad de 2 es 1,. - Como la mitad de 10 es. Completa las siguientes frases. Observa el ejemplo: - Como la mitad de 14 es 7, entonces la mitad de 140 será Como la mitad de 16 es 8, entonces. - Como la mitad de 18 es 9, entonces. - Como la mitad de 12 es 6,. - Como la mitad de 100 es.

49 Calculando la mitad. Actividad 2. Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 2 es La mitad de 6 es La mitad de 10 es La mitad de 14 es La mitad de 18 es La mitad de 40 es La mitad de 80 es La mitad de 120 es La mitad de 160 es La mitad de 4 es La mitad de 8 es La mitad de 12 es La mitad de 16 es La mitad de 20 es La mitad de 60 es La mitad de 100 es La mitad de 140 es La mitad de 180 es Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 20 es La mitad de 6 es La mitad de 12 es La mitad de 14 es La mitad de 180 es La mitad de 4 es La mitad de 80 es La mitad de 2 es La mitad de 160 es La mitad de 8 es La mitad de 40 es La mitad de 140 es La mitad de 18 es La mitad de 120 es La mitad de 60 es La mitad de 10 es La mitad de 16 es La mitad de 100 es

50 Calculando la mitad. Actividad 3. Calcula la mitad completando las frases y completando el diagrama. Observa el ejemplo de la mitad de es igual a La mitad de 40 es La mitad de 10 es 5. - Por lo tanto, la mitad de 50 será = 25 La mitad de es igual a La mitad de 20 es La mitad de 10 es. - Por lo tanto, la mitad de 30 será + = La mitad de es igual a La mitad de 60 es. + - La mitad de 10 es. - Por lo tanto, la mitad de 70 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 90 será + =

51 Calculando la mitad. Actividad 4. Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 2 es La mitad de 6 es La mitad de 10 es La mitad de 14 es La mitad de 18 es La mitad de 30 es La mitad de 50 es La mitad de 70 es La mitad de 90 es La mitad de 120 es La mitad de 160 es La mitad de 4 es La mitad de 8 es La mitad de 12 es La mitad de 16 es La mitad de 20 es La mitad de 40 es La mitad de 60 es La mitad de 80 es La mitad de 100 es La mitad de 140 es La mitad de 180 es Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 80 es La mitad de 70 es La mitad de 16 es La mitad de 14 es La mitad de 140 es La mitad de 90 es La mitad de 20 es La mitad de 30 es La mitad de 160 es La mitad de 50 es La mitad de 40 es La mitad de 180 es La mitad de 18 es La mitad de 120 es La mitad de 60 es La mitad de 10 es La mitad de 12 es La mitad de 100 es

52 Calculando la mitad. Actividad 5. Calcula la mitad completando las frases y completando el diagrama. Observa el ejemplo de la mitad de es igual a La mitad de 60 es La mitad de 8 es 4. - Por lo tanto, la mitad de 68 será = 34 La mitad de es igual a La mitad de 20 es La mitad de 6 es. - Por lo tanto, la mitad de 26 será + = La mitad de es igual a La mitad de 40 es. + - La mitad de 2 es. - Por lo tanto, la mitad de 42 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 84 será + =

53 Calculando la mitad. Actividad 6. Calcula la mitad completando las frases y completando el diagrama. La mitad de es igual a La mitad de 30 es La mitad de 8 es. - Por lo tanto, la mitad de 38 será + = La mitad de es igual a La mitad de 50 es La mitad de 6 es. - Por lo tanto, la mitad de 56 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 72 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 94 será + =

54 Calculando la mitad. Actividad 7. Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 20 es La mitad de 60 es La mitad de 100 es La mitad de 140 es La mitad de 30 es La mitad de 90 es La mitad de 26 es La mitad de 82 es La mitad de 28 es La mitad de 62 es La mitad de 32 es La mitad de 58 es La mitad de 72 es La mitad de 78 es La mitad de 74 es La mitad de 92 es La mitad de 36 es La mitad de 94 es La mitad de 52 es La mitad de 86 es La mitad de 40 es La mitad de 80 es La mitad de 120 es La mitad de 160 es La mitad de 50 es La mitad de 70 es La mitad de 44 es La mitad de 68 es La mitad de 46 es La mitad de 84 es La mitad de 22 es La mitad de 64 es La mitad de 34 es La mitad de 96 es La mitad de 56 es La mitad de 98 es La mitad de 54 es La mitad de 76 es La mitad de 38 es La mitad de 66 es

55 Calculando la mitad. Actividad 8. Completa las siguientes frases. Observa el ejemplo: - Como la mitad de 4 es 2, entonces la mitad de 40 será 20 y la mitad de 400 será Como la mitad de 6 es 3, entonces. - Como la mitad de 8 es 4, entonces.. - Como la mitad de 10 es.. - Como la mitad de 12 es 6, entonces la mitad de 120 será 60 y la mitad de será. - Como la mitad de 18 es.. - Como la mitad de 14 es.. - Como la mitad de 16 es.. - Como la mitad de 30 es.. - Como la mitad de 50 es.. - Como la mitad de 90 es.. - Como la mitad de 70 es..

