TABLAS Y GRÁFICOS PARA EL DISEÑO DE VIGAS Y COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA Y OBLICUA, DE ACUERDO AL PROYECTO CIRSOC

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1 TABLAS Y GRÁFICOS PARA EL DISEÑO DE VIGAS Y COLUNAS SOETIDAS A FLEXIÓN COPUESTA RECTA Y OBLICUA, DE ACUERDO AL PROYECTO CIRSOC Ing. Sana B. Gea, Dra. Ing. Liz G. Nallim Faltad de Ingeniería, Univeridad Naional de Salta. Salta, Argentina RESUEN La próxima peta en vigenia de la atalizaión del Reglamento Argentino de Etrtra de Hormigón, CIRSOC 201, afín on la línea ameriana de dieño por reitenia on fatore de redión de reitenia variable de inremento de arga, reqiere de ada de állo adeada. En el preente trabajo e metra ómo, a travé de lo poible diagrama de deformaión en rotra la eaione de eqivalenia empleando la hipótei de diagrama niforme de tenione en el hormigón, e obtvo en forma exata lo igiente elemento para el dieño verifiaión de eione de hormigón armado: tabla adimenionale para viga ometida a flexión ompeta reta, on armadra imple doble aimétria; diagrama de interaión para elemento on armadra doble imétria ometido a flexión ompeta reta elemento omprimido oliitado por flexión ompeta oblia. Se inle diha tabla diagrama, para diferente alidade de hormigón aero variada onfigraione de eión tranveral de armado. ABSTRACT Sine the Argentine ode for reinfored onrete trtre, CIRSOC 201, i oon going to be pdated aording to the Amerian Strength Deign ethod, new adeqate deign aid are to be needed. In thi paper deign aid table and diagram are developed in an exat wa b mean of the poible train diagram in failre, the eqivalene eqation and the retanglar ompreion diagram for onrete. Adimenional table for axial load and bending in beam with both imple and non mmetri doble reinforing, interation diagram for niaxial bending loaded member mmetriall reinfored and for biaxial bended, axiall loaded olmn are preented, eah one for different onrete and teel trength and different retanglar etion and reinforing ditribtion.

2 1. INTRODUCCIÓN Se enentra próximo a entrar en vigenia en Argentina el Reglamento de Etrtra de Hormigón, CIRSOC 201, el al adopta omo bae la eela ameriana, el ACI Ete, a vez, tiene entre araterítia má innovadora, repeto de la verión 1999, la inorporaión de n oefiiente de egridad variable en el dieño de eione ometida a flexión ompeta, egún e detalla en el Capítlo 2. A partir de ete ambio, la ada de állo exitente, omo por ejemplo la dearrollada en ACI, , pierden tilidad, iendo neeario el dearrollo de neva tabla gráfio qe ontemplen la variabilidad de diho oefiiente de egridad. 2. SEGURIDAD ESTRUCTURAL Llamaremo Q d a la arga de erviio epeifiada, U a la reitenia reqerida S n a la reitenia nominal del elemento etrtral. Lo oefiiente de egridad pariale on denominado fatore de redión de reitenia, φ, fatore de maoraión de arga, γ i, onformando el método de dieño on fatore de arga reitenia. La egridad etrtral etá garantizada i e mple: S d U, (1) on: S d reitenia de dieño S d φ. S n (2) U Σ γ i. Q di (3) La reitenia reqerida U e exprea en término de arga maorada, o de lo momento ferza interna orrepondiente. Fatore de Carga, g i. Lo fatore de arga γ i orreponden a arga permanente (γ D ), obrearga aidental (γ L ), preión lateral de tierra (γ H ), peo preión de flido (γ F ), viento (γ w ) imo (γ E ) difieren en magnitd. Ademá, eto fatore toman diferente valore egún la ombinaión de arga qe e adopte la probabilidad de qe eta atúen imltáneamente, de aerdo al apítlo 9.2 de CIRSOC 201. Fatore de Redión de Reitenia, f Lo fatore de redión tienen en enta la inexatitde en el állo fltaione en reitenia, mano de obra dimenione.

