Graficas en 2 dimensiones

Transcripción

1 Graficas en dimensiones Control de los ejes Por defecto MATLAB ajusta la escala de cada uno de los ejes de modo que varíe entre el mínimo y el máimo valor de los vectores a representar. MATLAB tiene la función ais para controlar la escala y apariencia de los ejes. Así ais auto ): regresa todos los valores al defecto ais[ min ma ymin yma ]): establece la escala para los ejes e y para la figura activada v ais: devuelve en el vector v los valores min ma ymin yma de los ejes e y aisais): mantiene los ejes con sus valores actuales en el caso de añadir nuevas gráficas a la figura activa usando hold on ais equal ): escalado es igual en ambos ejes ais square ): la ventana de la figura será cuadrada ais normal ): elimina las restricciones introducidas por equal y square ais off ) y ais on ): elimina y restituye los ejes

2 Graficas en dimensiones Ejemplo: polinomios de Legendre P n ) n con ) P P ) n ) P >> - :.0 : ; >> p ; >> p /)*.^ - /; >> p 5/)*.^ - /)*; P ) np n n n 0 y ) >> p4 5/8)*.^4-5/4)*.^ /8; >> plotp'r:' p'g--' p'b-.' p4'm-') >> legend'\it n''n''n''n4'4); >> label'' 'FontSize' 'FontAngle''italic') >> ylabel'p_n' 'FontSize' 'FontAngle''italic') >> title'polinomios de Legendre' 'FontSize'4); graf_legendre.m - derecha del gráfico 0 escogencia automática esquina superior derecha defecto) esquina superior izquierda esquina inferior izquierda 4 esquina inferior derecha >> tet-.6.7'n)p_{n}) n) P_n) - n P_{n-})'... 'FontSize''FontAngle''italic') Legendre.m

3 Graficas en dimensiones Función ezplot ezplot f ) grafica la función y f) sobre el domino -π π ezplot f [ a b ] ) grafica la función y f) sobre el domino a b Si la función está dada en forma inplícita es decir f fy) 0 ezplot f ) grafica la función f sobre el domino -π π -π y π ezplot f [min ma ymin yma] ) grafica la función f para min ma ymin y yma ezplot f [ a b ] ) grafica la función f sobre el domino a b a y b Si la función está dada en forma paramétrica es decir t) y yt) ezplot y ) grafica la función para 0 t π ezplot y [tmin tma] ) grafica la función para tmin t tma Función inline : construye una función a partir de una cadena de caracteres Por ejemplo f inline'cos)*sin) ') o cos)*sin) y puede ser usado con ezplot

4 Graficas en dimensiones Función ezplot Ejemplos: >> f inline'/y-logy)log-y) - ') o f '/y-logy)log-y) - ' >> ezplot f [-4 4]) grafica en [-4 4] [-4 4] la función implícita log y) log y) 0 y >> inline'sin*t)*cost) '); >> y inline'sin*t)*sint) '); >> ezplot y [0pi]) grafica para 0 t πla función paramétrica t) sint )cos t) y t) sint )sin t)

5 Graficas en dimensiones Función ginput Permite la entrada de puntos usando el ratón >> [v yv] ginputn) Captura n puntos del gráfico y devuelve las coordenadas e y de los puntos en los vectores v e yv; v e yv son de longitud n. Para introducir la información se usa los botones del ratón o una tecla del teclado. Para capturar un número ilimitado de puntos hasta que se presione la tecla return se tiene la instrucción: >> [v yv] ginput

6 Graficas en dimensiones Otras funciones disponibles en MATLAB para gráficos especiales polartheta rho s) bar y s) o barh y s) histy) o histy m) pie y etiquetas) scatter y s c filled ) Grafica los vectores theta y rho en coordenadas polares usando el tipo de línea especificado en s Grafica las columnas de la matriz y de dimensión m n como m grupos de n barras verticales cada uno. El vector opcional) debe ser monótono creciente o decreciente; si no se especifica se usa como defecto es : m. El parámetro s puede ser grouped o staced. La función barh dibuja barras horizontales. Agrupa los elementos de y en 0 subgrupos igualmente espaciados retorna en n el número de elementos en cada subgrupo y el histograma. Si m está dado corresponde al número de subgrupos deseados. Grafica las entradas del vector usando un diagrama de torta. Los valores de se normalizan via /suma) para determinar el área de cada pedazo de la torta. El vector y opcional) indica que pedazo de la torta se separa de esta entrada diferente de cero). El arreglo de cadena de caracteres etiquetas asigna nombre a cada pedazo de la torta. Grafica círculos en las localizaciones especificadas por los vectores e y vectores de igual longitud). El área de cada círculo está determinada por los valores de las entradas del vector s y el color por el vector c. Los vectores s y c son opcionales. filled indica que cada círculo se rellena opcional).

