Resumen INTRODUCCIÓN PROBLEMÁTICA

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1 UNA RESIGNIFICACIÓN DE LA DERIVADA. EL CASO DE LA LINEALIDAD DEL POLINOMIO EN LA APROXIMACIÓN SOCIOEPISTEMOLÓGICA María del Pilar Rosado Ocaña, Francisco Cordero Osorio Facultad de Matemáticas-UADY; CINVESTAV-IPN, México Campo de Investigación: Socioepistemología; Nivel Educativo: Superior Resumen Se presenta el resultado de un trabajo de tesis de maestría, el cual consideró como una problemática específica sobre el concepto de derivada en Educación Superior, de nuestro Sistema Educativo, la ausencia, en la matemática escolar, de marcos de referencia que permitan resignificar la derivada. Así, se contribuyó en formular dicho marco, el cual fue cristalizado en el diseño de la situación de la linealidad del polinomio. El diseño se justificó con la aproximación socioepistemológica. En este marco la socioepistemología de la linealidad del polinomio puso en juego tres momentos para lograr las resignificaciones: a) Traslación de la gráfica; b) Tendencia de la gráfica y c) Argumentación gráfica. INTRODUCCIÓN Esta investigación se propuso buscar un marco de referencia que ayudara a resignificar la derivada para el caso de una función polinómica. La aproximación socioepistemológica nos ayudó a precisar que dicha problemática se trataba de la ausencia, en la matemática escolar, de marcos de referencia que permitieran resignificar la derivada. Por lo que, nuestra contribución consistió en formular dicho marco, a través del diseño de la situación de la linealidad del polinomio. El diseño se valió de la perspectiva teórica, la cual, asume que cuando se trata de fenómenos didácticos de la matemática, la construcción de ésta es eminentemente social. En este trabajo de investigación tomamos como problemática, que la derivada de una función no logra resignificarse en las experiencias escolares. Prototipos de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva no se resignifica y algunas veces es el obstáculo para que se resignifique. Pero aún más grave, los marcos de referencia para posibilitar tales cuestionamientos están ausentes en el propio discurso matemático escolar. Siendo así, nos propusimos buscar un marco de referencia que ayude a resignificar la derivada. La investigación, finalmente, ofreció datos importantes para la construcción del marco de referencia. Estos fueron sobre la función y forma del conocimiento matemático; sobre el uso y la modelación de lo gráfico; y sobre las epistemologías de prácticas que generan esquemas para el rediseño de situaciones didácticas. PROBLEMÁTICA Asumimos que la derivada de una función polinómica, no logra resignificarse en las experiencias escolares. Es decir, prototipos de funciones polinómicas generalmente no son resignificadas para cuestionar, si la curva polinómica se comporta como una recta en un punto determinado o, si tal comportamiento de la recta afecta el comportamiento 793

2 Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 19 de la curva o, si el comportamiento de la recta tiene relación con la parte lineal del polinomio en cuestión. Pero más aún, el marco de referencia para posibilitar tales cuestionamientos está ausente en el propio discurso matemático escolar. La problemática que atiende este proyecto, se centra en la ausencia de significados que se presenta en contenidos de precálculo y cálculo. Específicamente, en el concepto de la derivada. Algunos trabajos de investigación reportan que los estudiantes no incorporan más significados al concepto de la derivada, que el de la recta tangente a una curva; por ejemplo, se documenta que en la didáctica actual, todavía se halla énfasis en los aspectos formales y rigurosos, dejando de lado los aspectos epistemológicos y psicológicos concernientes a los conceptos. En el cálculo escolar, los conceptos fundamentales son señalados por la derivación e integración, los cuales son explicados a través de las concepciones de límite y de función, acompañados de sus representaciones geométricas, la recta tangente a una curva, y el área bajo la curva. Cabe señalar que esta didáctica ha generado una cultura, en el profesor y estudiante; ellos pueden decir lo que es la derivada y la integral a través de prototipos geométricos, sin tener una explicación que les permita estudiar fenómenos de variación continua, sólo lo conciben como una herramienta que los provee de algoritmos eficientes, a los cuales hay que buscarles aplicación (Cordero, 1997). Esta didáctica privilegia los argumentos analíticos, obligando matizar los conceptos derivada e integral a través de los dominios de las funciones. Sin embargo, estudios epistemológicos indican la necesidad de interactuar a través de diferentes marcos, tales como el geométrico, numérico y algebraico (Douady, 1984). Entonces, se requiere crear una didáctica que equilibre los diferentes argumentos que emanan de dichos marcos. Una consecuencia que se produce cuando se privilegian los argumentos analíticos consiste en que la didáctica toma los conceptos matemáticos como objetos ya hechos, sin considerar que estos conceptos tienen que ser construidos por el sujeto. Tal práctica didáctica elimina la posibilidad de considerar al conocimiento matemático como una herramienta funcional, limitando al estudiante a tratar con distintas clases de situaciones. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN Se propone formular una resignificación de la derivada basándose en la construcción de argumentos para una propiedad de los polinomios. A tal propiedad se le ha llamado linealidad del Y P polinomio, la cual puede soportar un argumento y P ( 0) x P(0) gráfico para la derivada ya que relaciona a la recta tangente en un punto con el comportamiento de la x 0 0 función en un intervalo de dicho punto, en particular para el punto x 0 0, como se muestra en la siguiente gráfica (Figura 1). Figura 1 La hipótesis de investigación consiste en afirmar que el comportamiento tendencial de las funciones es considerado como el argumento del estudiante, en el contexto gráfico, que posibilitará la nueva construcción, y con ello construirá la propiedad de linealidad del polinomio. 794

