ECUACIONES DIFERENCIALES

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2 ECUACIONES DIFERENCIALES

3 ECUACIONES DIFERENCIALES ENRIQUE RAFAEL ESPINOSA SANCHEZ RED TERCER MILENIO

4 AVISO LEGAL Dereho Reervado, por RED TERCER MILENIO S.C. Vivero de Aí 96, Col. Vivero de la Loma, Tlalnepanla, C.P. 58, Eado de Méio. Prohibida la reprodión parial o oal por alqier medio, in la aorizaión por erio del ilar de lo dereho. Dao para aalogaión bibliográfia Enriqe Rafael Epinoa Sánhez Eaione difereniale ISBN Primera ediión: DIRECTORIO Bárbara Jean Mair Rowberr Direora General Rafael Campo Hernández Direor Aadémio Corporaivo Jeú André Carranza Caellano Direor Corporaivo de Adminiraión Héor Raúl Giérrez Zamora Ferreira Direor Corporaivo de Finanza Ximena Mone Edgar Direora Corporaivo de Epanión Proeo

5 INDICE Inrodión Mapa onepal UNIDAD. Eaione difereniale OBJETIVO 9 TEMARIO 9 MAPA CONCEPTUAL INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 5 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 9 AUTOEVALUACION RESPUESTAS AUTOEVALUACION UNIDAD. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN OBJETIVO 7 TEMARIO 7

6 MAPA CONCEPTUAL 8 INTRODUCCION 9. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 5 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 8. USO DEL FACTOR INTEGRANTE 8 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6 AUTOEVALUACION 7 RESPUESTAS AUTOEVALUACION 8 UNIDAD. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR OBJETIVO 5 TEMARIO 5

7 MAPA CONCEPTUAL 55 INTRODUCCION 56. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS 57 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 58. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA 58 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6. EL WRONSKIANO 6 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6. VARIACIÓN DE PARÁMETROS 6 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER 6 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6.6 SERIES DE POTENCIA 65 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 67 AUTOEVALUACION 68 RESPUESTAS AUTOEVALUACION 69 UNIDAD. TRANSFORMADAS DE LAPLACE OBJETIVO 7 TEMARIO 7 MAPA CONCEPTUAL 7

8 5 INTRODUCCION 7. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 76. TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE 77 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 8. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE 8 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 8 AUTOEVALUACION 8 RESPUESTAS AUTOEVALUACION 8 Bibliografía 86 Gloario 87

9 6 INTRODUCCION La preene, e na gía eório-didáia de la maeria de Eaione Difereniale qe preende orienar al ediane en bae onepo generale. Sin embargo, el ediane habrá de realizar divera inveigaione bibliográfia, ejeriio práia era lae para poder omplemenar el aprendizaje de la maeria. El edio de la Eaione Difereniale e enfoa en modelar iaione de la vida oidiana de forma maemáia. Previo a ee ro de Eaione Difereniale el ediane endrá qe dominar la área del állo diferenial e inegral, mima qe le failiaran el dearrollo de la apliaión de lo méodo de olión de la eaione. El preene libro didáio eá ompeo de aro nidade qe abaran lo onepo neeario para qe el ediane maneje la Eaione Difereniale dar n enido onepal qe ea apliable a arrera profeional. El ro pare dede ero en el edio de la eaione difereniale, en la primera nidad e aborda la definiión de eaión diferenial para no rear ambigüedade en la onrión del onoimieno del ediane, e reoma lo momeno hiório del dearrollo de la eaione difereniale dede Arqímede haa Newon. La igiene do nidade de forma general realizan n edio de la eaione difereniale dede la olión de eaione de primer orden haa la olión de eaione de orden perior, omando en ena divero méodo de olión. La ara nidad raa de la Tranformada de Laplae, reqiere qe lo onoimieno adqirido en la re nidade aneriore haan logrado onrir n imieno ogniivo qe brinde la herramiena indipenable para ediar omprender ee ema, por ompliado qe pareza no llevara a la eenia de la repreenaión de na fnión en forma algebraia.

10 7 Lo ema rrilare de ea maeria preenden qe al finalizar el ro el ediane epa apliar lo onoimieno adqirido a la arrera profeional qe edia.

11 MAPA CONCEPTUAL 8

12 9 UNIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES OBJETIVO Epliar la definiión, el origen olión de la eaione difereniale TEMARIO. DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

13 MAPA CONCEPTUAL

14 INTRODUCCIÓN En ea nidad e deribe la definiión de na eaión diferenial, origen la olión, para omprender lo problema maemáio en lo ale e ven impliada la eaione difereniale. La eaione difereniale ienen na relaión on fenómeno fíio, qímio, elério, eéera, lo ale han reqerido na epliaión de forma maemáia. El almno aprenderá qe la eaione difereniale e laifian egún ipo, orden linealidad, onepo eeniale qe le adarán a planear problema on diferene grado de difilad.

15 . DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL Una eaión diferenial e na eaión qe involra derivada de na fnión deonoida de na o má variable. En állo e aprende qe la derivada d / d e lee derivada de on repeo a de la fnión e ora fnión de, por ejemplo: la derivada de ea fnión e e d d e en eaione difereniale, al remplazar e por e obiene la eaión diferenial d d La inegraión la derivaión eán erehamene ligada, la inegraión de na fnión e pede allar na vez qe e onoe aniderivada, la eaione difereniale oman n enido de maemáia má pra, a qe ahora dada la fnión d d ha qe enonrar derivada, eionando i ha algún méodo para obener la fnión deonoida. linealidad. La eaione difereniale e laifian egún ipo, orden Claifiaión egún ipo: i la fnión deonoida depende ólo de na variable, e deir, qe la derivada ean derivada ordinaria, la eaión e llama eaión diferenial ordinaria. Por ejemplo: d d d d o 6 d d

