Graficación de funciones cuadráticas usando la forma estándar

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1 94 CAPÍTULO 2 Funciones Graficación de funciones cuadráticas usando la forma estándar Una función cuadrática es una función f de la forma f2 a 2 b c donde a, b c son números reales a. En particular, si se toma a b c, se obtiene la función cuadrática simple f2 2 cua gráfica es la parábola que se dibujó en el ejemplo de la sección 2.2. De eco, la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola; se puede obtener de la gráfica de f2 2 por las transformaciones dadas en la sección 2.4. Forma estándar de una función cuadrática Una función cuadrática f2 a 2 b c se puede epresar en la forma estándar f2 a 2 2 completando el cuadrado. La gráfica de f es una parábola con vértice, 2; la parábola se abre acia arriba si a o acia abajo si a. Vértice (, ) Vértice (, ) Ï=a(-) +, a> Ï=a(-) +, a< Ejemplo Forma estándar de una función cuadrática Sea f a) Eprese f en la forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de f. En la sección.5 se eplica cómo completar el cuadrado. Solución a) Puesto que el coeficiente de 2 no es, se debe factorizar este coeficiente a partir de los términos relacionados con antes de completar el cuadrado. f El vértice es3, 52 f # La forma estándar es f Factorice 2 de los términos en Complete el cuadrado: sume 9 dentro del paréntesis, reste 2 9 fuera Factorice simplifique

2 SECCIÓN 2.5 Funciones cuadráticas; máimos mínimos 95 b) La forma estándar indica que la gráfica de f se obtiene tomando la parábola 2, desplazándola 3 unidades a la dereca, alargándola por un factor de 2 moviéndola 5 unidades acia arriba. El vértice de la parábola está en 3, 52 la parábola abre acia arriba. La gráfica se bosqueja en la figura después de notar que el intersecto es f2 23. Ï=2(-3) Vértice (3, 5) Figura 3 Valores máimo mínimo de funciones cuadráticas Si una función cuadrática tiene vértice, 2, entonces la función tiene un valor mínimo en el vértice si abre acia arriba un valor máimo en el vértice si abre acia abajo. Por ejemplo, la función graficada en la figura tiene un valor mínimo 5 cuando 3, puesto que el vértice 3, 52 es el punto mínimo sobre la gráfica. Valor máimo o mínimo de una función cuadrática Sea f una función cuadrática con forma estándar f2 a 2 2. El valor máimo o mínimo de f ocurre en. Si a, entonces el valor mínimo de f es f2. Si a, entonces el valor máimo de f es f2. Máimo Mínimo Ï=a(-) +, a> Ï=a(-) +, < a

3 96 CAPÍTULO 2 Funciones 49 4 Figura 2 Ï=5(-3) +4 (3, 4) 3 Valor mínimo 4 Ejemplo 2 Valor mínimo de una función cuadrática Considere la función cuadrática f a) Eprese f en la forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de f. c) Halle el valor mínimo de f. Solución a) Para epresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cuadrado. f # Factorice 5 de los términos en Complete el cuadrado: sume 9 dentro del paréntesis, reste 5 9 fuera Factorice simplifique b) La gráfica es una parábola que tiene su vértice en 3, 42 abre acia arriba, como se bosqueja en la figura 2. c) Puesto que el coeficiente de 2 es positivo, f tiene un valor mínimo. El valor mínimo es f32 4. Ejemplo 3 Valor máimo de una función cuadrática Considere la función cuadrática f a) Eprese f en la forma estándar. b) Bosqueje la gráfica de f. c) Encuentre el valor máimo de f. Solución a) Para epresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cuadrado A 2 4B A 2B Factorice - de los términos en Factorice simplifique b) De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que abre acia arriba tiene vértice A 2, 9 4B. Como auda para trazar la gráfica, se encuentran las intersecciones. La intersección es f2 2. Para allar las intersecciones con, se establece f2 se factoriza la ecuación resultante Complete el cuadrado: sume dentro del paréntesis, reste 2 4 fuera 4