3 Una resignificación de la derivada. El caso de la linealidad Esta propiedad puede enunciarse de la siguiente manera: En todo polinomio n n 1 P n( x ) an x an 1x... a1x a0, la parte lineal a1x a0 es la ecuación de la recta tangente a la curva de P n ( x ) en x 0 =0 (Figura 2). y Figura 2 Y a P n x 1 a 0 En ese sentido, la linealidad del polinomio consiste en formular una función con comportamiento tendencial. La construcción formula la tendencia y el patrón de comportamiento. El argumento consistirá en establecer relaciones entre una función polinómica y la ecuación de una recta, a través de determinar un comportamiento que tiende a otro comportamiento cuando x toma valores en un intervalo de cero, con ello el estudiante reconstruirá significados a las relaciones (Figura 3). h( x ) P n( x ) recta + = P ( n x ) ax a 1 0 Figura 3 hx ( ) De esta manera, se generan argumentos para predecir el comportamiento de las gráficas de funciones polinómicas, sin necesidad de realizar procedimientos analíticos, basándose únicamente en la forma algebraica del polinomio. Y viceversa, a partir de la forma de la gráfica estimar la función polinómica. EL DISEÑO DE SITUACIÓN Con el propósito de ir formulando un método que vigile la hipótesis de investigación (según la socioepistemología), acudimos a un aspecto metodológico el cual consiste en tener un camino (lo más explícito posible) que garantice que el diseño de la situación refleje la hipótesis en cuestión. El concepto descomposición genética de la teoría APOE ayudó a tal fin. Sin embargo la aproximación socioepistemológica, obligó ampliar dicho concepto puesto que las construcciones mentales necesariamente fueron tratadas en el marco de las resignificaciones que se generan en la actividad humana o práctica social. En ese sentido, señalamos una serie de puntos secuenciales que normaron el diseño de la situación. La socioepistemología de la linealidad del polinomio. La aproximación socioepistemológica nos señala que una resignificación de la derivada se da en una 795

4 Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 19 situación de linealidad del polinomio, cuya argumentación es expresada por el comportamiento tendencial del polinomio en cuestión (todo ello es la hipótesis). Una descomposición genética con base en la socioepistemología. Se formula una descomposición genética para la construcción de argumentos en la linealidad del polinomio. Para ello, se considera que los argumentos están formados por significados que generan procedimientos y que en la relación entre los significados y los procedimientos, se generan procesos y objetos, como los diferentes niveles cognitivos que reflejan los estudiantes ante una situación determinada. Por lo que, en esta descomposición genética se consideran esos cuatro elementos de la siguiente manera: Significados. Los patrones de comportamiento son los significados para las funciones resultantes al sumar una función cuadrática con una recta (desplazamiento de la gráfica), los patrones de comportamiento para las funciones resultantes al sumar una función cúbica con una recta (tendencia de la gráfica) y los patrones de comportamiento de las funciones resultantes al sumar un polinomio con una recta (argumentación de la gráfica). Procedimientos. Los procedimientos consisten en variar parámetros en las ecuaciones de las rectas que se suman a una función polinómica específica, así como graficar las funciones resultantes junto con las ecuaciones de las rectas sumadas en un mismo sistema de ejes coordenados, indicar la parte lineal en la gráfica de un polinomio y en algunos casos, proponer la expresión analítica para una gráfica dada. Procesos-Objetos. Los diferentes niveles cognitivos se reflejan en las conjeturas y generalizaciones descritas de acuerdo con los significados y procedimientos planteados para cada una de las secuencias que integran la situación, a través de concebir a la función como una instrucción que organiza comportamientos. Argumentos. Los argumentos son generalizaciones a través de las justificaciones dadas a los procedimientos realizados para sustentar las conjeturas que se establecen en los significados, en los procedimientos, y en los procesos-objetos. SECUENCIA DE LA SITUACIÓN La situación de la linealidad del polinomio conviene formularla a través de tres momentos y éstos a su vez, plantearlos por actividades. A cada uno de estos momentos se les llamará secuencia. Situación S1. Traslación de la gráfica S2. Tendencia de la gráfica S3. Argumentación gráfica El proceso de construcción que aparece en la situación es como sigue: la secuencia uno 2 (S1) formula una conjetura: la parábola y x se traslada vertical y/o horizontalmente, dependiendo de los coeficientes de la recta, y el traslado no admite cambios de pendiente de la parábola; la secuencia dos (S2) formula una conjetura distinta a la de la secuencia uno, la cual provoca una contradicción debido a que se espera la misma 3 conjetura para la secuencia dos: la gráfica de y x no se traslada, pero sí cambia de pendiente. Los participantes se enfrentan a la contradicción, y para resolverla tienen que reformular la conjetura 1 con base en la conjetura 2. La linealidad (S3) es el argumento que satisface ambas preguntas y posibilita la generalidad para cualquier polinomio. 796