16 Normalmene eribimo f llamamo a la variable independiene, a la variable dependiene de. Para ineizar la denoaión de en en na fnión f, implemene podemo eribir n derivada eiva por ', ' ',...,, o ambién úniamene,..., n ', ''. En oro ao, i la fnión deonoida depende de má de na variable, e deir, qe la derivada ean derivada pariale, la eaión e llama eaión diferenial parial. Por ejemplo: V V V V e la fnión deonoida de la do variable independiene e na eaión diferenial parial. Se eribe V F, para haer má laro qe on la variable independiene V e la variable dependiene, de manera má enilla para marar qe e raa de na eaión diferenial parial, denoamo el valor de V en por V,. Claifiaión egún orden: el orden de na edaión diferenial a ea ordinaria o parial, e el orden de la derivada má ala qe aparee en la eaión. Por ejemplo: El orden de ea eaión diferenial e de primer orden a qe ólo iene na derivada de on repeo a. d d d d 6 El orden de ea eaión diferenial e de egndo orden, de on repeo a. V V V Ea eaión diferenial e parial, noe qe amba derivada on de egndo orden, por ano, la eaión diferenial e na eaión diferenial de egndo orden.

17 Claifiaión egún linealidad: na eaión diferenial e lineal ando pede er eria de la forma n n a a.. an ' an F donde F lo oefiiene a,, a,.., a, on fnione dada de a, no e idénia a ero. Por ejemplo: d d Cando na eaión diferenial no pede er eria de la forma anerior, e die qe e na eaión no-lineal. Por ejemplo: d d d d e en ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Indiar i la igiene eaione difereniale on lineale o no lineale =o. d e d d r k. d r 5. d d. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La Meánia e la má aniga de la ienia fíia, lo erio má veo a era de ea maeria e deben a Arqímede 87- a.c., referene al

18 5 prinipio de la palana del empje. Galileo edió problema dinámio obre la aída de lo erpo. Copérnio formló el iema helioénrio para dar pao a la Meánia elee. La inegraión aneedió a la difereniaión por do mil año, Arqímede repreenó proeo de ma inegrale, pero haa el iglo XVII Ferma pdo enonrar la angene pno ríio por méodo eqivalene a la evalaión de oiene inremenale. Ferma debrió la invera de eo proeo dio la epliaión de la aniderivaión en la deerminaión límie de ma. El all apareió impreo, por primera vez, en na memoria de ei página de Leibniz, qe onenía na definiión de la diferenial on imple regla para állo en ma, prodo, oiene, poenia raíe. El problema de la inegraión de la eaione difereniale e preenaba omo del problema invero del análii infinieimal. Leibniz fe el primero en ar el érmino aeqaio differeniali en 676 para denoar na relaión enre la difereniale d d do variable. La Eaione Difereniale Ordinaria rgen práiamene on la apariión del Call, en na polémia enre Newon Leibniz, ando Newon pblia qe dada na eaión on anidade flene, deerminar la flione vievera. Newon dio la primera laifiaión de la Eaione Difereniale Ordinaria de primer orden. Tano Newon omo Leibniz ediaron problema on na viión geoméria-elidiana, debido a la époa el onepo de fnión era m vago eaba ligada úniamene a la rva geoméria. Pero ambo enaron la bae del állo moderno. En el iglo XVII Jame JohanBernolli inroden lo érmino de inegrar na edaión diferenial el proeo de eparaión de variable de na eaión diferenial. Eler e enargó de eableer la primera eoría de la eaione difereniale ordinaria, la epreión enre difereniale no lo qe aalmene eprea. d / d ignifia para Eler n oiene

19 6 Liapnov Poinaré aporaron méodo onepo fndamenale de la eaione difereniale lineale no lineale. Galileo fe el pionero en ediar el omporamieno del movimieno del péndlo. Todo aqello maemáio qe raado de modelar problema de fíio, qímio, elerónio, e., han onribido al dearrollo hiório de la eaione difereniale, a pear de qe en la reopilaión de lo edio raado para onoer el origen de la eaione difereniale e dirimina la aporaione de algno maemáio. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal obre el origen de la Eaione Difereniale on la bibliografía eñalada, para qe el almno enga maore referenia de la aporaione de algno maemáio qe e pdieron haber omiido en ee rabajo.. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Una olión de na eaión diferenial e alqier fnión qe aifae la eaión, eo e, la rede a na idenidad. Cando na fnión, definida en algún inervalo I, e ie en na eaión diferenial ranforma ea eaión en na idenidad, e die qe e na olión de la eaión en el inervalo. Una olión de na eaión diferenial ordinaria omo la eaión F,,,..., e na fnión on al meno n derivada para odo en I. n F,,,..., n

20 7 Se die qe aifae la eaión diferenial. El inervalo I pede er inervalo abiero, a, b, errado, [a,b], infinio a,, eéera. Ejemplo. Sea la fnión e na olión de la eaión lineal '' ' en el inervalo,. Solión: iendo e e e e obenemo e e e e e Ejemplo. La eaión d d 5 d d 5 Sean la fnione e e olione de la eaión a qe al iir dan por relado: 5e 5 5e 5 5e 5 9e e 5e Ejemplo. La fnión definida por: V e en e na olión de la eaión V V V debido a qe iendo enonramo la idenidad: 9e en e en e en La olión de eaione difereniale e divide en olione eplíia e implíia. La olione eplíia on aqella en la variable dependiene e eprea an olo en érmino de la variable independiene onane. La olione implíia on aqella en la qe la eaión

21 8 diferenial depende de do variable al meno na fnión aifae la edaión denro de n inervalo. Solión implíia: Sea la eaión diferenial olión implíia e la fnión d d denro del inervalo, derivado la fnión obenemo depejando e obiene la eaión diferenial. d d d d El nombre de olión general de eaione difereniale e aplia úniamene para eaione difereniale lineale a qe eien eaione no lineale qe on difíile de reolver bajo lo parámero en lo qe e enenra la familia de olione qe onienen oda la olione poible de la eaión. Un iema de eaione difereniale e el onjno de do o má eaione donde apareen la derivada de do o má fnione deonoida de na variable independiene. El problema de valor iniial e aqel qe ba deerminar na olión a na eaión diferenial qe eá jea a ondiione de la fnión deonoida derivada epeífia en n valor de la variable independiene, ea ondiione e onoen omo ondiione iniiale. El problema de valor de fronera ba deerminar la olión de la eaión diferenial jea a ondiione obre la fnión deonoida epeifiada en do o má valore de la variable independiene. A ea ondiione e le denomina ondiione de fronera.