7 Graficas en dimensiones Otras funciones disponibles en MATLAB para gráficos especiales cont.) >> theta 0: 0.: pi; >> r sintheta) - costheta); >> polartheta r) >> barrand05)'staced') >> barrand05) grouped')

8 Graficas en dimensiones Otras funciones disponibles en MATLAB para gráficos especiales cont.) >> 0: 0.: pi; >> y sin) - cos); >> n histy) 4 >> pie[ 4 5] {'Norte''Sur''Este''Oeste'}) >> pie[ 4 5] [ ] {'Norte''Sur''Este''Oeste'})

9 Graficas en dimensiones Otras funciones disponibles en MATLAB para gráficos especiales cont.) >> rand0); y rand0); >> c [ ]; s c*50; >> scatter y s c 'filled') [ ] y [ ]

10 Graficas en dimensiones Función ezpolar Grafica funciones en coordenadas polares. ezpolarf) grafica f en el intervalo [0 π]. ezpolarf[ab]) grafica f en el intervalo [a b]. >> ezpolar'cos*t)') >> ezpolar'sin*t)*cos*t)' [0pi]) progreso_polar.m

11 Graficas en dimensiones Función plotyy plotyyyyfunfun) grafica los puntos y) contra el eje y de la izquierda y y) contra el eje y de la derecha usando las opciones especificadas por fun y fun. Las opciones >> y 0.0 : 0.0 : 5; >> logy); >> plotyy >> [a h h]... plotyy >> h [h h]; >> legendh '\it cartesiano' 'semilog en y' ); h y h son las referencias a las curvas las cuales son usadas en legend

12 Graficas en dimensiones Función subplot Una ventana gráfica se puede dividir en m particiones horizontales y n verticales con el objeto de representar múltiples gráficas en ella. Así subplotmni): divide la ventana gráfica en m filas y n columnas siendo i la subdivisión activa para i mn. >> subplot ) fplot'epsqrt)*sin*))' [0 *pi]) >> subplot ) fplot'sinround))' [0 0] '--') >> subplot ) fplot'cos0*)/'[ ]'-.') >> subplot 4) fplot'[sin)cos*)/)]' [0 5*pi -.5.5])

13 Graficas en dimensiones Función subplot cont.) >> linspace0500); >> subplot) plotsin)) >> subplot) plotround)) >> subplot:4) plotsinround)))

14 Graficas en dimensiones Función gtet También puedo insertarle teto al grafico indicando con el " mouse" el lugar donde deseo colocar el teto. Con la ayuda del botón izquierdo del mouse podemos insertar un teto >> ezplot sin) ); >> gtet{ teto linea teto linea teto linea });

15 Graficas en dimensiones Función fill La función fill trabaja de manera similar que plot. Así filly [r g b]) dibuja un polígono cuyos vértices son los puntos i) yi) y rellena la región interna del color indicado. Los elementos r g b que deben estar en [0] determina los niveles de rojo verde y azul respectivamente cuando se rellena el polígono. Los puntos se toman en orden y el último se une al primer vértice. Así filly[00]) rellena el polígono con verde puro y filly[0]) lo rellena con igual cantidad de rojo y azul. El color negro se consigue con [000] y el blanco con []. >> [ ]; >> y [ ]; >> plot y * ); >> ais[00]); >> hold on >> fill y [ ]);

16 Métodos numéricos en MATLAB Polinomios Los polinomios en MATLAB se representan con vectores filas así ] [ ) p p Evaluación de polinomios: esta se lleva a cabo siguiendo el método de Horner la cual corresponde a la representación anidada siguiente 0 ) ) ) ) n n n n n n a a a a a a a a a a p L L La función correspondiente a este método se denomina polyval. Así y polyvalp) corresponde a evaluar el polinomio p en. La variable puede ser un arreglo vector o matriz) y en este caso evaluar el polinomio en corresponde a evaluarlo en cada una de sus entradas. >> y polyval[ - - ] [ 0 ]) y [ - - ]