5 Una resignificación de la derivada. El caso de la linealidad ASPECTOS METODOLÓGICOS Para obtener evidencias de la hipótesis de investigación, se realizó la puesta en escena para la implementación de la situación diseñada para generar argumentos en la linealidad del polinomio, para lo cual se contó con cinco estudiantes de Ingeniería en Alimentos, de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología (UPIBI), quienes habían llevado al menos un curso de cálculo. La dinámica que se llevó a cabo con los estudiantes consistió en una pequeña introducción del uso básico de la calculadora graficadora, ya que se utilizó como herramienta para realizar las actividades de las secuencias 1 y 2, posteriormente se formaron dos equipos y se llevó a cabo la aplicación de las actividades que conforman la situación (una pregunta inicial y tres secuencias de actividades) en una sesión realizada en el laboratorio de Didáctica y Cognición del Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN. Los estudiantes entrevistados fueron audiograbados y videograbados, con la finalidad de captar todas las discusiones, los comentarios, sugerencias, dudas y respuestas que surgieran durante cada entrevista, y con ello tener detalles más exactos para el análisis de cada actividad. Cabe mencionar que en una sesión posterior, los dos equipos tuvieron la oportunidad de confrontar sus conjeturas planteadas en cada secuencia y realizar una actividad adicional que sirvió para observar si los estudiantes habían logrado generar argumentos en la situación de linealidad del polinomio. Se consideraron aspectos metodológicos para la recolección de datos, como el análisis a priori, para tratar lo hipotético, y el análisis a posteriori, para tratar lo que realmente hicieron los estudiantes, y se confrontaron ambos análisis para llegar a una conclusión puntual de la situación de la linealidad del polinomio. CONCLUSIONES Esta investigación tuvo que ver con varios aspectos de la matemática educativa: 1. La problemática en el nivel superior. 2. La aproximación teórica socioepistemológica. 3. La contribución didáctica. Los tres aspectos deben interconectarse para apreciar los resultados de la investigación. Para ello, señalamos los principales supuestos. Asumimos que la matemática del nivel superior está al servicio de otros dominios científicos y de otras prácticas de referencia, donde a su vez adquiere sentido y significación (Cantoral y Farfán, 2003). Sin embargo, la evolución de la didáctica de la matemática no ha considerado esta dirección. De ahí la necesidad de crear un marco de referencia para entender los fenómenos didácticos en esa matemática escolar. Creemos que uno de esos marcos es la socioepistemología, la cual busca epistemologías más robustas que no sólo se centren en los conceptos matemáticos, sino considere las prácticas sociales que dan cuenta del conocimiento matemático. Tales epistemologías deberán ser más acordes con el conocimiento funcional, de ahí entonces la contribución didáctica. Es por ello, que la epistemología, en nuestro caso particular, de la linealidad del polinomio, tiene un énfasis especial en la intencionalidad que demanda el ingreso al sistema didáctico, la cual debe modelar las prácticas sociales. Debe trazar una ruta de las resignificaciones de tal conocimiento matemático consistente con las formas de reorganización de los grupos humanos, es decir, debe trazar una socioepistemología. En ese sentido la epistemología de la linealidad del polinomio, nos dió información sobre los diferentes contextos que la linealidad tuvo que confrontar. Además, nos brindó 797