4 SECCIÓN 2.5 Funciones cuadráticas; máimos mínimos 97 Así, las intersecciones son 2. La gráfica de f se traza en la figura 3. 9! 2, 9 Valor máimo 4 Figura 3 Gráfica de f2 2 2 _ 2 c) Puesto que el coeficiente de 2 es negativo, f tiene un valor máimo, que es fa 2B 9 4. Epresar una función cuadrática en la forma estándar auda a bosquejar su gráfica así como a allar su valor máimo o mínimo. Si se está interesado sólo en allar el valor máimo o mínimo, entonces a una fórmula para acerlo. Esta fórmula se obtiene completando el cuadrado para la función cuadrática general como sigue: f2 a 2 b c aa 2 b b c a aa 2 b a b2 b2 4a2b c aa 4a 2b aa b 2a b 2 c b2 4a Factorice a de los términos en Complete el cuadrado: sume reste b 2 4a 2 a b2 4a 2b Factorice dentro del paréntesis, fuera Esta ecuación está en la forma estándar con b/2a2 c b 2 /4a2. Puesto que el valor máimo o mínimo ocurre en, se tiene el resultado siguiente. Valor máimo o mínimo de una función cuadrática El valor máimo o mínimo de una función cuadrática f2 a 2 b c ocurre en b 2a b Si a, entonces el valor mínimo es fa. 2a b b Si a, entonces el valor máimo es fa. 2a b

5 2 CAPÍTULO 2 Funciones Los comandos maimum minimum en una calculadora TI-82 o TI-83 proveen otro método para allar valores etremos de funciones. En el ejemplo siguiente se usa este método. Ejemplo 7 Un modelo para el índice de precios de alimentos Un modelo para el índice de precios de alimentos (el precio de una canasta representativa de alimentos) entre 99 2 está dado por la función It2.3t 3.68t 2.98t 99. donde t se mide en años desde la mitad de 99, así que t, e It2 se escala de modo que I32. Estime el tiempo cuando la comida fue más cara durante el periodo Solución La gráfica de I como una función de t se muestra en la figura 8(a). Al parecer a un máimo entre t 4 t 7. Usando el comando maimum como se muestra en la figura 8(b), se puede observar que el valor máimo de I es casi.38, ocurre cuando t 5.5, que corresponde a agosto de a) 96 Maimum X= Y=.3824 b) Figura Ejercicios 4 Se da la gráfica de una función cuadrática. a) Determine las coordenadas del vértice. b) Halle el valor máimo o mínimo de f.. f f f f

6 22 CAPÍTULO 2 Funciones.5 2 5, donde es la distancia que la bola a viajado orizontalmente, es la altura sobre el nivel del suelo, ambas medidas en pies. a) Cuál es la altura máima que alcanza la bola? b) Qué tan lejos a viajado orizontalmente la bola cuando coca con el suelo? Cuántos árboles se deben plantar por acre a fin de obtener la producción máima de manzanas? 6. Ingreso Un fabricante encuentra que el ingreso generado por vender unidades de cierto artículo está dado por la función R , donde el ingreso R2 se mide en dólares. Cuál es el ingreso máimo cuántas unidades se tienen que fabricar para obtener ese máimo? 62. Ventas Un vendedor de bebidas carbonatadas en una popular plaa analiza sus registros de ventas, encuentra que si vende latas de bebida en un día, su ganancia (en dólares) está dada por 66. Peces migratorios Un pez nada a una velocidad relativa al agua, contra una corriente de 5 millas/. Con un modelo matemático de gasto de energía, se puede mostrar que la energía total E requerida para nadar una distancia de millas está dada por E Los biólogos creen que los peces migratorios tratan de reducir al mínimo la energía total requerida para nadar una distancia fija. Encuentre el valor de que minimiza la energía requerida. NOTA: este resultado a sido comprobado; los peces migratorios nadan contra la corriente a una velocidad 5% maor que la velocidad de la corriente. P Cuál es su ganancia máima por día, cuántas latas debe vender para que la ganancia sea máima? 63. Publicidad La efectividad de un comercial de televisión depende de cuántas veces lo vea un televidente. Después de algunos eperimentos una agencia de publicidad encuentra que si la efectividad E se mide en una escala de a, entonces, En2 2 3 n 9 n2 donde n es el número de veces que un televidente ve un determinado comercial. Para que un comercial tenga efectividad máima, cuántas veces lo debe ver un televidente? 64. Productos farmacéuticos Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración en el torrente sanguíneo del paciente después de t minutos está dada por Ct2.6t.2t 2, donde t 24 la concentración se mide en mg/l. Cuándo se alcanza la concentración máima, cuál es esa concentración máima? 65. Agricultura El número de manzanas que produce cada árbol en una uerta depende de la densidad de árboles plantados. Si se plantan n árboles en un acre de tierra, entonces cada árbol produce 9 9n manzanas. Así que el número de manzanas producidas por acre es An2 n9 9n2 67. Ingeniería de carreteras Un ingeniero desea calcular el número máimo de automóviles que pueden viajar de manera segura en una determinada carretera a una velocidad especificada. Se supone que cada automóvil mide 7 pies de longitud, viaja a una velocidad s sigue al automóvil frente a él a la distancia segura para esa velocidad. Encuentra que el número N de automóviles que pueden pasar en determinado punto por minuto se modela mediante la función 88s Ns2 7 7a s 2 2 b A qué velocidad puede el maor número de automóviles viajar con seguridad por la carretera? 68. Volumen de agua Entre ºC 3ºC, el volumen V (en centímetros cúbicos) de g de agua a una temperatura T está dado por la fórmula V T.8543T T Encuentre la temperatura a la cual el volumen de g de agua es un mínimo.

