Test de Hip otesis 6.3 horarios flexibles un promedio de 5.4 d ıas

Transcripción

1 Test de Hipótesis Una firma sabe que en cada uno de los añosanterioreslos empleados han faltado un promedio de 6.3 días (sacando las vacaciones). Este año la firma introdujo el sistema de horarios flexibles y eligió una muestra de 100 empleados para seguirlos a lo largo del año. Al final del año esos empleados faltaron un promedio de 5.4 días al trabajo. El equipo de personal se reunió y esta es la conversación que mantienen. 0

2 Investigador (I). Entre otros hechos el horario flexible reduce el ausentismo que pasó de 6.3 a 5.4 días este año. Escéptico (E). Noescierto.Sumuestraessólo de 100 empleados sobre los 5000 de la empresa; por la suerte de la elección han elegido a los empleados más trabajadores. Lo que usted muestra es sólo variación aleatoria. Cuál es el desvío estándar de su muestra? I E I Los días de ausencia promediaron 5.4 con un desvío estándar de 3 días. Ve, la diferencia entre 6.3 y 5.4 es mucho menor que un desvío estándar; luego para mí es mero azar. Bueno, le daré mi explicación. Tiene a los 5000 empleados que son todos igualmente representativos, es como tener 5000 bolillas en una caja, una por cada empleado, que indica cuántos días faltó. 1

3 Ahora sacamos 100 bolillas y la única información que tenemos es sobre esas 100 bolillas. De acuerdo? E I E I E I Sí. Y lo que nos preocupa es conocer el promedio de la caja. Usted dice que aún es 6.3 y yo que descendió. Es cierto, digo que lo observó es debido a la casualidad porque hay demasiados números chicos en su muestra. Entiendo. Una cosa más, como no conocemos el desvío estándar poblacional lo podemos estimar por el de la muestra, osea,por3días. De acuerdo? Sí. Bueno. Entonces ahora el error estándar (SE) para el promedio 3 es =0.3 días

4 E I E I Luego supongamos que está en lo cierto y que el promedio de la población sea aún 6.3 días. Luego debería esperar que el promedio de la muestra esté alrededor de 6.3 y en realidad está ( ) más allá de3seyaque = Hmm... Tenemos suficientes datos como para usar la aproximación normal a la distribución de los promedios y el área a la izquierda de 3 es aproximadamente Es cierto. Bueno, ahora debe hacer su elección. O bien sigue sosteniendo que su promedio es 6.3 días o bien coincide conmigo en que el promedio de ausencia bajó. Si se mantiene en su posición de 6.3 días, necesita un milagro casi para explicar los datos obtenidos pues sólo hay una posibilidad en mil de estar tan lejos de su valor esperado. 2

5 E I E I Bueno, y cuánto piensa que es su valor promedio? Lo estimo por 5.4 ± 0.3 días. Tuvimos entonces una pequeña reducción en los días de ausencia pero es una reducción real, o sea, no la puedo atribuir al azar. Por lo tanto, esto muestra que el horario flexible reduce el ausentismo. No, sólo probamos que el ausentismo bajó. No era sólo debido alasuertealelegirlamuestra. Este ejemplo muestra que el investigador trata de probar la validez de su hipótesis de real disminución del ausentismo por un cálculo aleatorio. Este cálculo es un test de significación. 3

6 TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis Nula: Se indica H 0, es la que sostiene que la diferencia observada se debe al azar 4

7 TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis Nula: Se indica H 0, es la que sostiene que la diferencia observada se debe al azar Hipótesis Alternativa: Se indica H 1,eslaque sostiene que la diferencia observada es real. En general es la hipótesis que uno quiere probar. 4

8 TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis Nula: Se indica H 0, es la que sostiene que la diferencia observada se debe al azar Hipótesis Alternativa: Se indica H 1,eslaque sostiene que la diferencia observada es real. En general es la hipótesis que uno quiere probar. Hipótesis simple: Lahipótesis se dice simple si la suposición de que la hipótesis sea cierta lleva a una sóla función de probabilidad. Si esto no ocurre se dice Hipótesis compuesta. 4

