Funciones FUNCIONES FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TABLA DE VALORES EXPRESIÓN ALGEBRAICA DOMINIO Y RECORRIDO GRÁFICA

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1 Funciones FUNCIONES EPRESIÓN ALGEBRAICA TABLA DE VALORES GRÁFICA DOMINIO RECORRIDO FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUIDAD CRECIMIENTO DECRECIMIENTO SIMETRÍA PERIODICIDAD 98

2 Alimento de parásitos Otra vez se producía la misma situación, cada vez que cambiaban el destacamento encargado de vigilar el Centro de Investigación ocurría lo mismo: los nuevos soldados con su brillante uniforme del ejército nazi los insultaban, los humillaban, si se atrevían a protestar, llegaban incluso al castigo físico. Stefan Banach su compañero Piotr agacharon la cabeza, como si los comentarios no fueran con ellos, atravesaron la entrada disponiéndose a comenzar su trabajo. Abrieron las cajas, con meticulosa precisión, empezaron a alimentar a los diminutos parásitos. Al verlo, los guardias se reían a la vez que hacían comentarios claramente ofensivos hacia los dos operarios. Qué es eso, Hans? preguntó un soldado. El otro contestó entre risotadas: Dos cucarachas alimentando a los piojos! Piotr miró a Banach, intentando transmitirle su enfado. Esta es la forma de sentirse superiores que tienen los que, en absoluto, lo son susurró Banach. Por más oscura que sea la noche siempre llega la mañana. La respuesta arrancó una sonrisa a Piotr, que asintió con la cabeza. Stefan Banach fue un matemático polaco que contribuó notablemente al análisis funcional. Propón tú un ejemplo de función describe sus principales características. La función f() = π es lineal. Para cada valor de, f() es la longitud de la circunferencia cuo radio es. Teniendo esto en cuenta, decimos que el dominio de la función es (, + ), el recorrido es (, + ), que es siempre creciente.

3 Funciones EJERCICIOS Epresa, de forma algebraica mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. Epresión algebraica: = o f() = Tabla de valores: f() 6 Epresa, mediante un enunciado una tabla de valores, la función =. En el aula ha el doble de chicas menos uno que de chicos. 4 5 f() Averigua si estas gráficas representan a una función. La primera gráfica no es una función, porque a cada valor de la variable le corresponden dos valores de la variable. La segunda gráfica es una función, pues a cada valor de la variable le corresponde un único valor de la variable. 4 Se ha medido la temperatura de una sala durante 6 horas se ha construido una tabla con los resultados. Realiza una gráfica asociada a dicha tabla. Hora Temperatura ( C) Se pueden unir los puntos? Temperatura Hora

4 SOLUCIONARIO 5 Elabora una tabla de valores que se corresponda con la siguiente gráfica. 6 Pon un ejemplo de función en cua gráfica no se puedan unir los puntos. Cualquier función discreta; por ejemplo, el precio de la compra, dependiendo de la cantidad de artículos que adquiramos. 7 A partir de la gráfica de esta función, determina su dominio su recorrido. Dom f= [ 4, ] [, 6]; Im f= [, ] 8 Halla el dominio el recorrido de esta función. 5 f ( )= El dominio está formado por todos los valores de menos =. Dom f= {} El recorrido está formado por todos los valores de menos =, 5 pues no ha ningún número, a, tal que =. a Im f= {} 9 Cuál es el dominio el recorrido de la función que a cada valor de le hace corresponder su raíz cuadrada positiva? El dominio está formado por todos los valores positivos de : +. El recorrido está formado por todos los valores positivos de : +.

5 Funciones Representa estas funciones definidas a trozos. si < < a) f() = si si < <+ a) si < < b) f() = si si < <+ b) 4 si 5< < c) f() = si 7 si 7< < c) Determina la epresión algebraica que corresponde a la siguiente gráfica. si < < f() = si si < <+ Escribe la epresión de una función definida a trozos represéntala. si < < f() = si si < <+

6 SOLUCIONARIO Estudia la continuidad de esta función. Tiene puntos de corte con los ejes? La función es continua en todos los puntos menos en =, = =. En =, la función tiene un salto, vale a la izquierda a la derecha. En =, la función tiene otro salto, vale a la izquierda a la derecha. En =, la función no está definida a la derecha. El único punto de corte con los ejes es (, ). 4 Representa f() estudia su continuidad. f()= si < 4 si < < 4 si 4 <+ La función es continua en todos los puntos menos en =4, donde tiene un salto. 5 Inventa una función que tenga dos puntos de discontinuidad que corte dos veces al eje. 4 4 si < < f() = si 5 si < <+ 6 Estudia el crecimiento de la función la eistencia de máimos mínimos. La función es decreciente en el intervalo (, 5), es creciente en ( 5, 4) es decreciente en (4, + ). La función presenta un mínimo en = 5 un máimo en =4.

7 Funciones 7 Estudia la continuidad, el crecimiento los máimos mínimos de la función. f() = si < < si si < < + La función es continua en todos los puntos menos en = =. La función es constante en el intervalo (, ), es creciente en (, ) es decreciente en (, + ). Presenta un máimo absoluto en =. 8 Dibuja una función que tenga dos máimos dos mínimos. 5 5,5 4 7 Máimos: ( 5,5; 5) (4, 5) Mínimos: ( ;,8) (7;,5),5 9 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) b) a) Esta función es simétrica respecto del origen, pues la parte del semieje negativo se puede obtener girando 8, respecto del origen, la parte correspondiente del semieje positivo. b) Esta función es simétrica respecto del eje de ordenadas porque, si doblamos por el eje, las dos ramas de la función coinciden. 4

8 SOLUCIONARIO Determina algebraicamente si estas funciones presentan algún tipo de simetría. a) f() = 5 + c) h() = e) j() = b) g() = d) i() = 5 f) h() = a) f() = 5 + f( ) = ( ) 5 = 5 = ( 5 + ) = f() 5 Como f( ) = f(), es una función impar simétrica respecto del origen de coordenadas. + b) g() = c) g( ) = ( ) ( ) = Como g( ) g() g( ) g(), la función no es simétrica. h( )= h( ) = = = h( ) 5 ( 5 ) 5 Como h( ) = h(), es una función impar simétrica respecto del origen de coordenadas. d) i() = 5 i( ) = 5 = i() Como i( ) = i(), la función es par simétrica respecto del eje de ordenadas. e) j() = j( ) = ( ) = Como j( ) j() j( ) j(), la función no es simétrica. + ( ) + f) g() = g( ) = = g() ( ) = + Como g( ) = g(), la función es par simétrica respecto del eje de ordenadas. Puede ser una función simétrica respecto del eje, a la vez, respecto del origen? Si la función es par, f() = f( ). si la función es impar, f() = f( ). Por tanto, si la función es par e impar, f() = f( ) = f(). La única opción es f() =, que corresponde a la función constante. Determina si la función es periódica calcula su período. La función es periódica, de período. 5

