PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

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1 5 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES 5.1 GENERALIDADES Aemas e la resistencia e la maera, caracterizaa por los esfuerzos unitarios amisibles, el comportamiento e un miembro estructural tambien epene e las imensiones y la forma e su seccion transversal. Estos os factores se consieran entro e las propieaes e la seccion; son inepenientes el material el cual esta hecho el miembro. En este capitulo se estuia la efinicion y naturaleza e algunas e estas propieaes como funamen to para su aplicacion posterior en el isefio e miembros estructurales. 5.2 CENTROIDES El eentro e gravea e un solio es un punto imaginario en el cual se consiera que too su peso esta concentrao 0 el punto a traves el cual pas a la resultante e su peso. El punto en un area plana que correspone al centro e gravea e una placa muy elgaa que tiene las mismas area y forma se conoce como el eenll'oie el area. 35

2 36 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES b /2 ( a ) ( b) Figura 5.1 Cuano una viga se flexiona ebio a una carga aplicaa, las fibras por encima e un cierto plano en la viga trabajan en compresion y aquellas por abajo e este plano, a tension. Este plano se conoce como la superficie neutra. La interseccion e la superficie neutra y la seccion transversal e la viga se conoce como el eje neutro. EI eje neutro pasa por el centroie e la seccion; por ella es importante que se conozca la posicion el centroie. La posicion el centroie en secciones simetricas se etermina facilmente. Si la seccion posee un eje e simetrfa, obviamente el centroie estara sobre ese eje; si hay os ejes e simetrfa, el centroie se ubicara en su punto e interseccion; por ejemplo, la seccion transversal e la viga rectangular que se muestra en la figura S.la tiene su centroie en su centro geometrico, el punto e interseccion e las iagonales. EI centro ie e una seccion transversal circular se encuentra en su centro (figura 5.1b). Con respecto a la notacion imensional, en generalla letra b representa el ancho e la cara el miembro sobre el que se aplica la carga. La letra representa el peralte 0 la altura e la cara e la viga paralela a la ireccion e la Jfnea e accion e la carga. Algunas veces, el peraite se representa con la letra h, pero se sigue la practica mas general el iseno estructural en la que enota el peralte e la seccion transversal e una viga. 5.3 MOMENTO DE INERCIA En la figura S.2n se ilustra una seccion rectangular e ancho h y peralte con el eje horizontal X-X que pasa por su centroie a una istancia c = /2 a partir e la cara superior. En la seccion, a representa un area infinitamente pequena a una istanciaz el ejexx. Si se multiplica esta area infinitesimal por el cuarao e su istancia al eje, se obtiene la cantia (a x ZZ). EI area completa e la seccion esta constituia por un numero infinito e estas pequenas areas elementales a iferentes istancias por arriba y por abajo el ejex-x. Si se usa la letra griega L para inicar la suma e un numero infinito, se escribe Laz z, 10

3 MOMENTO DE INERCIA 37 b X x x x (a) ( b) (c) Figura 5.2 que significa la sum a e toas las areas infinitamente pequenas (e las que esta compuesta la seccion), multiplicaas por el cuarao e sus istancias el ejex-x. Esta cantia se conoce como momenta e inercia e la seccion y se enota por la letra l. Mas especfficamente, I x.x = Laz2 es el momenta e inercia con respecto al eje marcao como X-x. Entonces, el momenta e inercia se efine como la suma e los prouctos que se obtienen al multiplicar toas las areas infinitamente pequeiias par el cuarao e sus istancias a un eje. Las imensiones lineales e las secciones transversales e los miembros estructurales se an en pulgaas y, ebio a que el momento e inercia es un area multiplicaa por e l cuarao e una istancia, se expresa en pulgaas a la cuarta potencia, es ecir, pult. La euccion e formulas para calcular los momentos e inercia e iferentes formas geometricas se logra muy facilmente meiante el calculo. La obtencion e estas formulas esta fuera el alcance e este libro, pero aquf se ilustra la aplicacion e os e ellas. Rectimgulos Consierese el rectangulo mostrao en la figura 5.2b. Su ancho es b y su peralte es. Los os ejes principales sonx-xy Y-Y, y ambos pasan por el centroie e la secci6n. Se puee emostrar que el momenta e inercia e una seccion rectangular con respecto a un eje que pasa por el centroie y es paralelo a la base es Ix_x = b 3/12. Con respecto al eje vertical, la expresion serfa I y_y = b 3 / 12 Sin embargo, en el iseno e vigas y tablones e maera, se acostumbra trabajar solamente con Ix_x y consierar a b como la cara superior (sometia a carga) en la f6rmula. EjempLo. Calcule el momento e inercia e la seccion transversal e una viga e 6 x 12 (imensiones efectivas e 5.5 x 11.5 pulgaas [140 x 290 mm]) con respecto a un eje horizontal que pasa por el centroie y es paralelo allao mas corto. Soluci6n: con respecto a la figura 5.2h, el ancho b = 5.5 pulgaas [140 mml y el peralte = 11.5 pulgaas [290 mml. Entonccs,

