MMII_L3_c2: Dominios de dependencia y de influencia. Problema no homogéneo: Principio de Duhamel.

Transcripción

1 MMII_L3_c: Dominios de dependencia y de inflencia. roblema no homogéneo: rincipio de Dhamel. Gión de la clase : Esa lección es na coninación de la primera, segimos con el roblema de Cachy de la ecación de ondas. La pare mas novedosa es el rincipio de Dhamel (D) para resolver el problema no homogéneo (eisencia de ferzas eernas), qe es de aplicación no solo para el problema anerior, sino qe lo generalizaremos para ecaciones definidas por operadores reglares de Srm-Lioville. La referencia de consla para esa pare es el libro arial Differenial Eqaions de Erich Zaderer. La clase se inicia raando de generalizar la propiedad de qe la solción permanece consane a lo largo de la CC, propia del caso f diferene de cero y g =, al caso con g diferene de cero y f =. Sige con los imporanes concepos de dominio de dependencia y de inflencia, la clase finaliza con el D y s concreción al caso de la ecación de ondas qe nos ocpa. Libros de consla de esa clase, apare del ya mencionado, son los de Ecaciones Diferenciales en Derivadas arciales de H.F. Weinberger, y el libro Ecaciones en Derivadas arciales de Richard Habermann. Ejercicio recomendado: c F (,) f (,) g,, c, F, f ; g,, Esas noas son solo na ayda, qe ni preender ni peden ssiir a la asisencia a clase, donde se desarrollan los concepos, se aclararán las ddas y se sbsanaran posibles erraas, y a la consla de la bibliografía recomendada.

2 Noas de la clase MMII_L3_c Un ejemplo con g para complear la clase anerior, Ej-L3_c: c,,, c, f, g, Uilizando el concepo de fnción inegral podemos pasar a n problema donde la solción permanezca consane a lo largo de la CC, similar al caso con anerior,, G( ) g( s) ds c M,, donde M es n número sficiene grande, dependiene de la ecación. Con esa fnción, la solción del CH de arriba es: G( ) G( ) La inerpreación es similar al caso anerior, salvo qe ahora na de las ondas esá desfasada y iene n signo menos delane. G( + ) G( + la solción en = + ) G( + ) = =- - G( ) - G( - ) or lo qe represenando la solción (, ) es: - G( ) - G( - ) Ora forma de calclar la solción es direcamene ilizando la FD A: g() s ds 3

3 Dominio de dependencia de la solción La solción en el pno M de coordenadas ( M, M ) + dependerá como veremos de los pnos, : ( M -c M,), ( M +c M,). M -c=ce +c=ce Los pnos y se peden inerprear como los pnos casa y el pno M el pno efeco. Se peden esdiar res casos: f, g=: la solción es = f(+c) + f(-c), el dominio de dependencia es (DD(CH)) = {,}. De forma didácica diremos qe la solción en M f ( ) f ( ) sólo depende de los valores f() y f(): M ( ) f=, g : la solción es c c c g() s ds, el DD(CH) = in, el inerior del segmeno. La solción en M se pede epresar de la forma sigiene: ( M ) g( s) ds c f, g : la solción inclye los dos érminos aneriores, y el DD(CH)=, el segmeno, inclidos los dos pnos eremos, y (M) se pede epresar: f ( ) f ( ) ( M ) g( s) ds c Dominio de inflencia: Toma el pno de visa opeso al caso anerior, ahora nos cenramos en el pno casa de coordenadas ( o,); y bscamos los pnos efeco, donde llega s inflencia, pdiéndose presenar los mismos res casos qe en el aparado anerior. +c= -c= o

4 f, g= : el dominio de inflencia DI(( o,o))={ c = o }, qe son las dos semirrecas de la figra. f=, g : DI(( o,)) = cono abiero de vérice el pno ( o,) y generarices las dos semirrecas c = o. f, g : DI(( o,)) = cono cerrado de vérice el pno ( o,) y generarices las dos semirrecas c = o, inclidas las dos semirrecas. Ecación de ondas no homogénea Nos ocparemos del esdio del CH(EOD) no homogéneo, definido por la ecación no homogénea con condiciones iniciales homogéneas: c F(, ),, B (,), B (, o) rincipio de Dhamel (D). El D lo consideraremos en n coneo más general qe el problema no homogéneo de la ecación de ondas. Veamos s aplicación para las ecaciones hiperbólicas definidas mediane el operador L, qe iliza en s pare espacial el denominado operador reglar de Srm-Lioville (SL): n CH(D): L ( ) L F(, ) D,, siendo LSL ( p( ) ) q( ). SL La condición de reglaridad de L SL es:, q C, p C, p,, q ; mienras qe las condiciones iniciales del CH(D) son las ya indicadas en CH(EOD). En el caso pariclar qe los daos verifiqen: ( ), p ce=c, q y n, la ecación reslane, es la ecación de ondas nidimensional, qe nos ocpa: d d p q c d d ( ( ) ) ( ) ( ) El D se basa en la definición de n modelo ailiar (MA) homogéneo, qe se pede resolver por la FD A, s solción condcirá a la solción del CH(D). Ese MA se obiene mediane n cambio de origen de la variable emporal, consideremos el cambio de variable independiene (CVI). Ese MA vendrá definido por la variable dependiene: v(, ; ) v L v, D,, SL v(,; ), D F (, ) v (,; ), D ( )

5 , qe es n CH homogéneo con condiciones iniciales como las indicadas. Conocida s solción, podremos conocer la solción del CH(D) mediane la epresión: v(, ; ) d. Comprobaremos qe dicha epresión cmple las condiciones del CH(D): v(,, ) v (, ; ) d v (, ; ) v d, por la linealidad de los operadores: ecación original, se obendrá: SL SL SL L L v L vd, ssiyendo ese reslado en la F(, ) vd LSLv d F ( v LSLv) d, siendo ese úlimo érmino nlo por ser v solción del MA. Fala por comprobar qe cmple las condiciones iniciales: (,) v ; (,) v(,, ) v La solción del CH(D) no homogéneo se redce a resolver el CH(MA) qe es n problema homogéneo; en el caso pariclar de la EOD, el MA para aplicar el D es, La FD A da como solción: v c v D,,, v(, ; ), D v (, ; ) F(, ), D c( ) v F( s, ) ds c c( ) La solción del CH(EOD) no homogéneo es: c( ) (, ) F( s, ) ds d c c( ) De esa forma, el CH(EOD) compleo definido por: L F B Aplicando el principio de sperposición, iene como solción: B f g

6 (, ) ( f ( c) f ( c)) g( s) ds F( s, ) ds d c c La solción se pede inerprear: c c c( ) c( ) M(,) = El Teorema de Fbini eniende la solción como el área rayada de la gráfica; los pnos y son la casa, y el pno M el efeco: ( M ) Véase qe y vienen definidos por: ( ) ( ) c( ). Ej_L3_c: e B B. Aplicando el D: ( ) c M F. s ( ) e dsd e e d e e e ( ). Ora forma sería aplicando los méodos operacionales: L D D F e L (, ) robaremos solciones de la forma e, pero como L(, ) enemos problemas pes L (, ), es decir, e Ker L. En ese caso, probamos solciones de la forma: e L (, ), p e, siendo L D ya qe L D D.

7 Oro ipo de solción sería e 3 e L (, ), en ese caso, se esá viendo qe la solción no es única, pero el eorema de eisencia y nicidad afirma qe, si eise solción, ésa es única, pensar en la eplicación.