9 Funciones Dibuja una función de período otra función de período 4. Con período : Con período 4: 4 Dibuja la gráfica de la función que mide el ángulo formado por las manecillas del reloj. Es una función periódica? 6 9 h h Es una función periódica, con período de,9 h. ACTIVIDADES 5 Para cada una de las funciones, calcula la imagen de,,,,. a) f() = 5 c) f() = b) f() = d) f() = + a) f () = 9; f ( ) = 9; f () = 44; f ( ) = 44; f () = 4; f ( ) = 4 b) f () = 6; f ( ) = ; f () = 5; f ( ) = ; f () = ; f ( ) = c) f () = ; f ( ) = 5; f () = 5; f ( ) = ; f () = ; f ( ) = d) f () = ; f ( ) = ; f () = 8; f ( ) = 8; f () = ; f ( ) = 6 Razona cuáles de las siguientes relaciones corresponden a funciones. a) El tamaño de una pared la cantidad de pintura necesaria para pintarla. b) Cada mes del año su número de días. a) Es una función. Son variables numéricas para cada tamaño de pared se necesita una única cantidad de pintura. b) No es una función. La variable independiente,, que corresponde a cada mes del año, no es una variable numérica; además, al mes de febrero le podrían corresponder dos valores, 8 o 9 días. 6

10 SOLUCIONARIO 7 Justifica si las gráficas corresponden a una función. a) c) b) No es una función, porque a un valor de le corresponden dos valores de. Es una función, pues a cada valor de le corresponde un único valor de. d) No es una función, porque a = le corresponde más de un valor de. Es una función, porque a cada valor de le corresponde un único valor de. 8 HAZLO ASÍ QUÉ ES CÓMO SE CALCULA LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN? Halla la tasa de variación media de la función f () =, en el intervalo [, 4]. La tasa de variación media de una función en un intervalo [a, b] mide el aumento o la disminución de dicha función en [a, b]. PRIMERO. Se halla la variación de la variación de la función. Variación de : 4 = Variación de f (): f (4) f () = 6 4 = SEGUNDO. Se calcula el cociente que resulta al dividir la variación de f () entre la variación de. f ( b) f ( a) f ( 4) f ( ) 6 4 = = = 6 b a 4 Este cociente es la tasa de variación media de f () en el intervalo [, 4]. 9 Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones, en el intervalo [, ]. a) f() = b) f() = f ( ) f ( ) 9 a) = = 4 La tasa de variación media es 4. f ( ) f ( ) ( ) b) = = La tasa de variación media es. 7

11 Funciones Completa la tabla de valores correspondiente a la función f() =. f() 6 6 Dada la función f() = +, haz una tabla con seis valores dibuja su gráfica. f() 5 7 Elabora una tabla de valores para estas funciones. 7 a) f() = b) f() = + + a) b) f() =, 5 =, =, 5 =, f() =, 75 =, 75 = Realiza una tabla de valores encuentra la epresión algebraica correspondiente a estas funciones. a) f() = f() b) f() = f() 6 6 a b c c) f() = f() 4 Representa la función que relaciona el área de un triángulo rectángulo isósceles la longitud del cateto. a) Cuál es la variable dependiente? b) la variable independiente? = a) La variable independiente es la longitud del cateto. b) La variable dependiente es el área del triángulo. 8

12 SOLUCIONARIO 5 Dada la función que asocia a cada número entero su cuarta parte más cinco unidades: a) Halla su epresión algebraica. b) Calcula los valores de la función para = =. c) Eiste valor de la función en =? a) = b) f () = 5,5; f () = 5 c) No, a que la función solo está definida para los números enteros. 6 Señala si la relación que asocia a cada número su raíz cuadrada positiva es una función. a) Cuál el valor de la variable dependiente para los valores,, de? b) Qué ocurre con los valores negativos de la variable independiente? c) Halla el dominio el recorrido de la función. Es una función, a que cada número solo tiene una única raíz positiva. a) f () = ; f () = ; f () =+ ; f () =+ b) Cuando la variable es negativa, la función no está definida. c) Dominio: +, recorrido: +. 7 Esta tabla muestra la conversión de la velocidad medida en kilómetros por hora a millas por hora. Velocidad (km/h) 6,, 48, 64,4 8,5 Velocidad (millas/h) 4 5 a) Represéntala gráficamente. b) Escribe la epresión algebraica que relaciona la velocidad en kilómetros por hora en millas por hora. a) b) =, 6 9

13 Funciones 8 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL DOMINIO EL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA? Calcula el dominio el recorrido de esta función.. DOMINIO PRIMERO. Observando el eje, se establece el primer el último valor de para el que está definida la función. En este caso, el primer valor es = el último valor es =8. SEGUNDO. Observando la gráfica de la función, se determinan los tramos los puntos en los que no está definida la función. La función no está definida en el intervalo [, ] en el punto =6. TERCERO. Se epresa el dominio con los datos obtenidos Dom f=[, 8] [, ] {6}. RECORRIDO PRIMERO. Observando la gráfica se establece en qué valores de la función alcanza el valor máimo el valor mínimo. El valor mínimo está en = el valor máimo está en =5. SEGUNDO. El recorrido de la función será el intervalo formado por esos valores. lm f=[, 5] 9 Calcula el dominio el recorrido de estas funciones. a) Dom f= (, ] [, 5] [6, + ) Im f= { } [, + ) b) Dom f= lm f= [, + )

