1 Funciones Dominio de una función Recorrido de una función Representación gráfica de una función

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1 Índice 1 Funciones Dominio de una función Recorrido de una función Representación gráfica de una función Paridad de funciones Álgebra de funciones Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva Función inversa Funciones reales especiales Transformación de funciones Funciones exponenciales y logarítmicas Función exponencial Ecuación exponencial Aplicación: Problemas de crecimiento y decrecimiento Función logarítmica Función logarítmica en la resolución de ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas Cultura y aplicación Crecimiento poblacional (Demografía) Límite de una función Límites laterales Límite por la izquierda Límite por la derecha Límites por evaluación Funciones equivalentes en todos los puntos, salvo una cantidad finita de ellos Límites que involucran funciones trigonométricas Límites infinitos y límites en el infinito Límites infinitos y Asíntotas verticales Asíntotas verticales Límites al infinito y asíntotas horizontales Asíntotas horizontales Continuidad

2 Módulo 1 Funciones El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a este concepto, pues muchas mentes brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa. Desde los tiempos de Galileo, que fue uno de los primeros en usar la definición (aunque no en la forma que nosotros lo conocemos actualmente), pasando por el gran Newton y Leibniz, que fue el primero que en 1673 usó la palabra función para referirse a la relación de dependencia de dos variables o cantidades, Euler, que le dio una definición precisa e introdujo en 1734 el símbolo y = f(x), para designar la imagen de x por una función f (los valores de y dependen de los valores de x, bajo la regla f). Cauchy, Dirichlet o Gauss, las mejores mentes de la Historia de la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos. Figura: L. Euler ( ) El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos económicos, la inflación o la evolución de los valores bursátiles; también están presentes los fenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la desintegración de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales. Casi todo es susceptible de ser tratado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones que gobiernan los 2

3 mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles. Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones que intervienen en cada proceso en concreto. Esta, en suma, es la tarea de los científicos: descubrir la dinámica de cada fenómeno y expresarla en términos de una función. Asimilando a nuestra vida diaria, muchas cosas suelen presentarse en cantidades variables: kilos de manzanas, precio de los boletos de microbuses, milímetros de agua caída después de un día de lluvia, etc. Además podemos, también, observar que muchas veces una cantidad depende de otra, existen relaciones de interdependencia entre ellas. Ejemplo: La cantidad de combustible que consume un vehículo depende de la distancia que ha recorrido el vehículo. La temperatura ambiente depende del instante en que la midamos. El valor de la cuenta de energía eléctrica a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha consumido. Mediante un ejemplo veremos diferentes formas de expresar una función: Un agricultor vende cada kilo de manzana a $700 Qué relación mantiene el precio de venta según los kilos recolectados? La variable independiente son los kilógramos de manzana y la variable dependiente, el precio. Existen varias maneras de representar esta información: a) Tabla de valores Es una tabla donde aparecen algunos valores de la variable independiente x y los correspondientes valores de la variable dependiente y asociados a x. Necesariamente, para poder ser manejablemente y útil, deben aparecer pocos valores de ambas variables. Una tabla de valores 3

4 para el problema planteado puede ser la siguiente: Kilogranos Precio $ x y La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos obtenidos como sigue: En el eje de las abscisas (x) se representan los valores de la variable independiente (kg de manzanas) y en el de ordenadas (y) los de la variable dependiente (precio $). La primera coordenada de cada punto es la variable independiente, y la segunda, su imagen. b) Gráfica La gran ventaja de la gráfica como forma de representar a una función es que proporciona una gran cantidad de información de una sola mirada: nos dice cuál es el comportamiento global de la función, la tendencia que tiene, etc. c) Fórmula La fórmula o ecuación de una función y = f(x) (también llamada expresión analítica de f) es la expresión, en términos de operaciones algebraicas, donde la relación de dependencia entre las dos variables es: x : variable independiente. y : variable dependiente. En el ejemplo de las manzanas, la fórmula es f(x) = 700x ó y = 700x, donde x representa los kilogramos de manzanas e y el valor por cada kilo de manzana. 4

5 La fórmula nos dice qué operaciones debemos hacer con cada valor de x para obtener su correspondiente valor y = f(x). Cuando en la fórmula de la función aparecen solamente operaciones aritméticas (suma, resta, producto, cociente, potencia, raíz) se le denomina función algebraica. Si además aparecen otro tipo de operaciones no aritméticas (exponenciales, logaritmos, trigonomtricas, etc.) se le denomina función trascendente. Definición 1.1 Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos X e Y, de tal forma que a cada elemento del conjunto inicial (preimagen) X le corresponde un elemento y sólo uno del conjunto final Y (imagen). Observación Le corresponde un elemento y sólo uno, significa que la función es univaluada, esto es, no devolverá dos o más resultados (valores) para la misma entrada. a cada elemento del conjunto inicial X, decimos que la función cubre a X (cada uno de los elementos de X son relacionados con algún elemento de Y ). Primero es útil asignarle una letra a una función. La letra más común es f, pero puedes llamarle por otra letra, como por ejemplo g, h o la letra que desees. Para representar matemáticamente la actuación de la variable independiente x bajo una función f se escribe f(x) y se lee f de x, esto es, f(x) nos dice la acción que f realiza a cada entrada x. 5

6 Por ejemplo, si f(x) = x 2, esto nos dice que la función f toma cada entrada (preimagen) x y la eleva a dos. Así, la entrada 4 tiene la salida 16, lo cual se puede escribir f(4) = (4) 2 = 16. Resulta útil concebir una función como una máquina. Si x está en el conjunto inicial, por lo tanto cuando x entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. De este modo, es posible definir el dominio de f como el conjunto de todas las entradas posibles y codominio de f como el conjunto de todas las salidas posibles. 6

7 Así, Definición 1.2 Una función real en una variable x es una función f : A R, con A R, la cual usualmente se define por la fórmula y = f(x). Así f : A R x y = f(x). Las funciones pueden especificarse de muchas maneras. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 2y = 1 ( Ecuación en forma implícita), define a y implícitamente, la variable dependiente, como función de x, la variable independiente. Para evaluar la función (esto es, para hallar el valor de y correspondiente a un valor de x dado) resulta conveniente despejar y y = 1 2 (1 x2 ) ( Ecuación en forma explícita), denotando por f a la función, es posible escribir esta ecuación como f(x) = 1 2 (1 x2 ) ( Notación de funciones). La notación de funciones permite ahorrar palabras. En lugar de preguntar cuál es el valor de y que corresponde a x = 3? Se puede preguntar cuánto vale f(3)? Ejemplo Para f(x) = x 3 4, se tiene que f( 1) = ( 1) 3 4 = 5. Ejercicios resueltos Para f(x) = x 2 2x, encuentre y simplifique: 1. f(4). 2. f(4 + h). 7

