Gradiente, divergencia y rotacional. Matemá4cas para Ingeniería I Lilia Meza Montes 2017

Transcripción

1 Gradiente, divergencia y rotacional Matemá4cas para Ingeniería I Lilia Meza Montes 017

2 Definición A par4r de una función escalar f(x,y,z) obtenemos otra función vectorial llamada gradiente f ( x, y, z) = f x iˆ + f y ˆj + f z kˆ Función escalar f(x,y,z) = Operador nabla función vectorial f

3 Operador nabla Es un operador vectorial Actúa sobre la función = Función escalar f(x,y,z) i + j+ x y z k función vectorial f

4 Propiedades Para una función de dos variables f(x,y) La dirección de máximo crecimiento de f está dada por f ( x, y). El valor máximo de f es f ( x, y). La dirección de mínimo incremento de f está dada por f ( x, y). El valor mínimo de f es. f ( x, y)

5 Bolas abierta y cerrada y Cerrada: Incluye frontera r x + y r x Abierta: No incluye frontera (x c,y c ) ( ) ( ) x x y y r + < c c

6 Propiedades geométricas Sea f(x,y) una función escalar de dos variables. En R 3, z=f(x,y) define una superficie S. Construimos la función F( x, y, z) = f ( x, y) z = Esta es la ecuación de la superficie S. Un vector unitario normal a S en (x,y,z) es nˆ = F F 0 Notar: Este es un vector en el espacio. El gradiente de f (x,y) está en el plano

7 El vector normal y el plano F( x, y, z) = z F x y 1 = 0 = 4xiˆ 4yj ˆ + zkˆ = 4ˆ i + 4 ˆj P = (1, 1,4) P + 8kˆ z = Ecuación del plano 3+ x / y /

8 Plano tangente en (1,- 1,4) Superficie S Gradiente de F Superficie S Plano

9 El gradiente de f(x,y) es normal a las curvas de nivel Indica dirección en la cual la función f(x,y) aumenta más rápidamente j i j z y i z x j y x y i y x x y x f P P ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 1 ), ( = + = = 1 ), ( y x y x f + + = (x 0,y 0 )

10

11 DIVERGENCIA

12 Definición A par4r de una función vectorial R(x,y,z) obtenemos una función escalar llamada divergencia R = x i R + = y j+ R x x z + k R y y ( R i + R j+ R k) + x R z z y z Función vectorial R(x,y,z) función escalar R

13 SIGNIFICADO FÍSICO

14 Densidad Can4dad de (X=masa,carga,probabilidad) por unidad de Volumen V (densidad volumétrica) ρ=x/v Área A (densidad superficial) σ=x/a Longitud l (densidad lineal) λ= X/l Puede ser constante o una función escalar de la posición. También puede depender del 4empo ρ(x,y,z,t).

15 Densidad de población

16 Densidad ósea

17 Dis4ntos materiales

18 Densidad de carga eléctrica De No machine- readable author provided. Lalo49~commonswiki assumed (based on copyright claims). - No machine- readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims)., CC BY.5, hkps:// commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=39645

19 Ejemplo: fluido compuesto de parpculas fluido: se caracteriza con un campo vectorial, densidad de flujo j. En cada punto j=ρ v, ρ es la densidad del fluido

20 v Cuántas parpculas (masa, carga, etc ) pasan por unidad de 4empo en el área A? A= Área v v = Velocidad de parpculas Parpculas con misma velocidad v Volumen de la caja V = v A Masa en la caja M=ρV=ρv A Can4dad de masa que pasa por unidad de 4empo J= ρva por unidad de área j= ρv Esto es Flujo

21 Volumen V=dxdydz Área A= dydz=v/dx Area = dydz Flujo neto a lo largo de la dirección x = Flujo que sale flujo que entra

22 Flujo total en volumen dxdydz Suma de flujos a lo largo de x, y, z = flujo neto Divergencia = Flujo por unidad de volumen

23 Divergencia da: número de parpculas por unidad de 4empo que pasan por la unidad de volumen

24 Divergencia posi4va: expansión

25 Divergencia nega4va: implosión o compresión

26 Divergencia nula: conservación

27 Fluido que pasa en áreas sombreadas por unidad de 4empo es el mismo Fluido incompresible. Conservación de masa, carga, etc

28 Ancho del tubo=divergencia del campo

29 Algunos si4os con ejemplos Cálculo analí4co de divergencias y rotacionales hkp:// id=85afa8b7bd564fc6c84dde9f hkp://mathinsight.org/divergence_curl_examples hkps:// calculus/mul4variable- deriva4ves/divergence- and- curl- ar4cles/a/curl- warmup hkp://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%0vectorial/nucleos/capitulo/ leccion_4/mates/ecdif/l- 4b.htm hkp:// Sec4on_4.4.pdf

30 ROTACIONAL

31 Rotacional o curl de R R = Definición Sea la función vectorial con componentes R x, R y, R z R( x, y, z) = R ( x, y, z) i + R ( x, y, z) j R ( x, y, z) k x y + i j k x y z R x R y R`z z Orden de los operadores es importante = Función vectorial R(x,y,z) y z i R y R`z x x z j+ R x R`z x y k R x R y función vectorial xr

32 Significado. Ejemplo Fluido Campo de velocidad v(x,yz,) define velocidades de par4culas Parpculas del fluido 4enden a rotar alrededor del punto y a lo largo del vector definido por el rotacional de la velocidad v, la magnitud dice que tan rápido se mueven alrededor del eje Si curl F=0 no hay vór4ces. Se dice que es irrotacional (ejemplo paleta)

33 Tarea Junto con problemas de Lagrange y gráfica de Gradiente. Para el martes 14 El campo vectorial F(x,y,z) indicado es independiente de z y la componente z es nula. a) Es la div F posi4va, nula o cero? Explique. b) Determine si curl F=0. si no, hacia qué dirección apunta curl F?

34 Campo conserva4vo Si f es una función que 4ene derivadas parciales de segundo orden con4nuas (Clase C ), entonces x f=0 F= f define un campo vectorial. Se dice que el campo es conserva4vo y que f es una función potencial (en Física F=- V) xf=0 Divergencia del rotacional es cero

35 Para recordar Nombre Símbolo Actúa sobre Resultado Gradiente Divergencia (div) Rotacional (curl) Laplaciano x Función escalar Función vectorial Función vectorial Función escalar Función vectorial Función escalar Función vectorial Función escalar

36 Relaciones para el operador nabla = = x + y + z Laplaciano Ecuación de Laplace

37 IDENTIDADES A B