9 Planteo general del problema X F (x, θ), θ Θ, X IR n Θ 0 y Θ 1 tales que Θ 0 Θ 1 = y Θ 0 Θ 1 =Θ. 5

10 Planteo general del problema X F (x, θ), θ Θ, X IR n Θ 0 y Θ 1 tales que Θ 0 Θ 1 = y Θ 0 Θ 1 =Θ. Un test será una regla basada en X para decidir entre las dos hipótesis H 0 : θ Θ 0 contra H 1 : θ Θ 1 5

11 Planteo general del problema X F (x, θ), θ Θ, X IR n Θ 0 y Θ 1 tales que Θ 0 Θ 1 = y Θ 0 Θ 1 =Θ. Un test será una regla basada en X para decidir entre las dos hipótesis H 0 : θ Θ 0 contra H 1 : θ Θ 1 Test una función φ : IR n [0, 1]. 5

12 Planteo general del problema X F (x, θ), θ Θ, X IR n Θ 0 y Θ 1 tales que Θ 0 Θ 1 = y Θ 0 Θ 1 =Θ. Un test será una regla basada en X para decidir entre las dos hipótesis H 0 : θ Θ 0 contra H 1 : θ Θ 1 Test una función φ : IR n [0, 1]. φ es no aleatorizado si toma los valores 0 ó1. 5

13 Planteo general del problema X F (x, θ), θ Θ, X IR n Θ 0 y Θ 1 tales que Θ 0 Θ 1 = y Θ 0 Θ 1 =Θ. Un test será una regla basada en X para decidir entre las dos hipótesis H 0 : θ Θ 0 contra H 1 : θ Θ 1 Test una función φ : IR n [0, 1]. φ es no aleatorizado si toma los valores 0 ó1. Si el test toma valores distintos de 0 y 1 se dice que es un test aleatorizado. 5

14 Test de hipótesis φ(x) =1indica que rechazo H 0 y por lo tanto, se acepta H 1. 6

15 Test de hipótesis φ(x) =1indica que rechazo H 0 y por lo tanto, se acepta H 1. φ(x) =0indica que no se rechaza H 0 6

16 Test de hipótesis φ(x) =1indica que rechazo H 0 y por lo tanto, se acepta H 1. φ(x) =0indica que no se rechaza H 0 Si el test es aleatorizado φ(x) =P (rechazar H 0 X = x) 6

17 Test de hipótesis φ(x) =1indica que rechazo H 0 y por lo tanto, se acepta H 1. φ(x) =0indica que no se rechaza H 0 Si el test es aleatorizado φ(x) =P (rechazar H 0 X = x) La región crítica R, deuntestφ, esel conjunto de puntos X que llevan a la decisión de rechazar H 0 6

18 Test de hipótesis φ(x) =1indica que rechazo H 0 y por lo tanto, se acepta H 1. φ(x) =0indica que no se rechaza H 0 Si el test es aleatorizado φ(x) =P (rechazar H 0 X = x) La región crítica R, deuntestφ, esel conjunto de puntos X que llevan a la decisión de rechazar H 0 La región de aceptación A es el conjunto de puntos X que llevan a aceptar H 0. 6

19 Tipos de errores H 0 es cierta H 1 es cierta Decido aceptar H 0 BIEN ERROR II Decido aceptar H 1 ERROR I BIEN 7

20 Tipos de errores H 0 es cierta H 1 es cierta Decido aceptar H 0 BIEN ERROR II Decido aceptar H 1 ERROR I BIEN Se llamará error de tipo 1 alquesecometeal rechazar H 0, cuando es verdadera. P (ERROR I) =P θ (R) θ Θ 0 7

21 Tipos de errores H 0 es cierta H 1 es cierta Decido aceptar H 0 BIEN ERROR II Decido aceptar H 1 ERROR I BIEN Se llamará error de tipo 1 alquesecometeal rechazar H 0, cuando es verdadera. P (ERROR I) =P θ (R) θ Θ 0 Se llamará error de tipo 2 alquesecometeal aceptar H 0, cuando es falsa. P (ERROR II) =1 P θ (R) θ Θ 1 7

