Introducción. Te has preguntado lo siguiente?

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2 PREFACIO Introducción Demuestra tus habilidades para multiplicar y dividir en el siguiente widget. Este libro digital te ayudará a conocer qué son la división y la multiplicación, cuándo las debes de utilizar, así como varios métodos para realizar las operaciones. Además de que es importante poner atención a lo que se pide en un problema para decidir que operaciones utilizar, Actividad en html5 es conveniente tener una estrategia como la siguiente: Actividad en flash Te has preguntado lo siguiente? Cuando nos plantean un problema de aritmética cómo podemos saber si hay que multiplicar o dividir? Si lo que hay que hallar es cuánto habrá en total hay que multiplicar o dividir? Primeramente hay que hacer una estimación para obtener un resultado aproximado, luego se puede pasar a la operación y finalmente al uso de la calculadora para la verificación. Recuerda practicar mucho para hacerte todo un experto.

3 CAPÍTULO 1 Multiplicación PELÍCULA 1.1 Conoce algunos trucos de la multiplicación. Usamos la multiplicación, por ejemplo, cuando tenemos que aumentar una misma cantidad un número determinado de veces. Una situación de este tipo aparece con el problema de contar un grupo formado de conjuntos que tienen la misma cantidad de cosas. Este truco solo sirve para números cercanos y menores a 100. Video Por ejemplo, si al doble de bolsas le corresponde el doble de canicas, debo multiplicar para saber cuántas canicas tengo. Si compré 5 bolsas conteniendo 12 canicas cada una de ellas, sabré el número que compré multiplicando 5 x 12.

4 1.1 La operación de la multiplicación Para conocer más sobre la operación de la multiplicación pulsa en la imagen interactiva de la parte de abajo. IMAGEN INTERACTIVA 1.1 Actividad en html5 Actividad en flash 3

5 1.2 Estimación Procedimiento: Estimación es encontrar un número cercano a una cantidad dada. Ejemplo: 600 es una estimación de 584 cuando se redondea a la centena. Redondeo: Es la determinación de un número por aproximación de manera que sea más fácil usarlo para cálculos con estimaciones. Cuando se redondea un número se ajustan sus dígitos al número más cercano. Puede ser la decena más cercana, la centena más cercana, la unidad de millar más cercana, etc. 1. Nos fijamos en el siguiente dígito a la derecha de aquél al cual se redondea: Si dicho dígito es mayor o igual que 5 entonces el dígito que se redondea aumenta en uno: caso1. Si dicho dígito es menor que 5 entonces el dígito que se redondea mantiene su valor: caso Los demás números a la derecha del cual se redondea se vuelven ceros. 4

6 Ejemplo 1 (corresponde al caso1) Redondear 239 a la decena más cercana. El siguiente dígito a la derecha del de las decenas, aquél al cual se redondea, es el 9. Se compara al 9 con el 5. 9>5 Siendo 9 mayor que 5, entonces el dígito que se redondea, el de las decenas, aumenta en uno. El 3 aumenta a 4. A la derecha de él se halla el 9, el cual se vuelve cero. 239 redondeado a la decena más cercana es 240. Ejemplo 3 (corresponde al caso 2) Redondear 3274 a la decena más cercana. El siguiente dígito a la derecha del de las decenas, aquél al cual se redondea, es el 4. Se compara al 4 con el 5. 4<5 Entonces el dígito que se redondea, el de las decenas, mantiene su valor. El 7 permanece. A la derecha de él se halla el 4, el cual se vuelve cero redondeado a la decena más cercana es Redondeo Ejemplo 2 (corresponde al caso 2) Redondear 239 a la centena más cercana. El siguiente dígito a la derecha del de las centenas, aquél al cual se redondea, es el 3. Se compara al 3 con el 5. 3<5 Entonces el dígito que se redondea, el de las centenas, permanece. El 2 mantiene su valor. A la derecha de él se hallan el 3 y el 9, los cuales se vuelven cero. 239 redondeado a la centena más cercana es 200. Ejemplo 4 (corresponde al caso 1) Redondear 3274 a la centena más cercana. El siguiente dígito a la derecha del de las decenas, aquél al cual se redondea, es el 7. Se compara al 7 con el 5. 7>5 Entonces el dígito que se redondea, el de las centenas, aumenta su valor. El 2 aumenta a 3. A la derecha de él se hallan el 7 y el 4, los cuales se vuelven cero redondeado a la centena más cercana es 3300.