22 9 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Verifiar i la fnión indiada e na olión de la eaión diferenial dada.. ; e. d e ; e e d. d d ;. ; ln, 5. ; e e

23 AUTOEVALUACIÓN Indiqe i la eaión e lineal o no lineal, aí omo el orden de ada eaión.. d e d d r k. d r. 5 o. ' 5. d d d d Comprobar i la fnión iniial dada e na olión de la eaión diferenial. d 6. ; e e d d d 7. ; oh enh

24 d d 8. ;, d d 9. ; ln. 5 ; o 5

25 RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN Indiqe i la eaión e lineal o no lineal, aí omo el orden de ada eaión.. d e d Repea: d e d d d la eaión e na eaión diferenial lineal ordinaria de primer orden. e d r k. d r Repea: d r d k r d r k d r la eaión e na eaión diferenial no lineal ordinaria de egndo orden.. 5 o Repea: 5 o la eaión e na eaión diferenial lineal ordinaria de egndo orden.. ' Repea: ' la eaión e na eaión diferenial no lineal ordinaria de primer orden. 5. d d d d

26 Repea: d d d d d d la eaión e na eaión diferenial no lineal ordinaria de egndo orden. d d Comprobar i la fnión iniial dada e na olión de la eaión diferenial. d 6. ; e e d d d Repea: Tomando la fnión qe evalará a la eaión diferenial para realizar la primera egnda derivada diha fnión eniendo qe allando la primera derivada e e e igal a d e e e d allando la egnda derivada d e e d e igal a d 6e e e d d 8e e d iendo la fnión iniial, la primera egnda derivada en la eaión diferenial qe e deea omprobar, e obiene 8e e e e e e 8e e e 8e e e

27 e e 8e 8e 7. ; oh enh Repea: La fnión a evalar ha qe paarla a la forma qe repreene qe e na eaión diferenial, realizado el proedimieno e obiene: dónde e ahora nera eaión diferenial iniial oh enh la fnión qe evalúa la eaión diferenial iniial, al realizar la primera egnda derivada e obiene oh enh oh enh iendo la fnión qe evalúa la eaión diferenial la egnda derivada en la eaión diferenial iniial e onle qe oh enh oh enh d d 8. ;, d d Repea: iendo la eaión diferenial d d qe e deea omprobar on la fnión d d e reqiere la primera egnda derivada de diha fnión, primera derivada igal a d d

28 5 egnda derivada d d iendo amba deriva en la eaión diferenial e iene: por lo ano 9. ln ; Repea: iendo la eaión diferenial qe e deea omprobar on la fnión ln e reqiere la primera egnda derivada de diha fnión, primera derivada igal a egnda derivada iendo amba derivada de la fnión qe evalúa en la eaión diferenial, e obiene: onlendo

29 6. 5 ; o 5 Repea: iendo la eaión diferenial 5 qe e deea omprobar on la fnión o 5 e reqiere la egnda derivada de diha fnión 5 en5 omo primera derivada omo egnda derivada 5 o 5 iendo amba derivada de la fnión qe evalúa en la eaión diferenial, e obiene: 5 o5 5 o5

30 7 UNIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN OBJETIVO Reolver eaione difereniale de primer orden mediane divero méodo. TEMARIO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. USO DEL FACTOR INTEGRANTE.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

31 MAPA CONCEPTUAL 8

32 9 INTRODUCCIÓN En ea nidad e abordan la eaione difereniale de primer orden, paando por lo onepo báio de éa para llegar a la apliaión de la eaione difereniale en problema reale. La olión general de na eaión diferenial de variable eparable debe ener la forma de na fnión igalada a ero, onepo qe el almno debe aprender, a qe eien divero ao en la eaione difereniale qe no e peden reolver direamene por no er de variable eparable para reolver; el almno endrá qe aprender méodo para eparar la variable de la eaión.

33 . ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES El maemáio fíio Leonhard Pal Eler en el iglo XVIII e enargo de iemaizar edio aneriore de eaione difereniale, dando origen a la primera eoría de eaione ordinaria donde apareen la eaione de primer orden, repeiva laifiaión de eaione de variable eparable, homogénea, lineale eaa, aí omo ambién la de orden perior. La eaione difereniale la enonramo por oda pare, en fenómeno narale, qímio, fíio elerónio la maoría de eo fenómeno neeian de n modelo maemáio para omprender omporamieno, epreado en na eaión diferenial; la informáia no qeda eena de raar de modelar proeo ompaionale omo la ranmiión de dao a ravé de n able de red o la impreión de domeno, odo ello on el fin de mejorar lo omponene del hardware aal. onidere a La eaión diferenial de primer orden d F, d omo oiene de difereniale, pede epreare ambién omo para dar pao a la igiene epreión Ejemplo: d d M, d N, d M, d N, d d d 5 pede er eria omo d 5 d donde M, N 5 hp://

34 La olión general de na eaión diferenial de variable eparable e pede repreenar de la forma igiene: f d g d donde n érmino de la eaión involra ólo a la variable el oro a la variable, la olión de la eaión pede er por inegraión, dando la olión general f d g d donde e el eqivalene a la onane de inegraión. Para regrear a la eaión iniial e aplia la diferenial en ambo lado de la eaión aí eliminar a la onane, iendo de la igiene manera: d f d d g d igal a f d g d El méodo de variable eparable onie en eparar en do érmino la eaión diferenial para poder enonrar la olión qe aifaga diha eaión. Sea la eaión diferenial de variable eparable d d enemo inegrando d d d d d d ln ln e e ln ln e e