22 Potencia Se llama función de potencia del test φ(x) ala función β φ (θ) =P θ (rechazar H 0 )=P θ (R), 8

23 Potencia Se llama función de potencia del test φ(x) ala función β φ (θ) =P θ (rechazar H 0 )=P θ (R), Para todo test se tiene β φ (θ) =E θ (φ(x)). 8

24 Potencia Se llama función de potencia del test φ(x) ala función β φ (θ) =P θ (rechazar H 0 )=P θ (R), Para todo test se tiene β φ (θ) =E θ (φ(x)). P (ERROR I) =β φ (θ) para θ Θ 0. P (ERROR II) =1 β φ (θ) para θ Θ 1. 8

25 Por qué aleatorizar Muestra de n = 10 compradores, θ probabilidad de que un comprador elegido al azar compre un auto de esa marca. H 0 : θ =1/2 contra H 1 θ<1/2 X =número de compradores de autos de esa marca entre los 10 elegidos X Bi(10,θ)

26 Por qué aleatorizar φ k (X) = 1 si X k 0 si X>k

27 Por qué aleatorizar φ k (X) = 1 si X k 0 si X>k β φ3 (0.5) = < 0.25 β φ4 (0.5) = >

28 Por qué aleatorizar φ k (X) = 1 si X k 0 si X>k β φ3 (0.5) = < 0.25 β φ4 (0.5) = > 0.25 φ(x) = 1 si X<4 γ si X =4 0 si X>4 10

29 Por qué aleatorizar φ k (X) = 1 si X k 0 si X>k φ(x) = β φ (0.5) = 0.25 β φ3 (0.5) = < 0.25 β φ4 (0.5) = > si X<4 γ =0.074 si X =4 0 si X>4 10

30 β φ2 (0.5) = Potencia de φ 2 (X) φ 2 (X) = 1 si X 2 0 si X>

31 potencia Función de Potencia theta 12

32 Función de Potencia potencia n=10 n=20 n=40 n= theta 12

33 Nivel de significación El nivel de significación de un test φ: α = sup θ Θ 0 β φ (θ) 13

34 Nivel de significación El nivel de significación de un test φ: α = sup θ Θ 0 β φ (θ) X F (x, θ) H 0 : θ Θ 0 H 1 : θ Θ 1 φ es el test más potente de nivel menor o igual que α para una alternativa fija θ 1 Θ 1 si (a) sup θ Θ 0 β φ (θ) α 13

35 Nivel de significación El nivel de significación de un test φ: α = sup θ Θ 0 β φ (θ) X F (x, θ) H 0 : θ Θ 0 H 1 : θ Θ 1 φ es el test más potente de nivel menor o igual que α para una alternativa fija θ 1 Θ 1 si (a) sup θ Θ 0 β φ (θ) α (b) Dado φ de nivel menor o igual que α se tiene β φ (θ 1 ) β φ (θ 1 ) 13

36 TEST UMP φ es un test uniformemente más potente, UMP, de nivel menor o igual que α para si H 0 : θ Θ 0 H 1 : θ Θ 1 (a) sup θ Θ 0 β φ (θ) α (b) Dado φ de nivel menor o igual que α se tiene β φ (θ 1 ) β φ (θ 1 ) θ 1 Θ 1 14

37 Nivel Crítico El nivel crítico o p-valor es el menor valor de significación para el que rechazamos la hipótesis H 0 para una observación dada x. 15

38 Teorema de Neyman Pearson H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1 16

39 Teorema de Neyman Pearson H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1 X es un vector discreto (o continuo) bajo θ 0 y θ 1. Las funciones de densidad correspondientes son f(x, θ 0 ) y f(x, θ 1 ). 16

40 Teorema de Neyman Pearson H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1 X es un vector discreto (o continuo) bajo θ 0 y θ 1. Las funciones de densidad correspondientes son f(x, θ 0 ) y f(x, θ 1 ). L 10 = f(x, θ 1) f(x, θ 0 ) 16