8 3. f(4 + h) f(4). 4. Solución: f(4 + h) f(4). h 1. f(4) = = f(4 + h) = (4 + h) 2 2(4 + h) = h + h 2 8 2h = 8 + 6h + h f(4 + h) f(4) = 8 + 6h + h 2 8 = 6h + h f(4 + h) f(4) h = 6h + h2 h = h(6 + h) h = 6 + h. Ejercicios propuestos 1. Si g(x) = x 1 x + 1, hallar: (a) g(1). (b) g(2). ( 1 (c) g 3 (d) g ). ( 1 2 ). (e) g( 1 + 2h). ( ) 1 (f) g x Si h(x) = 3 x, hallar: (a) h(0). (b) h(1). (c) h ( 1 3). (d) h(x + 2). (e) 9h(x). (f) h(h(1)). 3. Si f(x) = x 2 3x + 1. Determine: (a) Los valores de x, para los cuales f(x) = f(2x). (b) Los valores de x, para los cuales 2f(x) = f(2x). 8

9 4. Si f(x) = x 2 + 1, determine: (a) (b) f(x + h) f(x). h f(x) f(a). x a 5. Si f(x) = x 3 5x 2 4x + 20, demuestre que f(0) = 2f(3) y f(7) = 5f( 1). 6. Si f(x) = ax + b, demostrar que ( ) x1 + x 2 f 2 Es válida esta última relación si f(x) = x 2? 1.1 Dominio de una función = f(x 1) + f(x 2 ). 2 Para funciones definidas mediante una ecuación, el dominio consta de todos aquellos valores de x para los cuales pueda computarse f(x), esto es, es el conjunto de todos los valores x de tal modo que la expresión y = f(x) sea un número real. Ejemplos 1. Analicemos la función f(x) = 3x 1 x 2 2. Notar que f es una fracción, de modo que la expresión f(x) tiene sentido si x 2 2 es diferente de cero (x 2 2 0). Si resolvemos la ecuación x 2 2 = 0, se obtiene que x = ± 2, es decir el denominador de la expresión 3x 1 x 2 2 se anula cuando x = 2 y cuando x = 2. Por lo tanto, el dominio de la función f será todo R, salvo 2 y 2, lo cual se simboliza como sigue Dom f = R { 2, 2}. 2. Para la función g(x) = 5 x 3. Se tiene que su dominio será todo R, salvo el cero, pues el denominador de 5 x se anula en este valor. Así, Dom g = R {0}. 3. Si f(x) = x 3. Recordemos que las raíces de índice par sólo admiten cantidades subradicales mayores o iguales a 0, en este caso el índice de la raíz es 2 (raíz cuadrada) y la cantidad subradical es x 3. De modo que la expresión f(x) = x 3 tiene sentido si x 3 0, resolviendo la inecuación, se obtiene x 3. Por lo tanto, el dominio de la función es el intervalo [3, ). Es decir Dom f = [3, ). 9

10 4. Para la función g(x) = 5x x, se observa que la expresión 5x x tiene sentido si x 0. Por lo tanto, Dom g = [0, ). 1.2 Recorrido de una función Dada una función f : A B, con A, B R. El conjunto de los elementos y B tales que existe x A (al menos uno) con y = f(x), es llamado conjunto imagen o recorrido de la función f y es denotado por Rec f. En otras palabras, el recorrido de una función es el conjunto de todos los elementos de B que están asociados con al menos un elemento del conjunto A, es decir es el conjunto de todas las imágenes de f. Observar que Rec f B. Los siguientes ejemplos aclaran como determinar el recorrido de una función definida por una ecuación. Ejemplos 1. Calcular el recorrido de la función f(x) = x 1 x 2. Solución: Lo que debemos hacer es lo siguiente: Dado un valor de y, encontrar un valor de x Dom f, tal que y = f(x). Como y = f(x) = x 1 x 2, entonces y = x 1. Así, es posible despejar la variable x: x 2 y = x 1 x 2 xy 2y = x 1 x(y 1) = 2y 1 x = 2y 1 y 1, esta última expresión tiene sentido si y 1. Por lo tanto, Rec f = R {1}. 2. Hallar el recorrido de y = f(x) = 1 x. 10

11 Solución: Observar que y 0. Ahora, si despejamos la variable x, se tiene y = 1 x y 2 = 1 x x = 1 y 2. De esta última expresión vemos que x es un real para cualquier valor de y R, ahora dado que y 0, entonces el recorrido de f es R [0, ) = [0, ). Por lo tanto Rec f = [0, ). 11

12 1.3 Representación gráfica de una función Las gráficas producen un impacto visual. También suministran información que puede no ser evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas. La última gráfica muestra la variación en la producción industrial total de cierto país durante un período de 4 años. Observar que el punto más alto en la gráfica se presenta cerca del final del tercer año, lo cual indica que la mayor producción ocurrió en esa época. Las funciones de la forma y = f(x) se pueden representar mediante una gráfica sobre unos ejes llamados ejes coordenados. Al eje horizontal se lo suele llamar eje X o eje de las abscisas; sobre él se sitúa la variable independiente. Al eje vertical se lo suele llamar eje Y o eje de las ordenadas; sobre él se sitúa la variable dependiente. Para situar las variables sobre los ejes, hay que dar una escala en cada uno de ellos. Si P es un punto del plano, trazando por P la recta paralela al eje Y, obtenemos un punto x 0 sobre el eje x al que llamamos abscisa de P. Trazando por P la recta paralela al eje X, obtenemos un punto y 0 sobre el eje Y al que llamamos ordenada de P. Diremos que x 0 e y 0 son las coordenadas del punto P y escribiremos P = (x 0, y 0 ). Gráficamente, se tiene Definimos como Graf (f) al conjunto de puntos (x, y) del plano tal que y = f(x) para todo x perteneciente al dominio de f; Graf (f) se denomina gráfica de f. En símbolos, se tiene Graf (f) = {(x, y) R 2 = R R : y = f(x), x Dom (f)}. 12

13 Ejemplos 1. f(x) = x 2 1. x f(x) f(x) = x. x f(x) f(x) = 1 x. x f(x)

14 4. Sea x 2 si x < 1, f(x) = 3 si x = 1, 1 x si x > 1. Para tener en cuenta: 1. Criterio de la recta vertical. Una curva es la gráfica de una función (y = f(x)) si y sólo sí ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez. La gráfica de la izquierda representa a una función, pues la recta x = a corta a la curva en un solo punto ((a, b)). En cambio, la gráfica de la derecha no representa a una función, pues la recta x = a corta a la curva en dos puntos ((a, c) y (a, b)). 14

15 2. Del gráfico de una función f es posible obtener su dominio y recorrido. La proyección del gráfico de f sobre el eje X otorga el dominio de f. La proyección del gráfico de f sobre el eje Y otorga el recorrido de f. 15

16 Ejercicios resueltos 1. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones. Figura: f(x) = x + 3, Dom (f) = R, Rec (f) = R Figura: f(x) = x 2, Dom (f) = R, Rec (f) = [0, ) 16