3 Lo fatore de redión de reitenia inlen la importania de la oneenia de la falla de lo elemento repeto a toda la etrtra el tipo de falla. Eto último e refiere al grado de advertenia qe preenta la mima, lo al a vez, etá relaionado on la dtilidad eta a vez depende de la deformaión a la qe eté ometido el aero en la fibra má alejada del eje netro, ε t. Soliitaión φ Seione ontrolada por traión 0,90 Seione ontrolada por ompreión: Elemento on armadra en epiral qe atifae lo epeifiado en Otro elemento armado 0 5 Corte torión 5 Aplatamiento del hormigón (exepto para la zona de anlaje de poteado) 5 Zona de anlaje de poteado 5 odelo de biela (Apéndie A) 5 Tabla 1 Fatore de redión de reitenia φ 2 Se die qe na eión etá ontrolada por traión ando ε t (oniderando iempre la deformaión del hormigón ε 0.003). La eione ontrolada por ompreión on aqella para la ale ε t < ε. Para lo aero on tenión epeifiada de flenia f 420 Pa, el límite e ε Para valore intermedio de ε t e onidera qe la eión e enentra en zona de traniión φ ε t φ Epiral Otra φ ε t Controlada por Compreión Traniión Controlada por Traión ε t 0,002 ε t 0,005 Figra 1 Variaión de φ on la tenión de traión de la armadra má alejada del eje netro, ε t 2

4 x El reglamento permite qe el valor de φ e inremente linealmente dede el valor dado para la eione ontrolada por ompreión hata el valor dado para la eione ontrolada por traión (Tabla 1 Figra 1). 3. HIPÓTESIS PARA EL CÁLCULO EN FLEXIÓN COPUESTA Para el állo de eione ometida a flexión ompeta e onidera la igiente hipótei: 1. Se mple la hipótei de Bernolli; e deir, la eione e mantienen plana hata la rotra. Aí, la deformaione en aero hormigón on proporionale a la ditania al eje netro. (Figra 2) 2. h N b d d - d ε ε d - d ε t Figra 2 Nomenlatra deformaione en na eión ometida a flexión ompeta 3. La máxima deformaión tilizable en la fibra omprimida extrema del hormigón en flexión ompeta e ame igal a ε 0, La tenión en la armadra f por debajo de la tenión de flenia f e toma omo el prodto del módlo elátio del aero E por la deformaión epeífia del aero ε t. Para deformaione epeífia maore qe f /E, la tenión en la armadra e onidera independiente de la deformaión e igal a f. 5. En el dieño de lo elemento de hormigón armado oliitado a flexión e depreia la reitenia a la traión del hormigón. 6. Se pede poner n bloqe retanglar de tenione eqivalente en el hormigón, omo e metra eqemátiamente en la Figra 3 (Ver también Tabla 2)

5 0.85f β α C f b a β 1 a/2 C 0.85 f ba T A f T A f Figra 3 Ditribión retanglar eqivalente de tenione en el hormigón Valore de β 1 f 30 pa > 30 Pa β ` ( 30) 0.05 f Tabla 2 Valore de β 1 en fnión de la reitenia epeifiada del hormigón 2 4. TABLAS PARA EL DISEÑO DE SECCIONES SOETIDAS A FLEXIÓN COPUESTA RECTA, CON ARADURA ASIÉTRICA Sea na eión omo la qe e india en la Figra 4, ometida a flexión ompeta, donde n N n on lo eferzo nominale. ε f n a t C 0.85 f ba N n d z d ε T Figra 4 Eqema de reitenia nominal de eione ometida a flexión ompeta La reltante de la ferza interna dearrollada en el hormigón el aero etán dada por: T A f (4) C 0.85 f a b (5)

6 Con a β 1 (6) La poiión del eje netro qeda determinada por el diagrama de deformaione a travé de la igiente expreión: d kd ε t (7) La reitenia nominal a flexión ompeta etá dada por: n n - N n. C.z T.z (8) N n T C (9) De la ondiione de egridad U φ S n e derivan la expreione igiente: - Eqivalenia etátia de ferza N φ (A f 0.85 f β 1 k d b) (10) - Eqivalenia etátia de momento φ 2 β1 k 0.85 f β1 k b d (1- ) 2 (11) A fin de dar na olión niveral, independiente de lo valore partilare de b d, e adimenionaliza la eaión (11) m 2 b d f (12) Reemplazando la e. (11) en (12) e obtiene: β1 k m 0.85 φ β1 k 1 (13) 2 E importante notar qe, a pear de qe m no depende diretamente de f, í lo hae a travé de β 1. Debido a qe k depende de ε t, al igal qe φ, i e fija n tipo de hormigón qeda determinado β 1 e tiene para ada ε t n valor de k orrepondiente m. El valor de la armadra e obtiene depejando A de la e. (10): A 0.85fβ1k N db + f φ f (14)

