CAPITULO 3º SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO- 02. Ing. Diego A. Patiño G. M Sc, Ph.D.

Transcripción

1 CPITULO 3º SOLUCIÓN ECUCIÓN DE ESTDO- Ing. Diego. Paiño G. M Sc Ph.D.

2 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Sea el sisema no esacionario escrio por las ecaciones El méoo aplicao para ecir la solción en el caso esacionario no sirve para el caso no esacionario. Una conición sficiene para la eisencia y nicia e solción e la ecación anerior es qe la fnción maricial sea na fnción conina e. En el caso esacionario la solción planeaa se baso en la conmación e fnciones e marices y es e la forma:

3 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Eenieno para el caso no esacionario la solción e la ecación escalar no esacionaria a con conición inicial es De la propiea Se pee eener a la forma maricial?

4 Solción e ecaciones e esao no esacionarias La eponencial maricial pee epresarse como el esarrollo en serie e poencia: La eensión e la solción escalar al caso maricial no es vália en el caso no esacionario pes

5 Solción e ecaciones e esao no esacionarias ao qe para isinos iempos y las marices y son isinas y por ene en general no conman. Se conclye qe en general no es na solción e y se ebe sar oro méoo para erivarla. El méoo qe se sará reqiere la inrocción e la mariz fnamenal el sisema.

6 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Se asme qe eise na solción única para caa conición inicial y para caa enraa e conrol. La solción e las ecaciones forma n espacio vecorial lineal. Eise solción única si oos los elemenos e {a i } son coninos. El conno { i } efine n solciones LI en el inervalo [ o ] e la ecación homogénea: & i i con i

7 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Calqier solción aicional ξ ebe ser na combinación lineal e los i : n n αii ξ ii i i ξ α Como la imensión el espacio solción es n eisen n vecores e coniciones iniciales linealmene inepenienes i o y caa no efine na solción e la ecación homogénea noaa i para Un conno pariclar e los n vecores e coniciones iniciales es: υ n T T [..] ; υ [..] ;... υ [..] T ;

8 Solción e ecaciones e esao no esacionarias [ ] nn n n R υ υ υ Las n solciones obenias se agrpan en na mariz ψ n n La mariz ψ iene las propieaes: [ ] [ ] n n n n I & & & & & υ υ υ υ υ υ n Teorema No singlaria e la Mariz Fnamenal. Una mariz fnamenal ψ es no singlar para oo.

9 Solción e ecaciones e esao no esacionarias n o con I Si la mariz ψ eise se efine la solción e la ecación homogénea como: Coniciones iniciales: Verificación: & 443 & & La solción propesa es na solción única e la ecación homogénea.

10 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Eemplo: Daa la ecación homogénea La solción e la primer componene es ; la solción e la segna componene es Para coniciones iniciales:

11 Solción e ecaciones e esao no esacionarias se ienen las solciones Como los esaos iniciales v y v son linealmene inepenienes Como las colmnas e ψ se peen elegir LI e mchas formas la mariz fnamenal ψ no es única; pero es no singlar para oo.

12 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Solción no homogénea Como la mariz fnamenal es no singlar: [ ] I n

13 Solción e ecaciones e esao no esacionarias La ecación inámica e esao: ] [ & & & ψ

14 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Inegrano a ambos laos: iempo Variane con el Lineal Convolción Sisema Homogénea Solción I No eise n méoo general para evalar ψ

15 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Mariz e Transición e Esao: Sea ψ fnamenal e. Enonces la mariz Φ Φ 443 Φ Solción Homogénea Convolción Sisema Lineal Variane con el iempo calqier mariz se llama mariz e ransición e esaos e. La solción para : En el caso esacionario consane la solción es irecamene X e X y la mariz e ransición epene únicamene e la iferencia Φ e

16 Solción e la Ecación e Esao Eemplo. Para el sisema en el eemplo anerior obenemos y así 4 4

17 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Φ I n. Propieaes e la Mariz e Transición e Esao: Φ Φ Φ 443

18 Solción e ecaciones e esao no esacionarias 443 Homogénea Solción Φ Φ Φ Φ I La solción e la ecación homogénea es: φ es n operaor lineal qe oma al vecor e esao en y proce n vecor en. [ ] Φ Φ La mariz es simérica respeco al iempo:

19 Solción e ecaciones e esao no esacionarias La salia y es La respesa a enraa nla es y la respesa a coniciones iniciales nlas se pee escribir como qe correspone con la represenación enraa/salia

20 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Comparano esas os úlima epresiones se conclye qe la respesa el sisema a n implso aplicao en el insane esá aa por Resmieno la solción general e la EE esacionarios reqiere resolver en sisemas no para obener X o bien la solción e la ecación para obener Φ. Esas ecaciones son ifíciles e resolver salvo para casos especiales.