7 Ejemplo 5 (corresponde caso 1) Redondear 2451 a la centena más cercana. El siguiente dígito a la derecha del de las centenas, aquél al cual se redondea, es el 5. Se compara al 5 con el 5. 5=5 Entonces el dígito que se redondea, el de las centenas, aumenta en uno. El 4 aumenta a 5. A la derecha de él se hallan el 5 y el 1, los cuales se vuelven cero redondeado a la centena más cercana es Es posible aproximar un producto usando el redondeo pero las aproximaciones pueden alejarse de manera notable del resultado real. Es importante tener en cuenta que si ambos factores al redondearse se incrementan entonces la aproximación estará sobre el valor del producto exacto. Si ambos factores disminuyen al redondearse entonces la aproximación será inferior al valor del producto exacto. Ejemplo Aproximar el resultado de la siguiente multiplicación usando redondeo a la decena: 39 x redondeado a la decena más cercana es redondeado a la decena más cercana es 20. El resultado de 39 x 18 puede tener aproximación con el producto 40 x 20 = 800. una 39 x

8 Ejemplo de estimación Solución La operación 485 x 9 =? se tiene que aproximar en el siguiente problema para encontrar una estimación. Es decir, podemos saber más o menos el resultado sin realizar la operación descrita lo cual nos ahorra tiempo. Pulsa las flechitas para ir avanzando en la explicación de la solución del problema anterior. IMAGEN INTERACTIVA 1.2 Se vendieron 485 boletos para la Feria del Libro Infantil. El costo de cada boleto fue de 9 pesos. Cuánto dinero pudo reunirse aproximadamente? Actividad en html5 a) Aproximadamente 5000 b) Aproximadamente 1750 c) Aproximadamente 8500 Actividad en flash 7

9 Ejercicio REPASO 1.1. Siguiendo el ejemplo anterior resuelve estos problemas. Pregunta 1 de 2 En un auditorio hay 18 hileras con 32 sillas cada una. Aproximadamente cuántas sillas hay en total? A. Casi 500 B. Casi 600 C. Casi 700 Comprobar respuesta 8

10 1.3 Algoritmo convencional Los algoritmos son métodos de cálculo que se siguen paso por paso. El algoritmo más usado de la multiplicación, el convencional, es un procedimiento basado en la propiedad distributiva y la descomposición de los números de acuerdo al valor posicional de cada una de sus cifras. Es importante tener en mente los múltiplos de 10 para lograr el dominio del algoritmo. Se trabaja de derecha a izquierda, multiplicando los dígitos del multiplicador por el multiplicando obteniendo así productos parciales los cuales se suman para alcanzar el producto final. REPASO 1.2 De las siguientes multiplicaciones sólo una es correcta y el resto son incorrectas. Señala cual está bien resuelta. IMAGEN INTERACTIVA 1.3 Comprobar respuesta Pulsa las flechas para ver un ejemplo del uso del Actividad en flash método. Actividad en html5 9

11 1.4 Métodos alternativos PELÍCULA 1.2 Aplicación del método por columnas Multiplicación por columnas Este método que puede usarse alternativamente se basa en la multiplicación de cada dígito del multiplicando por el multiplicador. Cada producto se escribe como sumando de la suma que nos da el resultado total. IMAGEN INTERACTIVA 1.4 Video Actividad en html5 Observa este video para ver como una alumna aplica este método. Pulsa las flechas para ver el ejemplo. Actividad en flash 10

12 REPASO 1.3 Usando el cálculo por columna encuentra el resultado de la siguiente situación: Una fábrica de caramelos produce cajas especiales para los centros comerciales, las cuales tienen 643 caramelos. Una tienda compró 8 cajas especiales de caramelos, Cuántos caramelos compró en total? Elige la operación y respuesta correctas. Cuando conocemos varios métodos para resolver un problema es más sencillo encontrar la solución. Comprobar respuesta 11