35 e,, i la onane e pede eribir omo e enemo qe La olión general de paando la eaión a fnión d d d d donde e reqiere inegrar amba pare obenemo d d ahora bien, reqerimo deerminar na olión parilar ando = =-, iendo en la olión general obenemo qe ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Reelva la eaión diferenial por variable eparable. d. en5 d. d d

36 . d e d. d d d 5. e d 6. d d 7. d d. ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS Eien eaione difereniale a variable no on eparable, para poder reolver ea eaione ienen qe raformare en na on variable eparable. Una eaión qe ai iempre pede ranformare a variable eparable e d d llamada eaión diferenial homogénea por la forma en qe e eribe aqella qe e pedan eribir de igal manera e le denominará aí. Para ambiar al eaión a na eaión eparable, amo la ranformaión de f o ambién v v lo qe e realiza e n ambio de la variable dependiene de por v onervando la variable independiene, eniendo enone d d v dv d

37 para qe e ranforme en de al manera qe d d v d dv d f f v dv f v v obenemo la eaión donde la variable e enenran eparada. Ejemplo: Sea la eaión d d el lado dereho e na fnión, por ano e na eaión homogénea, haiendo v, e iene v dv d d apliando la regla de lo logarimo o de al manera qe dv d v v v v v v dv v v ln ln v v ln[ reemplazando v por e obiene v v ] v v

38 5 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal repeo al ema de eaione difereniale on oefiiene homogéneo on la bibliografía eñalada para ener maore bae de onoimieno olionar problema en qe la eaione difereniale no ean eparable la variable.. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS En maemáia, na eaión diferenial eaa e aqella denominada eaión diferenial ordinaria de primer orden la al oniene do fnione denominada la ale rabajan repeo a do variable, qe al apliar la derivada pariale de la fnione on igale, e pede egir apliando la egnda, erer derivada, la fnione manendrán el onepo de linealidad, e deir, in ambio. En informáia la apliaión de la eaione difereniale eaa iene gran imporania, por ejemplo, ponga qe e deea aber la ferza de propagaión diorión de na eñal inalámbria en la ranmiión de dao on na miroonda del rango de lo Ghz a lo Ghz, al repreenarlo omo na eaión diferenial la ranmiión diorión e igal denro de ee rango. Una eaión diferenial M, N, e na diferenial eaa en na región R del plano i orreponde a la diferenial de algna fnión f, Una eaión diferenial de primer orden de la forma M, d N, d e na eaión diferenial eaa, i M, d N, d e na diferenial eaa.

39 6 Si on onina M, N,, on derivada pariale oninúa en na región reanglar R, definida por lo inervalo a b, d para la variable, la ondiión únia neearia para qe ea na diferenial eaa e qe Ejemplo : La eaión e eaa, por qe M, d N, d M d d N. d d apliando la regla de qe el lado izqierdo iene qe er na diferenia eaa enemo qe M, d N, d M apliando la diferenial e iene qe qe e igal a, N, M d N d d

40 7 Ejemplo : La eaión d d e reelve igalando primero M, N, realizando la difereniale repeo a enemo por lo ano M N M N on eo e ompreba qe la eaión e eaa por el rierio para deerminar i la eaión diferenial e eaa enone eie na fnión f, al qe f f al inegrar la primer eaión de la do aneriore e obiene qe f, g deerminando la derivada parial on repeo a igalando on N, e iene depejando g obenemo f g g

41 8 g g la olión e enone g f, ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Deerminar i la igiene eaione difereniale on eaa.. d 7 d. d 6 d. 5 d 8 d. en en d o o d 5. d d. USO DEL FACTOR INTEGRANTE El faor inegrane e aqel qe al mlipliar la derivada pariale de na eaión diferenial no eaa la onvieren en na eaión diferenial eaa, para qe on eo ea eaión diferenial no eaa e peda reolver por el méodo de eaione difereniale eaa. Si la eaión no mple on la ondiión de qe Md Nd

42 9 M N X enone no e na eaión eaa, para poder haerla eaa e reqiere mlipliarla por n faor inegrane apropiado, de al manera qe la eaión qe e obenga ea de la forma erá eaa, debido a qe Md Nd M N Ha diferene méodo para obener faore inegrane pero el má omún e el de eparaión de variable. Ejemplo. Sea Solión: d d, i. Y d d e obiene M N qedando de la igiene manera M N apliando la diferenial obenemo qe M N la eaión no e eaa. Tano M N peden er faorizada omo prodo de na fndón on repeo a, eo e d d n faor inegrane e qe al mlipliarlo por lo qe e obvo por faorizar a M N rela la fnión

43 d d qe e eparable eaa. Inegrando diha fnión obenida enemo ln ln peo qe ando, enonramo o Por lo ano, la olión e 6 6 ó A A. 6 El méodo de inpeión onidera qe Md Nd no e eparable o eaa e neeario mlipliar la eaión por el faor inegrane para volver la eaión eaa, qe dando de la forma: M N Coniderando do ao en parilar, ando e na fnión ólo de qe dando la eaión omo enone M N N e f d f e n faor inegrane ando e na fnión ólo de omando la fnión omo enone e n faor inegrane. N M M e g d g

44 Ejemplo: reolver d d primero ha qe omprobar i e na eaión diferenial eaa obeniendo M N de lo qe rela qe M N apliando la diferenial M N la eaión no e eaa. Ahora no e na fnión ólo de. Pero Y Y e na fnión ólo de. por lo ano e d ln ln e e e n faor inegrane. Aí, mlipliando la eaión dada por la olión qe e obiene e