17 Figura: f(x) = x 2 4, Dom (f) = (, 2] [2, ), Rec (f) = [0, ) Figura: f(x) = x 4 2x 2, Dom (f) = R, Rec (f) = [ 1, ) 2. Sea G = {(x, y) / y 2 + x 2 = 4}. (a) Determinar gráficamente si G es una función. (b) En caso negativo, imponer condiciones en las variables de la ecuación para convertirla en función. (c) Representarla gráficamente. (d) Hallar el dominio y recorrido de la función 17

18 Solución: (a) Primero despejamos la variable y de la ecuación y 2 + x 2 = 4 y 2 = 4 x 2 y = ± 4 x 2. Luego, construimos una tabla de valores para graficar la función x f(x) 0 ± 3 ±2 ± 3 0 Al trazar una recta vertical, se tiene que ésta corta al gráfico de G en dos puntos, de modo que y 2 + x 2 = 4 no es función. (b) Si consideramos sólo el signo positivo de la raíz, se obtiene la función f(x) = 4 x 2. (con el signo negativo es un trabajo análogo) (c) Su gráfica es dada por Figura: Gráfico de f(x) = 4 x 2 (d) Dominio de la función: [ 2, 2]. Recorrido de la función [0, 2]. 18

19 Ejercicios propuestos Encuentre el dominio y recorrido de las siguientes funciones. 1. f(x) = 2x f(x) = x 2 x f(x) = 1 x f(x) = x f(x) = 9 4x. 6. h(x) = x x f(x) = 1 x. 8. f(x) = 3 x f(x) = x x f(x) = x 2x 3. Ejemplos de aplicación 1. Expresar en términos de x el Volumen de una caja rectangular, formada a partir de una hoja de cartulina de dimensiones 30 cm por 20 cm, a la cual le hacemos un recorte cuadrado de x cm por lado en cada esquina. Solución: Considerar el gráfico El volumen (largo ancho alto) dependerá de la longitud del lado del cuadrado (x): V (x) = (30 2x) (20 2x) x. 19

20 2. Expresar el área de una lámina rectangular cuyo perímetro es 60 cm en términos de uno de sus lados. Solución: Consideremos un rectángulo, cualquiera, de perímetro 60 cm y altura x. El área del rectángulo es Como el perímetro del rectángulo es A = b x. P = 2b + 2x = 60, se deduce que b = 30 x, de modo que el área del rectángulo está determinada por la función A(x) = (30 x) x. Ejercicios propuestos 1. Para proteger un terreno rectangular se precisaron 2000 m de alambre. Si una de las dimensiones es x metros, expresar el área del terreno en función de x. Determinar el campo de variación de x (Dominio de la función). 2. Expresar la longitud l de una cuerda de una circunferencia de 8 cm de radio en función de su distancia x al centro de la misma. Determinar el campo de variación de x. 20

21 3. Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical a medida que una cuerda atada a su base se va soltando a razón de 5 m/seg. La polea por la cual pasa la cuerda al soltarse está a 20 m. de distancia de la plataforma donde los pasadores abordan el globo. Exprese la altura del globo en función del tiempo. 4. Con una hoja rectangular de cartón cuyas dimensiones son 12 pulgadas ([pulg.]) por 20 [pulg.] se va a construir una caja abierta recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba. Exprese el volumen de la caja en función de x. 5. Un cilindro circular recto de radio r y altura h está inscrito en un cono de altura 12cm y radio de la base 4cm. Expresar: (a) La altura h en función de r. (b) El volumen V del cilindro en función de r. 1.4 Paridad de funciones En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad: las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Con frecuencia se puede predecir la simetría de la gráfica de una función mediante la inspección su fórmula. Si f( x) = f(x), para todo x Dom (f), entonces se dice que la función es par y su gráfica es simétrica con respecto al eje Y. Si f( x) = f(x), para todo x Dom (f), entonces se dice que la función es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas (0, 0). Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje Y, es decir su gráfica no se altera por una reflexión sobre el eje Y. Una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, es decir su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen. Figura: Función par y función impar 21

22 Ejemplos 1. Sea g(x) = x 3 2x una función en R. Entonces g( x) = ( x) 3 2( x) = x 3 + 2x lo cual muestra que g es una función impar. 2. Para x2 + 3, se observa x 4 3x2 f( x) = de modo que f es función par. = (x 3 2x) = g(x), ( x) ( x) 4 3( x) = x x 4 3x = f(x), Álgebra de funciones El álgebra de funciones es bastante similar a trabajar con expresiones algebraicas comunes, con la diferencia que debemos respetar ciertas propiedades, las cuales afectan principalmente al dominio de la nueva función. Suma (o diferencia): Si g y h son dos funciones, tales que Dom (g) Dom (h), entonces donde Dom (f) = Dom (g) Dom (h). f(x) = (g ± h)(x) = g(x) ± h(x), Ejemplo: Sean g(x) = x y h(x) = x, entonces f(x) = (g + h)(x) = g(x) + h(x) = (x 2 + 4) + x, y como, Dom (g) = R, Dom (h) = [0, ), entonces Dom (f) = Dom (g) Dom (h) = [0, ). Producto: Si g y h son dos funciones, tales que Dom (g) Dom (h), entonces f(x) = (g h)(x) = g(x) h(x), donde Dom (f) = Dom (g) Dom (h). 22

23 Ejemplo: Sean g(x) = x y h(x) = x, entonces f(x) = (g h)(x) = g(x) h(x) = (x 2 + 4) x = x 5/2 + 4 x, y como, Dom (g) = R, Dom (h) = [0, ), entonces Dom (f) = Dom (g) Dom (h) = [0, ). Cuociente: Si g y h son dos funciones, tales que Dom (g) Dom (h), entonces ( g f(x) = (x) = h) g(x), con h(x) 0, h(x) donde Dom (f) = (Dom (g) Dom (h)) {x / h(x) = 0}. Ejemplo: Sean g(x) = x y h(x) = x, entonces ( g f(x) = (x) = h) g(x) h(x) = x2 + 4, x y como, Dom (g) = R, Dom (h) = [0, ), entonces Dom (f) = (Dom (g) Dom (h)) {x / h(x) = 0} = (0, ). Función compuesta: Sean f y g funciones, tales que g : A B y f : B C, la composición de la función f con la función g, denotada por f g, se define por (f g) = f(g(x)). Dom (f g) = {x R / x Dom (g) y g(x) Dom (f)}. Observar que la composición f g es posible si y sólo si Rec (g) Dom (f). 23

24 Ejemplos: 1. Suponga que para las f(x) = x 2 y g(x) = x + 3, se tiene que las composiciones f g y g f son factibles. Determínelas. Solución: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3) 2 = x 2 + 6x + 9. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = (x) = x Observe que la composición de funciones no es conmutativa, es decir, f g g f. 2. Encuentre el dominio de (f g)(x) para las funciones f(x) = x 2 9 y g(x) = 9 x 2. Solución: Notar que (f g)(x) = f(g(x)) = f( 9 x 2 ) = ( 9 x 2 ) 2 9 = 9 x 2 9 = x 2. De esto, se podría suponer que el dominio de la composición es R, lo cual no es cierto. Como el dominio de f es el conjunto de los números reales y el dominio de g es [ 3, 3], entonces Dom (f g) = [ 3, 3]. 3. Sea f una función definida por f(h) = 60h que convierte horas en minutos, y g(m) = 60m una función que convierte minutos a segundos. Encuentre una función que convierta horas en segundos. 24