6 Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 19 un marco argumentativo donde los significados, procedimientos y los procesos y objetos del comportamiento tendencial de las gráficas y de las funciones resignifican la derivada en las funciones polinómicas a través de tres momentos en los que se debate, el funcionamiento y la forma del comportamiento lineal intrínseco al polinomio. La hipótesis de investigación fue formulada en los términos de considerar que existe un argumento llamado comportamiento tendencial de las funciones que permite a los estudiantes, a través del argumento gráfico construir significados de diferentes conceptos matemáticos (Cordero, 1998, 2001, y 2003; Domínguez, 2003; y Campos, 2003). En nuestro caso, la hipótesis consistió en afirmar que con la situación de linealidad del polinomio los estudiantes construirían argumentaciones gráficas según las secuencias de la situación (traslación de la gráfica, tendencia de la gráfica y argumentación gráfica). Con tales argumentaciones gráficas, el modelo original de la derivada (la derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto) se resignifica como la linealidad del polinomio en el cual se debate, como ya lo anotamos, entre la función y la forma del comportamiento tendencial del mismo. Entonces, la linealidad del polinomio es intrínseco a éste, es decir, siempre ha estado ahí (todo polinomio se compone de su parte lineal), sin embrago, en el discurso matemático escolar, no se había generado un argumento de ningún tipo a partir de ella. El privilegio algebraico, en algún sentido, ha normado las propiedades del polinomio pero ha obscurecido otras. La situación de linealidad del polinomio es en sí, un marco de referencia que busca los equilibrios de contextos que intervienen en la construcción de la matemática para ir rompiendo tales privilegios. Sin embargo, qué quiere decir la linealidad del polinomio, en la didáctica de la matemática? Creemos que podría tener varios significados con direcciones diferentes: 1. Función y forma. La linealidad tiene como función determinar un comportamiento sui generis del polinomio cuando éste cruza al eje de las y. El polinomio, en ese punto, se comporta como su parte lineal. Este hecho permite identificarle una forma a la gráfica del polinomio, de ahí la construcción del argumento gráfico. Con esa forma gráfica se pude estimar la parte lineal del polinomio en cuestión y viceversa, con la parte lineal del polinomio se pude bosquejar la gráfica de la función. Tal situación se generaliza para cualquier polinomio. 2. Uso y modelación. La función y la forma de la linealidad se mantiene y se desarrolla a través del argumento comportamiento tendencial de las funciones. Tal argumento establece un uso gráfico que corresponde a la modelación de comportamientos tendenciales. Es decir, la parte lineal del polinomio es una instrucción que organiza el comportamiento de éste. La esencia del comportamiento está en la gráfica. En ese sentido la relevancia de la gráfica está en la determinación cualitativa del comportamiento y en la consistencia de su forma analítica. 3. Epistemología de prácticas. Una práctica es modelar comportamientos para predecir, ésta es transformada en la situación didáctica en argumento. Según nuestro planteamiento socioepistemológico debemos generar una epistemología que desarrolle dichas prácticas y como consecuencia se genera conocimiento matemático. La investigación quiere dar cuenta de éste hecho, la situación de linealidad del polinomio es el ejemplo para el concepto de derivada. Todos estos significados seguramente fortalecen el marco de referencia construido para resignificar, en este caso, la derivada. Didácticamente, la linealidad del polinomio es una reorganización de la obra matemática, el cual, es un eje que organiza contenidos matemáticos funcionalmente. Palabras Claves: Resignificación, Socioepistemología, Linealidad del Polinomio. 798

7 Una resignificación de la derivada. El caso de la linealidad Referencias Bibliográficas Campos, C. (2003). Argumentaciones en la transformación de las funciones cuadráticas. Una aproximación socioepistemológica. Tesis de maestría no publicada, Cinvestav, México. Cantoral, R., y Farfán, R. (2003). Matemática Educativa: Una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 6(1), Cordero, F. (1997). Una base de significados en la enseñanza de la matemática avanzada. Serie: Antologías, 1, Cinvestav, México. Cordero, F. (1998). El entendimiento de algunas categorías del conocimiento del cálculo y del análisis: el caso del comportamiento tendencial de las funciones. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 1(1), Cordero, F. (2001). La distinción entre construcciones del cálculo. Una epistemología a través de la actividad humana. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 4(2), Cordero, F. (2003). Lo social en el conocimiento matemático: los argumentos y la reconstrucción de significados. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Volumen 16, Tomo 1, pp ). México: Editorial Iberoamérica. Domínguez, I. (2003). La resignificación de lo asintótico en una aproximación socioepistemológica. Tesis de Maestría no publicada. Cinvestav, México. Douady, R. (1984). Dialectique outil-objet et jeux de cadres: une realization dans tout le cursus primaire. Unpublished Doctoral Dissertation, Université Paris