FACULTAD DE INGENIERÍA - U.B.A Señales y Sistemas

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA - U.B.A. Departamento de Electrónica Señale y Sitema Trabajo Práctico Epecial Cambio de frecuencia de muetreo º Cuatrimetre 29

2 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo Reumen Ete trabajo tiene como objetivo que el alumno integre y aplique lo conocimiento adquirido a un problema real. Como objetivo ecundario, e pretende que el alumno aprenda a utilizar una herramienta computacional de proceamiento de eñale. Requiito para la aprobación El preente Trabajo Práctico Epecial erá evaluado con nota, la cual tiene participación en el cálculo de la nota de la curada y final de la materia (ver reglamento de la materia). Ete trabajo práctico erá evaluado excluivamente en la fecha indicada en el calendario y en el turno en el cual el alumno e halle incripto. Se dipondrá de do fecha de evaluación de la cuale el alumno deberá optar por una de ella. Bajo ningún concepto e podrá rendir en amba fecha. E aconejable rendir en la primera fecha y dejar la egunda olo para eventuale imponderable (problema peronale, falla técnica en la impreión del tp, etc) ya que no habrá poibilidad alguna de rendir fuera de la mima. La evaluación del tp e individual y e hará en forma oral o ecrita por lo docente auxiliare. Puede incluir pregunta obre: Ítem particulare obre lo ejercicio de eta guía y u implementación en Matlab. Concepto teórico neceario para realizar lo ejercicio. Puede requerire también al alumno que implemente alguno de lo ejercicio o imilare en la computadora en el momento de la evaluación. Por lo tanto el alumno debe preentare el día de la evaluación con: Eta guía. La olucione a lo problema planteado: Cuando el problema requiera una implementación, la mima debe etar adecuadamente decripta y debidamente jutificada. E decir, i e neceario jutificación teórica, éta debe etar dearrollada. Si e pide una implementación práctica la mima debe etar adecuadamente documentada de modo que el docente pueda contatar que la epecificacione requerida e cumplen. Eto incluye la preentación del programa de MATLAB utilizado, y lo gráfico neceario para motrar lo reultado obtenido. Lo programa de MATLAB deben incluire en la preentación impreo y en verión electrónica. Todo lo gráfico deberán tener título, comentario en ambo eje obre la unidad a repreentar y el eje de abcia debe etar en unidade de tiempo o frecuencia egún correponda. Nota del trabajo práctico epecial: : Tp no entregado, con errore conceptuale o errore en la evaluación que evidencien la no realización peronal del trabajo práctico. 4: Tp en el que el alumno cumple con lo mínimo requiito de aprobación. 7: Tp en el que el alumno realiza y demuetra conocimiento de todo lo punto olicitado. : Tp en el que el alumno demuetra una clara conceptualización del trabajo realizado y excede la pauta olicitada Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 2 de 3

3 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo Introducción La mayoría de la eñale dicreta tienen naturaleza analógica, como er lo itema de comunicación, la eñale de audio, eñale biológica, etc. El proceo de convertir eta eñale analógica a digitale e denominado converión A/D. El proceo invero de recontruir la eñal dicreta a analógica e denominado converor D/A. En ete trabajo epecial analizamo lo efecto del itema de converión real y que ocurre con ete cuando realizamo cambio de la velocidad de muetreo de una eñal, para ello utilizaremo operacione de diezmado e interpolación. El cambio de la velocidad de muetreo tiene mucha aplicacione práctica, como er: compreión de dato, proceamiento de eñale de audio, etc. 2 Converión de tiempo Continuo/Dicreto El converor recibe una entrada en tiempo continuo y produce una alida de tiempo dicreto. En la Figura podemo ver un equema de un converor C/D ideal. Figura : Equema de un converor C/D ideal. El itema recibe como entrada una eñal x c (t), continua, e le realiza un muetreo con un tren de impulo (t), con período T, y poteriormente e la convierte a una ecuencia, generando la alida x[n]. El tren de impulo e puede ecribir como: n= ( t) = δ ( t nt ) y al multiplicarlo con la eñal de entrada obtenemo la eñal intermedia x (t): En el dominio tranformado e tiene: x ( t) = x = x = c c ( t) ( t) ( t) c n= n= δ ( t nt ) x ( nt ) δ ( t nt ) 2π S ( jω) = δ ( ω kω ) T k = Donde ω =2 π/ T e la frecuencia de muetreo en radiane/eg. Si X(jω) e la tranformada de Fourier de x(t), aplicando la propiedad de la multiplicación de do eñale: X ( jω) = X c ( jω) * S( jω) 2π = X c ( j( ω kω )) T k = 2. Teorema de muetreo de Nyquit Sea x c (t) una eñal de banda limitada, con X c (jω) = para ω ω N (como e equematiza en la Figura 2). Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 3 de 3