17 Métodos numéricos en MATLAB Polinomios Las raíces o ceros) del polinomio p se calculan con la función roots ; por supuesto algunas de las raíces pueden ser complejas a pesar de que los coeficientes de p sean reales. >> p [ - - ]; r rootsp) r También se tiene la función polyr) que construye el polinomio p cuyas raíces son los elementos del vector r. Aquí siempre se lleva a cabo la normalización de los coeficientes tal que a. >> r [ ]; p polyr) p - - La función poly puede ser aplicada a una matriz cuadrada A en cuyo caso retorna el polinomio característico p asociado a la matriz A es decir el polinomio p) deti A). >> A [ 0 ; ]; p polya) p

18 Métodos numéricos en MATLAB Polinomios Evaluar un polinomio p en un argumento matricial A donde A es una matriz cuadrada se puede llevar a cabo con la función polyvalm dando como resultado una matriz de igual dimensión que A. >> A [ 0 ; ]; p [ - - ]; B polyvalmp A) retornando la matriz B de dimensión B A p ) det I A) p A) A A 0 0 Este resultado confirma el teorema de Cayley-Hamilton: 0 0 toda matriz satisface su propio polinomio característico porque p es el polinomio característico de A.

19 Métodos numéricos en MATLAB Multiplicación de polinomios Dados polinomios p y q su producto m se calcula usando la función m convpq). >> p [ - ]; q [ ]; m convpq) retorna el polinomio m de coeficientes m ) ) ) 5 División de polinomios Cuando un polinomio g se divide por un polinomio h eisten polinomios q y r tal que g) h) q) r) donde el grado de r es menor que el grado de h. La función disponible en MATLAB para esta operación es deconv. >> g [ -6-8 ]; h [ - ]; [qr] deconvgh) retorna los polinomios q -4 4 y r ) 4 4) 0

20 Métodos numéricos en MATLAB Descomposición en fracciones parciales MATLAB dispone de la función residue para realizar esta descomposición: dados los polinomios a y b esta calcula los polinomios r p y tal que >> b [ -5 ]; a [ -5 6 ]; [r p ] residueba) retorna los vectores r [ ] p [ ] [ ] 6 5 p n n r p r p r a b ) ) ) ) ) ) L es decir retorna la descomposición en fracciones parciales de b/a. >> b [ - ]; a [ -5 6 ]; [r p ] residueba) retorna los vectores r [ ] p [ ] [ ]

21 Métodos numéricos en MATLAB Descomposición en fracciones parciales Ejercicios: / / 6 / 4 / 4 / i i i i )

22 Métodos numéricos en MATLAB Derivación de polinomios La función polyder calcula la derivada de un polinomio dado. La derivada del polinomio p [ ] es el polinomio q >> q polyder[ ]); retorna el polinomio q [ 0 ] Cálculo de la derivada del producto y cociente de polinomios dados: Derivada de a*b es c >> a [ 5 ]; b [ 4 6 ]; c polyderab) c [ ] Derivada de a/b es la fracción racional q/d >> a [ 5 ]; b [ 4 6 ]; [q d] polyderab) ) ) 5 ) p q p )) ) ) 5 ) b a b a c) )) )/ ) 5 ) 4 b a b a c) 6 4 q [ ] y d [ ]

23 Métodos numéricos en MATLAB Ajuste de un polinomio a un conjunto de puntos La función polyfit ajusta un polinomio p) de grado n a un conjunto de puntos i y i ) para i m con m > n es decir p i ) y i en el sentido de mínimos cuadrados. polyfit y n) devuelve los coeficientes del polinomio p >> [-4 0 ]; y [ 7] >> p polyfit y ); retorna el polinomio p [ ] En este caso p-4) p0) p) 7 >> [-4 0 4]; y [ ] >> p polyfit y ); retorna p [ ] En este caso p-4).4664 p0).08 p) p4) 0.009

24 Ejercicios con polinomios. Métodos numéricos en MATLAB 0:0.:; y [ ]; Interpolar polinomios de grado y 0 para los datos. Representar sobre una misma gráfica los puntos y ambos polinomios. Qué se observa?

