3.6. Matrices por bloques

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Milagros Campos Maestre
hace 6 años
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1 36 Matrices por bloques En la introducción de matrices como tablas de números que representaban sistemas de ecuaciones y en el método de las operaciones elementales para su resolución predominaba la idea de matriz como conjunto de filas, una para cada ecuación Por otra parte, la definición del producto de matrices y de la matriz traspuesta se ha basado en considerar una matriz como un conjunto ordenado de columnas y no simplemente como un rectángulo de números En otras palabras, hemos estado considerando una matriz como una fila de matrices columna Esto se podría llamar una descomposición de una matriz en bloques-columna En esta sección amos a er que la descomposición de las matrices en otros tipos de bloques puede ser enormemente útil En general, podemos partir tanto las filas como las columnas de una matriz m n,, para obtener una descomposición de en submatrices I J, donde I = 1, 2,, p y J = 1, 2,, q: = q q p1 p2 pq n 1 n 2 n q donde la submatriz I J tiene m I filas y n J columnas, es decir tamaño m I n J Esta descomposición se llama descomposición por bloques de la matriz Los números m 1, m 2,, m p y n 1, n 2,, n q que indican los tamaños de los bloques erifican, eidentemente, que m 1 m 2 m p m 1 + m m p = m y n 1 + n 2 + n q = n La submatriz I J es el bloque I J de esta descomposición por bloques de Operaciones con matrices por bloques Lo interesante de operar con matrices por bloques es que podemos actuar como si cada bloque fuese un número Entonces las operaciones con matrices por bloques se reducen a las operaciones con matrices que ya conocemos, excepto que hay que asegurarse de que cuando ayamos a sumar o multiplicar dos bloques sus tamaños sean compatibles para la operación que queremos realizar Multiplicación por escalares El caso de multiplicación de una matriz por bloques por un escalar no ofrece dificultad ya que todo bloque, independientemente de su tamaño, se puede multiplicar por cualquier número 1 Versión de 16 de junio de 2017, 17:42 h

2 Suma de matrices por bloques Para poder sumar dos matrices por bloques, es necesario no sólo que sean matrices del mismo tamaño sino también que estén diididas en bloques de la misma forma de tal manera que bloques correspondientes sean del mismo tamaño y se puedan sumar Producto de matrices por bloques Para hallar el producto B de dos matrices por bloques se puede usar la regla usual de fila por columna siempre que el número de bloques en cada fila de bloques de sea igual al número de bloques en cada columna de bloques de B y además que los bloques en esa fila de bloques de sean compatibles para multiplicación por los bloques de la columna de bloques de B Una de las consecuencias de la multiplicación de matrices por bloques es la siguiente alternatia a la regla fila por columna para la multiplicación de matrices: Regla columna por fila: Sean a 1,, a n las columnas de y sean b 1,, b n las filas de B Entonces el producto matricial a 1 b 1 es una matriz con tantas filas como y tantas columnas como B Lo mismo ocurre con los demás productos a i b i y el producto de matrices B es igual a la suma: B = a 1 b a n b n Ejemplo Sea 1 2 = 3 4 una matriz cuadrada de orden 2n descompuesta en cuatro bloques n n, 1, 2, 3, 4 Se trata de encontrar una matriz P1 P 2 P = P 3 P 4 con P 1, P 2, P 3, P 4 bloques n n, erificando que el producto P intercambie la primera y la segunda fila de bloques de la matriz, es decir, tal que 3 4 P = 1 2 Dado que el intercambio de filas es una operación elemental, basta realizar esta operación sobre la matriz identidad por bloques: I 0 0 I, P = 0 I I 0 Efectuando el producto P por bloques obtenemos P P 2 3 = I 3 = 3 P P 2 4 = I 4 = 4 P P 4 3 = I = 1 y se erifica lo pedido P P 4 4 = I = 2 1 Ejercicio de tarea En las condiciones del ejemplo anterior hállense: (a Una matriz P tal que P sea igual al resultado de multiplicar la primera fila de bloques de por la izquierda por una matriz inersible X de orden n (b Una matriz P tal que P sea igual al resultado de sumar a la segunda fila de bloques de la primera fila de bloques multiplicada por la izquierda por una matriz cuadrada X de orden n 2