7 Para na eión na reitenia f dada relta: N A k db + φ f iendo: (15) k 0.85f β k f 1 (16) A ada valor de ε t le orreponde n valor de φ, no de m no de k Con eto e ontre na tabla (Tabla 3) qe tiene validez para aero ADN-420 (lo mimo e efetó para A-500). CIRSOC 201, en el ap , epeifia qe la deformaión neta de traión, ε t, para la reitenia nominal en flexión debe er maor o igal qe para lo elemento no pretenado on N d < f A g (A g área tranveral brta). Por ello, en lo ao en qe m relta en na deformaión del aero menor qe e prefiere oloar doble armadra aimétria. La reolión de eta itaione e pede realizar on la expreione preentada al pie de la Tabla 3. EJEPLO Determinar la armadra neearia para reitir la oliitaione qe e indian: h60m N d55m f 25 Pa 200KNm N KN d 5m b30m Reolión: 60/ m 200 KNm 100 KN x 5 m 175 KNm 75 Nm m Para n hormigón H-25 m (in interpolar e toma m 0.08) e obtiene de Tabla 3: k 56 φ 0.9, orrepondiendo a ε t 0.02, on lo qe relta: A m

8 ACERO f 420 Pa ARADURA SIPLE - N m 2 b d f k b[ m] d[ m] [ N ] 2 [ m ] N A + φ f [pa] β ε t [%o] φ k ρ mín [%] 0,266 0, m k m k m k m k m k 0, , , , , ,00 0,90 0,06 0, , , , , ,00 0,90 0,07 0, , , , , ,00 0,90 0,08 0, , , , , ,00 0,90 0,09 0, , , , , ,00 0,90 0,11 0, , , , , ,00 0,90 0,13 0, , , , , ,00 0,90 0,17 0, , , , , ,00 0,90 0,23 0, , , , , ,75 0,90 0,24 0, , , , , ,50 0,90 0,24 0, , , , , ,25 0,90 0,24 0, , , , , ,00 0,90 0,25 0, , , , , ,75 0,90 0,26 0, , , , , ,50 0,90 0,26 0, , , , , ,25 0,90 0,27 0, , , , , ,00 0,90 0,27 0, , , , , ,75 0,90 0,28 0, , , , , ,50 0,90 0,29 0, , , , , ,25 0,90 0,29 0, , , , , ,00 0,90 0 0, , , , , ,75 0,90 1 0, , , , , ,50 0,90 2 0, , , , , ,25 0,90 2 0, , , , , ,00 0,90 3 0, , , , , ,75 0,90 4 0, , , , , ,50 0,90 5 0, , , , , ,25 0,90 6 m 0, , , , , ,00 0,90 8 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , m * 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ARADURA DOBLE [ ] d[ m] + N [ N] [ Nm] d [ m] A k b m + d [ m ] [ Nm ] d [ m] A k d 2 [ m ] d/d 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 ε [%o] 2,2 2,04 1,88 1,72 1,56 1,4 1,24 1,08 0,92 f k 26,46 26,46 28, ,92 37,79 42,67 48,99 57,51 Tabla 3 - Tabla de oefiiente adimenionale para el dieño de eione ometida a flexión ompeta on armadra aimétria

9 5. DISEÑO DE COLUNAS A FLEXIÓN COPUESTA OBLICUA En eta eión e deribe el proedimiento general dearrollado para el dieño de eione ometida a flexión ompeta oblia. Con freenia el proetita onoe el eferzo normal de ompreión lo momento reqerido qe oliitan a na eión de olmna, omo por ejemplo la de la Figra 5. h x x N b Figra 5 Ejemplo de eión retanglar ometida a flexión ompeta oblia A fin de generar diagrama de interaión para flexión ompeta oblia qe permitan, on la oliitaione x, N, determinar la orrepondiente armadra, e plantea el eqema de la Figra 6. v d α x ε d ε i ε t Figra 6 Planteo eqemátio de eión ometida a flexión ompeta oblia Entre lo itema oordenado de referenia (x,) (,v) exite la igiente relaión : x en α - o α (17) v x o α + en α (18)

10 Para ada valor de α on barrido todo lo poible valore de (Figra 6) en ada ao e determina: a. La reltante de ompreione en el hormigón, de aerdo a la hipótei de bloqe retanglar de tenione (Fig. 3): N d φ 0.85 f β1 da (19) A* donde la integral e efetúa ando el itema de oordenada (,v) obre el área ativa de la eión φ el valor qe orreponde de aerdo a ε t (Figra 1 6). b. La reltante de ferza en el aero: N φ σ (20) d A i i i donde A i e la eión tranveral de la i-éima barra de aero qe etá ometida a la tenión σ i, de aerdo a deformaión ε i.. El valor del eferzo normal N d : N d N d + N d (21) d. El momento reltante de la tenione de ompreión en el hormigón: N v (22) d d g donde v g e la ditania dede el entro de gravedad de la eión ativa de hormigón al eje v. e. El momento de dieño reltante de la ferza de ompreión traión de la barra de aero. d Ni v i i donde v i e la ordenada de la barra i-éima en en el itema (,v) f. El valor del momento de dieño reltante en el itema (,v): d d + d (23) g. De (1) e pede igalar: N N d (24)