45 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal para reforzar la apliaión del faor inegrane en eaione difereniale on la bibliografía eñalada, omo relado de ea inveigaión, el almno endrá qe enregar n diagrama de fljo donde repreene el algorimo para poder reolver eaione difereniale no eaa a ravé del o del faor inegrane..5 ECUACIÓN DE BERNOULLI La eaión de Bernolli repreena el prinipio de la onervaión de la energía meánia, el nombre de al eaión e en honor a Daniel Bernolli, qien plamó edio en el libro Hidrodnamia, donde raa de la meánia de flido; aí, la eaión de Bernolli e aqella en la al la eaión diferenial en qe n e alqier número real. Cando n n la eaión d d P f e lineal. Cando n n, la iión n rede alqier eaión de la forma de la eaión de Bernolli a na eaión lineal. Ejemplo: Reolver d d. Solión: Ordenar la eaión a la forma de Bernolli qedando: d d dividiéndola enre. A oninaión iimo, on n, d d d d en la eaión a reolver iendo enemo n

46 d d el faor inegrane para ea eaión en el inervalo,, e inegrando donde e obiene depejando e d e ln e ln d [ ] d omo, iendo, la olión de la eaión e ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal obre la eaión de Bernolli ómo e aplia en fenómeno omo la enaión de n avión, la deerminaión de la alra en la inalaión de na bomba de aga, la eraión del alor por el diipador del proeador inerno de na ompadora..6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN El problema de valor iniial on la eaión diferenial d k, en d donde k e na onane de proporionalidad, e emplea en modelo de diino fenómeno omo fíio, qímio, elerónio, eéera donde inerviene el reimieno o dereimieno.

47 Ejemplo : Un livo iene na anidad iniial N de baeria. Cando, la anidad medida de baeria e N. Si la razón de reprodión e proporional a la anidad de baeria preene, allar el iempo neeario para ripliar la anidad iniial de baeria. Solión: Uilizando la eaión diferenial del valor iniial, iendo la variable iniiale del problema e obiene dn d jea de aerdo a erá igal a N N. Donde la ondiión qeda kn N N para hallar la onane de proporionalidad k. Al eribir la eaión dn d kn de manera lineal para qe ea eparable obenemo dn d kn qe al apliar el méodo de inpeión e oberva qe el faor inegrane e k e, e debe mlipliar la eaión por ee faor, qedando de la forma al inegrar, e llega a la olión general d d e k N e k N depejando N por lo reqerimieno qe e planearon al iniio del problema, la eaión e pede eribir omo N e k Cando, N e, por onigiene N Ne k

48 5 El ao ando, k ln.55, Aí N.55 Ne. N N e k, o bien k e para obener Para eableer el momeno en qe e riplia la anidad de baeria, ha qe depejar de.55 No Noe ; por onigiene.55 ln ln. 7h.55, aí Ejemplo : Un amlador de vol e onea a n irio en erie LR, on na indania de henr na reienia de ohm. Deermine la orriene i, i la orriene iniial e ero. Uando la eaión diferenial qe deribe la orriene e iene qe di L Ri E d di d i jea a i. Debemo mlipliar la eaión diferenia por, para qe el faor inegrane ea e, qe iéndolo en la eaión qedaría omo d e i e d al inegrar ada lado depejar i e obiene 6 i i, enone, o bien 5 a parir de la eaión p e 6 i e 5 i 6, la repea e P d 6 e 5 e e pede formlar na olión general de P d e P d f d

49 6 e R / L i L e R / L E d e R / L Cando E E e na onane, la eaión anerior qeda omo i E R e R / L ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal obre planeamieno de problema oidiano, lo ale reqieran repreenaión en modelo de eaione difereniale de primer orden. Lo problema oidiano peden ir dede lo relaionado on la ald, por ejemplo, la forma en qe e propago el vir de la inflenza HN en nero paí; ambién, el almno pede oniderar problema eológio omo el derrame de peróleo en el Golfo de Méio del año, problema en lo ale a e ienen ifra ofiiale pero no n modelo maemáio qe ade a deerminar ale ifra.

50 7 AUTOEVALUACIÓN Reelva la igiene eaione difereniale por variable eparable. d. e d. d d. d d. e d d e e Deermine i la igiene eaione on eaa 5. d 7 d 6. d 6 d d 7. o en d

51 8 RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN Reelva la igiene eaione difereniale por variable eparable. d. e d iniial depejando Repea: E neeario eparar la variable, omando la eaión d e d d e ahora ha qe apliar la inegral en ambo miembro de la eaión inegrando e obiene. d d e obiene d e e e d d Repea: Al eparar la variable, omando la eaión iniial d d apliando la inegral en ambo miembro inegrando d d d d ln ln ln e igal a ln ln

52 9 obeniendo por lo ano. d d Repea: Se reqiere depejar la eaión diferenial para qe enga la forma en la al permie eparar la variable, e obiene: d d d d d d apliando la inegral en ambo miembro de la fnión inegrando la eaión por lo ano d d d d ln ln. e d d e e Repea: De la eaión realizando lo depeje e e d d d d e e e e

53 5 e d e e d eparando la variable e d e e d apliando la inegral en ambo miembro inegrando por lo ano e e d e e e e e e e e e d Deermine i la igiene eaione on eaa 5. d 7 d Repea: Sea la eaión iniial d 7 d qe e ompone de M, N, 7 on eo e igal a ener M N 7 M N

54 5 debido a eo, la eaión iniial e eaa. Por lo qe eie na fnión f, para la qe f f 7 on eo e pede Inegrar la primera edaión repeo a, e obiene f, g enone al igalar on e obiene donde qe al iir en f g N, 7 g 7 g 7 f, g e iene f, 7 por lo ano, la olión general de la eaión diferenial iniial e: 7 6. d 6 d Repea: De la eaión diferenial iniial

55 5 6 d d e iene M, 6, N qedando omo N 6, on M 6 N eo e igal a ener N M on eo e onle qe la eaión no e eaa. 7. o en d d Repea: De la eaión diferenial iniial o en d d al depejar el egndo ermino para reorganizarlo e iene o d d en para ea eaión e iene en M, N o,

56 5 on en en M en N o eo e igal a ener N M on eo e onle qe la eaión no e eaa.