41 Teorema de Neyman Pearson H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1 X es un vector discreto (o continuo) bajo θ 0 y θ 1. Las funciones de densidad correspondientes son f(x, θ 0 ) y f(x, θ 1 ). L 10 = f(x, θ 1) f(x, θ 0 ) k α 16

42 Teorema de Neyman Pearson H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1 X es un vector discreto (o continuo) bajo θ 0 y θ 1. Las densidades son f(x, θ 0 )yf(x, θ 1 ). L 10 = f(x, θ 1) f(x, θ 0 ) k α φ(x) = 1 si f(x, θ 1 ) >k α f(x, θ 0 ) γ α si f(x, θ 1 )=k α f(x, θ 0 ) (1) 0 si f(x, θ 1 ) <k α f(x, θ 0 ) 16

43 Teorema de Neyman Pearson (i) Dado 0 <α 1 se pueden elegir k α y γ α,0 γ α 1, tales que el test (1) satisfaga β φ (θ 0 )=α. Si α =0eltest tiene nivel 0. φ(x) = 1 si f(x, θ 0 )=0 0 si f(x, θ 0 ) > 0 (2) (ii) Sea φ un test de la forma (1) que satisface β φ (θ 0 )=α para α>0ydelaforma(2) para α =0. Luegoφ es el más potente de nivel menor o igual que α para H 0 : θ = θ 0 contra H 1 : θ = θ 1 16

44 Teorema de Neyman Pearson (iii) Si φ es un UMP de nivel α>0para H 0 : θ = θ 0 contra H 1 : θ = θ 1 entonces φ es de la forma φ(x) = 1 si f(x, θ 1 ) >k α f(x, θ 0 ) γ α (x) si f(x, θ 1 )=k α f(x, θ 0 ) 0 si f(x, θ 1 ) <k α f(x, θ 0 ) (3) excepto en N tal que P θ0 (N )=P θ1 (N )=0. 17

45 Teorema de Neyman Pearson Si φ es un UMP de nivel 0 para H 0 : θ = θ 0 contra H 1 : θ = θ 1 entonces φ es de la forma (2) excepto en N tal que P θ0 (N )=P θ1 (N )=0. 18

46 Caso Normal X 1,...,X n m.a. N(µ, σ 2 0) σ 2 0 conocido, H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ = µ 1 con µ 1 >µ 0 19

47 Caso Normal X 1,...,X n m.a. N(µ, σ 2 0) σ 2 0 conocido, H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ = µ 1 con µ 1 >µ 0 El test UMP de nivel α es φ 1 (X 1,...,X n )= 1 si n (X µ 0) σ 0 0 si n (X µ 0) σ 0 z α <z α 19

48 Caso Normal X 1,...,X n m.a. N(µ, σ 2 0) σ 2 0 conocido, H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ = µ 1 con µ 1 >µ 0 El test UMP de nivel α es φ 1 (X 1,...,X n )= 1 si n (X µ 0) σ 0 0 si n (X µ 0) σ 0 φ 1 es UMP de nivel α para H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ>µ 0 β φ1 (µ) =1 Φ ( z α + n (µ 0 µ) σ 0 ) z α <z α 19

49 Caso Normal X 1,...,X n m.a. N(µ, σ 2 0) σ 2 0 conocido, H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ = µ 1 con µ 1 <µ 0 20

50 Caso Normal X 1,...,X n m.a. N(µ, σ 2 0) σ 2 0 conocido, H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ = µ 1 con µ 1 <µ 0 El test UMP de nivel α es φ 2 (X 1,...,X n )= 1 si n (X µ 0) σ 0 0 si n (X µ 0) σ 0 z α > z α 20

51 Caso Normal X 1,...,X n m.a. N(µ, σ 2 0) σ 2 0 conocido, H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ = µ 1 con µ 1 <µ 0 El test UMP de nivel α es φ 2 (X 1,...,X n )= φ 2 es UMP de nivel α para 1 si n (X µ 0) σ 0 0 si n (X µ 0) σ 0 z α > z α β φ2 (µ) =Φ ( H 0 : µ = µ 0 contra H 1 : µ<µ 0 z α + n (µ 0 µ) σ 0 ) 20