11 d (25) A travé de la tranformaión invera de (17) (18) de la oordenada del entro de gravedad del área ativa de hormigón (x g, g ) e obtiene lo momento x en el itema de oordenada (x,). h. A ontinaión e fija na onfigraión de armadra; por ejemplo, barra onentrada en la eqina o ditribida en el perímetro (Figra 7) Figra 7 b d También e fija valore determinado para A,, γ, f f 420 Pa h h (qe e la reitenia a flenia qe orreponde al únio tipo de aero en barra admitido por CIRSOC 201 para armadra longitdinale). i. A fin de dar generalidad al problema, e define lo adimenionale: N n (267) x m x 2 (26) m d bhf 2 (27) A f µ (28) donde A A i i De eta manera, on la onideraione realizada en (j) reemplazando la expreione (19) a (23) en la (27) a (28), eta qedan omo fnión úniamente de α, ε t. La expreione (19) a (28) feron empleada para dearrollar n programa on el qe, en primer lgar, e obtvo la perfiie de interaión omo la qe e india en la Figra 8. Para ello, e tvo en enta la limitaión qe impone CIRSOC 201 al valor de N d : N máx 0.85 φ [0.85 f (A g A ) + f A ] (30)

12 a) b) ) d) Figra 8 Sperfiie de interaión: a) Seión adrada, armadra ditribida, µ; b) Seión adrada, armadra onentrada en eqina, µ2.0; ) Seión retanglar b/h0.3, armadra onentrada en eqina, µ1.8; d) Seión adrada, armadra onentrada en eqina, µ0.6 a 1.2, repreentada en n olo adrante Con el propóito de otorgarle n o prátio, e voló la rva de nivel para na erie de antía meánia μ. La imetría permite qe eta rva pedan er repreentada en otante, por lo qe ada gráfio abara oho erie de rva de nivel, ada erie orrepondiendo a n plano n d te. Se metra en la Figra 9 a 13 algno ejemplo de la erie. En toda eta figra e ha tomado γ0.9. La rva preentada en la Figra 9 a 12 orreponden a hormigone on f 30 Pa, mientra qe la Figra 13 orreponde a f 40 Pa. Por otro lado, la forma de la eión tranveral, definida a travé de b/h, la onfigraione de armado on diferente en la Figra 9 a 12.

13 A lo fine de ete trabajo e mantiene la eala en toda la figra, lo al permite evalar omparativamente la olione orrepondiente a diferente relaione b/h onfigraione de armadra. Se oberva qe la diferenia on mínima entre lo diagrama de interaión para f 30 f 40 (Figra 12 13), a qe ólo ambia β 1, de 0.85 a 0.79 repetivamente (Tabla 2). 6. DIENSIONAIENTO A FLEXIÓN COPUESTA RECTA Se trató a la flexión ompeta reta omo n ao partilar de la flexión oblia, obteniendo na erie de diagrama de interaión, para diferente onfigraione de armado, relaione de forma b/h, γ f. En la Figra 14 e metra na de eta erie. 7. CONSIDERACIONES FINALES En ete trabajo e preenta n onjnto de tabla diagrama qe permiten el dieño de eione de hormigón armado ometida a flexión ompeta oblia, egún la epeifiaione exigenia del próximo reglamento. Para el trazado de eta rva e dearrolló n algoritmo general qe fe programado en omptadora. El mimo onidera toda la poibilidade qe peden preentare en ete tipo de oliitaión, qedando inlida omo ao partilar la flexión ompeta reta. El programa e mamente verátil, pe permite oniderar diferente onfigraione de armadra, relaión de forma de la eión tranveral, tipo de hormigón rebrimiento de armadra. E importante realtar qe en toda eta ada de állo e ingrea on la oliitaione U obtenida del análii on la arga maorada on lo fatore de arga γ i qe el fator de redión de reitenia φ (variable egún la eión e enentre ontrolada por traión, ompreión o e enentre en zona de traniión) a etá inlido en la tabla diagrama. Ademá, lo reltado qe e metra a travé de la perfiie de la Figra 9 permiten apreiar de manera global oneptal la apaidad reitente de eione de diferente onfigraione geometría. Se apreia laramente en eta la forma qe le otorga el fator φ el aplatamiento perior prodido por la limitaión en la apaidad reitente de olmna, dada por el reglamento (e. 29).