14 SOLUCIONARIO c) Dom f = lm f = [, ] d) Dom (f ) = {} lm (f ) = {} e) Dom f = [, ] [, 5) [6, 8] lm f = [, ] {5} 4 Determina el dominio el recorrido de las funciones. a) f() = + c) f() = 5 b) f () = d) f () = a) Dom f = ; Im f = b) Dom f = {}; lm f = {} c) Dom f = ; lm f = + d) Dom f = [, + ); lm f = + 4 Halla el dominio el recorrido de las siguientes funciones. a) f() = b) g() = + 4 c) h() = a) Dom f = ; Im f = b) Dom g; lm g = [ 4, + ) c) Dom h = {5}; lm h = {} 5

15 Funciones 4 Calcula el dominio de las siguientes funciones definidas a trozos. si si a) f() = b) f() = si < si < 4 4 si > 4 si > 4 a) Dom f = (, 4) b) Dom f = 4 Representa la función obtén el dominio el recorrido. si f() = si < 4 si > Dom f = Im f = (, ] 44 Representa esta función sobre unos ejes de coordenadas, halla su dominio recorrido. + si > f() = si = + si < Dom f = Im f = [, + ) 45 Calcula la epresión algebraica de la función, halla su dominio recorrido. + si < f () = si < 4 6 si 4 < < + Dom f = Im f = La función que asigna a cada número su valor absoluto, f() =, se puede epresar como una función definida a trozos de la forma: < < f() = si si <+ Representa gráficamente esta función.

16 SOLUCIONARIO 47 Escribe, en forma de función definida a trozos, representa estas funciones. a) f() = b) g() = + c) h() = d) i() = a) si f( )= + < < < si <+ b) si g( )= + < < < + si + <+ c) si h( )= < < < si <+ d) si < <+ i ( )= si < < 48 Determina una función definida a trozos cua gráfica pase por (, ), (, ) (, ). Cuántas funciones pasan por los tres puntos? Eisten infinitas funciones que pasan por los tres puntos. Por ejemplo: f( )= si < < si <+

17 Funciones 49 Estudia la continuidad de esta función. La función es continua en todos los puntos ecepto en = 4 en el intervalo (, ). En = 4, la función tiene un salto, vale a la izquierda a la derecha. En el intervalo (, ), la función no está definida, estos puntos no pertenecen al dominio Representa la función: f() = si 4 si > 4 a) Estudia su continuidad. b) Dónde crece decrece la función? c) Escribe sus máimos mínimos relativos. a) La función es continua en. b) La función crece en el intervalo (4, + ) decrece en el intervalo (, 4). c) La función tiene un mínimo relativo en =4. 5 Estudia representa estas funciones. si < a) f() = b) f() = si > si < si = + si > a) Dom f= (, ) (, + ) Im f= (, ) La función es continua en todo su dominio. 4

18 SOLUCIONARIO b) 4 Dom f= (, ) {} (, + ) La función es continua en (, ) (, + ). Im f= (, + ) 5 Completa las gráficas para que las funciones sean simétricas respecto del eje. a) b) 5 Completa las gráficas para que estas funciones sean impares. a) b) 54 La gráfica pertenece a una función periódica, de período T=. Completa la gráfica a ambos lados justifica cómo lo haces. 6 9 Lo hacemos mediante una traslación. 5

19 Funciones 55 Estudia las siguientes funciones. a) c) b) d) a) Dominio: Dom f= (, ) Recorrido: Im f= ( ;,5] Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje en los puntos = ; =,5; =; =4,5; al eje, en =,8. Continuidad: la función es continua en todos los puntos, menos en el intervalo (, ), donde no está definida. b) Dominio: Dom f= Recorrido: Im f= Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje en = 5 en (, ). Continuidad: la función es continua en todos los puntos. Es creciente en (, ) (, + ) es decreciente en (, ). Tiene un máimo relativo en = un mínimo relativo en =. No presenta ningún tipo de simetría no es periódica. c) Dominio: Dom f= Recorrido: Im f= (, + ) Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje al eje en el punto (, ). Continuidad: la función es continua en todos los puntos, menos en =6. Es decreciente en (, ), es creciente en (, 6) es constante en (6, + ). Tiene un mínimo relativo en =. No presenta ningún tipo de simetría no es periódica. 6

20 SOLUCIONARIO d) Dominio: Dom f= {,5} Recorrido: Im f= Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje al eje en el punto (, ). Continuidad: la función es continua en todos los puntos, menos en =,5; donde no está definida. Es creciente en (, ) es decreciente en (;,5) (,5; + ). Tiene un máimo relativo en =. No presenta ningún tipo de simetría no es periódica. 56 En un centro comercial, al comprar kg de naranjas solo pagas kg. Si el kilo de naranjas cuesta,7, representa la función que relaciona el peso de naranjas () su precio (). Es una función definida a trozos? Por qué? N. o de kilos Precio,7,4,4,,8,8,5,5,8,,4, No es una función definida a trozos, porque la epresión algebraica de la función, para cualquier valor de, es: f ( ) =,7. 57 Para ir a su centro escolar, Concha realiza cada día este traecto tarda el mismo tiempo aproimadamente: sale de casa sube una cuesta para llegar a la parada del autobús; se traslada en él se baja en la tercera parada, donde la espera una amiga, para ir desde allí andando juntas. Dibuja una gráfica que se ajuste a esta situación. Indica los tramos crecientes constantes, siendo el tiempo en minutos, e la distancia recorrida. Distancia Tiempo En los tres tramos, la función es creciente. 7

21 Funciones 58 Un electrocardiograma presenta la variación de actividad coronaria, marcando los movimientos del corazón. Es una función periódica? La función es periódica cuando el ritmo cardíaco es constante, en la gráfica vemos que no lo es. 59 Queremos hacer un viaje al etranjero preguntamos en dos agencias. VIAJESÁGUILA + /km Viajes Princesa /km a) Representa las funciones que relacionan los kilómetros recorridos el precio. b) Con qué agencia interesa contratar el viaje? a) =5 + 8 = + 4 b) Viajes Águila: = + Viajes Princesa: = =5 + 8 =4,67 Para viajes con traecto inferior a 4,67 km, nos interesa contratar Viajes Princesa. como queremos viajar al etranjero, será mejor contratar Viajes Águila. 8