52 Caso Normal X 1,...,X n m.a. N(µ, σ 2 0) σ 2 0 conocido, φ 1 tiene función de potencia creciente Es UMP de nivel α para H 0 : µ µ 0 contra H 1 : µ>µ 0 φ 2 tiene función de potencia decreciente Es UMP de nivel α para H 0 : µ µ 0 contra H 1 : µ<µ 0 21

53 Familias de CVM Una familia de distribuciones discretas o continuas con densidad (o función de probabilidad puntual) f(x,θ), θ Θ IR se dice de cociente de verosimilitud monótono (CVM) en T = T (X), si para todo θ 1 <θ 2 (i) Las distribuciones correspondientes a f(x,θ 1 )y f(x,θ 2 )sondistintas (ii) f(x,θ 2) f(x,θ 1 ) = g θ 1 θ 2 (T (x)), donde g θ1 θ 2 (t) es una función no decreciente en el conjunto S = {t : t = T (x) con f(x,θ 1 ) > 0ó f(x,θ 2 ) > 0} 22

54 Familias de CVM: Teorema Sea X f(x,θ) con θ Θ IR, perteneciente a una familia de CVM en T = T (X). Luego (i) Existen k α y γ α tales que φ(x) = 1 si T>k α γ α si T = k α (4) 0 si T<k α satisface E θ0 (φ(x)) = α. (5) (ii) Sea φ es un test de la forma (4) que satisface (5). Luego φ es el test UMP de nivel menor o igual que α>0 para H 0 : θ = θ 0 contra H 1 : θ>θ 0. 23

55 Familias de CVM: Teorema (iii) β φ (θ) esmonótona no decreciente para todo θ y estrictamente creciente para todo θ tal que 0 <β φ (θ) < 1. (iv) Sea φ un test de la forma (4) que satisface (5). Luego, φ es el test UMP de nivel menor o igual que α>0 para H 0 : θ θ 0 contra H 1 : θ>θ 0. 24

56 Familias de CVM: Teorema Sea X f(x,θ) con θ Θ IR, perteneciente a una familia de CVM en T = T (X). Luego (i) Existen k α y γ α tales que φ(x) = 1 si T<k α γ α si T = k α (6) 0 si T>k α satisface E θ0 (φ(x)) = α. (7) (ii) Sea φ es un test de la forma (6) que satisface (7). Luego φ es el test UMP de nivel menor o igual que α>0 para H 0 : θ = θ 0 contra H 1 : θ<θ 0. 25

57 Familias de CVM: Teorema (iii) β φ (θ) esmonótona no creciente para todo θ y estrictamente decreciente para todo θ tal que 0 <β φ (θ) < 1. (iv) Sea φ un test de la forma (6) que satisface (7). Luego, φ es el test UMP de nivel menor o igual que α>0 para H 0 : θ θ 0 contra H 1 : θ<θ 0. 25

58 d 0 = Decido aceptar H 0 d 1 = Decido aceptar H 1 Riesgo 26

59 d 0 = Decido aceptar H 0 d 1 = Decido aceptar H 1 Riesgo L(θ, d 0 ) L(θ, d 1 ) = I Θ1 (θ) = I Θ0 (θ) 26

60 d 0 = Decido aceptar H 0 d 1 = Decido aceptar H 1 Riesgo L(θ, d 0 ) L(θ, d 1 ) R(θ, φ) = I Θ1 (θ) = I Θ0 (θ) = L(θ, d 1 )β φ (θ)+l(θ, d 0 )(1 β φ (θ)) = 1 β φ (θ) θ Θ 1 β φ (θ) θ Θ 0 26