21 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Hay casos especiales qe peen ser my úiles:. La mariz es rianglar; como por eemplo En ese caso se pee resolver la ecación escalar a y sbsiir la solción en la ecación e. La mariz posee la propiea conmaiva para oo y como es el caso e iagonal o consane.

22 Solción e ecaciones e esao no esacionarias Enonces pee probarse qe la solción esá aa por 3. La mariz es nilpoene p para oo p > q. Empleano la serie inegral e Peano aer:... Φ I

23 Sisemas Discreos La efinición e esao se pee eener a los sisemas iscreos: Para el caso lineal: h y f X D C y X

24 Sisemas Discreos Discreización: Una aplicación ireca e la fórmla e variación e los parámeros es la iscreización e sisemas para simlación o iseño e conrolaores igiales. Dao qe la gran mayoría e los sisemas e conrol se implemenan en forma igial será necesario en algna eapa el iseño converir señales análogas a iscreas o moelos e sisemas coninos a moelos iscreos.

25 Sisemas Discreos Digial/nalógico o reeneor conviere la secencia iscrea e conrol [] procia por el conrolaor igial en la enraa analógica a la plana. nalógico/digial o mesreaor conviere la señal meia en iempo conino y en na secencia e valores iscreos y[] apos para ser procesaos igialmene. Se asme por simplicia qe los os conversores operan en sincronismo y con n períoo T. Dao n sisema en iempo conino G represenao por:

26 Sisemas Discreos Se obenrá n moelo iscreo G asmieno n reeneor e oren cero D/ a la enraa y n mesreaor ieal /D a la salia qe son los casos más simples e esos conversores. La ley e conversión el reeneor e oren cero es mienras qe la ley e conversión el mesreaor ieal es

27 Sisemas Discreos Discreización Eaca: Se pee obener n moelo iscreo eaco el sisema conino sano la fórmla e variación e los parámeros qe a la solción general e la EE. La salia el reeneor e oren cero D/ se maniene consane rane caa períoo e mesreo T hasa la próima mesra Para esa enraa qe cambia e valor en los insanes e mesreo se pee emplear la solción el sisema conino para evalar el esao el sisema en el insane e mesreo T

28 Sisemas Discreos one en la úlima línea se efine σ T.

29 Sisemas Discreos El moelo iscreo one Ese moelo proporciona el valor eaco e las variables en T para na enraa consane a ramos.

30 Sisemas Discreos Para calclar se emplea la epansión en serie e poencia: Si es no singlar:... 3!! 3 T T TI T...! I I I I T e T T T !! I

31 Sisemas Discreos Teorema Van Loan [978]. Daos los eneros posiivos n n ales qe n n n. Si se efine la mariz rianglar n n one R n n R n n y R n n.

32 Sisemas Discreos enonces para plicano el eorema para se obiene C T G T F y En MTL la fnción [] ct calcla y e esas epresiones.

33 Sisemas Discreos La solción e las EEs esacionarias en iempo iscreo y C D es my sencilla. Para el caso homogéneo con el valor inicial ao por :...

34 Sisemas Discreos Para el caso no homogéneo aemás e las coniciones iniciales se ebe conocer la secencia e enraa..... : : 3 : 3 Qe se pee escribir:

35 Sisemas Discreos Φ Φ Φ La mariz e ransición e esaos iscrea: Para el caso iscreo invariane los valores y vecores propios se evalúan lo mismo qe en el caso invariane conino. ˆ ˆ ˆ ˆ D ξ C D Mξ C y ξ M Mξ M ξ Mξ

36 Sisemas Discreos Caso No esacionario La solción e las EEs no esacionarias en iempo iscreo es mcho más simple qe el caso en iempo conino. parir e n insane : [ ] : :

37 Sisemas Discreos n i i i I i con i i Φ : La mariz e ransición e esao Por incción: Para el caso homogéneo: i i q i i i q i

38 Sisemas Discreos Φ Φ i i i i La mariz e ransición e esaos es n operaor lineal: ransforma el vecor e esao en el insane al vecor e esao en el insane. La solción general e la EE en el caso iscreo es: La mariz e ransición e esaos iscrea cmple con: I Φ

39 Sisemas Discreos Dao qe la mariz fnamenal en el caso en iempo conino es no singlar para oo la mariz e ransición e esaos esá efinia para oo y <. En el caso iscreo si la mariz es singlar la inversa e Φ[] pee no esá efinia. Φ[] esá efinia para y conrola la propagación el vecor e esao en el senio posiivo únicamene. Por lo ano la conrapare iscrea e la propiea Φ m Φ m Φ m y m sólo es valia si m

40 REFERENCIS. CHEN C.T. Linear Sysems Theory an Design. 3r Eiion. New Yor: Ofor Universiy Press Y J.S. Fnamenals of Linear Sae Space Sysems New Yor: McGraw Hill Inernaional Eiion. 999.