4 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo Entonce, x c (t) e puede recuperar a partir de u muetra x[n] = x c (n.t), n=, ±, ±2,. ; i ω > 2ω N, donde ω e la frecuencia de muetreo. ω ω ω Figura 2: Epectro en amplitud de una eñal limitada en banda. 3 Reducción de la velocidad de muetreo en un factor entero. La velocidad de muetreo puede er reducida por un factor entero M, realizando una decimación de la eñal dicreta y de ete modo e genera una nueva ecuencia x d [n]. x [ n] = x[ n M ] = x [ n MT ] d La ecuencia x d [n] podría er obtenida por el converor C/D con período T =MT. En la Figura 3 e muetra un equema del itema planteado. c Figura 3: Equema del itema que permite diminuir la frecuencia de muetreo por un factor entero M. En la Figura 4 e muetra equema temporal de una reducción de la velocidad de muetreo por un factor de tre (M = 3), y en la Figura 5 la correpondiente verión en frecuencia. Figura 4: Equema temporal de una reducción de la velocidad de muetreo por un factor de tre (M = 3). (Extraído de Signal and Sytem; 2nd ed. Prentice hall. Alan V. Oppenheim, Willky, Young ) En el iguiente gráfico e oberva la reducción de velocidad de muetreo en el dominio de la frecuencia. Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 4 de 3

5 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo Figura 5: Equema en el dominio de la frecuencia de una reducción de la velocidad de muetreo por un factor de tre (M = 3). (Extraído de Signal and Sytem; 2nd ed. Prentice hall. Alan Oppenheim, Willky, Young ) En ejemplo anterior, la reducción de la frecuencia de muetreo puede generar un tralape de lo epectro i ΩN > π / M. Cuando eta condición no e cumple, para evitar el tralape e debe incluir un filtrado paabajo ante de realizar el ubmuetreo. En eto cao hay que aceptar que e pierde información y que por lo tanto ya no e pude regenerar la eñal original a partir de la verión ubmuetreada. En la Figura 6 e preenta un equema de un itema que implementa un filtrado paabajo (antia-alia) y poterior ubmuetreo de la eñal. En la Figura 7 e puede ver un ejemplo del comportamiento del itema para una eñal genérica x[m], muetreada originalmente con una frecuencia de muetreo f, y que e reducida en un factor de M = 3. Figura 6: Equema de un itema que implementa un filtrado paabajo (antia-alia) y poterior ubmuetreo de la eñal (Extraído de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 ). Figura 7: Ejemplo de un filtrado anti-alia y ubmuetreo por un factor de tre. (Extraído de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 ). Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 5 de 3

6 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo 4 Aumento de la velocidad de muetreo en un factor entero En alguna aplicacione e útil aumentar la velocidad de muetreo. Conideramo una ecuencia x [n] con período de muetreo T, cuya velocidad de muetreo e deea incrementar en un factor L. El objetivo e obtener y[ n] = xc ( n T '), donde T =T/L, a partir de x [n]. Para realizar lo ante dicho e realiza una expanión temporal, obteniendo w [n] como: n x = ± ± i n ; L; 2L;... w[ n] = L en otro cao Eto no e má que agregar L- cero entre muetra y muetra de la eñal x [n]. Luego de la expanión e realiza el filtrado paa bajo para interpolar la muetra de la eñal original. En la Figura 8 e puede ver un equema del itema completo, y en la Figura 9 un ejemplo de aplicación en una eñal genérica. Figura 8: Equema de un itema que aumenta la frecuencia de muetreo en un factor entero. (Extraído de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 )..5 x(n) /T X(e jω ) n π 2π 4π 6π Ω.5 w(m) 3 L /T W(e jω' )=X(e jlω' ) H(e jω' ) y(m) m L/T=/T' Y(e jω' )) π/3 π/l 2π/L 2π/3 π 4π/L 4π/3 2π 6π/L Ω'=Ω/L L = 3.5 m Ω' π/3 π 2π Figura 9: Ejemplo de un obremuetreo por 3 y poterior filtrado interpolador. (Adaptado de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 ). El filtro paa bajo de la figura anterior e el encargado de interpolar la muetra de la ecuencia en el tiempo. La repueta al impulo del filtro paabajo ideal e: Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 6 de 3