56 Calculando la mitad. Actividad 9. Calcula la mitad completando las frases y completando el diagrama. La mitad de es igual a La mitad de 200 es La mitad de 60 es. - Por lo tanto, la mitad de 260 será + = La mitad de es igual a La mitad de 400 es. + - La mitad de 20 es. - Por lo tanto, la mitad de 420 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 680 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 840 será + =

57 Calculando la mitad. Actividad 10. Calcula la mitad completando las frases y completando el diagrama. La mitad de es igual a La mitad de 200 es La mitad de 30 es. - Por lo tanto, la mitad de 230 será + = La mitad de es igual a La mitad de 400 es. + - La mitad de 10 es. - Por lo tanto, la mitad de 410 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 690 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 870 será + =

58 Calculando la mitad. Actividad 11. Calcula la mitad completando las frases y completando el diagrama. La mitad de es igual a La mitad de 300 es. + - La mitad de 20 es. - Por lo tanto, la mitad de 320 será + = La mitad de es igual a La mitad de 500 es. + - La mitad de 60 es. - Por lo tanto, la mitad de 560 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 980 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 740 será + =

59 Calculando la mitad. Actividad 12. Calcula la mitad completando las frases y completando el diagrama. La mitad de es igual a La mitad de 100 es. + - La mitad de 30 es. - Por lo tanto, la mitad de 130 será + = La mitad de es igual a La mitad de 300 es. + - La mitad de 90 es. - Por lo tanto, la mitad de 390 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 910 será + = La mitad de es igual a La mitad de es. + - La mitad de es. - Por lo tanto, la mitad de 750 será + =

60 Calculando la mitad. Actividad 13. Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 200 es La mitad de 600 es La mitad de es La mitad de es La mitad de 300 es La mitad de 900 es La mitad de es La mitad de 480 es La mitad de 680 es La mitad de 670 es La mitad de 270 es La mitad de 140 es La mitad de 960 es La mitad de 390 es La mitad de 150 es La mitad de 570 es La mitad de 990 es La mitad de 790 es La mitad de 510 es La mitad de 870 es La mitad de 400 es La mitad de 800 es La mitad de es La mitad de es La mitad de 500 es La mitad de 700 es La mitad de 240 es La mitad de 620 es La mitad de 450 es La mitad de 890 es La mitad de 850 es La mitad de 380 es La mitad de 520 es La mitad de 170 es La mitad de 350 es La mitad de 190 es La mitad de 370 es La mitad de 530 es La mitad de 380 es La mitad de 770 es

61 Calculando la mitad. Actividad 14. Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 264 es La mitad de 624 es La mitad de 678 es La mitad de 278 es La mitad de 696 es La mitad de 142 es La mitad de 566 es La mitad de 748 es La mitad de 964 es La mitad de 588 es La mitad de 132 es La mitad de 574 es La mitad de 378 es La mitad de 794 es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de 428 es La mitad de 862 es La mitad de 894 es La mitad de 414 es La mitad de 832 es La mitad de 324 es La mitad de 984 es La mitad de 382 es La mitad de 526 es La mitad de 184 es La mitad de 358 es La mitad de 996 es La mitad de 916 es La mitad de 532 es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es La mitad de es

62 Calculando la mitad. Actividad 16. Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 1 es La mitad de 2 es La mitad de 3 es La mitad de 4 es La mitad de 5 es La mitad de 6 es La mitad de 7 es La mitad de 8 es La mitad de 9 es Completa los diagramas y calcula la mitad de dos formas diferentes = + = = + = = + =

63 Calculando la mitad. Actividad 17. Completa los diagramas y calcula la mitad de dos formas diferentes = + = = + = = + = = =

64 Calculando la mitad. Actividad 18. Calcula la mitad de los siguientes números: La mitad de 11 es La mitad 13 de es La mitad de 17 es La mitad 19 de es La mitad de 25 es La mitad de 31 es La mitad de 43 es La mitad de 57 es La mitad de 61 es La mitad de 79 es La mitad de 85 es La mitad de 95 es La mitad de 107 es La mitad de 123 es La mitad de 141 es La mitad de 163 es La mitad de 187 es La mitad de 131 es La mitad de 157 es La mitad de 173 es La mitad de 199 es La mitad de 243 es La mitad de 867 es La mitad de 943 es La mitad de 309 es La mitad de 515 es La mitad de 705 es La mitad de 747 es

65 Calculando la mitad. Actividad 19. Cuando el número se encuentra cerca de un número exacto de decenas o centenas, resulta más fácil hallar la mitad mediante el complementario. Calcula de dos formas. Observa el ejemplo: = = = = = =

66 Calculando la mitad. Actividad 20. Calcula restando el complementario = = = = = = = =

67 Calculando la mitad. Actividad 21. Calcula la mitad expresando otro lenguaje matemático. Observa el ejemplo: 24 : 2 = (20 + 4) : 2 = 20 : : 2 = = : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : : 2 = + = 52 : 2 = (50 + 2) : 2 = : + : = + = 76 : 2 = ( + ) : 2 = 120 : 2 = 630 : 2 = 970 : 2 = Calcula la mitad expresando otro lenguaje matemático. Observa el ejemplo: 25 : 2 = (20 + 5) : 2 = 20 : : 2 = = : 2 = 127 : 2 = 901 : 2 = Calcula la mitad expresando otro lenguaje matemático. Observa el ejemplo: 58 : 2 = (60 2) : 2 = 60 : 2 2 : 2 = 30 1 = : 2 = 390 : 2 = 794 : 2 = 595 : 2 =