4 TABLA 5.1 Propieaes e la maera estructural con imensiones efectivas estanar (S4S).' b -' fl -} _' b 1 Lt,. I - E~ ; ~i Dimensiones estanares Area Momento Moulo Dimensiones efectivas e la e e la Peso nominales (S4S) seccion inercia seccion aproxi b (pulgaas) b (pulgaas) A S mao' 2 x x 2-1/ x 4 1-1/2 x 3-1/ x 5 1-1/2 x 4-1/ x 6 1-1/2 x 4-1/ x 8 1-1/2 x 7-1/ x /2 x 9-1/ x /2 x 11-1/ x /2 x 13-1/ x I 2-1 /2 x 3/ x 2 2-1/2 x x x x 5 2-1/2 x L x x x 8 2-1/2 x 7-1/ x /2 x x /2 x x /2 x 13-1/ x /2 x 15-1/ x I 3-1/2 x 3/ x 2 3-1/2 x L276 4 x 3 3-1/2 x 2-1/ x /2 x x 5 3-1/2 x x 6 3-1/2 x x x 7-1 / x /2 x 9-1 / x x x x x /2 x x 2 4-1/2 x 1-1/ L x x 2-1/ x 4 4-1/2 x x /2 x Peso en libras por pie, basao en una ensia promeio e 35 Ib/pie' (560 kg/m3). Fuente: Compilao e atos el National Design Specification for Woo Construction (Referencia 1), con permiso e los eitores, National Forest Proucts Association.

5 TABLA 5.1 (Confinuacion) Dimensiones nominales b (pulgaas) Dimensio nes estanares efectivas (S4S) b (pulgaas) Area e la secci6n A Mome nto e inercia / M6ulo ela secci6n S Peso aproximao' 6 x I 6 x 2 6 x 3 6 x 4 6 x 6 6 x 8 5-1/2 x 3/4 5-1/ 2 x /2 x 2-1/2 5-1/2 x 3-1 / x 5-1/2 5-1/2 x 7-1 / x /2 x 9-1/ x 12 6 x 14 6 x 16 6 x 18 6 x 20 6 x 22 6 x /2 x /2 x 13-1 /2 5-1/2 x 15-1/2 5-1/2 x 17-1/2 5-1/2 x 19-1/2 5-1/2 x 2 1-1/2 5-1/2 x 23-1/ x 8 x 2 8 x 3 8 x 4 8 x (, 8 x 8 8 x 10 8 x 12 8 x 14 8 x 16 8 x 18 8 x 20 8 x 22 8 x /4 x 3/4 7-1/4 x 1-1/2 7-1/4 x 2-1/2 7-1/4 x 3-1/2 7-1/2 x 5-1/2 7-1/2 x 7-1/2 7-1/2 x 9-1/ x 11-1 /2 7-1/2 x 13-1/2 7-1/2 x 15-1/ x 17-1/ x 19-1/ x 2 1-1/2 7-1/2 x R IR ! I x I 10 x 2 10 x :1 10 x 4 10 x 6 10 x 8 9-1/4 x 3/4 9-1/4 x 1-1 /2 9-1/4 x 2-1 /2 9-1/4 x /2 x 5-1 /2 9-1/2 x 7-1 / x x 9-1/ x /2 x 11-1/ x x 13-1/ x /2 x 15-1/ x x 17-1/ R R 10 x /2 x 19-1/ x x 2 1-1/ x /2 x 23-1/