7 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo h[ n] = n en π L n π L En alguno cao e pueden utilizar filtro interpoladore má encillo, como el de orden y orden. Otro muy utilizado en la practica utiliza pline cubica. A continuación decribiremo brevemente eto interpoladore. 4. Interpolador de orden cero El filtro interpolador de orden cero, má conocido como retenedor de orden cero, e define como: i n < L h[ n] = en otro cao. En la Figura e muetra la interpolación de la ecuencia x [n] con el filtro interpolador de orden cero h [ ], y L = 5. n. Figura : Ejemplo de interpolación con un retenedor de orden, con L = 5. (Extraído de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 ). 4.2 Interpolador de orden uno La repueta al impulo del interpolador de orden, también conocido como interpolador lineal, eta dada por: h lin n [ n] = i n L L en otro cao. En la Figura e muetra la interpolación de la ecuencia x [n] con el filtro interpolador lineal [n] = 5. h lin, y L Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 7 de 3

8 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo Figura : Ejemplo de interpolación con un retenedor de orden, con L = 5. (Extraído de Dicrete-Time Signal Proceing; 2nd ed. Prentice hall. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck ) En la Figura 2 e muetra la repueta en frecuencia de un filtro de interpolación lineal (L=5) y del filtro paabajo ideal a modo de comparación. Figura 2: Comparación de la repueta en frecuencia de un interpolador ideal y uno lineal, para L = 5. (Extraído de Dicrete-Time Signal Proceing; 2nd ed. Prentice hall. AlaV. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck ) 4.3 Interpolación por pline cubico Lo apartado anteriore hemo vito do funcione de interpolación comúnmente uada en la práctica. Algo para hacer notar, e que el interpolador de orden uno puede er obtenido como la convolución de el interpolador de orden cero por i mimo. Eto genera una familia de funcione conocida como B-pline de grado n, β n, la cuale on polinomio de orden n, y e la puede obtener en forma recuriva como: n n β ( t) = β ( t) β ( t) n Donde β, e el interpolador de orden cero que vimo en el apartado anterior. En la Figura 3 e equematizan la primera cinco B-pline, donde e puede obervar que a medida que aumenta el orden, e achantan má y e aemejan a una función gauiana. Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 8 de 3

9 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo Figura 3: B-pline para n = hata 4.. (Extraído de Michael Uner, Sampling 5 Year After Shannon, Proc. of IEEE, vol. 88, no. 4, April 2 ) La interpolación por pline, también conocida como interpolación egmentaria, tiene como idea central el de no uar un olo polinomio para interpolar todo lo dato, ino definir funcione interpolante entre pare coordenado de dato. Para un conjunto muy numeroo de punto no e muy útil calcular el polinomio interpolante que paa por eto punto, pue ete tiende a tener grande ocilacione. Ma aconejable e hacer una interpolación ecuencial de grado bajo obre ubconjunto ma pequeño del total de punto, definiendo aí una función en parte. Se puede decir de manera informal, que la función interpolante pline eta formada por vario polinomio, cada uno definido en un intervalo y que e unen entre i bajo cierta condicione de continuidad. En la interpolación por pline cubico, en cada uno de lo ubintervalo (x k, x k+ ), e define polinomio de grado 3 de tal forma que cualequiera do definido en intervalo eguido (x k-, x k ) y (x k, x k+ ), ambo coincidan en x k no olo en el valor de la función ino también en u primera derivada y egunda derivada, con el fin que haya uavidad en cada coordenada (x k, y k ). La ecuación que repreenta a cada polinomio etá dada por: S i (x) = a i x 3 +b i x +c i x + d i para i=,,n-. 5 Cambio de frecuencia de muetreo por un factor racional L/M En lo apartado anteriore vimo como cambiar la frecuencia de muetreo por un factor entero. Ahora no detendremo en el cao donde el factor de cambio e puede exprear como un número racional, de la forma L/M. Eto puede er implementado por un obremuetreo por un factor L y poterior ubmuetreo por un factor M. Ete procedimiento e equematiza en la Figura 4. Exiten algoritmo que implementan en forma eficiente eta operación. Figura 4: Equema de un itema que realiza el cambio de frecuencia de muetreo por un factor de L/M. (Extraído de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 ). 6 Aumento de la frecuencia de muetreo en el dominio de la frecuencia Una alternativa para aumentar la frecuencia de muetreo e trabajar en el dominio de la frecuencia. Como ya analizamo, el efecto en frecuencia de obremuetrear e una compreión del epectro. Luego al aplicar el filtro paa bajo, eliminamo lo duplicado del epectro original. Eto e puede obervar en la Figura 9. Eta tarea también podemo implementarla directamente en frecuencia dicreta. Solo bata con agregar cero en el centro de la FFT y luego antitranformar. En la Figura 5, e ha repreentado el ejemplo de la Figura 9, pero para el cao de la DFT. El algoritmo ería como igue:. Calcular la FFT de la eñal que e deea interpolar. 2. Agregar cero en el centro de la FFT, tanto como nueva muetra e deeen. 3. Calcular la FFT invera par obtener la eñal interpolada. Si obervamo la Figura 5, eto ería equivalente a paar del primer grafico al tercero, in realizar el egundo. Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 9 de 3