13 Por descomposición La descomposición en la multiplicación se lleva a cabo descomponiendo el multiplicando en unidades, decenas, centenas y otros valores de posicionales. Cada parte de la descomposición se multiplica separadamente y después se suma los productos. Descomposición arbitraria. Para multiplicar 320 x 70 podemos escribir 70 como: 70 = Descomposición formal o convencional. Para multiplicar 247 x 50 podemos escribir 247 como: 320 x 70 = 320 x ( ) = = = x 50 = ( ) x 50 = 200 x x x 50 = = Observa que la descomposición convencional es parte del método de multiplicación por columnas. 12

14 Pulsa las flechas para ver otro ejemplo del método de descomposición REPASO 1.4 para la multiplicación. IMAGEN INTERACTIVA 1.5 Señala cual de las siguientes opciones representa una correcta descomposición de la multiplicación para el cálculo de 325 x 8. Actividad en html5 Pulsa las flechas para ver el ejemplo. Actividad en flash Uso de la calculadora La descomposición en la multiplicación s e e f e c t ú a d e s c o m p o n i e n d o e l multiplicando en valores de posición: unidades, decenas, centenas, etc. o de otra forma que sea útil. La calculadora, en su uso permitido por el profesor, favorece el desarrollo de habilidades. Comprobar respuesta 13

15 Sabías que existen otros métodos como el de líneas, una forma sencilla de multiplicar? Observa el siguiente video. PELÍCULA 1.3. Método de líneas para multiplicar. Video 14

16 Ejemplo de aplicación En este ejercicio se utilizaron los siguientes procedimientos: se hizo una estimación, se halló el resultado con el método de cálculo por columnas y se comprobó con la calculadora. Veamos cómo se resolvió este problema. Estimación P a r a r e d o n d e a r tomamos de los números redondos más cercano el más conveniente. En este caso el número x x 8 = 4000 Cálculo por columnas Sabemos que el resultado es casi Comprobación con calculadora Héctor sale con su papá de fin de semana de México a Tampico y recorren 485 km en auto. Si durante dos meses hicieron 8 viajes iguales cuántos kilómetros su auto recorrió durante esos viajes en esos fines de semana? 15

17 Actividad REPASO 1.6 Ejercicio de repaso REPASO 1.5 Utiliza el algoritmo que desees para encontrar la solución del siguiente problema. Arrastra y posiciona correctamente los nombres de los métodos o algoritmos que corresponden a cada imagen. Don Matías tiene 236 estampillas y las vende a $4 pesos cada una. Cuánto recibirá don Matías por su venta? Estimación Descomposición Convencional Por columnas A. $100 pesos B. $944 pesos C. $948 pesos Descomposición Estimación Por columnas Convencional Comprobar respuesta Comprobar respuesta

18 CAPÍTULO 2 La división La división es la operación inversa a la multiplicación. En la división se tienen dos números inicialmente: el dividendo y en divisor. Se busca el número de veces el divisor quepa dentro el dividendo y a dicha cantidad se le llama el cociente. 20 entre 4 es igual a cinco. Usamos la división, por ejemplo, cuando tenemos que repartir una cantidad entre varias partes iguales. Una situación típica la tenemos con el problema de distribuir dulces entre un grupo de amigos haciéndolo de manera que les toque la misma cantidad a cada uno. Por ejemplo, si tengo 75 dulces, para saber cuántos les tengo que dar a cada uno de mis 15 amigos se llega al resultado dividiendo En este caso, les tendría que dar 5 dulces a cada uno.

19 2.1 La operación de la división IMAGEN INTERACTIVA 2.1 Actividad en html5 División entera Si el divisor no cabe un número entero de veces en el dividendo se tiene una división entera y se tiene además un resto o residuo. Dividendo divisor = cociente + resto Actividad en flash División exacta: Cuando el divisor cabe un número entero de veces en el dividendo se tiene una división exacta. Ejemplo: 24 6 = 4 Ejemplo: 28 9 = 3 sobra 1 Entonces el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto. Entonces el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente: Dividendo = divisor x cociente En el ejemplo anterior: 6 x 4 = 24 Dividendo = divisor x cociente + resto En el ejemplo anterior: 28 = 9 x