57 5 UNIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR OBJETIVO Reolver eaione difereniale de orden perior mediane de divero méodo. TEMARIO. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA. EL WRONSKIANO. VARIACIÓN DE PARÁMETROS.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER.6 SERIES DE POTENCIA

58 MAPA CONCEPTUAL 55

59 56 INTRODUCCIÓN En ea nidad el almno onoerá eaione difereniale denominada de orden perior, diingiendo de la eaione homogénea no homogénea para apliarla en problema de modelamieno. La eaione homogénea on aqella eaione qe e aegorizan de forma lineal la no homogénea aqella qe no mplen ee reqiio de er lineal en n inervalo deerminado, ambo planeamieno llevan a qe en ea nidad e demeren divero méodo para poder llegar a na olión de ea eaione difereniale, mimo qe lo almno endrán qe aprender.

60 57. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS Una eaión lineal de orden n de la forma n n d d d an a... a a n n n d d d Se llama homogénea, mienra qe na eaión n n d d d an a... a a g n n n d d d donde g no e idéniamene ero, e llama no homogénea. Toda fnión p libre de parámero arbirario qe aifae la eaión n n d d d an a... a a g n n n d d d e llama olión parilar de la eaión no homogénea. Por ejemplo: 5 e na eaión diferenial de egndo orden, lineal homogénea, mienra qe 6 e na eaión diferenial de erer orden lineal no homogénea. Sean,...,, olione de la eaión diferenial homogénea de orden n, eaión n n d d d an a... a a n n n d d d donde ea en n inervalo I. La ombinaión lineal en donde la k e Y... k k i, i,,..., on onane arbiraria, ambién e na olión ando eá en el inervalo. k

61 58 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Deerminar i la fnión dada e homogénea o no homogénea.. /... o 5. en. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA Sea el ao k, donde L ea el operador diferenial, olione de la eaión homogénea L, definiendo apliando la linealidad de L, rela L L{ } L L L L L L L homogénea La fnione ln on olione de la eaión lineal

62 59 para en el inervalo,, la ombinaión lineal e ln e na olión de la eaión en el inervalo. Sea L el operador diferenial, Y p olione parilare de la eaión no homogénea L g. Definiendo Y, por la linealidad de L e debe mplir L L{ Y } L L L g g p e demera qe e na olión de la eaión homogénea L Uilizando la iión para la fnión p e na olión parilar de la eaión no homogénea d d d d 6 d d 6 Para llegar a la olión general de la eaión anerior, ha qe reolver la eaión homogénea aoiada la al iene omo olión d d d d 6 d d 6 e e p e en el inervalo, ; por lo ano la olión general de la eaión iniial en p el inervalo e p e e e

63 6 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal en la qe, omo ejemplo, engan olione de eaione difereniale a parir de na olión onoida para qe el almno reafirme lo onoimieno obenido en lae.. EL WRONSKIANO El wronkiano en maemáia denomina aí a na fnión en honor a el maemáio filóofo Józef Maria Hoene-Wronki, apliable al edio de la eaione difereniale ordinaria. Wronki en 8 die qe ada eaión iene na olión algebraia. Sponga qe ada na de la fnione f n, f,..., f poee n derivada al meno. El deerminane W f, f,..., f n f f f f... fn ''' f n n f f n... f n n en donde la prima repreenan la derivada, e el wronkiano de la fnione. Sean n olione,...,, n de la eaión n n d d d an a... a a n n n d d d lineal, homogénea de orden n, en n inervalo I, i olo i para oda en el inervalo. W,,..., n

64 6 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal del o del méodo del Wronkiano en la olión de eaione difereniale poder allar el deermínae orrepondiene.. VARIACIÓN DE PARÁMETROS La olión parilar de na eaión de diferenial lineal de primer orden f P d d en n inervalo, e aplia a eaione lineale de orden perior. Para adapar el méodo de variaión de parámero a na eaión diferenial de egndo orden g a a a e neeario manejar la eaión diferenial de la forma redida f Q WY Y Para hallar na olión parilar de la eaión f P d d para la eaión g a a a, e debe bar na olión de la forma: p para qe formen n onjno de olione en I. Apliando do vee la regla del prodo para difereniar p obenemo p ; p iendo la eaione obenida en g a a a agrpando lo érmino: Q P Q P Q P p p p P

65 6 P d d d d f P d d E neeario deerminar do fnione deonoida, ea fnione aifaen a, rediendo la eaión f P d d a f e Obienen la do eaione qe e neeiaban. Apliando la regla de Cramer la olión del iema f e pede eprear en érmino de lo deerminane W W W W en donde,, f W f W W La fnione e deerminan inegrando lo relado W W W W donde el deerminane W e el wronkiano de, qe por la independenia linean enre en I, qe, W para oda en el inervalo. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Reolver la igiene eaione difereniale por variaión de parámero.

66 6. e. en. e. ene 5. e ln.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER Agin Loi Cah Leonhard Pal Eler raaron de bar n faor de inegraión qe ranforma eaione difereniale qe no on lineale a eaione difereniale eaa para poder llegar a olión. Toda eaión diferenial lineal de la forma a n n n d a n d n n n d d... a a g n d d donde lo oefiiene a, a,..., a n n on onane, ienen lo nombre de eaión de Cah-Eler ó Eler-Cah. La araeríia obervable de ee ipo de eaión e qe el grado k n, n... de lo oefiiene nominale k k d / d. k oinide on el orden k de la difereniaión Solión de la forma donde repeivamene m m ea por deerminar. La primera egnda derivada on,

67 6 d d m m en oneenia d d m m m a d b d d a d m m am m m m b m m m bm m am m bm m aí, m e na olión de la eaión diferenial iempre m qe ea na olión de la eaión ailiar ó am m bm am b a m ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal del empleo de la eaión de Cah Eler en la olión de eaione difereniale, para reforzar lo onoimieno obenido en lae; el almno debe proponer n análii del algorimo para olionar eaione difereniale a ravé de la eaión de Cah-Eler.