61 Clase Esencialmente Completa a) Un test φ 1 se dice tan bueno como φ 2 si R(θ, φ 1 ) R(θ, φ 2 ) θ Θ 27

62 Clase Esencialmente Completa a) Un test φ 1 se dice tan bueno como φ 2 si R(θ, φ 1 ) R(θ, φ 2 ) θ Θ b) Un test φ 1 se dice mejor que φ 2 si R(θ, φ 1 ) R(θ, φ 2 ) θ Θ θ : R( θ, φ 1 ) < R( θ, φ 2 ) 27

63 Clase Esencialmente Completa a) Un test φ 1 se dice tan bueno como φ 2 si R(θ, φ 1 ) R(θ, φ 2 ) θ Θ b) Un test φ 1 se dice mejor que φ 2 si R(θ, φ 1 ) R(θ, φ 2 ) θ Θ θ : R( θ, φ 1 ) < R( θ, φ 2 ) Una clase C se dice esencialmente completa si φ/ C, φ 0 Ctal que φ 0 es tan bueno como φ. 27

64 Clase Esencialmente Completa: Corolario Sea X f(x,θ) con θ Θ IR, perteneciente a una familia de CVM en T = T (X). Para todo test φ y θ 0 Θ tal que 0 <E θ0 (φ ) < 1, existe un test φ de la forma (4) tal que β φ (θ) β φ (θ) θ θ 0 β φ (θ) β φ (θ) θ θ 0 28

65 Clase Esencialmente Completa: Corolario Sea X f(x,θ) con θ Θ IR, perteneciente a una familia de CVM en T = T (X). Para todo test φ y θ 0 Θ tal que 0 <E θ0 (φ ) < 1, existe un test φ de la forma (4) tal que β φ (θ) β φ (θ) θ θ 0 β φ (θ) β φ (θ) θ θ 0 La clase C de los tests de la forma (4) es esencialmente completa para este problema tomando como pérdida los indicadores. 28

66 Lema de Neyman Pearson generalizado Sean f 0 (x),f 1 (x),...,f l (x) funciones integrables en IR. Sea φ 0 (x) cualquier función integrable de la forma φ 0 (x) = 1 si f 0 (x) > γ(x) si f 0 (x) = 0 si f 0 (x) < l i=1 l i=1 l i=1 k i f i (x) k i f i (x) k i f i (x) (8) 29

67 Lema de Neyman Pearson generalizado a) φ 0 maximiza φ(x)f 0 (x)dx entre todas las funciones 0 φ 1talesque φ(x)f j (x)dx = φ 0 (x)f j (x)dx 1 j l b) Si además k j 0 entonces φ 0 maximiza φ(x)f 0 (x)dx entre todas las funciones 0 φ 1talesque φ(x)f j (x)dx φ 0 (x)f j (x)dx 1 j l 30

68 Lema de Neyman Pearson generalizado c) Si φ maximiza funciones 0 φ 1talesque φ(x)f j (x)dx = entonces φ es de la forma (8) φ(x)f 0 (x)dx entre todas las φ (x)f j (x)dx 1 j l 31

69 H 0 : θ 1 θ θ 2 H 1 : θ>θ 2 o θ<θ 1 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) 32

70 H 0 : θ 1 θ θ 2 H 1 : θ>θ 2 o θ<θ 1 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) Diremos que φ es un bilateral si es de la forma φ(x) = (9) 1 si x<x 1 o x>x 2 γ i si x = x i 0 si x 1 <x<x 2 0 γ i 1, x 1 x

71 H 0 : θ 1 θ θ 2 H 1 : θ>θ 2 o θ<θ 1 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) Sean φ un test cualquiera y sean θ 1 <θ 2. Entonces a) Existe un test bilateral φ tal que β φ (θ i )=β φ (θ i ), i =1, 2. b) Dado cualquier test bilateral φ que cumpla a) se tiene β φ (θ) β φ (θ) = 0 θ 1 <θ<θ 2 0 θ<θ 1 o θ>θ 2 33