25 Solución: (g f)(h) = g(f(h)) = g(60h) = 60(60h) = 3.600h. Ejercicios Propuestos 1. Determine si la función dada es par, impar o ninguna de ellas. (a) f(x) = 1 x 2. (b) f(x) = x 3 5. (c) f(x) = x x 2 1. (d) f(x) = x 2 2x + 3. (e) f(x) = x + 1 x 1. (f) f(x) = x 1 x + 2. (g) f(x) = x x. (h) f(x) = x3 + x x (i) f(x) = x4 3 x Encuentre f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) (a) f(x) = 1 x 1, g(x) = 1 2x + 1. (b) f(x) = x, g(x) = x 2. y los respectivos dominios. 25

26 (c) f(x) = x 1 x 2, g(x) = x + 1 x + 2. (d) f(x) = x 2 4x 4, g(x) = x 3 4x. (e) f(x) = x 5, g(x) = x 2 1. (f) f(x) = x + 1 x 1, g(x) = 1 x. (g) f(x) = x 2, g(x) = x + 3. (h) f(x) = x 2 1, g(x) = x Encuentre (f g)(x) y (g f)(x), si: (a) f(x) = 1 x 2, g(x) = 2x + 3. (b) f(x) = 17, g(x) = x. (c) f(x) = x 3 4, g(x) = 3 x + 4. (d) f(x) = x 2 + 1, g(x) = 1 x Si f(x) = x + 1 y g(x) = 3x. Determine: (a) f(g(x)) y su dominio. (b) g(f(x)) y su dominio Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva Definición 1.3 Una función f : A B es inyectiva si y sólo si elementos distintos de su dominio tienen imágenes distintas. Esto es f : A B es inyectiva si y śolo si, para o equivalentemente x 1, x 2 A, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), 26

27 f : A B es inyectiva si y śolo si, para x 1, x 2 A tales que f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Geométricamente, una función real es inyectiva si cada línea horizontal intersecta a su gráfica en no más de un punto. 27

28 Definición 1.4 La función f : A B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del codominio tienen preimagen. Es decir, f : A B es sobreyectiva si sólo si para todo y B, existe x A tal que f(x) = y (f es sobreyectiva si Rec (f) = B). Ejemplos 1. Determinar si la función f(x) = x + 3 es o no inyectiva. Solución: Observar que Dom (f) = R. Sean x 1, x 2 Dom (f) = R tal que f(x 1 ) = f(x 2 ). Así, f(x 1 ) = f(x 2 ) x = x / + ( 3) x 1 = x 2. Lo que muestra que f es una función inyectiva. 2. Considerar la función f : R R + {0}, analizar si es o no sobreyectiva. Solución: De acuerdo a la función sabemos que el dominio de f es el conjunto de los números reales y su recorrido es el conjunto de los números reales positivos unidos con el cero, ahora todas las posibles imágenes del dominio de la función son los números que se encuentran en el conjunto R + {0}, de modo que la función es sobreyectiva. 28

29 Definición 1.5 Una función f : A B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. En una función biyectiva, la relación entre los elementos del dominio y el codominio es biunívoca, es decir, a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente y viceversa. Ejemplo Dada la función f : N 2N definida por f(x) = 2x, donde 2N es el conjunto de los números pares. Analizar si f así definida es una función biyectiva. Solución: Notar que la imagen de cualquier x Dom (f) = N es un número par, entonces Rec (f) = 2N, de modo que f es sobreyectiva. Luego, para analizar la inyectividad, consideremos x 1, x 2 Dom (f) tales que f(x 1 ) = f(x 2 ). Así, f(x 1 ) = f(x 2 ) 2x 1 = 2x 2 x 1 = x 2, lo cual implica que f es inyectiva, y en consecuencia es biyectiva. 29

30 1.4.3 Función inversa Una función y = f(x) biyectiva admite una función inversa, denotada por f 1. La función inversa de f es definida como sigue y = f 1 (x) x = f(y). Para tener en cuenta: 1. El dominio de f 1 es el recorrido de f. 2. El recorrido de f 1 es el dominio de f. 3. Si f : A B es una función biyectiva, entonces f 1 : B A también es una función biyectiva y f f 1 = x. f 1 = x. 4. f 1 (x) 1 f(x), pero (f 1 (x)) 1 = f(x) ( la función inversa de f 1 es la propia f). Ejemplo La función f : R R definida por f(x) = 2x + 3 es biyectiva (verificar esto). Encontrar f 1 (x). Solución: Metodología 1. Escribir la función en términos de x e y: y = 2x

31 2. Despejar la variable x en función de la variable y: 3. Intercambiar las variables: 4. Así, se deduce que la función inversa de f es x = y 3 2. y = x 3. 2 f 1 (x) = x 3. 2 Las gráficas de una función f y de su función inversa f 1 están relacionadas entre si de la siguiente manera. Si el punto (a, b) está en la gráfica de f, entonces el punto (b, a) debe estar en la gráfica de f 1 y viceversa. Esto significa que la gráfica de f 1 es una reflexión de la gráfica de f con respecto a la recta y = x (los gráficos de f y f 1 son simétricos con respecto a la recta y = x). 31

32 Ejercicios propuestos 1. Indique cuales de las siguientes gráficas representa una función. En caso de ser función determinar si es inyectiva. 2. Analice si la función dada es o no inyectiva. (a) f(x) = 5x 7. (b) f(x) = 8 x. (c) g(x) = 2x 2 + 6x. 3. Analice si las siguientes funciones son invertibles, en caso de serlo, encuentre la expresión de su inversa. (a) f(x) = 5. (b) f(x) = x + 1 x 2. (c) f(x) = x 2 2. (d) f(x) = 2x + 4 x + 1. (e) f(x) = x + 1 x. (f) f(x) = 3x 2 2. (g) f(x) = 3x 2 x. (h) f(x) = x 1 x

33 4. Analice si la función f : R R es invertible. En caso de no serlo, realizar una restricción a su dominio para que lo sea, además encontrar la expresión de f 1. (a) f(x) = x (b) f(x) = 3x 4 3 2x Funciones reales especiales Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones. Es importante reconocer algunas gráficas básicas. Primero veremos que las funciones se clasifican de la siguiente manera: Constantes Identidad Polinómicas Cuadráticas Cúbicas, etc. Algebraicas Racionales Funciones Radicales Por tramos Funciones polinomiales Trascendentes Exponenciales Logarítmicas Trigonométricas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio, es decir, funciones de la forma 1. Función constante. f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, a 0, a 1,..., a n R. Es una función de la forma f(x) = k, donde k es un número real, observar que una función constante no depende de la variable x. Una función f(x) = k, le asigna a cada x R el valor k. Su dominio es R y su recorrido {k}. Las funciones f(x) = 5 y g(x) = 4 son funciones constante. La gráfica de una función constante es una recta horizontal (paralela al eje X), la cual se encuentra sobre el eje X si k > 0, bajo el eje X si k < 0 y coincide con él si k = 0. 33