68 65.6 SERIES DE POTENCIA Deerminar la olión de d d omo na erie de poenia en. Sponiendo qe la olión de la eaión eie iene la forma n apliando na derivaión a la edaión da omo relado d d n n n n omando de referenia la eaión a deerminar la qe e derivo obenemo d d n n n n n n n n n n n Para mar la do erie e neeario qe ambo índie de la maoria omienen on el mimo número la poenia omienen igal. Enone e neeario idenifiar qe en la primera erie k n en la egnda erie k n, la anerior eaión el lado dereho e ranforma en k k k k k Depé de mar érmino a érmino la erie, e ige qe d d n k k n k k [ k k k ] para qe ea eaión ea idénia a, lo oefiiene de la poenia igale de deben er ero; e deir, k k k, k,,,... iendo ea úlima eaión na relaión de rerrenia o relaión reriva qe deermina la k. Dado qe k k

69 66 para odo lo valore indiado de k e pede eprear la igiene eaión k k k por ineraión, ea fórmla genera lo igiene relado:, k, k!, k 5, 5 k 6!! 6, 5 k 7, k 6 8!! 8, 7 k aí eivamene para qe de la eaión n n n e obenga qe ' ' ' n n n ' ' '!! 6...!! 6! n n n

70 67 ea e la olión general a qe la ineraión ha dejado a oalmene indeerminado. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal para reforzar lo onoimieno obenido en lae donde apliqe el o de la erie de poenia en la olión de eaione difereniale, omo relado de diha inveigaión el almno erá apaz de analizar eaione difereniale apliar la ineraión qe reqiere la olión de edaione a ravé de ee méodo obre odo para omprender i la eaión diferenial en edio erá onvergene o divergene para el inervalo en qe e edie.

71 68 AUTOEVALUACIÓN Deerminar i la fnión dada e homogénea o no homogénea.. / o en

72 69 RESPUESTAS AUTOEVALUACION Deerminar i la fnión dada e homogénea o no homogénea.. / Repea: Sea f, / f, / / / f, / por lo ano f, f, : f, / relando er na fnión homogénea de erer grado.. Repea: f, f, f, por lo ano f, f, : f, fnión homogénea de grado. Repea:

73 7, f, f, f, f, f, f, f, f por lo ano, :,, f f f e na fnión homogénea de grado -. o Repea: f o, f o, o, f

74 7 f o, enone o o por lo ano f o, fnión no homogénea. 5. en Repea: en f, enone en f,, en f en f, en f, en f, por lo ano,, f f fnión homogénea de grado.

75 7 UNIDAD TRANSFORMADAS DE LAPLACE OBJETIVO Apliar la ranformada de Laplae a eaione difereniale TEMARIO. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

76 MAPA CONCEPTUAL 7

77 7 INTRODUCCIÓN En ea nidad e aborda la ranformada de Laplae, el al e n méodo qe iene la finalidad de onverir na eaión diferenial para olión a forma algebraia. La ranformada de Laplae irve para verifiar la validez de na eaión diferenial en n inervalo dado, ha el ao en qe la eaione difereniale dada en problema no eien mediane ee méodo, a ea en forma direa o invera, e ompreba i la eaión eie.

78 75. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea dada. La ranformada de Laplae de e define omo F, F f L { F } e F d donde e n parámero real. El ímbolo L e llama operador de la ranformada de Laplae. La inegral impropia de la eaión anerior e define omo M lím M e F la ranformada de Laplae e die qe eie o no de aerdo a i el límie eie o no. Si M lím M e F eie deimo qe la inegral onverge. Ejemplo. Enonrar L { }, olión: L {} d d b e d lím b e lím b L { } b o e d e lím b b i a qe el eponene b e negaivo, e ando b e die qe inegral e divergene. Ejemplo. Enonrar L { e a }, olión: L { e a } M a a e e d lím M e d. Cando a e lím M a M o a e lím M a M

79 76 L { e a } a La ranformada de Laplae eie i En general para la fnione donde a pero no eie i a. a, eiirá ambién para a, anqe ha fnione a ranformada de Laplae no eien para ningún valor de, por ejemplo la inegral de e e d no onverge para ningún valor de, la ranformada de Laplae de eie. e no ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Apliqe la ranformada de Laplae para deerminar L { f } para lo ao ando f ee ondiionada por lo valore.., f r., f r. en, f., f

80 77 5., f rl. TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE La ranformada direa de Laplae e aqella ando na fnión f e ranforma en ora fnión F a ravé de la inegral repreenada de forma general por e f d L { f } f Algna ranformada de Laplae de fnione báia on: a L { } n n! b L { }, n,,,... n L { e a } a k d L { enk} k e L {o k} k k f L { enhk} k g L {oh k} k

81 78 deir, dada La ranformada invera de Laplae, e opa en inverir el proeo, e F hallar la fnión f qe orreponde a ea ranformaión. Se onidera qe f e la ranformada invera de Laplae de epreada omo F f L { f } Algna ranformada invera de Laplae de fnione báia on a L - n - n! b L,,,,... n n d e f g e a - L a enk o k enhk oh k k k - L k - L k k - L k - L - L e na ranformaión lineal. La ranformada de Laplae e na ranformaión lineal i on onane, eo e L F g L F L G

82 79 donde F G on la ranformada de la fnione f g. La ranformada invera de Laplae de na fnión F pede no er únia. E poible qe L{ f } L{ f } f f, pero i f f on onina en el inervalo [,, enone f f en diho inervalo Ejemplo : Evalúe - L, 5 para dar olión ha qe oinidir la eaión a la forma n - n! L n, donde e deermina qe n, para depé mlipliar dividir la eaión por!, reolviendo la eaión de la igiene manera. Ejemplo : Evalúe L - -! L 5 5! - L - L 5 Solión: omo k 6, ilizando enk 6 k k - L e divide la epreión e mliplia por 8, qedando rela de la igiene forma: L L 6 8 6