22 SOLUCIONARIO 6 En un parque de atracciones ha una noria de m de diámetro. a) Representa la altura que alcanza un niño que monta en la noria, en cada momento, durante 4 vueltas. b) Realiza un boceto de la función, estudiando su periodicidad. Cuál es su período? a) m Altura / / 5/ 7/ 4 Vueltas b) La función es creciente hasta alcanzar la altura de m (media vuelta), después, es decreciente hasta estar a nivel del suelo (otra media vuelta). El período de la función es una vuelta. 6 En el Gran Premio de Hungría de Automovilismo, el piloto Fernando Alonso obtuvo su primera victoria en Fórmula, en un circuito de 4.8 m de longitud. a) Representa aproimadamente la evolución de la velocidad del coche durante 4 vueltas. Es una función periódica? b) Dibuja la gráfica que corresponda a la vuelta en la que el piloto se detiene a repostar. a) Gráfica correspondiente a 4 vueltas: b) Gráfica correspondiente a la vuelta en la que se detiene a repostar: Velocidad Velocidad 6 m. a vuelta. a vuelta. a vuelta 4. a vuelta Espacio Velocidad de repostaje Espacio Velocidad normal 9

23 Funciones 6 Representa la función = +. 5 f () = + si < si si < 6 + < A partir de = si representa estas funciones. si a) = + + b) = + a) f () = si < si si < b) si < f () = si si < 64 Si f(f()) = 5.8 para cualquier valor de, demuestra que eiste un número entero n tal que f(n) = 5n.8. Cuánto vale n? Sabemos que f (f ()) = 5.8 para cualquier valor de. Vamos a demostrar que eiste un valor tal que f (f ()) =.. 8 =5.8 = = 5 f (f (5)) = 5 4 f (f (5)) = 5 f (f (f (5))) = f (5) 5f (5).8 = f (5). 8 f (5) = = 5 4 Por tanto, se ha demostrado que eiste un valor n=5 tal que f (n) = n f (f (n)) = f (n) como f (f (n)) = 5n.8 para cualquier n. Para el valor n=5 tenemos que f (f (5)) =

24 SOLUCIONARIO 65 Una función f() es creciente, su dominio es [ 6, ] su recorrido es [, 6]. a) Cuánto valen f( 6) f()? b) Tiene máimos o mínimos relativos? a) f ( 6) = ; f () = 6 b) No tiene máimos ni mínimos relativos por ser una función creciente. EN LA VIDA COTIDIANA 66 Un grupo de alumnos va a publicar una revista escolar. Los profesores de los departamentos de Lengua Literatura de Matemáticas van a ser los coordinadores. Tenemos papel para realizar los dos primeros números de la revista. A partir del tercer número, tendremos que comprar el papel de cada revista a,. Los profesores de Matemáticas les proponen simular lo que ocurriría si decidieran vender la revista. Para ello deben preguntar al resto de alumnos profesores del centro escolar cuánto dinero estarían dispuestos a pagar. Precio ( ) N. o de personas

25 Funciones Con la información recogida por los alumnos, a qué precio deberían vender la revista para poder comprar el papel necesario para imprimirla? Ha = alumnos, si queremos dar una revista a cada uno harán falta revistas, cuo coste en papel asciende a:, = 6. Si vendieran la revista a, la pagarían 8 personas, de modo que obtendrían 8, que es una cantidad insuficiente para comprar el papel de la próima tirada. Si vendieran la revista a,5, la pagarían = 65 personas, de modo que obtendrían,5, que es una cantidad insuficiente para comprar el papel de la próima tirada. si vendieran la revista a,5, la pagarían = 6 personas, de modo que obtendrían 4, que es una cantidad insuficiente para comprar el papel de la próima tirada. La solución es que cada persona pague lo que considera justo, de manera que la cantidad recaudada ascenderá a: ,5 + 95,5 = 65,5. 67 Como respuesta a las críticas realizadas por los medios de comunicación en relación con los atascos de cada fin de semana, la Dirección General de Tráfico va a elaborar un informe sobre el volumen de tráfico en las principales carreteras.

26 SOLUCIONARIO Los resultados se han publicado en forma de gráfica. En ella se muestra la media de vehículos que circulaban en la carretera durante los domingos los lunes del último mes. Te has fijado en la diferencia que ha de tráfico según los días? N.º de vehículos Domingos Lunes En qué momento se han producido más retenciones? A qué horas se presentan menos problemas de tráfico? Aúdalos a resolver la situación, di quién tiene razón. El maor número de atascos se produce en la tarde de los domingos, a las 8: h. Los menores problemas de tráfico se producen en la madrugada. Por tanto, los medios de comunicación tienen razón en que se producen atascos en ciertos momentos del día. Para evitar estos atascos se debería recomendar a los conductores evitar esos tramos horarios: el domingo, entre las 6: h las : h, el lunes, en torno a las 8: h las 9: h.

27 Funciones polinómicas, racionales eponenciales FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO: RECTAS DE SEGUNDO GRADO: PARÁBOLAS =m+n =a + b+c FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k = FUNCIONES RACIONALES: HIPÉRBOLAS = k a = k b a + FUNCIONES EPONENCIALES =a k =a + b 4

28 Funesto presagio Moscú amaneció plomizo, tan negro que más parecía la continuación de la noche que el nuevo día. Esa misma sensación tuvo Christian Goldbach cuando, como cada mañana, se dirigió al palacio donde el joven zar Pedro II lo esperaba para recibir su formación. Tras un corto traecto, su carruaje se detuvo ante el puesto de la guardia real. La entrada está prohibida hasta nueva orden. So el tutor del zar! dijo Goldbach asomándose a la ventanilla del carruaje. El jefe de la guardia ni siquiera se inmutó con voz impersonal, casi metálica, le dijo de manera tajante: Su trabajo en palacio ha terminado. Por qué? No está contento el zar con mi trabajo? Pretendéis decirme que no habéis oído los cañones, ni las campanas de las iglesias Ni habéis visto a los correos ir venir como locos, ni oís los lamentos de toda Rusia espetó el soldado con furia contenida. Cada frase restalló como una bofetada en la cara de Goldbach, que fue perdiendo ánimo hasta sentirse mareado. Profundamente afectado, se hundió en el asiento del carruaje ordenó al cochero que tomara el camino de regreso. Goldbach trabajó en el campo de los números primos. Construe una tabla que relacione cada número natural con el número de divisores primos que tiene. Razona si es o no una función. Construimos una tabla para los diez primeros números naturales: N. o natural N. o de divisores primos Sí es una función, porque a cada número natural le corresponde un único número de divisores primos.