34 2. Función lineal. Es una función de la forma f(x) = ax + b, donde a, b R, con a 0. El gráfico de la función lineal es una recta y el coeficiente a es su pendiente. Su dominio y recorrido es R. La función lineal f(x) = ax + b es biyectiva, de modo que posee inversa. Su función inversa también es lineal y f 1 (x) = 1 a x b a. 3. Función identidad Es una función de la forma f(x) = x. Su dominio y recorrido es el conjunto de los números reales. Observar que la función identidad es una función lineal, donde a = 1 y b = 0. 34

35 4. Función cuadrática Es una función de la forma f(x) = ax 2 + bx + c, donde a, b, c R, con a 0. El gráfico de una función cuadrática es una curva llamada parábola. La gráfica de f(x) = ax 2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0, c). La gráfica de f(x) = ax 2 + bx + c intercepta al eje X si y sólo si el discriminante = b 2 4ac 0. Si > 0 intercepta al eje X en dos puntos, y si = 0 intercepta al eje X en un único punto. En ambos casos, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces (o soluciones) de la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Si = b 2 4ac < 0, la gráfica de f no intercepta al eje X. Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba y diremos que la gráfica tiene un punto mínimo, si a < 0 la parábola se abre hacia abajo y diremos que la gráfica tiene un punto máximo. En ambos casos, el punto mínimo y máximo de la parábola, es llamado 35

36 vértice y sus coordenadas son dadas por la fórmula ( V = b ( 2a, f b )) 2a Ejemplo Graficar la función f(x) = x 2 4x + 3. Solución: Buscamos el vértice de la parábola: ( V = b ( 2a, f b )) = 2a ( ( 4 ), f 2 ( )) 4 = (2, 1). 2 Intersección con el eje X (hacer y = 0). Se debe resolver la ecuación x 2 4x + 3 = 0, la cual es equivalente a { x1 = 1 (x 3)(x 1) = 0 x 2 = 3. Así, se tienen los puntos (1, 0) y (3, 0). Intersección con el eje Y (hacer x = 0). Se tiene y = 3, de modo que el punto de intersección es (0, 3). Se ubican los puntos obtenidos ((2, 1), (1, 0), (3, 0) y (0, 3)) en el plano cartesiano y se unen para formar la curva (parábola). Figura: Gráfica de f(x) = x 2 4x + 3 Una aplicación de la función cuadrática El lanzamiento de un lanzador de peso puede ser modelado por la ecuación y = x 2 + x + 5.5, donde x es la distancia recorrida (en pies) e y es la altura del peso (en pies). Qué distancia ha recorrido el peso? 36

37 Solución: El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, esto es, cuando se satisface la ecuación de lo cual x 2 + x = 0, x = 1 ± (1) 2 4( )(5.5) 2( ) = 1 ± Así, x 1 = 46.4 y x 2 = 4.9. Como se desea determinar la distancia recorrida, se tiene que x 2 = 4.9 no es solución. Por lo tanto, la distancia recorrida por el peso, después del lanzamiento es 46.4[pies]. 5. Funciones cúbicas Son funciones de la forma f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, donde a, b, c, d R, con a 0. Su dominio y recorrido es R. Su gráfico puede tener las siguientes representaciones: 6. Funciones definidas por partes (o tramos) En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir una función. Se 37

38 dice que estas funciones son funciones definidas por tramos. Estas funciones son de la forma f 1 (x) si x Dom (f 1 ), f 2 (x) si x Dom (f 2 ), f(x) = f 3 (x) si x Dom (f 3 ),... f n (x) si x Dom (f n ). Donde Dom (f) = Dom (f 1 ) Dom (f 2 )... Dom (f n ) y Rec (f) = Rec (f 2 ) Rec (f 2 )... Rec (f n ). Ejemplo Para la función 2x + 1 si x < 1, f(x) = 4 si 1 x 3, x si x > 3. En este caso Dom(f) = (, 1) [ 1, 3] (3, ) = R. Ahora, si se desea hallar el valor de f(0), es preciso identificar en que subdominio de f se encuentra el número 0, como se observa, 0 [ 1, 3], de modo que f(0) = 4. Así, también podemos afirmar que f( 5) = 2( 5) + 1 = 9, pues 5 (, 1). El gráfico de f es dado por 38

39 7. Función Valor absoluto Es definida por f(x) = x = Dom (f) = R, Ref (f) = [0, ). Su gráfica es { x si x 0, x si x < Función escalonada unitaria Es aquella función que está definida por tramos que tienen una separación de una unidad. La particularidad de esta función es que nos sirve para expresar otras funciones definidas por tramos en términos de la escalonada unitaria. Esta función es definida como sigue Dom (f) = R, Rec (f) = {0, 1}. U(x a) = { 1 si x a, 0 si x < a. 39

40 Ejemplo (a) Consideremos la función f(x) = U(x 1) + U(x 2). Donde las gráficas de cada función escalón son Ahora, consideremos la tabla x U(x 1) U(x 2) f(x) x < x < x Luego, la función f puede ser escrita por tramos, como sigue Cuya gráfica es 0 si x < 1, f(x) = 1 si 1 x < 2, 2 si x 2. (b) Expresar la función f(x) = 2 si x < 1, 1 si 1 x < 2, 3 si x 2. como una combinación de funciones escalón unitaria. Solución: Buscamos constantes A, B y C de tal modo que f se pueda escribir de la forma F (x) = AU(x + 1) + BU(x 2) + C. Para ayudarnos a encontrar tales constantes, consideremos la tabla x U(x 1) U(x 2) F (x) f(x) x < C 2 1 x < 2 A 0 A + C 1 x 2 A B A + B + C 3 40

41 De la cual se induce el sistema C = 2 A + C = 1 A + B + C = 3 A = 3, B = 4, C = 2. Por lo tanto, f(x) = 3U(x + 1) 4U(x 2) Funciones racionales Una función racional es una función f de la forma f(x) = p(x) q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios en R, con q(x) 0. Dom (f) = R {x / q(x) = 0}. Su gráfico, en ocasiones, es una hipérbola. 41

42 10. Función radical Es de la forma f(x) = n g(x), donde { x Dom (g) tal que g(x) 0 si n es par, Dom (f) = Dom (g) si n es impar. 11. Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales. Las funciones trigonométricas son muy utilizadas en ciencias para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. (a) Función seno Es definida por f(x) = sen(x). Características de la función seno: i. Dominio:R. ii. Recorrido:[ 1, 1]. iii. Período: 2π. iv. Es una función impar, pues sen( x) = sen(x) x R. v. Su gráfica intercepta al eje X en todos los puntos cuyas abscisas son de la forma x = nπ n Z. 42