7 SECCIÓN 2.6 Modelado con funciones Tos Cuando un objeto etraño alojado en la tráquea fuerza a una persona a toser, el diafragma empuja acia arriba causando un incremento de presión en los pulmones. Al mismo tiempo la tráquea se contrae, provoca que el aire epelido se mueva más rápido e incremente la presión sobre el objeto etraño. De acuerdo con el modelo matemático de toser, la velocidad de la corriente de aire por la tráquea de una persona de tamaño promedio se relaciona con el radio r de la tráquea (en centímetros) mediante la función r2 3.2 r2r 2, Determine el valor de r para el cual es un máimo. Descubrimiento Debate 2 r 7. Máimos mínimos En el ejemplo 5 se analizó una situación del mundo real en la que el valor máimo de una función es importante. Mencione otras situaciones cotidianas en las que un valor máimo o mínimo es importante. 7. Minimizar una distancia Cuando se busca un valor mínimo o máimo de una función, algunas veces se considera más fácil trabajar con una función más simple. a) Suponga que g2 f2, donde f2 para toda. Eplique por qué los mínimos máimos locales de f g ocurren en los mismos valores de. b) Sea g2 la distancia entre el punto 3, 2 el punto, 2 2 sobre la gráfica de la parábola 2. Eprese a g como una función de. c) Encuentre el valor mínimo de la función g que encontró en el inciso b). Use el principio descrito en el inciso a) para simplificar su trabajo. 72. Máimo de un polinomio de cuarto grado Encuentre el valor máimo de la función [Sugerencia: sea t 2.] f Modelado con funciones Mucos de los procesos estudiados en las ciencias físicas sociales requieren entender cómo varía una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado. Por ejemplo, un biólogo observa que el número de bacterias en cierto cultivo se incrementa con el tiempo. Él intenta modelar este fenómeno mediante la determinación de la función precisa (o regla) que relaciona la población de bacterias con el tiempo transcurrido. En esta sección se aprenderá cómo allar modelos que se pueden construir con propiedades geométricas o algebraicas del objeto bajo estudio. (La determinación de modelos a partir de datos se estudia en la parte Enfoque en el modelado al final de este capítulo.) Una vez que se encuentra el modelo, se emplea para analizar predecir propiedades del objeto o proceso bajo estudio. Modelado con funciones Empezaremos con una situación simple de la vida real que ilustra el proceso de modelado. Ejemplo Modelado del volumen de una caja Una compañía productora de cereal fabrica cajas para empacar su producto. Por razones estéticas, la caja debe tener las siguientes proporciones: su amplitud es tres veces su profundidad su altura es cinco veces su profundidad. a) Halle una función que modele el volumen de la caja en términos de su profundidad. b) Encuentre el volumen de la caja si su profundidad es.5 pulgadas. c) Para qué profundidad el volumen es 9 pulg 3? d) Para qué profundidad el volumen es maor que 6 pulg 3?