29 Funciones polinómicas, racionales eponenciales EJERCICIOS Decide si las siguientes funciones son polinómicas o no. a) = + c) = 5 b) = + d) = 5 + Son funciones polinómicas las funciones de los apartados a) c). Representa gráficamente las funciones polinómicas del ejercicio anterior. 5 =5 = + Razona de qué tipo es la función representada, determina su epresión algebraica su pendiente. Es una función afín, de ecuación = +. Su pendiente es. 4 Decide de qué tipo son estas funciones polinómicas represéntalas. a) f () =,7 + b) f () = c) f () = a) Afín b) Lineal = =,7 + 6

30 SOLUCIONARIO c) Constante = 5 Representa, en unos mismos ejes, estas funciones eplica sus diferencias. a) = b) = c) = + c) b) a) Son rectas paralelas, con la misma pendiente. Se diferencian en su ordenada en el origen. 6 Asocia cada recta con su epresión algebraica. 4 a) = + c) = b) = d) = a) 4 b) c) No se corresponde con ninguna de las rectas dibujadas en el gráfico. d) La recta tiene por ecuación = tampoco tiene correspondencia con ninguna de las ecuaciones. 7

31 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 7 Completa esta parábola señala sus elementos sus propiedades. El dominio de la función es todos los números reales:. Es continua en todo su dominio. La función es simétrica respecto del eje de ordenadas. El vértice es el punto (, ), donde tiene un mínimo. Pasa por los puntos (, ) (, ). 8 Representa las siguientes funciones. a) = c) = b) = d) = a) Construimos una tabla con valores alrededor del vértice. b) Construimos una tabla con valores alrededor del vértice

32 SOLUCIONARIO c) Construimos una tabla con valores alrededor del vértice. 8 8 d) Construimos una tabla con valores alrededor del vértice.,5,5 9 Qué ocurre si a = en f () = a + b + c? Si a =, sería la ecuación de una recta en vez de la ecuación de una parábola. Representa las siguientes funciones. a) = b) = + a) El vértice es el punto (, ). Las ramas de la parábola van hacia arriba es más cerrada que la parábola de ecuación =. b) El vértice es el punto (, ) se obtiene trasladando la parábola = una unidad hacia arriba e invirtiendo el sentido de las ramas. Representa la función =, a partir de ella, eplica cómo se pueden representar estas funciones. a) = b) = + 4 Las parábolas que corresponden a las funciones del tipo = + c se obtienen trasladando verticalmente la parábola =, c unidades hacia arriba si c >, o c unidades hacia abajo si c <. b) a) 9

33 Funciones polinómicas, racionales eponenciales Si la parábola de color naranja corresponde a la función =, a qué funciones corresponden las otras dos? La parábola roja corresponde a = + la parábola verde corresponde a =. Representa las siguientes funciones. a) = + 4 b) = + 6 a) El eje de simetría es la recta =. El vértice de la parábola es el punto (, 4) b) El eje de simetría es la recta =. El vértice de la parábola es el punto (, 6) Dibuja las parábolas de las funciones = e = + 4. Estudia el desplazamiento que presenta la última con respecto a la primera. = = + 4 Se desplaza de forma oblicua =, pasando a ser el vértice 4 6. = 4,, 6 5 La parábola de color verde corresponde a = + 8. Qué funciones representan las otras dos? La parábola de color rojo es: = La parábola de color amarillo es: = 8 8

34 SOLUCIONARIO 6 Representa las siguientes funciones. a) = + 4 b) = a) b) El vértice está en (, 7). La tabla de valores es: 4 El vértice está en =,, 4 8 La tabla de valores es:,5,5,5 4,5 6 6,5 6 4,5. 7 Representa estas funciones compara sus gráficas. a) = c) = + e) = + + b) = d) = f) = a) c) b) d)

35 Funciones polinómicas, racionales eponenciales e) f) Todas las parábolas son similares, tienen como base =, se consiguen trasladando la parábola inicial, ecepto =, que se obtiene por simetría. 8 Eplica cómo son los coeficientes de la función cua gráfica es esta parábola. Ha alguno que sea cero? Qué pasaría si cambiamos de signo a todos? La gráfica tiene un mínimo en el vértice, luego a >. El eje de ordenadas coincide con el eje de simetría, por lo que b=. El vértice está desplazado hacia arriba respecto de la parábola = a, luego c >. Si cambiamos todos los coeficientes de signo obtendríamos la parábola. 9 Representa la función = ,5, 5 5,,5

36 SOLUCIONARIO Dadas las funciones: = = = a) Represéntalas en los mismos ejes. b) Qué gráfica está más lejos del origen? a) b) La gráfica que está más lejos del origen es =. Dadas las funciones: = = = 4 a) Represéntalas en los mismos ejes. b) Cuál de ellas se aleja más del origen? a) b) La gráfica que está más lejos del origen es =. El producto de e es. Realiza una tabla de valores representa la función correspondiente. = = ,,5 6 6,5,

37 Funciones polinómicas, racionales eponenciales Representa la función , ,5 = 4 escribe sus características. El dominio lo forman todos los números reales menos : {}. La función no es continua en =. La gráfica no corta a los ejes de coordenadas. Tiene una asíntota vertical en =. Tiene una asíntota horizontal en =. La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. La función es decreciente la gráfica está situada en los cuadrantes... 4 El área de un triángulo es m. Escribe la epresión de la función que relaciona su base con su altura, represéntala. La epresión en función de la base () la altura () es: = = ,,5 6 6,5, 4

38 SOLUCIONARIO 5 k Responde a estas preguntas para la función =, con k >. a) Cuál es su dominio? b) Es creciente o decreciente? c) Si pasa por el punto (, ), puede pasar por el punto (, )? a) El dominio es todos los números reales menos : {}. b) La función es creciente. c) No puede pasar por (, ), por simetría pasará por (, ). 6 Representa las siguientes funciones. a) b) = = c) a) Como el numerador tiene signo negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes. 4.. Los ejes son las rectas = e =. = + / / b) Como el numerador tiene signo negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes. 4.. Los ejes son las rectas = e =. / / c) Como el numerador tiene signo negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes. 4.. Los ejes son las rectas = e =. / / 5