43 (b) Función coseno Es definida por f(x) = cos(x). Características de la función coseno: i. Dominio:R. ii. Recorrido:[ 1, 1]. iii. Período: 2π. iv. Es una función par, pues cos( x) = cos(x) x R. v. Su gráfica intercepta al eje X en todos los puntos cuyas abscisas son de la forma x = (2n + 1) π n Z. 2 (c) Función tangente Es definida por f(x) = tan(x). tangente: i. Dominio:R { π + nπ / n Z}. 2 ii. Recorrido:R. iii. Período: π. Características de la función 43

44 iv. Es una función impar, pues tan( x) = tan(x) x Dom (tan). v. Su gráfica intercepta al eje X en todos los puntos cuyas abscisas son de la forma x = 2π n Z. 12. Funciones trigonométricas inversas (a) Función arcoseno Es la función inversa de y = sen(x), la cual es denotada por y = arcsen(x) o y = sen 1 (x) y definida como y = arcsen(x) x = sen(y), con π 2 y π 2. Observación: sen 1 (x) 1 sen(x). Características de la función arcoseno. i. Dominio: [ 1, 1]. [ ii. Recorrido: π 2, π ]. 2 iii. Es una función impar, pues arcsen( x) = arcsen(x) x [ 1, 1]. 44

45 (b) Función arcocoseno Es la función inversa de y = cos(x), la cual es denotada por y = arccos(x) o y = cos 1 (x) y definida como Observación: cos 1 (x) 1 cos(x). Características de la función arcoseno. i. Dominio: [ 1, 1]. ii. Recorrido: [0, π]. y = arccos(x) x = cos(y), con 0 y π. (c) Función arcotangente Es la función inversa de y = tan(x), la cual es denotada por y = arctan(x) o y = tan 1 (x) y definida como y = arctan(x) x = tan(y), con π 2 y π 2. Observación: tan 1 (x) 1 tan(x). Características de la función arcoseno. 45

46 i. Dominio: R. [ ii. Recorrido: π 2, π ]. 2 iii. Es una función impar, pues arctan( x) = arctan(x) x R. Ejercicios propuestos 1. Grafique las siguientes funciones e indique su dominio y recorrido. { 2 si x < 3, (a) f(x) = 4 si 3 x < 2. 1 si x < 2, (b) g(x) = x 1 si 2 x < 5, 1 + x 2 si x Dada la función (a) Determine el dominio y recorrido de f. ( ) 1 (b) Hallar f(1), f, f(3), f(2.5). 2 { 2x + 1 si 1 < x 1, f(x) = 1 2 x2 3 si 1 < x < 4. (c) Si la imagen de x Dom (f) es 1, hallar el valor de x. (d) Realice un bosquejo de la gráfica de f. 3. Dada la función x 2 6 si 2 < x 1, g(x) = 6 si 1 x 10, x 15 si 10 < x. 46

47 (a) Determine el dominio y recorrido de g. (b) Hallar g( 1.5), g(0.5), g(1.5), g(12.5). (c) Realice un bosquejo de la gráfica de g. 4. Escriba las siguientes funciones como combinación lineal de funciones escalón unitario. { 2 si x < 3, (a) f(x) = 4 si 3 x < 2. 1 si x < 2, (b) g(x) = x 1 si 2 x < 5, 1 + x 2 si x Encuentre la función resultante de las siguientes combinaciones lineales y luego esboce su gráfica. (a) 3U(x 3) 3U(x 1) + 2. (b) U(x 3) 5U(x) 3U(x 2) En un día determinado los registros de temperatura en una zona rural, medidos entre las 0 y 24 horas, se ajustan a la función C(t) = 0.1t t 4.4, donde C(t) es la temperatura en grados Celsius y t es la hora del día. (a) Identificar la variable independiente y la variable dependiente. (b) Determinar intersección de la parábola con los ejes coordenados y su vértice. (c) Realizar la representación gráfica de la función. (d) Cuál fue la temperatura máxima de ese día? A qué hora se registró? (e) En qué instantes del día la temperatura fue de 0 C? (f) Indicar en qué intervalos de tiempo del día hubo temperaturas bajo cero. (g) Qué temperatura se registró a las 8 de la mañana? 7. Se lanza hacia arriba una pelota desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pie/seg. La altura de la pelota, medida desde el suelo, está determinada por la función cuadrtica s(t) = 16t t. (a) En qué instante se encuentra la pelota en el suelo?. (b) En qué instante se encuentra la pelota a 80 pie sobre el suelo?. (c) A qué altura llega?. 8. La relación funcional entre grados Celsius (T C ) y grados Fahrenheit (T F ) es lineal. Exprese T F en función de T C, sabiendo que los puntos (0 C, 32 F ) y (60 C, 140 F ) están en la gráfica de que relaciona T C con T F. Encontrar la temperatura de ebullición del agua en la escala de Fahrenheit. 47

48 1.4.5 Transformación de funciones Esta sección de la guía, contiene el apoyo teórico sobre el trazo de las gráficas de algunas funciones algebraicas básicas y sus transformaciones. El objetivo es, que al final sea posible trazar la gráfica de una función, conociendo e interpretando los parámetros principales que las afectan y, sobre todo, sin la necesidad de tabular. Desplazamiento vertical y horizontal de funciones Sea c un número real positivo. Los desplazamientos vertical y horizontal en la gráfica de y = f(x) están representados como sigue: 1. Desplazamiento vertical La gráfica de y = f(x) se desplaza c unidades hacia arriba, si la constante c es sumada a f(x), esto es g(x) = f(x) + c. La gráfica de y = f(x) se desplaza c unidades hacia abajo, si la constante c es restada a f(x), esto es h(x) = f(x) c. 2. Desplazamiento horizontal La gráfica de y = f(x) se desplaza c unidades hacia la derecha, si la constante c es restada a x, esto es g(x) = f(x c). La gráfica de y = f(x) se desplaza c unidades hacia la izquierda, si la constante c es sumada a x, esto es h(x) = f(x + c). 48

49 Reflexiones en los ejes de coordenadas Las reflexiones de la gráfica de y = f(x) en los ejes de coordenadas están representadas como sigue: 1. Reflexión en el eje X Es una nueva función g, definida por g(x) = f(x) 49

50 2. Reflexión en el eje Y Es una nueva función h, definida por h(x) = f( x) Ejercicios propuestos 1. Trazar la gráfica de f y sus respectivos desplazamientos según los valores de c. (a) f(x) = 1 x + c, 2 c = 0, 2, 3. (b) f(x) = x + c, c = 3, 3, 1. (c) f(x) = x c, c = 3, 3, 1. (d) f(x) = (x 1) 2 + c, c = 4, 4, 0. 50

