Introducción a la Teoría de Números

Transcripción

1 Introducción a la Teoría de Números Elaborado por: Jeff Maynard Guillén Eliminatoria I Mayo, 011

2 Introducción a la Teoría de Números A manera de repaso vamos a recordar algunos conjuntos N = {1,, 3,...}, se denomina el conjunto de los números naturales, este es el conjunto de los enteros positivos Z = {...,, 1, 0, 1,,...}, se denomina el conjunto de los enteros. enteros Q = el conjunto de todos los números racionales, también llamados fraccionarios, ( 1, 0, 1, 5 4 ) R = el conjunto de los números reales, este contiene todos los números que conocemos, ( 1 4, 0, 1, π) Reacomodos Muchas veces resulta de gran utilidad analizar si alterar el orden de los términos nos puede ayudar a simplificar los cálculos. Ejemplo 1: La fórmula de Gauss n = n(n + 1) (1) Prueba: Lo que vamos a hacer es llamar S a la suma de n, luego vamos a reacomodar estos términos y sumarlos término a término, obteniendo así la fórmula que se busca. S = n 1 + n S = n + n S = n n n n + 1 Tenemos n veces el número n + 1 entonces S = n(n + 1), de donde sale la fórmula de Gauss. Ejercicio: Calcule la suma de Ejemplo : Raúl leyó un libro. El primer día leyó 5 páginas, y cada día siguiente leyó páginas más que el anterior. Si la lectura le llevó un total de 0 días, cúantas páginas tenía el libro? Solución El número de páginas del libro es 5 + (5 + ) + (5 + ) + (5 + 3 ) ( ) = ( ) = = 480 Observe que utilizando la fórmula de Gauss = 190 = 19 0

3 Ejemplo 3: Cuánto da la siguiente expresión ( ) ( )? Solución La expresión anterior es equivalente a (301 1) + (30 ) + (303 3) (35 5) = = Ejemplo 4: La suma de cinco números naturales consecutivos es 010. Cúal es el resultado de sumar los dígitos de esos cinco números? Solución tenemos que a+(a+1)+(a+)+(a+3)+(a+4) = 5 a+(1++3+4) = 010, entonces a = por lo que la suma de los dígitos de esos cinco números es = = 400, Ejercicio: Cúal es el dígito de las unidades del producto de seis números naturales consecutivos? Exponentes Primero recordemos algunas propiedades de los exponentes, de forma que las entendamos de verdad y podamos utilizarlas a la hora de resolver un ejercicio. Lo principal es saber que elevar un número a un cierto exponente n (con n un entero positivo) es simplemente multiplicar el número por sí mismo n veces. Es decir a n = aa a }{{} nveces También se debe tomar en cuenta que a 0 = 1, a 1 = 1 a y a 1 n Las reglas de los exponentes son las siguientes: = n a 1. a x+y = a x a y. a xy = (a x ) y Donde x y y son números enteros o fraccionarios y a es cualquier número real, tal que la operación indicada tenga sentido (por ejemplo 0 1 y ( 1) 1 no tienen sentido ya que en el primer caso nos indicaría una división entre 0 y en el segunado caso se buscaría un número real cuyo cuadrado fuera 1). Ejercicio: Escribir como potencia de. Ejercicio: Cúal es la mitad de 98? Ejercicio: En cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año. Si un año tiene 1331 días, Cúantos días tiene cada semana? 3

4 Ejercicio: Sea 1, 4, 9, 16,... los cuadrados de los enteros positivos. El número 10 8 es un término de esta sucesión. Cúal es el término de la suceción que sigue después de 10 8? Algunas veces nos enfrentaremos con problemas donde se presentan sumas de potencias, por ello es conveniente saberse la siguiente fórmula: 1 + x + x + x x n = xn+1 1 x 1 Este resultado se comprueba fácilmente multiplicando (1 + x + x + x x n ) (x 1) () Ejercicio: Use la fórmula anterior para calcular la suma y comprobar el resultado obtenido haciendo la suma directamente. Criterios de Divisibilidad Criterio de divisibilidad por. Un entero a es divisible por si y sólo si a termina en 0,,4,6 u 8(Por ejemplo, 38 es divisible por pero 35 no lo es). Criterio de divisibilidad por 3. Un entero a es divisible por 3 si y sólo si la suma de las cifras de a es divisible por 3 (por ejemplo, 14 es divisible por 3, ya que = 9 que es divisible por 3, pero 343 no lo es ya que = 10 que no es múltiplo de 3). Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisible por 4 si y sólo si el número formado por las dos últimas cifras de a lo es (por ejemplo 3 18 lo es, ya que 8 = 4 7). Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisible por 5 si y sólo si términa en 5 o 0 (por ejemplo 515 es divisible por 5). Criterio de divisibilidad por 6. Un entero a es divisible por 6 si y sólo si es divisible por y por 3(por ejemplo 4351 es divisible por 6). Criterio de divisibilidad por 8. Un entero a es divisible por 8 si y sólo si el número formado por sus últimos tres dígitos lo es.(por ejemplo 7 56 es divisible por 8). Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisible por 9 si y sólo si la suma de las cifras de a es divisible por 9 (por ejemplo, es divisible por 3, ya que = 7 que es divisible por 9). Criterio de divisibilidad por 10. Un entero a es divisible por 10 si y sólo si términa en 0 (por ejemplo 510 es divisible por 10). 4

5 Criterio de divisibilidad por 11. Un entero a es divisible por 11 si y sólo si la diferencia de la suma de las cifras en posición impar de a menos la suma de las cifras en posición par de a es divisible por 11 (por ejemplo es divisible por 11 ya que ( ) ( ) = que es divisible por 11). Ejercicio: Dado un número de la forma 759a8593 y divisible por 11. Cúal es el valor de a? (a) 0 (b) 9 (c) 7 (d) Ejercicio: Sea k N y sea m = (k)(k + 1)(k + ), entonces se puede afirmar que m es divisible por el siguiente número (a) 5 (b) 9 (c) 1 (d) 16 Ejercicio: Elodia escribió un número de cuatro dígitos en una hoja pero Seferina derramó la tinta en la hoja y los dos últimos dígitos ya no se pueden ver. Si los dos primeros dígitos del número son 8 y 6, y además se sabe que el número escrito por Elodia era divisible por 3,4,y 5, entonces el total que se obtiene al sumar los dígitos que no se ven corresponde a: (a) 4 (b) 7 (c) 8 (d) 9 5