39 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 7 A partir de la gráfica de la función Dibujamos =, la trasladamos para conseguir = + la invertimos respecto del eje para conseguir =. + = + =, representa la gráfica de: = + = 8 Conocida la gráfica de la función algebraica tiene la gráfica verde? La gráfica de color verde es una traslación de =, dos unidades a la derecha. Los ejes de la gráfica de color verde son las rectas = e =, por lo que su epresión algebraica será de la forma k =, con k. Además, la gráfica pasa por el punto (, ), luego k =. =, representada en rojo, qué epresión La ecuación de la hipérbola es =. 9 Realiza una tabla de valores representa las funciones eponenciales. a) = b) c) = = d) = (,) 5 a) b) 4 4 =,,7,, = 8 7 9,,,7, c) = 5 9,65 5,65 6,5,5,4,6,64,56 d) = (,) ,,4,8,6 6

40 SOLUCIONARIO a) b) c) d) = = = 5 = (,) Estudia representa estas funciones. a) = b) = a) b) 4 =, = 8,7 7, 9,, 9, 7,7 4 8, a) b) = = Qué ocurre si a= en una función eponencial? si a<? Si a =, la función eponencial es de la forma = =, siendo una función constante igual a. si a <, la función no está definida. Realiza una tabla de valores, representa estas funciones eponenciales. a) = b) = c) = a) b) c) = = =,,48,5,,69,56 9,44,88 8,8 8 a) b) c) = = = 7

41 Funciones polinómicas, racionales eponenciales Representa las funciones. a) = b) = a) b) = 8 = 9,7,,577,, a) b) = = 4 Estudia representa las funciones eponenciales. a) = b) = Razona si son decrecientes o no. a) b) = = 4 = = 4 6,777 4,,5,75,65,565 a) = b) = Las dos funciones son decrecientes, porque son funciones eponenciales con bases menores que. 8

42 SOLUCIONARIO 5 Halla el capital que obtendríamos en los 5 primeros años al invertir, a interés compuesto, un capital de a un rédito del,5 %. 5 C f =, 5 + = (,5) 5 = 56, 6 Calcula, gráficamente, el capital que obtendremos al cabo de años 6 meses al invertir, a interés compuesto,. a un rédito del 5 %. 5 C f =. + =. (,5) t t El capital, en cada instante, es una función eponencial. Para representar la función correspondiente, construimos primero una tabla de valores. t C f =. (,5) t...5.5,5 4.4, Para conocer cuál es el capital al cabo de años 6 meses ha que ver en la gráfica el valor correspondiente a =,5; que es.6. C f F,5 4 T 7 La siguiente gráfica muestra la evolución de un capital invertido a interés compuesto. Calcula cuál es el capital que hemos invertido eplica cómo lo haces. C T En la gráfica se observa que se han invertido., porque es el valor que le corresponde a t =. 9

43 Funciones polinómicas, racionales eponenciales ACTIVIDADES 8 Estudia representa las siguientes funciones polinómicas de primer grado. a) = b) = c) = d) = + a) Su pendiente es, luego es creciente. 4 4 b) Su pendiente es, es decreciente. 4 4 c) Esta recta se obtiene trasladando tres unidades hacia abajo la gráfica de la recta =. Es creciente su pendiente es. d) Esta recta se obtiene trasladando tres unidades hacia arriba la gráfica de la recta =. Es decreciente su pendiente es. 9 Pon un ejemplo de función lineal, otro de función afín otro de función constante. Enumera sus semejanzas diferencias. Función lineal: = Función constante: = 4 Función afín: = + Todas las funciones son rectas, la función constante no depende de, la función lineal pasa por el origen de coordenadas la función afín no pasa por el origen de coordenadas; estas dos últimas tienen pendiente distinta de cero. 4

44 SOLUCIONARIO 4 Representa estas funciones. a) f() = + b) g() = c) h() = d) i ( ) = a) c) f() = + h() = b) d) g() = i() = Representa en los mismos ejes de coordenadas estas funciones. Eplica sus diferencias. a) = b) = c) = d) = Todas son funciones lineales que se diferencian en el valor de su pendiente. b) a) c) d) 4

45 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 4 Representa estas funciones en los mismos ejes de coordenadas. Qué diferencias ha? a) = c) = b) = d) = 5 a) b) Todas son funciones lineales que se diferencian en el valor de su pendiente. c) d) 4 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN AFÍN A PARTIR DE SU GRÁFICA? A qué función corresponde esta gráfica? PRIMERO. Se halla la pendiente. Para ello, se calcula la variación de las variables e entre dos puntos de la recta: m= = SEGUNDO. Se determina la ordenada en el origen. El punto de corte de la función con el eje es (, ). TERCERO. Se escribe la epresión algebraica de la función con los datos obtenidos. =m+n = 44 Relaciona cada epresión algebraica con su gráfica. a) = b) c) d) = = + = 4 Las rectas son paralelas dos a dos, luego tienen pendientes iguales dos a dos. Las rectas son crecientes, es decir, tienen pendiente positiva sus epresiones algebraicas serán a) c). Para distinguir una gráfica de otra calculamos su punto de corte con el eje. Deducimos que la gráfica se corresponde con a) la gráfica con c). Con un razonamiento análogo deducimos que la gráfica corresponde a d) la gráfica 4 corresponde a b). 4

46 SOLUCIONARIO 45 Calcula las epresiones algebraicas de las funciones representadas por estas rectas. a) = b) =4 c) = + d) =+8 d b a c 46 Cuál de las rectas tiene por ecuación =? a) c) b) d) La recta que tiene por ecuación = es la del apartado b), a que es decreciente pasa por el punto (, ). 47 Esta gráfica corresponde a una función de proporcionalidad directa. Dibuja los ejes si la abscisa del punto A es. A a) Cuál es la ordenada del punto A? b) la epresión algebraica de la función? 6 A a) La ordenada en A es 6. b) = 4

47 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 48 Estudia representa las siguientes funciones polinómicas de segundo grado. a) = b) = c) = d) = 4 a) La función es simétrica respecto del eje de ordenadas. El vértice es el punto (, ), donde tiene un mínimo. 8 8 b) La función es simétrica respecto del eje de ordenadas. El vértice es el punto (, ), donde tiene un máimo. 8 8 c) La función es simétrica respecto del eje de ordenadas. El vértice es el punto (, ), donde tiene un mínimo.,5,5 d) La función es simétrica respecto del eje de ordenadas. El vértice es el punto (, ), donde tiene un mínimo.,5,5 44