25 Métodos numéricos en MATLAB Determinación de los ceros de una función de una variable MATLAB dispone de la función fzero para intentar determinar un cero de una función fun de una variable cerca de un punto 0 dado. fzerofun 0) >> fzero'cos)-' 0) retorna ans 0.79 Dado que fzero busca puntos donde la función cambia de signo este no funciona para ceros de multiplicidad par. Cuando fzero falla esta retorna un NaN. >> fzero'^ 4* 4' 0) retorna ans NaN Si 0 es un vector de elementos tal que fun0)) y fun0)) tienen signos opuestos fzero trabaja en el intervalo definido por 0. >> fzero'cos)-' [ 0 ]) retorna ans 0.79

26 Métodos numéricos en MATLAB Determinación de los ceros de una función de una variable fzero adicionalmente puede retornar el valor de la función en la raíz calculada: [ fval ] fzerofun 0). Esto permite determinar casos atípicos. >> [ fval] fzero'-tan)') retorna.5708 fval.09e05 >> [ fval] fzero'-tan)' [- ]) retorna 0 fval 0 >> ezplot'-tan)' [-pipi]) π/

27 Métodos numéricos en MATLAB Determinación de los ceros de una función de una variable Ejemplo: Graficación de la familia de curvas cosa) - a) para diferentes valores de a y cálculo de los ceros de cada curva: Definimos la función de parámetros myfunc function f myfuna) f cosa) - a); end >> a0; ezplot@) myfuna)[0]); >> hold on >> fzero@) myfuna)); >> a0.; ezplot@) myfuna)[0]); >> fzero@) myfuna)); >> a0.; ezplot@) myfuna)[0]); fzero@) myfuna)) >> grid on >> legend'\it a0''a0.''a0.');

28 Otras funciones en Matlab Métodos numéricos en MATLAB [fval] fminbndfun) [fval] fminsearch'fun'0) z trapzy) q quadfunab) [ty] odeodefun[t0 tfinal]y0) [ty] ode45odefun[t0 tfinal]y0) Trata de encontrar el mínimo local de la función fun en el intervalo []. El valor mínimo alcanzado retorna en fval. Minimización no lineal multidimensional sin restricciones basado en el método de Nelder-Mead de la función fun con punto inicial 0. Retorna el punto mínimo y su valor mínimo fval. Calcula una aproimación de la integral de y vía el método de trapecios usa espaciamiento uniforme de ). Para calcular la integral para un espaciamiento uniforme diferente de multiplicamos z por el espaciamiento. Trata de aproimar la integral de la función fun entre a y b con un error de 0-6 usando el método recursivo adaptativo de cuadratura de Simpson. Integra numéricamente el sistema de ecuaciones diferenciales y fty) desde t0 hasta tfinal con la condición inicial y0. odefunty) corresponde a la función fty). Está basado en el método de Runge-Kutta de orden y. Integra numéricamente el sistema de ecuaciones diferenciales y fty) desde t0 hasta tfinal con la condición inicial y0. odefunty) corresponde a la función fty). Está basado en el método de Runge-Kutta de orden 4 y 5.

29 Otras funciones en Matlab Métodos numéricos en MATLAB [fval] fsolvef0 ) pcgabtolmait) yi interp yi'metodo') Intenta resolver un sistema de la forma F)0 donde es un vector comenzando en el vector 0. Retorna en el vector solución y en fval los valores de F en. Trata de resolver el sistema Ab para A una matriz n n simétrica y definida positiva b un vector columna de longitud n tol la tolerancia del método y mait el número máimo de iteraciones. pcg usa el método de gradiente conjugado precondicionado. Interpola los puntos dados por y para determinar el valor yi para el valor dado i usando el algoritmo especificado por metodo por ejemplo: linear cubic splines nearest. La opción por defecto es linear.

30 Métodos numéricos en MATLAB Minimizando funciones de una función de una variable Dada una función de variable codificada en un archivo tipo M se puede usar la función de MATLAB fminbnd para encontrar su mínimo en un intervalo dado. Ejemplo: determinar un mínimo de la función humps en el intervalo 0. ) >> fminbnd@humps0.) el cual retorna y humps) es una función con máimos cerca de. y.9. >> ezplot@humps0.) Determinar estos máimos. Usar -*humps)

31 Métodos numéricos en MATLAB Minimizando funciones de una función de una variable Ejemplo: >> [fval] fminbnd'sin)-cos)' -pi pi) retorna fval -.44 >> ezplot'sin)-cos)' [-pipi])

32 Métodos numéricos en MATLAB Minimizando funciones de una función de una variable Ejemplo: Probar con: [fval] Display iter ))