83 8 L - 6 en 8 8 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal repeo a la ranformada direa e invera de Laplae para reforzar lo onoimieno obenido de lae poder olionar eaione difereniale a ravé de ee méodo. _Debido a qe la Tranformada de Laplae e define en érmino de na inegral impropia qe pede er divergene, el ediane iene qe onoer a ravé de ea inveigaión la ondiione neearia para la eienia de la ranformada de Laplae, la ondiione qe pede inveigar on la de la ranformada de La plae en fnione onina a rozo, en fnione de orden eponenial, fnione aoada, ademá, debe inveigar el eorema de la eienia de la ranformada de Laplae linealidad.. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Con ondiione iniiale, la ranformada de Laplae rede n iema de eaione difereniale a n onjno de eaione algebraia imlánea para la fnione ranformada. Ejemplo: Reolver jea a,. Solión: Si X L{ } Y L{ }, enone depé de ranformar ada eaión e obiene: [ X ] Y Y

84 8 Y X e deir Y X Y X Al mlipliar por la egnda eaión rear e obiene Y e deir Y qe al dearrollarlo en fraione pariale da Y apliando ranformada invera la eaión e ranforma en 5! r L L L L e r De aerdo a la eaión Y X Y X en oneenia!! } { Y L L L e 5 5 e onle qe la olión del iema

85 8 e e 5 5 e ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Realizar na inveigaión domenal donde e ilien olione de eaione difereniale ilizando la ranformada de Laplae, on diha inveigaión el almno deberá preenar el algorimo en forma de diagrama de fljo donde e epeifia lo pao ordenado para hallar la olión de lo iema de eaione.

86 8 AUTOEVALUACIÓN Reolver la igiene eaione difereniale apliando la ranformada de Laplae para deerminar L { f }.. f, o. L { e a }. f enh k. f o k 5. f en

87 8 RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN Reolver la igiene eaione difereniale apliando la Tranformada de Laplae para deerminar L { f }.. f, o Repea: L {} e d L { },. L { e a } Repea: L { e a } M a a e e d lím M e d L { e a a e lím M a } a M o a e lím M a M. f enh k Repea enk k k - L. f o k Repea: o k k - L

88 85 5. f en Repea: L { en } e d e L { en } L { en } en e e o d o d,

89 86 BIBLIOGRAFIA Blanhard, Pal, Eaione Difereniale, Méio, Thomon, 999. Bran, Marín, Eaione Difereniale apliaione, Méio, Iberoamériana,. Rainville, Earl D., Eaione difereniale elemenale, Méio, Pearon,. Rihard, Bronon, Eaione difereniale, Méio, MGraw-Hill, 8 Simmon, George, Eaione difereniale eoría práia, Méio, MGrawHill, 7. Spiegel, Mrra R., Eaione difereniale, Méio, Prenie Hall,. Zill, Denni G., Eaione difereniale on apliaione, Méio, Iberoaméria,.

90 87 GLOSARIO ÁLGEBRA: Pare de la maemáia qe e dedia en apeo má elemenale a reolver eaione iema de eaione. ARITMÉTICA: Pare de la maemáia qe e opa del edio elemenal de lo número, de la relaione enre ello de la énia de realizaión de operaione báia omo la ma, rea, mlipliaión, diviión, poeniaión, radiaión logarimo. BASE: Se llama bae de na poenia al faor qe e repie ana vee omo lo india el eponene. COEFICIENTE: E el número qe va iado a la izqierda de na lera o lieral. Si el oefiiene e la nidad, e omie. CONSTANTE: Valor de ipo permanene DERIVADA: La derivada de na fnión e la repreenaión de n valor obre la pendiene de la rea angene qe ambia valor. ECUACIÓN: Igaldad enre do epreione algebraia. EXPONENTE: Un eponene e n número qe india ána vee debe are la bae omo faor. FACTORIZACIÓN: E la ranformaión de na epreión algebraia raional enera en el prodo de faore raionale enero primo enre í.

91 88 FUNCIÓN: Uada en maemáia para modelar iaione de la dependenia de na variable obre ora. IGUALDAD: Epreión qe e obiene de igalar do anidade qe ienen el mimo valor. INTEGRACIÓN: E la ma de infinio mado, infiniamene peqeño. INTERVALO: Conjno de número reale omprendido enre oro do número reale. LIMITE: Tendenia de na eión o fnión al aerae a n valor. LOGARITMO: Se llama logarimo en bae a del número al eponene b al qe ha qe elevar la bae para obener diho número. NÚMERO DECIMAL: E la epreión lineal de na fraión ordinaria o deimal qe e obiene al dividir el nmerador enre el denominador. NÚMERO NATURAL: Denoa na anidad enera poiiva de na epeie. El onjno de lo narale e denomina N, ele al ero e eprea: N= {,,,,...} NÚMERO RACIONAL: Comprende la anidade nméria epreable en forma de fraión. El onjno de lo número raionale e denoa por Q e inle a lo número enero narale. NÚMEROS PRIMOS: Son aqello número qe olo on diviible por í mimo por la nidad, e deir eo número olamene preenan do diviore. También on llamado "número primo abolo",,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, e..

92 89 POTENCIA: Repreenaión de n prodo de faore igale enre í. RELACION: Conjno de pare ordenado. SISTEMA DE ECUACIONES: Conjno de eaione qe preenan olione omne. TRANSFORMACIONES: Cambio de eala on el propóio de onegir linealidad, normalidad en lo dao VALOR ABSOLUTO: Siendo n número real alqiera, e llama valor abolo de e repreena por al número real qe verifia la igiene ondiione: =; í olo í > ó =; =-; í olo í <. El valor abolo de n número diino de ero iempre e n número poiivo. VARIABLE: Objeo maemáio qe pede omar diferene valore. Generalmene aoiado a propiedade o araeríia de la nidade de la mera. Lo onrario de variable e onane. ALFABETO GRIEGO Alfa Bea Gamma Dela Épilon Ea Zea Ioa Kappa

93 9 Lambda Mi Ni Xi Ómiron Pi Ro Sigma Ta Ípilon Fi Ji Pi Omega