3 Inersa de una matriz por bloques En general no es sencillo calcular la inersa de una matriz por bloques realizando solamente operaciones por bloques, pero hay un caso especial en el que sí es posible: Es el caso de una matriz partida en 2 2 bloques, que sea triangular por bloques y tal que los bloques en la diagonal sean cuadrados Sean y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño y sea B una matriz con el mismo número de filas que y el mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques ( B, que resulta ser una matriz cuadrada Entonces 1 B = ( 1 1 BC 1 1 (1 Es sencillo demostrar la fórmula (1 por medio de la multiplicación directa, es decir, calculando el producto ( 1 1 BC 1 B 1 2 Ejercicio de tarea Usando las propiedades de la traspuesta deduce la siguiente fórmula a partir de (1: 1 ( 0 = 1 0 B C C 1 B 1 C 1 (2 3 Ejercicio de tarea Usa las fórmulas (1 y (2 según conenga para calcular la siguiente matriz inersa: Solución: Suma directa de espacios ectoriales Si V y W son espacios ectoriales con los mismos escalares, se llama suma directa de V y W, y se denota V W, al espacio ectorial cuyos elementos son matrices columna suma directa donde el primer elemento, es un ector de V y el segundo elemento, es un ector de W Los escalares de la suma directa son los mismos que los de los espacios que la forman y las operaciones de suma de ectores y multiplicación por escalares se hacen componente a componente igual que se operan las matrices numéricas: + ( + = +, c = c c 3

4 nálogamente, se define la suma directa de tres espacios ectoriales que tengan los mismos escalares, U, V, W, y se denota U V W, como el espacio ectorial de las matrices columna u donde u es un ector de U, es un ector de V y es un ector de W De nueo la suma de estas columnas y su multiplicación por escalares se definen componente a componente (igual que para las matrices numéricas haciendo uso de las correspondientes operaciones de sumar y multiplicar por escalares de U, V y W En general, la suma directa de arios espacios ectoriales con los mismos escalares, V 1,, V n, denotada V 1 V n, es el espacio ectorial de las matrices columna cuyo primer elemento es un ector de V 1, el segundo de V 2 y así hasta el último que es de V n De nueo, la suma de estas columnas y su multiplicación por escalares se definen componente a componente haciendo uso de las correspondientes operaciones de sumar y multiplicar por escalares de los distintos espacios ectoriales V i : 1 u u 1 + =, n u n n + u n 1 c 1 c = n c n 4 Ejercicio de tarea ( Con qué matrices conmuta una matriz diagonal? En este ejercicio, las matrices se suponen cuadradas de tamaño n n con n > 1 (a Una matriz diagonal que tenga todos los elementos de la diagonal iguales se llama una matriz escalar Demostrar que toda matriz escalar conmuta con todas las matrices (por las que se puede multiplicar (b Demostrar que una matriz diagonal que tenga todos los elementos de la diagonal distintos conmuta solamente con las matrices diagonales (c Demostrar que una matriz diagonal que tenga solamente dos elementos de la diagonal distintos, si conmuta con una matriz, ésta es semejante a una matriz diagonal por bloques con dos bloques en la diagonal (d Demostrar que una matriz diagonal cualquiera D es semejante a una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal están ordenados en orden no decreciente: D = EDE 1 (e Demostrar que la matriz E del apartado anterior transforma, por semejanza, todas matrices que conmutan con D en matrices diagonales por bloques todas ellas con la misma estructura de bloques (f Demostrar que las matrices que conmutan con una matriz diagonal dada D son aquellas que, tras aplicarles los mismos intercambios de filas y columnas que dejan los elementos de la diagonal de D en orden no decreciente, se transforman en una matriz diagonal por bloques, con tantos bloques en la diagonal como elementos distintos tiene D en la diagonal y siendo el orden de cada bloque igual al número de eces que se repite en D el correspondiente elemento de la diagonal de D (g Demostrar lo anterior usando el concepto de suma directa de espacios y de aplicaciones lineales 4

5 Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para isualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2, Ejercicio 3, Ejercicio 4 5

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