51 2. Empleando la gráfica de y = x como ayuda, trazar la gráfica de f. (a) f(x) = x 2. (b) f(x) = x + 2. (c) f(x) = 3 x. (d) f(x) = x. (e) f(x) = x Funciones exponenciales y logarítmicas Función exponencial Son funciones, en donde la variable independiente está en el exponente de una potencia, son funciones que permiten representar y resolver situaciones de la vida real, por ejemplo: Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado en porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la función R(x) = 6e kx. En 1996 la población de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones y ha ido creciendo a una razn de 0.7% por año. La población N(t), t años más tarde, se podría aproximar mediante el modelo N(t) = 227e 0.007t. Si continuara este patrón de crecimiento, cuál sería la población de Estados Unidos para el año 2016? Lo último lo podríamos representar mediante una tabla de datos, dando valores a t que nos representa el tiempo, el cual no puede ser negativo. Consideramos como el tiempo de partida (tiempo cero) al año 1996, así 1996 (t = 0), 2006 (t = 10), 2016 (t = 20). Sustituyendo t = 20 en N(t), se tiene N(20) = 227e Por lo tanto, es posible deducir que la población de Estados Unidos en el año 2016 será 261 millones de habitantes aproximadamente. 51

52 Definición 1.6 Sea a R +, con a 1, se llama función exponencial, de base a, a la función f : R R + x f(x) = a x Su dominio es R y su recorrido es R +. Su gráfica queda determinada por los valores de a. Ejemplo 1. Si y = f(x) = 2 x, en este caso a = 2 > 1. Su gráfico es dado por x f(x) Si y = ( ) x 1, en este caso 0 < a = < 1. Observamos que su gráfico es 52

53 En general, si representamos las gráficas de las funciones (según los valores de la base a) observamos algunas características: Si a > 1, la función exponencial es creciente. Si 0 < a < 1, la función exponencial es decreciente. La gráfica intersecta al eje Y en el punto (0, 1), pero no hay intersecciones con el eje X. La función exponencial es una función biyectiva. 53

54 En los siguientes gráficos se puede apreciar cómo cambia el comportamiento de f(x) = a x según los valores de a Figura: Función f(x) = a x, con a > 1 Figura: Función f(x) = a x, con 0 < a < 1 54

55 1.4.8 Ecuación exponencial A las ecuaciones que contienen términos de la forma a x, a > 1, a 1, se les llama ecuaciones exponenciales. Tales ecuaciones pueden ser resueltas aplicando, adecuadamente, propiedades de potencias. Las propiedades de potencias más aplicadas en este tipo de ecuaciones son: 1. a m a n = a m+n. 2. a m a n = am n. 3. (a m ) n = a m n. 4. Inyectividad de la función exponencial, es decir Ejemplos Resolver 1. 8 x 2 = 32 x+2. Solución: Puesto que 8 = 2 3 y 32 = 2 5, se tiene a u = a v u = v. 8 x 2 = 32 x+2 (2 3 ) x 2 = (2 5 ) x+2 2 3x 6 = 2 5x+10, de modo que al aplicar la propiedad de inyectividad de la función exponencial, se concluye 2. 2 x2 +2x = 1 2. Solución Dado que 1 2 = 2 1, se tiene 3x 6 = 5x x = 16 x = 16 2 x = 8. 2 x2 +2x = 1 2 2x2 +2x = 2 1, luego, por la inyectividad se tiene x 2 + 2x = 1 x 2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)(x + 1) = 0 x 1 = 1, x 2 = 1. Por lo tanto, la solución es x = 1. 55

56 3. 3 x x x = Solución: Aplicando propiedades de potencias, se tiene 3 x x x = x x x = x x x = x ( ) = x (13) = x = 1 9 = x = 3 2 x = 2. Así, se tiene que la solución es x = x 12 3 x + 27 = 0. Solución: Empleando propiedades de potencias, se obtiene la equivalencia 3 2x 12 3 x + 27 = 0 (3 x ) 2 12 (3 x ) + 27 = 0. Empleando el cambio de variable u = 3 x, se tiene u 2 12u + 27 = 0 (u 9)(u 3) = 0 u = 3, u = 9. Si u = 3, se tiene que 3 x = 3, de modo que x = 1. Si u = 9, se tiene que 3 x = 9 = 3 2, lo que implica x = 2. Por lo tanto, x = 1 y x = Aplicación: Problemas de crecimiento y decrecimiento Supongamos que una cantidad física varía a medida que transcurre el tiempo, en el lenguaje de las funciones esto se denota por y(t). En las aplicaciones, la rapidez es directamente proporcional a la magnitud de la cantidad y en un instante de tiempo t. Mediante los conceptos de derivadas e integrales que se estudiarán en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales, se puede deducir el comportamiento de y expresándola mediante una función exponencial de la forma y(t) = y 0 e kt, (1.1) donde y 0 denota al valor inicial (t = 0), k corresponde a la constante de proporcionalidad. Notar que 56

57 Si k > 0, la fórmula (1.1) representa crecimiento. Si k < 0, la fórmula (1.1) representa decrecimiento. Ejemplo: Regresando al problema de introducción En 1996 la población de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones y ha ido creciendo a una razn de 0.7% por año. La población N(t), t años más tarde, se podría aproximar mediante el modelo N(t) = 227e 0.007t. Se pudo estimar la población en el año La cual será de 261 millones de habitantes. Otra interrogante interesante es En qué año la población será de 245 millones de habitantes? Esto es, dado N(t) = 245, se debe hallar t de modo que 227e 0.007t = 245. Lo cual es equivalente a e 0.007t = Aquí surge un problema: Cómo despejar la varibale t? Notar que esta variable se encuentra en el exponente y no es sencillo realizar una igualación entre las bases. Existe una función que nos ayudará a despejar esa variable, así como también, resolver problemas similares. Esta función es la función logarítmica Función logarítmica Definición 1.7 La inversa de la función exponencial de base a, f(x) = a x, es llamada función Logarítmica de base a (a > 0, a 1). Esta función es denotada por f(x) = log a (x), se lee logaritmo en base a de x 57

58 f : R + R x f(x) = log a (x) Su dominio es R + y su recorrido R. Su gráfica, al igual que el de la función exponencial, dependerá del valor de la base a. De los gráficos se observan algunas características Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente. La gráfica intersecta al eje X en el punto (1, 0), pero no intersecta al eje Y. La función logarírmica es biyectiva. Dado que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre si, se tiene y = log a (x) x = a y, x R +. y = a x x = log a (y), x R. log a (a x ) = x. a log a (x) = x. 58

59 Variación de las gráficas de las funciones logarítmicas Las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica son simétricas con respecto a la función identidad y = x. Se distinguen dos tipos de logaritmos Logaritmo decimal, denotado por log, su base es a = 10 Logaritmo natural, denotado por ln, su base es e =