20 2.2 División por descomposición Útil para el cálculo mental. Uno de los procedimientos que se usan en cálculo mental para la división es la descomposición: Primeramente se desarrolla la descomposición aditiva del dividendo. Posteriormente, cada uno de los sumandos se divide entre el divisor. Al final, los cocientes resultantes se suman. REPASO 2.1 Identifica el uso correcto del algoritmo o método de descomposición. Ejemplo de cómo hacer la división por descomposición: IMAGEN INTERACTIVA 2.2 Actividad en html5 Pulsa las flechas para ver el ejemplo. Actividad en flash Comprobar respuesta 19

21 2.3 Algoritmo convencional REPASO 2.2 El método más común es el algoritmo convencional. Es una sucesión de operaciones que se repite en este orden: divide, multiplica y resta. Entre las siguientes divisiones hay una sola que es correcta y el resto son incorrectas. Señala cuál de ellas es la correcta. IMAGEN INTERACTIVA 2.3. Ejemplo del uso del algoritmo convencional. Actividad en html5 Comprobar respuesta Actividad en flash 20

22 Ejemplo de estimación Este método alternativo sirve para divisiones que tienen de dividiendo un número que finaliza en cero y el divisor es un múltiplo de 10. REPASO 2.3 Elige el inciso que contiene la operación y respuesta correctas. Procedimiento: El divisor, que es un múltiplo de 10, se expresa como un producto de factores enteros: siendo uno de ellos la más alta potencia de 10 que es posible. Ejemplo: dividir Para dividir entre 400 expresamos 400 como 100 x 4. El resultado de la operación lo hallamos del siguiente modo: A 8400 lo dividiremos entre 100 y luego entre 4. IMAGEN INTERACTIVA 2.4 Actividad en html5 Comprobar respuesta Pulsa las flechas del widget para Actividad en flash observar la operación. 21

23 Ejemplo de aplicación Veamos un ejemplo de aplicación en un problema. Ahora vamos a usar el algoritmo por descomposición = (600+30) 30 = (600 30) + (30 30) = = 21 El maestro de 4.º grado de primaria compró 630 galletas para repartirlas entre sus 30 alumnos. Cuántas galletas les dará a cada niño? Usemos el método alternativo en el cual se realiza la división de un número que termina en cero entre un múltiplo de = 630 (10 x 3) = (630 10) 3 = 63 3 = 21 Uso de la calculadora: Ahora haz la comprobación Primero resolvamos el problema con el algoritmo convencional = 21 Veamos cómo se resuelve este problema. 22

24 Actividad Muy bien es tiempo de poner a prueba lo que has aprendido. Es tu turno para resolver un problema como el que has visto en el ejemplo. 23

25 Pregunta 1 de 2 Identifica que método se ha utilizado en cada caso. Algoritmo convencional Descomposición Algoritmo convencional Descomposición Comprobar respuesta

26 Cierre Felicidades! Pudiste aprender, por muchos métodos, cómo resolver problemas con la multiplicación y la división. Reconoces en qué te puede ayudar el saber esto en tu vida cotidiana? Viste lo sencillo que multiplicaron con el método por líneas? Investiga más acerca de las maneras en que puedes resolver algunos problemas. Sigue practicando! Actividad metacognitiva: Qué método te pareció más sencillo? Después de responder a la anterior pregunta, contesta: Por qué te pareció el más sencillo? Cuánto aprendí de todas las estrategias explicadas? De qué otra manera se podría haber hecho? Es lógico lo que afirmas? Para repasar lo que aprendiste, contesta el examen en línea Multiplico y divido para resolver problemas. Presiona aquí