10 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo.5.5 x(n) X(k) 2 3 n N- k.5 w(m) 3 W(k')=X(kL') H(k') m 3N- k'.5.5 y(m) Y(k') m 3N- Figura 5:Adaptación de la Figura 9 para el cao de la DFT. k' 7 Cambio de frecuencia de muetreo por un factor no racional Finalmente, no ocuparemo del cao general donde e deea cambiar la frecuencia de muetro por un factor cualquiera. La interpolación de eñale de tiempo dicreto y limitada en banda e una herramienta báica de uo extenivo en el área de proceamiento digital de eñale. En general, e puede plantear como el cálculo del valor de una eñal en un punto arbitrario del tiempo continuo, a partir de un conjunto de valore en tiempo dicreto de la amplitud de la eñal. En otra palabra, e trata de la interpolación de la eñal entre muetra de la mima. Dado que e upone que la eñal e limitada en banda, egún el teorema de muetreo (ver ección.2), la eñal e puede er recontruida exactamente y de forma única para todo punto del tiempo continuo a partir de u muetra. A continuación preentaremo brevemente la interpretación analógica del cambio de frecuencia de muetreo. Supongamo que tenemo muetra equiepaciada x[nt ] de una eñal x(t) continua y abolutamente integrable. Aquí, t R, n Z y T e el período de muetreo. Aumimo que x(t) eta limitada en banda, e decir, i X(ω) e la Tranformada de Fourier de x(t), entonce cumple con que X(ω)= para ω >= π F, con F = /T la frecuencia de muetreo. Por el teorema del muetreo, x(t) puede er recontruida a partir de x[m T ] por: donde: xˆ ( t) = x( mt ) h ( t mt ) x( t) = m in(π F t) h ( t) = in c( F t) = π F t (2) Para cambiar la frecuencia de muetreo a F ', olo neceitamo evaluar la ecuación () en punto múltiplo entero de T = /F, e decir x ˆ( nt '). Cuando la nueva frecuencia de muetreo e menor que la original, la frecuencia de corte del filtro paabajo, debe etar por debajo de eta. E decir que debemo reecribir la ecuación (2) como () Smith, J.O. Digital Audio Reampling Home Page. Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página de 3

11 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo { F, F '} in c( min{ F, F } t) h ( t) = min ' done el factor de ecala e para mantener una ganancia unitaria en la banda de pao. La ecuación () puede vere como una uperpoición de funcione inc deplazada y ecalada. Toda la inc on centrada en la poición de cada muetra de la eñal y ecalada por la amplitud de eta, y toda la intancia e uman para dar la función original x(t). Eto e ilutra en la Figura 4, donde podemo ver 5 funcione inc, deplazada una muetra y de amplitud modulada por el valor de la muetra. En eta figura también e puede obervar que lo cruce por cero de cada función inc coinciden con lo intante temporale de la demá muetra. Figura 6: Recontrucción de un a eñal limitada en banda. La línea de punto reflejan la inc y la línea llena la recocontrucción obtenida por la uperpoición de eta (Extraído de Smith, J.O. Digital Audio Reampling Home Page. ). Una egunda interpretación de la ecuación () puede er la iguiente. Si e deea obtener el valor de la eñal en un punto t, e centra una inc en el punto t, y e obtiene el valor deeado como la uma de lo valore de la eñal peado por el valor de la inc en dicho punto. Eta egunda interpretación e deprende de la propiedad conmutativa de la convolución. En la figura 7 y 8 e equematiza el procedimiento para ditinto valore de t=n T - α i. Figura 7: Suma de convolución en el dominio del tiempo (Extraído de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 ). Figura 8: Suma de convolución para diferente αi. (Extraído de Digital Audio Signal Proceing; Udo Zölzer. 2nd ed., JohnWiley & Son Ltd, 28 ). A efecto práctico, la uma de convolución e truncada en M término, e decir, la repueta impuliva del filtro e ventaneada, y e puede ecribir como: M x ˆ [ nt '] = x[ mt ] h [ nt ' mt ] (3) m= M Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página de 3