14 x Para f 30 Pa A /4 A /4 γ d/h 0.9 h d N f 420 Pa A /4 b x m x m 2 n 2 b hf N A µ b h f f Cando m x > m Cando m x < m m x ; m m ; m x ,2 0,1 0 n d1,0 n d0,0 n d n d0,1 0 μ 0.5 μ 0.0 μ 0.0 μ μ0.5 μ 0.0 μ 0.0 μ μ 0.5 μ 0.5 n d n d0,2 n d n d ,2 0,1 0 Figra 9- Diagrama de interaión en flexión ompeta oblia para eión adrada, armadra onentrada en la eqina, γ0.9, f 30 Pa

15 x Para f 30 Pa h d γ d/h 0.9 f 420 Pa N b x m x m 2 n 2 b hf N A µ b h f f Cando m x > m Cando m x < m m x ; m m ; m x ,2 0,1 0 n d1,0 n d0,0 n d μ0.5 μ 0.0 μ 0.5 μ 0.0 μ 0.0 μ 0.5 μ 0.5 n d0,1 0 μ 0.5 μ 0.5 n d n d0,2 n d n d ,2 0,1 0 Figra 10 Diagrama de interaión en flexión ompeta oblia para eión adrada, armadra ditribida, γ0.9, f 30 Pa

16 x Para f 30 Pa γ d/h 0.9 b/h 0.5 h d N f 420 Pa b x m x m 2 n 2 b hf N A µ b h f f Cando m x > m Cando m x < m m x ; m m ; m x ,2 0,1 0 n d1,0 n d0,0 n d n d0,1 μ μ 0.0 μ μ 0.0 μ0.5 μ 0.0 μ 0.5 μ 0.5 μ 0.5 n d n d0,2 n d n d ,2 0,1 0 Figra 11 Diagrama de interaión en flexión ompeta oblia para eión retanglar, armadra onentrada en la eqina, γ0.9, f 30 Pa.

17 x Para f 30 Pa γ d/h 0.9 b/h 0.5 h d N f 420 Pa b x m x m 2 n 2 b hf N A µ b h f f Cando m x > m Cando m x < m m x ; m m ; m x ,2 0,1 0 n d1,0 n d0,0 n d μ0.5 μ 0.0 μ 0.0 μ 0.0 μ 0.5 μ 0.5 μ 0.5 n d0,1 μ 0.5 μ 0.5 n d n d0,2 n d n d ,2 0,1 0 Figra 12 - Diagrama de interaión en flexión ompeta oblia para eión retanglar b/h0.5, ditribida, γ0.9, f 30 Pa.

18 x Para f 40 Pa γ d/h 0.9 b/h 0.5 h d N f 420 Pa b x m x m 2 n 2 b hf N A µ b h f f Cando m x > m Cando m x < m m x ; m m ; m x ,2 0,1 0 n d n d 1,0 μ0.5 μ 0.0 μ 0.5 μ 0.0 μ 0.5 μ 0.5 μ 0.5 μ 0.5 n d 0,0 n d 0,1 n d n d 0,2 n d n d ,2 0,1 0 Figra 13 - Diagrama de interaión para en flexión ompeta oblia para eión retanglar b/h0.5, armadra ditribida, γ0.9, f 40 Pa.

19 Para f 30 Pa γ d/h 0.9 f 420 Pa m bh 2 f omento fletor obtenido on la arga maorada n N bh f N Eferzo normal obtenido on la arga maorada A t/2 h d A t µ b h f f d A t/2 b 1,6 1,5 μ 2.0 1,4 1,3 1,2 μ 1.5 1,1 n 1 0,9 0,2 0,1 0 μ 1.0 μ 0.5 μ ,1 0,2 0,9 m Figra 14 Diagrama de interaión para γ0.9, f 30 Pa armadra onentrada en do borde paralelo.

20 BIBLIOGRAFÍA 1. Amerian Conrete Intitte - Deign Handbook: Beam, One-Wa Slab, Braket, Footing, Pile Cap, Colmn, Two-Wa Slab, and Seimi Deign in aordane with the Strength Deign ethod of USA CIRSOC Proeto de Reglamento Argentino de Etrtra de Hormigón CIRSOC 201 Noviembre Gea, Sana - Flexión Oblia en Hormigón Armado Conejo de Invetigaión, Univeridad Naional de Salta Portland Cement Aoiation - Note on ACI Bilding Code Reqirement for Strtral Conrete with Deign Appliation USA 2002.