48 SOLUCIONARIO 49 Representa la función polinómica de segundo grado de una tabla de valores. a) Cuál es el vértice de la parábola? b) Determina la ecuación de la recta que es su eje de simetría. La función es simétrica respecto del eje de ordenadas. 4/ / / 4/ a) El vértice es el punto (, ), donde tiene un mínimo. b) El eje de simetría es la recta de ecuación =. = a partir 5 Completa las siguientes parábolas, teniendo en cuenta que son simétricas respecto de un eje que pasa por su vértice. a) b) Escribe la epresión algebraica de cada una de las funciones. a) = b) = 5 Calcula cuál es el valor de la constante c en la epresión = + c de estas parábolas. Eplica cómo lo haces. a) b) a) El vértice de la parábola es el punto (, ), sustituendo en = + c, resulta que c =. Luego la ecuación de la parábola es = +. b) El vértice de la parábola es el punto (, ), sustituendo en la epresión = + c, resulta que c =. Por tanto, la ecuación de la parábola es =. 45

49 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 5 Determina el recorrido de la función =, representando primero la parábola correspondiente. Eiste alguna función polinómica de segundo grado cuo recorrido sea todos los números reales? Por qué? El recorrido de la parábola es el intervalo [, + ). No eiste ninguna parábola cuo recorrido sea todos los números reales, porque siempre está limitado por el vértice. 5 HAZLO ASÍ CÓMO SE PUEDEN RELACIONAR ALGUNAS PARÁBOLAS CON SUS ECUACIONES? Relaciona cada parábola con su correspondiente epresión algebraica. a) = + b) = c) = + d) = 4 PRIMERO. Se relaciona la eistencia de máimos o mínimos con el valor de a. Las parábolas presentan un mínimo a > Las parábolas 4 presentan un máimo a < Por tanto, las parábolas corresponden a las ecuaciones c) d), las parábolas 4 a a) b). SEGUNDO. Se estudian sus ejes de simetría. El eje de simetría de todas las parábolas es =. Por tanto, resulta que b=. TERCERO. Se estudian las traslaciones de cada parábola. La parábola está trasladada unidades hacia arriba respecto de =. Su ecuación es = +. La parábola está trasladada unidades hacia abajo respecto de =. Su ecuación es =. La parábola está trasladada unidades hacia arriba respecto de =. Su ecuación es = +. La parábola 4 está trasladada unidades hacia abajo respecto de =. Su ecuación es =. 46

50 SOLUCIONARIO 54 Relaciona cada parábola con su correspondiente epresión algebraica. a) = c) = + b) = + d) = Las dos parábolas que tienen un mínimo relativo son, que se corresponden con las epresiones = e = +, respectivamente. Las gráficas 4, que poseen un máimo relativo, se corresponden con las epresiones = + e =, respectivamente Calcula la epresión algebraica de la siguiente parábola. Esta parábola tiene un mínimo, luego el coeficiente de es a >. El eje de simetría es el eje de ordenadas, por lo que su epresión es de la forma a + c, con a >. El vértice está en el punto (, ), siendo c =. Corta al eje de abscisas en = =. La epresión algebraica de la parábola es =. 56 Halla los cortes con los ejes, el vértice la ecuación del eje de simetría de estas parábolas. a) = c) = b) = d) = + a) Corta a los ejes en los puntos (, ) (, ). El eje de simetría es la recta = el vértice es el punto 9,. 4 b) Corta a los ejes en los puntos (, )., El eje de simetría es la recta = el vértice es el punto,. 9 c) Corta a los ejes en los puntos (, )., El eje de simetría es la recta = el vértice es el punto,. 6 d) Corta a los ejes en los puntos (, ) (, ). El eje de simetría es la recta = el vértice es el punto (, ). 47

51 Funciones polinómicas, racionales eponenciales Analiza cómo será la gráfica de estas funciones polinómicas sin representarlas. a) = + 4 b) = a) La función = + 4 es un polinomio de segundo grado, luego su gráfica es una parábola. El coeficiente de es <, por lo que la parábola tiene un máimo en el vértice. El coeficiente de es, el eje de la parábola es la recta =. Su vértice es el punto (, 4). b) La función = es un polinomio de primer grado, su gráfica es una recta. El coeficiente de es <, la recta es decreciente, su pendiente es negativa pasa por el punto (, ). Realiza, analizando el valor de los coeficientes, una aproimación de la gráfica de esta función polinómica. = + 4 La función = + 4 es un polinomio de segundo grado su representación gráfica es una parábola. El coeficiente de es positivo, por lo que la parábola tiene un mínimo en el vértice. Como este coeficiente, en valor absoluto, es maor que, sus ramas están más cerradas que las de la parábola =. El eje es la recta = su vértice es el punto,. Representa la parábola = + 4, comprueba que la aproimación de la actividad anterior es correcta. 6 A partir de la gráfica de la función =, describe cómo realizarías la gráfica de la función polinómica = +. Como son funciones polinómicas de segundo grado, sus representaciones son parábolas. Analizando el coeficiente de observamos que son iguales en valor absoluto, =, pero de signo contrario. Esto quiere decir que las dos parábolas son iguales en cuanto a la abertura de sus ramas, pero = + tiene un máimo en el vértice, pues es una traslación de la parábola =. 48

52 SOLUCIONARIO El eje de la parábola es la recta =, el vértice es el punto 5 de coordenadas V,. Para representarla ha que trasladar 4 el vértice de la parábola = al nuevo vértice. 6 Discute cómo serán los coeficientes de la epresión algebraica que corresponde a cada una de estas parábolas o rectas. a) Es una recta = m + n. Pasa por el origen de coordenadas, luego la función es lineal n =. La función es creciente m >. La pendiente es, porque al aumentar una unidad en el eje, se aumentan tres unidades en el eje m =. La ecuación es =. b) Es una parábola = a + b+ c. Tiene un mínimo en el vértice a >. Es igual de cerrada que = a =. El eje de simetría es b =. El vértice es V(, ) c =. La ecuación es = +. 49