33 Aproimando una integral Función quad Métodos numéricos en MATLAB Trata de aproimar la integral de la función fun entre a y b con un error de 0-6 usando el método recursivo adaptativo de cuadratura de Simpson. Sintais: q quadfunabtol) fun: función a integrar [ab] intervalo de integración tol: tolerancia para el error. Ejemplo: >> q quad'./.^-*-5)' 0 ); q >> ezplot'./.^-*-5)' [0 ]) Obs. Se puede definir la función como o f inline'./.^-*-5)') >> ezplot f [0 ])

34 Aproimando una integral Métodos numéricos en MATLAB Ejemplo: Aproimar las integrales siguientes: 0 4 d π 0 sin d f inline'./sqrt.^4)') q quadf0) f inline'sin)./') q quadf0pi) comparar con q quadfrealminpi)

35 Métodos numéricos en MATLAB Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Encontrar la solución de d dt y t) en conjunto con la condición inicial f t y t)) a t b y t y 0 ) 0

36 Métodos numéricos en MATLAB Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias d Ejemplo: y t) sin t) y0) 0 t π / dt >> [t y] ode'odefun' [0 pi/] ) t y >> plotty); grid on

37 Métodos numéricos en MATLAB Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo: Dado el siguiente diagrama de reacciones: H NO OH NO OH OH H O O O OH O H

38 Métodos numéricos en MATLAB Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo: Dado el siguiente diagrama de reacciones: H NO OH OH H O OH O OH NO O O H se tiene el sistema de ecuaciones ordinarias asociado siguiente: [ H ] d dt d dt d dt d dt d dt d dt d dt [ NO ] [ OH ] [ NO] [ HO ] [ O] [ O ] [ H ][ NO ] [ O][ OH ] [ H ][ NO ] [ H ][ NO ] [ OH ][ OH ] [ O][ OH ] [ H ][ NO ] [ OH ][ OH ] [ OH ][ OH ] [ O][ OH ] [ O][ OH ]

39 Métodos numéricos en MATLAB Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo cont.): denotamos las concentraciones de cada especie como [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] O O O H NO OH NO H el sistema se reescribe como dt d dt d dt d dt d dt d dt d dt d Se plantea el sistema )) ) t y t F t dt d ) ) t ) )) t t F el cual se complementa con las condiciones iniciales 00000) ) 0 0 [ ] 00.0 t

40 Métodos numéricos en MATLAB Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo cont.): Función que evalúa F término de la derecha en la EDO) El sistema es rígido stiff ). Se usará la función odes de MATLAB >> [ty] odes@cinetica [0:0.000:0.0] [4.5e-05.6e ]);

41 Métodos numéricos en MATLAB Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo cont.): se procede a graficar los valores de las concentraciones en el tiempo >> plotty:)'r' ty:)'g' ty:)'b' ty:4)'y'... ty:5)'c' ty:6)'m' ty:7)''); Se agregan los títulos >> title'cinetica Quimica EDOs)'); >> label'tiempo'); >> ylabel'concentracion'); >> legend'[h]' '[NO]' '[OH]' '[NO]' '[HO]' '[O]' '[O]'); cinetica_driver.m

42 Graficas en dimensiones Función ezmesh ezmeshf): dibuja la función fy) en el dominio predeterminado -*pi *pi -*pi y *pi. >> ezmesh'*ep-^ - y^)' [-]); o >> ezmesh@y) *ep-^ - y^) [-]); También se pueden dibujar funciones paramétricas es decir st) y yst) z zst) con smin s sma tmin t smat >> ezmesh's*cost)''s*sint)''t');

43 Graficas en dimensiones Función plot Esta función es el análogo en dimensiones a plot es decir dibujar secuencia de puntos en el espacio. Así plotyz) dibuja los puntos i) yi) zi) en el espacio en el orden especificado por los vectores y z uniéndolos por segmentos. t ) sin0t ) y t) t ) cos0t ) z t t t) ) >> t -5 : : 5; >> t.^).*sin0*t); >> y t.^).*cos0*t); >> z t; >> plot y z); >> grid on >> label t) ); ylabel yt) ); zlabel zt) ); >> title \it {ejemplo de plot} fontsize 4); Obs: noten las operaciones matriciales.^.*).

44 Graficas en dimensiones Función ezplot Esta función es el análogo en dimensiones a ezplot es decir dibuja la curva descrita en forma paramétrica por las funciones t) yt) zt) sobre el domino 0 < t < *pi. t ) sin0t ) y t) t ) cos0t ) z t t t) ) t.^).*sin0*t); >> t.^).*cos0*t); >> t; >> ezplotyz [-55]); >> ezplotyz [-55] animate ); produce una animación del recorrido de la curva