60 Ejemplos 1. Calcular log 2 (8). Solución: Por definición, se tiene Por lo tanto log 2 (8) = Calcular log 2 (45). Solución: x = log 2 (8) 2 x = 8 2 x = 2 3 x = 3. Notar que en este caso no es posible aplicar directamente la definición de logaritmo. Para resolver este tipo de problemas se introduce la fórmula de cambio de base log n (m) = log a(m) log a (n), donde a es una base común, en ocasiones conocida. Así, se tiene Propiedades de los logaritmos 1. log a (1) = log a (a) = log a (m n) = log a (m) + log a (n). ( m ) 4. log a = log n a (m) log a (n). 5. log a (m n ) = n log a (m). log 2 (45) = log(45) log(2) = Inyectividad: log a (m) = log a (n) m = n. Ejemplo ( ) x 2 y Escribir, empleando propiedades de logaritmo, log a como suma y diferencia de logaritmos. 5x 3 Solución: ( ) x 2 y log a = log 5x 3 a (x 2 y) log a (5x 3 ) = log a (x 2 ) + log a (y) [log a (5) + log a (x 3 )] = 2 log a (x) + log a (y) log a (5) 3 log a (x) = log a (x) + log a (y) log a (5). 60

61 Función logarítmica en la resolución de ecuaciones exponenciales Las propiedades de la función logaritmo nos permiten resolver ecuaciones exponenciales en las cuales la igualación de base no es posible. Ejemplos 1. Si volvemos al problema planteado anteriormente, teníamos la ecuación exponencial e 0.007t = , donde deseamos saber el valor de t. Se sigue de la inyectividad de la función logarítmica, que es posible aplicar logaritmo a esta última igualdad, en este nos ayudaremos del logaritmo natural, obteniendo ( ) ( ) ln(e 0.007t ) = ln 0.007t ln(e) = ln ( ) t = ln 227 ln(245) ln(227) t = De esto último, concluimos que en el año 2007 la población en Estados Unidos es de 245 millones de habitantes. 2. Resolver la ecuación 2 x+3 = 5 x 1. Solución: Aplicando logaritmo natural, se tiene 2 x+3 = 5 x 1 ln(2 x+3 ) = ln(5 x 1 ) (x + 3) ln(2) = (x 1) ln(5) x ln(2) + 3 ln(2) = x ln(5) ln(5) 3 ln(2) + ln(5) = x ln(5) x ln(2) 3 ln(2) + ln(5) = x(ln(5) ln(2)) 3 ln(2) + ln(5) x = ln(5) ln(2) =

62 3. Resolver 2 x 3 x+1 = 4. Solución: Aplicando logaritmo decimal, se tiene 2 x 3 x+1 = 4 log(2 x 3 x+1 ) = log(4) Ecuaciones logarítmicas x log(2) + (x + 1) log(3) = log(4) x log(2) + x log(3) + log(3) = log(4) x(log(2) + log(3)) = log(4) log(3) log(4) log(3) x = log(2) + log(3) Las ecuaciones que contienen términos de la forma log a (x) donde a es un número real positivo, con a 1, se conocen como ecuaciones logarítmicas. Se pueden resolver aplicando las leyes de los logaritmos de forma tal que puedan obtenerse expresiones con logaritmos de la misma base. Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1. log(x) + log(x 3) = 1. Solución: Teniendo en cuenta que log(10) = 1, entonces al emplear propiedades y la inyectividad de la función logarítmica, se tiene log(x) + log(x 3) = 1 log(x(x 3)) = log(10) x(x 3) = 10 x 2 3x 10 = 0 (x + 2)(x 5) = 0 x + 2 = 0 x 5 = 0 x 1 = 2, x 2 = 5. Si x = 2, se tiene log( 2) + log( 2 3) = 1, lo cual no tiene sentido, pues el dominio de la función logaritmo es R + y 2 no pertenece a este conjunto. Por lo tanto, la solución es x = 5. 62

63 2. log(x 3 7x x) log(x) = 1. Solución: Teniendo en cuenta que log(10) = 1, entonces al emplear propiedades y la inyectividad de la función logarítmica, se tiene log(x 3 7x x) log(x) = 1 ( ) x 3 7x x log = log(10) x x3 7x x = 10 x x 2 7x + 22 = 10 Por lo tanto, las soluciones son x 1 = 3 y x 2 = log 2 (x) log 8 (x) = 4. Solución: x 2 7x + 12 = 0 (x 4)(x 3) = 0 x 4 = x 3 = 0. Puesto que 2 y 8 son potencias de 2, entonces, al emplear la propiedad de cambio de base, se tiene log 2 (x) log 8 (x) = 4 ( ) ( ) log2 (x) log2 (x) = 4 log 2 (2) log 2 (8) log 2 (x) log 2(x) = 4 3 Problemas de aplicación log 2 (x) 1 3 log 2(x) = log 2(x) = 4 log 2 (x) = log 2 (x) = 6 x = 2 6 = Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como un porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la función R(x) = 6e kx, donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante. 63

64 Suponga que una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R = 10) de sufrir un accidente. (a) Obtenga el valor de k e indique cual es el riesgo de tener un accidente si la concentración asciende a (b) Con el valor de k obtenido anteriormente, indique la concentración de alcochol correspondiente a un riesgo del 100%. (c) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 10% o mayor de sufrir un accidente no deben manejar, qué concentración de alcochol en la sangre tiene un conductor que es arrestado y multado? Solución: (a) Para una concentración de alcochol en la sangre de 0.04 y un riesgo del 10%, hacer x = 0.04 y R = 10 en la ecuación y resolver para k. R = 6e kx 10 = 6e 0.04k e 0.04k = k = ln k = ( ) 5 = Luego, con k = y x = 0.17 en la ecuación, se tiene R = 6e Por lo tanto, para una concentración de alcohol en la sangre de 0.17, el riesgo de sufrir un accidente es cercano al 52.6%. (b) Con k = y R = 100 en la ecuación, determinaremos la concentración x de alcohol en la sangre. 100 = 6e 12.77x e 12.77x = ( ) x = ln = x = esto quiere decir que con una concentración de alcohol en la sangre de 0.22, el riesgo de sufrir un accidente es del 100%. 64

65 (c) Con k = y R = 20 en la ecuación, determinamos que la concentración x de alcohol en la sangre es dada por 20 = 6e 12.77x e 12.77x = 20 6 ( ) x = ln 3 x = = Por lo tanto, si un conductor presenta una concentración de alcochol en la sangre a un nivel de 0.094, éste debe ser arrestado y multado Cultura y aplicación Investigar: 1. Vida media de los isótopos. 2. Semivida de einación Carbono 14 ( 14 C ): Basándose en este fenómeno Libby, en 1949, propone la utilización del 14 C para la datación de restos arqueológicos, lo que le vale ser galardonado en 1960 con el Premio Nobel de Química. Si se conoce la actividad inicial del 14 C, la actividad del 14 C de la muestra y el tiempo de vida media del 14 C, se puede saber cuánto tiempo ha transcurrido desde el momento de la muerte del organismo a fechar. 65