6 TABLA 5.1 (Continuacion) Dimensiones estanares Area Momento Moulo Dimensiones efectivas ela e e la Peso nominales (545) seccion inercia seccion aproxib (pulgaas) b (pulgaas) A S mao' 12 x 11-1/4 x 3/ x /4 x x /4 x x /4 x x /2 x x /2 x 7-1/ IOU x /2 x x /2 x 11-1/ x /2 x 13-1/ x x 15-1/ x /2 x 17-1/ x 20 I x 19-1/ x 22 I I - 1/2 x 2 1-1/ x /2 x 23-1/ X6 14 x x 1-1/ x /4 x x /4 x x /2 x x /2 x x /2 x x /2 x 11-1/ x /2 x 13-1 / x /2 x X59 14 x /2 x 17-1/ x /2 x 19-1 / x x 21-1/ x /2 x 23-1 / x /4 x x /4 x x /2 x X x /2 x x x I x /2 x H x /2 x 13-1 / X x /2 x 15-1 / X x /2 x 17-1 / x x 19-1/ x /2 x 21-1 / x /2 x 23-1/

7 TABLA 5.1 (Continuacion) Dimensiones estan ares Area Momento Moulo Dimensiones efectivas ela e e la Peso nominales (S4S) seccion inercia seccion aproxib (pulgaas) b (pulgaas) A I S mao 18 X /2 x X /2 X X \ X 9-1/ X /2 X X /2 X X /2 X 15-1/ X X 17-1 / X /2 X 19-1 / X /2 X X X 23-1/ \ X /2 X \ X /2 X X X 9-1/ X /2 X X /2 X X /2 X 15-1 / X /2 X X /2 X 19-1 / X /2 X X /2 X 23-1 / X /2 X X X X X 9-1 / X X 11-1/ X X 13-1 / X /2 X X /2 X 17-1/ X X X /2 X 21-1 / X /2 x 23-1 / X /2 X X /2 X X /2 X X /2 X X /2 X X /2 X X /2 X 17-1/ X /2 X X /2 X 21-1 / X X 23-1 /

8 42 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES b 3 (55) (ll.s? Ix_x = 12 = 12 = 697 pulg 4 [285 X 10' mm 4 ] En la tabla 5.1 se muestra el momento e inercia e varias imensiones estanares efectivas para maera estructural y, e este moo, no es necesario resolver esta formula. En relacion con la tabla, se ebe empezar por la lfnea con la imension nominal 6 x 12 y leer en la cuarta columna. Aunque los val ores que se an en la tabla tienen solo tres cifras ecimales, por 10 general con los primeros tres fgitos se tiene toa la precision necesaria para la mayorfa e los calculos estructurales. Si esta viga e 6 x 12 se usa con ellao e 12 pulgaas en sentio horizontal,!x_x se ca1cula meiante b = 11.5 Y = 5.5, y se obtiene el valor ao en la tabla para el tamano nominal e 12 x 6. EI iagrama e referencia en la parte superior e la tabla inica el uso constante e las imensiones esignaas comoby. Secciones circulares EI momento e inercia e una seccion transversal circular, como la e un poste 0 el e un pilote e cimentacion, es el mismo con respecto a cualquier eje que pase por su centroie. La formula para esta conicion es Ix-x = n 4 j64. Debio a que el ejex-x en la figura 5.2c puee ser cualquier eje que pase por su centroie, se acostumbra usar el sfmbolo I IJ. Entonces, si el iametro real el miemhro es 10 pulgaas r250 mm 1, n (lot I = 64 = 64 = 491 pulg 4 [192 x 10" mm 4 ] 5.4 TRANSFERENCIA DE MOMENTOS DE INERCIA A EJES PARALELOS En el iseno e vigas compuestas se necesita eterminar el momento e inercia e la seccion transversal total. En la figura 5.3a se muestra un tipo e seccion transversal para elementos compuestos e esta c1ase. Para lograr esto, se eben transferir los momentos e inercia e un eje a otro, meiante la ecuaci6n e transferencia e ejes, algunas veces llamaaf6rmula e transferencia 0 f6rmula e ejes paralelos. Se Ie efine as1: el momenta e inercia e una seccion con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pas a por su propio centroie es igual al momenta e inercia e la seccion con respecto a su propio eje e gravea (centroial), mas su area multiplicaa por el cuarao e la istancia perpenicular entre los os ejes. Su expresion matematica es: I = I + AZ2