72 H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) 34

73 H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) β θ φ(θ) = E θ (Xφ(X)) E θ (φ(x))e θ (X) 34

74 H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) Sean φ un test cualquiera y sean θ 0 Θ. Entonces a) Existe un test bilateral φ tal que β φ (θ 0 ) = β φ (θ 0 ) (10) θ β φ(θ) θ=θ0 = θ β φ (θ) θ=θ0 (11) b) Dado cualquier test bilateral φ que cumpla (10) y (11) se tiene β φ (θ) β φ (θ) θ 35

75 TEST IUMP Un test φ de nivel α para H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1,sediceinsesgado si β φ (θ) α θ Θ 1 36

76 TEST IUMP Un test φ de nivel α para H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1,sediceinsesgado si β φ (θ) α θ Θ 1 φ es un test IUMP de nivel α si i) sup θ Θ 0 β φ (θ) =α 36

77 TEST IUMP Un test φ de nivel α para H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1,sediceinsesgado si β φ (θ) α θ Θ 1 φ es un test IUMP de nivel α si i) sup θ Θ 0 β φ (θ) =α ii) φ es insesgado 36

78 TEST IUMP Un test φ de nivel α para H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1,sediceinsesgado si β φ (θ) α θ Θ 1 φ es un test IUMP de nivel α si i) sup θ Θ 0 β φ (θ) =α ii) φ es insesgado iii) para todo φ tal que se verifica a) sup β φ (θ) =α θ Θ 0 b) φ es insesgado β φ (θ) β φ (θ) θ Θ 1 36

79 TEST IUMP: H 0 : θ 1 θ θ 2 H 1 : θ>θ 2 o θ<θ 1 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) Todo test bilateral φ(x) = 1 si x<x 1 o x>x 2 γ i si x = x i 0 si x 1 <x<x 2 tal que (x i,γ i ) se eligen de modo que β φ (θ i )=α es IUMP de nivel α para H 0 versus H 1. 37

80 TEST IUMP: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 f(x, θ) =A(θ) exp{θ x}h(x) Todo test bilateral φ(x) = 1 si x<x 1 o x>x 2 γ i si x = x i 0 si x 1 <x<x 2 tal que (x i,γ i ) se eligen de modo que β φ (θ 0 )=α y θ β φ(θ) =0 θ=θ0 es IUMP de nivel α para H 0 versus H 1. 38

81 Test de Cociente de Máxima verosimilitud X f(x, θ), θ Θ y se quiere testear H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1 Θ 0 Θ 1 =Θ θ 0 : Estimador de máxima verosimilitud de θ, suponiendo θ Θ 0 θ 1 : Estimador de máxima verosimilitud de θ, suponiendo θ Θ 1 f(x, θ 0 ) f(x, θ 1 ) = maxf(x, θ) θ Θ 0 = maxf(x, θ) θ Θ 1 39

82 Test de Cociente de Máxima verosimilitud X f(x, θ), θ Θ y se quiere testear H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1 Θ 0 Θ 1 =Θ φ(x) = L 10 = f(x, θ 1 ) f(x, θ 0 ) k α 1 si f(x, θ 1 ) >k α f(x, θ 0 ) γ α si f(x, θ 1 )=k α f(x, θ 0 ) 0 si f(x, θ 1 ) <k α f(x, θ 0 ) 40

83 Test de Cociente de Máxima verosimilitud X f(x, θ), θ Θ y se quiere testear H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1 Θ 0 Θ 1 =Θ L(X) = 1 L 10 = f(x, θ 0 ) f(x, θ 1 ) k α φ(x) = 1 si L(X) <k α γ α si L(X) =k α 0 si L(X) >k α 41

84 Test de Cociente de Máxima verosimilitud X f(x, θ), θ Θ y se quiere testear H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1 Θ 0 Θ 1 =Θ φ(x) = L(X) = sup f(x,θ) θ Θ 0 sup f(x,θ) θ Θ 1 1 si L(X) <k α γ α si L(X) =k α 0 si L(X) >k α 42

85 Test de Cociente de Máxima verosimilitud X f(x, θ), θ Θ y se quiere testear H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1 Θ 0 Θ 1 =Θ Si φ(x) = sup f(x,θ) =supf(x,θ) θ Θ 1 θ Θ 1 si L (X) <k α γ α L (X) = si L (X) =k α 0 si L (X) >k α sup θ Θ 0 f(x,θ) sup θ Θ f(x,θ) 43