12 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo Hata aquí hemo utilizado un filtro paa bajo ideal, pero la mima deducción e puede realizar para otro tipo de filtro interpoladore. En la práctica uno muy utilizado e el de Kaier, ya que tiene una mayor atenuación en la banda de rechazo que el filtro paabajo ideal. Eto e equematiza en la Figura 9. Figura 9: Repueta en frecuencia (en db) del filtro paabajo ideal (izquierda) y de Kaier (derecha) ventaneado con una ventana rectangular. (Extraído de Smith, J.O. Digital Audio Reampling Home Page ). 8 Guía de Ejercicio. Genere una eñal enoidal, con una frecuencia de 5 Hz, muetreada a: a) f = 44. khz. b) f = 22.5 khz. c) f =.25 khz. d) f = 8 khz. e) f = khz. d) f =.8 khz. En todo lo cao grafique y ecuche el tono generado. Comente lo reultado obtenido. En todo lo cao e conerva la identidad del tono? 2. Repita el ítem anterior, comenzando con una frecuencia de muetreo de 2kHz y diminuyendo paulatinamente la frecuencia de muetreo hata alcanzar el punto donde el tono comience a ditorionare. 3. Genere un egundo de una onda triangular, de frecuencia Hz, con una frecuencia de muetreo f = 2. Incremente L = 5 vece la frecuencia de muetreo, intercalando cero entre muetra y muetra y poteriormente, interpolando con: - Un interpolador de orden cero. - Un interpolador de orden uno. - Un pline Implemente la olución convolucionando la eñal con el interpolador, tanto en el domino del tiempo como en el de la frecuencia. Ítem opcional: En cada cao, derive teóricamente la expreione de la pline. De la mima forma, encuentre u tranforma Z. Grafique lo reultado obtenido. Realice la mima tarea, pero en el domino de la frecuencia, calculando la FFT e inertando cero. En todo lo cao etime el error cometido por el interpolador, comparando la eñal obtenida por interpolación y una generada directamente con la frecuencia deeada. Tenga en cuenta lo defaaje generado por el interpolador. Repita el ejercicio para un tono puro de 2 Hz, muetreada a 2 khz, con un L = 4; En cada cao, grafique un período y ecuche el tono interpolado. 4. Repita el ejercicio 3 para un L/M = 3.5; Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 2 de 3

13 Trabajo Práctico Epecial: Cambio de frecuencia de muetreo 5. Repita el ejercicio 3 para L/M= pi. 6. Repita el ejercicio para 2 egundo de una eñal chirp, cuya frecuencia varíe entre y 2 Hz, muetreada a 2 khz, con un L = 4; En cada cao, grafique la eñale generada y ecuche lo tono interpolado. 7. Dada una eñal chirp, cuya frecuencia varía entre y Hz en 2 egundo y muetreada a 2 khz, diminuir u frecuencia de muetreo L/M = 3/4 vece. 8. Calcule y grafique el epectro en amplitud y lo epectrograma de la eñale de lo ejercicio anteriore. Interprete y compare con lo reultado obtenido anteriormente. 9. El cambio de frecuencia de muetreo e puede penar como una inerción de cero, eguido de un filtrado y poterior decimación. Implemente la rutina necearia para realizar al cambio de muetreo de 44. khz a 8 khz y vicevera, utilizando eta metodología. Experimente con diferente filtro, jutificando u elección. Grafique la repueta en frecuencia del itema. Pruebe el itema con la eñale de audio cd.wav y tel.wav. Evalúe perceptualmente la alida.. Repita el ejercicio anterior, pero invirtiendo el orden de obremuetreo/decimación a decimación/obremuetro. E válido ete cambio? Si lo e, lo e iempre?, y i no lo e hay alguna ituación en la que e valida?. Implemente el ejercicio, de la guía de muetreo, para una eñal de entrada chirp. 2. Implemente un itema que permita cambiar la frecuencia de muetreo egún la ecuación (3), y repita el ejercicio anterior. Etime el coto computacional de eta implementación y compárela con la implementación del ejercicio anterior. Señale y Sitema º Cuatrimetre 29 Página 3 de 3