9 TRANSFERENCIA DE MOMENTOS DE INERCIA A EJES PARALELOS 43 En esta formula I = momento e inercia e la seccion con respecto al eje ao, 10 = momento e inercia e la seccion con respecto a su propio eje e gravea (centroial) paralelo al eje ao, A = area e la seccion, z = istancia entre los os ejes paralelos. Ejemp[o. Una viga compuesta el tipo que se muestra en la figura 5.3a tiene un peralte total e 32 pulgaas (812 mm) y patines que constan e os elementos e maera e 8 x 6 (190 x 140 mm). Con la formula e transferencia, calcule el momento e inercia e los elementos e maera el patin con respecto al eje centroial X-x. Soluci6n: 1) La figura 5.3b se construye a partir e los atos aos. Por simetria, el cje centroial se eneuentra en la mita el peralte, a 16 pulgaas (406 mm), ese la cara superior. 2) EI eje e gravea e caa pieza e 8 x 6 se ubica en su centro, con z = = pulgaas (336 mm). 3) De la tabla 5.1,10 para una picza e 8 x 6 cs 104 pulg 4 (43.45 X 10 6 mm 4 ) y su area esa = pulg 2 (26.6 x 10 3 mm 2 ) 4) AI sustituir en la formula e transferencia, el momento e inercia e una e las piczas e 8 x 6 es Ix = I + AZ2 = (41.25 x ) = 7346 pulg 4 (3 x 10'1 mm4) 5) EI momento e inercia el patin inferior tam bien es pulg4, por 10 que el Ix total para ambas piezas es igual a 2 x 7346 = pulg 4 Patir, superior Alma e maera ~--=~ contrachapaa ( a ) Patin inferior 13.25" X - I I I I i 155", I-+- 16" 11- I I :kj1: l~ J ~ ( b) X 32" Figura 5.3

10 44 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES 5.5 M6DULO DE LA SECCI6N Una e las propieaes e las secciones que utiliza el ingeniero estructurista se conoce como m6ulo e La secci6n. Su uso en el iseno e vigas se explica posteriormente (capftulos 6 a 9); en este momento, solo es necesario saber que si I es el momenta e inercia e una seccion con respecto a un eje que pas a por el centroie y c es La istancia ese La orilla mas alejaa e La secci6n hasta el mismo eje, el moulo e la seccion es igual a lie. La letra Sse usa para enotar el moulo e la seccion. Debio a que I est a en pulgaas a la cuarta potencia (pulgt) y c es una imension lineal en pulgaas, el moulo e la seccion S = lie esta en pulgaas a la tercera potencia (pulg 3 ). Para la seccion transversal e la viga rectangular que se muestra en la figura 5.2a, b es el ancho e la seccion y el peralte. La istancia ese la orilla mas alejaa hasta el eje x-x es c = /2. Se sabe que I x.x para la seccion es b 3 /12. Por 10 tanto, el moulo e la seccion es I b 3 b 3 2 b 2 S=-=-.;-- = -x- obien S=c Rara vez es necesario resolver esta formula porque se ispone e extensas tabias que proporcionan el moulo e la seccion para iversas formas estructurales (vease la tabla 5.1.) Ejemplo. Calcule el moulo e la seccion e una viga e 8 x 10 con respecto a un eje que pasa por el centroie y es paralelo allao mas corto. Solucion: al consul tar la tabla 5.1, se encuentra que las imensiones efectivas e este miembro son 7.5 por 9.5 pulgaas. El moulo e la seccion se encuentra en la cuarta columna como pulg 3. Al verificar este valor, b x 9.5 x S = - = = pulg RADIO DE GIRO Esta propiea e la seccion transversal e un miembro estructural esta relacionaa con el iseno e miembros sujetos a compresion. Depene e las imensiones y e la forma geometrica e la seccion y es un fnice e la rigiez e la seccion cuano se usa como columna 0 coal. El raio e giro se efine matematicamente como r =.J 1 / A, one I es el momenta e inercia yael area e la seccion. Se expresa en pulgaas porque el momento e inercia esta en pulgaas a la cuarta potencia y el area e la seccion transversal esta en pulgaas cuaraas. El raio e giro no se usa tan ampliamente en el iseno e maera estructural como en el iseno e acero estructural. Para las secciones