86 Distribución T n ( ) Distribución de Student no central con n grados de libertad y parámetro de no centralidad : T n ( ) es la distribución de U + V/n con U N(0, 1), V χ 2 n yademás U y V son independientes. Sea X T n ( ), c n,k ( ) = P (X k), = c n,k ( ) es una función monótona creciente de. 43

87 Test de CMV para H 0 : µ µ 0 versus H 1 : µ µ 0 X 1,...,X n i.i.d X i N(µ, σ 2 ), (µ, σ 2 ) desconocidos. ni=1 s 2 (X i X) 2 =. n 1 El test de cociente de máxima verosimilitud es cumple φ 1 (X 1,...,X n )= β ϕ (µ 0,σ)=α 1 si n (X µ 0) s 0 si n (X µ 0) s σ t n 1,α <t n 1,α 44

88 Test de CMV para H 0 : µ µ 0 versus H 1 : µ µ 0 X 1,...,X n i.i.d X i N(µ, σ 2 ), (µ, σ 2 ) desconocidos. El test de cociente de máxima verosimilitud es φ 1 (X 1,...,X n )= Sea = n(µ µ 0 )/σ, 1 si n (X µ 0) s 0 si n (X µ 0) s t n 1,α <t n 1,α β ϕ (µ, σ 2 )=P µ,σ 2(T t n 1,α )=c n 1,tn 1,α ( ). sup µ µ 0 σ>0 β ϕ (µ, σ 2 )=β ϕ (µ 0, 1) 45

89 Test con nivel asintótico X 1,...,X n m.a. X i F (x, θ), θ Θ H 0 : θ Θ 0 contra H 1 : θ Θ 1. Se dirá que una sucesión de test φ n (X 1,...,X n )tiene nivel de significación asintótico α si lim sup β φn (θ) =α n θ Θ 0 45

90 Distribución asintótica del test de CMV X =(X 1,...,X n ) f(x, θ) con θ =(θ 1,...,θ p ) Θ IR p que contiene una esfera. Θ 0 es un conjunto de dimensión p j, 1 j p. H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1,conΘ=Θ 0 Θ 1. L (X) = sup f(x, θ) θ Θ 0 sup f(x, θ). θ Θ Bajo condiciones de regularidad generales en f(x, θ), 2lnL D (X) χ 2 j cuando θ Θ 0. 45

91 Distribución asintótica del test de CMV = Un test de nivel de significación asintótico α está dado por φ(x) = 1 si 2lnL (X) χ 2 j,α 0 si 2lnL (X) <χ 2 j,α 45

92 Distribución asintótica del test de CMV X 1,...,X n i.i.d. X 1 f(x, θ) con θ Θ y Θ un abierto en IR.Sea f(x,θ) la densidad conjunta de X =(X 1,...,X n ). Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones (A) El conjunto S = {x : f(x, θ) > 0} es independiente de θ. (B) Para todo x S, f(x, θ) tiene derivada tercera respecto de θ continua y tal que 3 ln f(x, θ) θ 3 = ψ(x, θ) = 2 ψ(x, θ) θ 2 K x S θ Θ ln f(x, θ) θ. 46

93 Distribución asintótica del test de CMV (C) Si h(x) es un estadístico tal que E θ [ h(x) ] <, θ Θ [ ]... h(x)f(x,θ)dx =... h(x) f(x,θ) dx θ θ [ ( ) ] 2 ln f(x1,θ) (D) 0 <I 1 (θ) =E θ θ Sea θ n un EMV de θ consistente, L (X) = f(x,θ 0 ) sup θ Θ <. f(x,θ) = f(x,θ 0) f(x, θ n ). = U = 2ln(L (X)) D χ

94 El test Distribución asintótica del test de CMV φ(x) = 1 si U χ 2 1,α 0 si U<χ 2 1,α tiene nivel de significación asintótico α. U = 2ln(L (X)) 46