27 Título: Multiplico y divido para resolver problemas Tema: Actividades de aplicación y resolución de problemas con operaciones de multiplicación y división Horas o sesiones asignadas: A evaluar Asignatura: Matemáticas Grado: 4.º de primaria Unidad o Bloque: III y IV Descripción: Este material es para que los alumnos deduzcan, de la información de diferentes tipos de problemas, la correcta elección de las operaciones de multiplicación y división para que puedan resolverlos utilizando procedimientos complementarios. El propósito de este material es ayudar al estudiante a conocer cómo estimar una solución usando la multiplicación y la división hasta desarrollar una verificación formal. Habilidades a desarrollar en este libro digital: El estudiante practicará la solución de algoritmos de división y multiplicación para que resuelva problemas matemáticos reales vinculados a su contexto mediante el uso de diversos procedimientos que incluyan el manejo de la calculadora y la práctica del cálculo mental. Habilidades transversales: -Tecnológicas: El estudiante conocerá y desarrollará habilidades de la web 2.0, del uso de tecnología móvil y recursos de una plataforma educativa para utilizarlas como recursos de apoyo al aprendizaje, mediante el uso de un ipad y de los recursos de la Web. -Lectura: El estudiante desarrollará su habilidad de comprensión lectora y el hábito de la lectura con la finalidad de que esta habilidad sirva a su desarrollo cognitivo en otras disciplinas mediante la lectura de un ibook. Esto trasladado a un contexto de la vida cotidiana puede resultar de suma relevancia para las actividades del estudiante de compra-venta.

28 COMPETENCIAS QUE SE FAVORECEN: RESOLVER PROBLEMAS DE MANERA AUTÓNOMA COMUNICAR INFORMACIÓN MATEMÁTICA VALIDAR PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS MANEJAR TÉCNICAS EFICIENTEMENTE. Aprendizajes esperados. Comprenderá qué es un algoritmo. Realizará un procedimiento de algoritmo de división y multiplicación. Resolverá problemas matemáticos relacionados con su vida diaria. Utilizará la calculadora para resolver problemas de división y multiplicación. Practicará la resolución de operaciones de división y multiplicación mediante el cálculo mental. Referencia de ejercicios. Repaso 2.1 Repaso 2.2 Repaso 2.3 Repaso 2.4 Repaso 2.5 Repaso 2.6 Repaso 3.1 Repaso 3.2 Repaso 3.3 Imagen interactiva 3.3

29 Referencias bibliográficas (s.f). Número y operaciones. Buenos Aires: Ministerio de Educación. Recuperado de wp-content/uploads/numero.pdf. Galván, S., et al. (s.f.). La estimación, una forma importante de pensar en matemáticas. Viedma: Consejo Provincial de Educación Recuperado de (s.f.). Visual Mathematics Dictionary Online. Carson City: Edu2000 America Inc. Recuperado de Isoda, M. y Olfos R. (s.f.). Enseñando a multiplicar números de varias cifras. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Recuperado de MULTIPLICACION-Copyright.pdf. Moreno, M.L. (s.f.). La incorporación de las tecnologías de la información la comunicación en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Recuperado de cursos_generales/matematicas/mate_tic_prim.pdf. Real Academia Española. (2001). Diccionario de la lengua española (22. a ed.). Madrid: Real Academia Española. Recuperado de

30 Actividades finales y apéndice El contenido académico de este libro fue elaborado por el profesor: Daniel W. Lechuga Ballesteros Aula24horas

31 Algoritmo Conjunto ordenado de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí Índice Buscar término Capítulo 1 - Multiplicación

32 Alternativo En Actividades de cualquier género, especialmente culturales, que se contraponen a los modelos oficiales comúnmente aceptados. Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí Índice Buscar término Capítulo 1 - Multiplicación Capítulo 2 - La división

33 Aritmética Parte de la matemática que estudia los números y las operaciones que se hacen con ellos. Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí Índice Buscar término Prefacio - Prefacio

34 Convencional Aceptado mayoritariamente. Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí Índice Buscar término Capítulo 1 - Multiplicación

35 Descomposición 1 Separar las diversas partes o elementos que forman un compuesto o un todo: 2 Desorganizar o desbaratar determinada cosa. Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí Índice Buscar término Capítulo 1 - Multiplicación Capítulo 2 - La división

36 Dígitos [número, cantidad] Que se representa mediante una sola cifra. Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí Índice Buscar término Capítulo 1 - Multiplicación

37 Método Modo ordenado y sistemático de proceder para llegar a un resultado o fin determinado. Términos del glosario relacionados Arrastrar términos relacionados aquí Índice Buscar término Capítulo 1 - Multiplicación