11 PROPIEDADES DE LAS FORMAS GEOMETRICAS COMUNES 45 rectangulares quc se emplean comunmente en las columnas e maera, es mas conveniente substituir el raio e giro por la imension lateral minima en los proceimientos e isefio e columnas. (Nola: use imensiones efeetivas esui nar en la solucion e los problemas siguientes, a menos que se especifique otra eosa.) Problema 5.6.A Verifique el caleulo el valor listao en la tabla 5.1 para obtener e l momenta e inercia e un tablon e 12 x 4 con respecto a un eie horizontal que pasa por el centroie, paralelo allao mas largo. Problema 5.6.B Si se hace girar al tablon el problema 5.6A alreeor e su eje longituinal (para que quee como uno e 4 x 12), i.cual es el momenta e inercia con respecto al eje centroial paralelo allao mas corto? Problema 5.6.C Caleule el momento e inercia e un poste con un i ametro real e 8 pulgaas, con respecto al eje centroial e su seccion transversal circular. i.es esto mayor 0 menor que ell x.x e un pie erecho e 8 x 8 nominal? Problema Si los elementos e maera el patin en una viga compuesta e maera y maera contrachapaa (figura 5.3b), constan e piezas e 6 x 4 con los laos e 6 pulgaas horizontales y si la viga tiene un peralte total e 24 pulgaas, etermine el momenta e inercia e los elementos el patin con respecto al eje centroial X-X e la seccion compuesta. Problema 5.6.E Verifique par meio el calcul o el valor li stao en la tabla 5. 1 para obtener el moulo e la seccion e un miembro e 10 x 8 con respecto a un eie que pasa por el centroie, paralelo al lao mas largo. Problema 5.6.F Obtenga el raio e giro el poste eseri to en el problema S.6.C. 5.7 PROPIEDADES DE LAS FORMAS GEOMETRICAS COMUNES Las figuras que constan e secciones transversales e maera estanar 0 prouctos manufacturaos, estan ientificaas y sus propieaes estan tabulaas

12 46 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES en iversos textos e consulta sobre isefio. Cuano se proucen figuras especiales cortano prouctos estanar 0 al ensamblar secciones con piezas iniviuales, se eben eterminar sus propieaes por meio el caiculo, como se explica en este capitulo. Para este fin, es necesario usar frecuentemente las propieaes e figuras geometricas simples, como el cfrculo, rectangulo y triangulo. En la figura 5.4 se an las propieaes e algunas figuras geometricas comunes. 'fa} l b l,, A = b b 1=- 3, 12 b 2 S =-, 6 r, =112 J01 l b,, l c = b A = b b ' 1 =-- 3 b S = -- 2 ' 3 r, = J3 c = /2 JB1 c = - 2,. 2 A=- 4 ". 4 1,= 64.". 3 S =- ' 32 r.: '4 r~l' l b l, '1 2 c =- 3 A = I, = b - 2 b' 36 b 2 s, = 24 r, =.JIi3 TIP l b., '1 c = ~ 2 l A = b - b,, b'- b,,' I, = 12 b 3 - b,,' S, = 6 c =- 2 A = area I = momento e inercia S = moulo e Ia secci6n = i- w( 2 _,2) A =..::...:.=---=..l.'-"' 4 1T (4 _,4) I, = 64,,(4 -,4) S, =...::...c:..:-.--=.:...: 32 ~ r. = 4 r = raio e giro = If Figura 5.4 Propieaes e figuras geometricas comunes.