53 Funciones polinómicas, racionales eponenciales c) Es una recta = m + n. Pasa por el origen de coordenadas, luego la función es lineal n =. La función es decreciente m <. La pendiente es, a que al aumentar una unidad en el eje se disminue media unidad en el eje m =. La ecuación es =. d) Es una parábola = a + b+ c. Tiene un máimo en el vértice a <. Es igual de cerrada que = a =. El eje de simetría es b =. El vértice es V(, ) c =. La ecuación es =. 6 La siguiente tabla corresponde a una función de proporcionalidad inversa a) Completa la tabla. b) Escribe la epresión algebraica de la función. c) Representa la función. a) b) c) = 4 5

54 SOLUCIONARIO 6 La relación entre dos números positivos viene establecida por la tabla.,,,,5 6 6 a) Cuál es su epresión algebraica? b) Represéntala gráficamente. c) Da valores a próimos a cero. Qué ocurre con los valores de? a) = 6 = 6 b) c) Cuando toma valores cercanos a cero, toma valores mu elevados. 64 Representa las funciones = 6 = 6 = 6 e = 6, escribe sus diferencias. Son funciones simétricas respecto del eje horizontal. A cada valor de le corresponden valores opuestos para. = 6 = 6 es decreciente su representación está en los cuadrantes... es creciente su representación está en los cuadrantes

55 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 65 Estudia representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa. a) = b) = a) Dominio: todos los números reales menos : {}. Recorrido: todos los números reales menos : {}. Continuidad: la gráfica es continua en todos los puntos ecepto en =. Crecimiento decrecimiento: la función es decreciente. No tiene máimos ni mínimos relativos. Presenta una simetría respecto del origen de coordenadas. b) 6 6 Dominio: todos los números reales menos : {}. Recorrido: todos los números reales menos : {}. Continuidad: la gráfica es continua en todos los puntos ecepto en =. Crecimiento decrecimiento: la función es creciente. No tiene máimos ni mínimos relativos. Presenta una simetría respecto del origen de coordenadas. 66 Dada la función = 5 : a) Para qué valores es creciente la función? b) Tiene máimo o mínimo? c) Haz una tabla de valores donde tome valores de a de a cercanos a. A qué valores se acerca la función? a) Es creciente en toda la recta real, menos en, donde no está definida. b) No tiene máimos ni mínimos, por ser siempre creciente. c),,,,,,,, Cuando toma valores negativos próimos a valores positivos mu grandes, se acerca a infinito. Cuando toma valores positivos próimos a valores negativos mu grandes, se acerca a menos infinito. 5

56 SOLUCIONARIO 67 Completa la gráfica correspondiente a una hipérbola. Como la gráfica de la hipérbola es simétrica respecto del origen de coordenadas, la otra rama pasa por los puntos (, ) (, ). 68 Realiza la gráfica de las hipérbolas. a) = b) = + Cuáles son los ejes de cada una? a) Como el numerador es positivo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son = e =. 5 4 b) Como el numerador es positivo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son = e =. 69 Con auda de la calculadora, halla los valores que toma la función =,5 para estos valores de. a) = d) = g) = b) = e) = h) = 4 c) = f) = i) = 4 =,5 4,56,64,6,4,5 6,5 5,65 4 9,65 7 Copia completa la tabla de valores para la función = 5. 4 = 5,96,6,6,6,6667, ,696 7,76 5

57 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 7 Realiza una tabla de valores representa las funciones eponenciales. a) = 5 b) = c) = 5 d) = 5 5 a) b) c) d) = 5 = 5,4, ,,4 = 5,4, 5 5 = 5 5 5,,4 a) b) = 5 = 5 c) d) = 5 = 5 7 Analiza las semejanzas diferencias de estas funciones eponenciales. f () = 4 g( ) = 4 f() = 4,65,5 4 6 f () = 4 g( ) = 6 4,5,65 4 g( ) = 4 Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto del eje de ordenadas. El dominio de ambas funciones es el recorrido es (, + ). Las gráficas de ambas funciones son continuas. La función f() es creciente la función g() es decreciente. 7 Estudia representa la función eponencial. = =,5,5,67,4 La función es continua en, su recorrido es (, + ), es monótona decreciente. 54

58 SOLUCIONARIO 74 Haz una tabla de valores de las siguientes funciones. a) = b) Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas, enumera sus propiedades. a) =,, = b) =,5,5 El dominio de ambas funciones es el recorrido es (, + ). Las gráficas de ambas funciones son continuas crecientes. La gráfica de la función = corta al eje de ordenadas,5 5 5 = = en el punto (, ), la gráfica de = lo corta en (;,5). 75 Representa gráficamente enumera las propiedades de las funciones. a) =,5 b) =,5 c) =,5 d) =,5 a) b) c) d) =,5 =,5 =,5 =,5,4,8,8,,5,6,6,6,6,5,8,6,6,6,5,,6,6,6,5,58,6,6,6, a) b) c) d) =,5 =,5 =,5 =,5 76 Representa la función = e. Recuerda que el número e es un número irracional cuo valor aproimado es e =,788 La gráfica f() = e es: f () 55

59 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 77 Representa las siguientes funciones de tipo eponencial. a) = b) = c) = d) = 5 a) b) c) d) = = = = 5,565,5 6,74,5,56 4,95 8,884,5, ,65,5744 a) b) c) d) = = = = 5 78 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA LA EPRESIÓN ALGEBRAICA DE UNA FUNCIÓN EPONENCIAL A PARTIR DE SU GRÁFICA? Determina la epresión algebraica de esta función eponencial. PRIMERO. Se determina uno de los puntos, distinto del punto (, ), por el que pasa la gráfica. En este caso, la gráfica pasa por el punto (, 4). SEGUNDO. Se sustituen estas coordenadas en la epresión algebraica de la función eponencial. =, = 4 = a 4 = a = TERCERO. Se calcula el valor de a. 4 = a = a = ± a 4 CUARTO. No se considera la solución negativa, pues en una función eponencial sucede que a >. La epresión algebraica de la función es =. a 56

60 SOLUCIONARIO 79 Determina la epresión algebraica de estas funciones eponenciales. a) b) a) =4 b) = 8 Halla la epresión algebraica de las siguientes funciones. a) b) a) =4 b) = + 8 HAZLO ASÍ CÓMO SE REPRESENTA GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN EPONENCIAL, CONOCIENDO ALGUNAS DE SUS CARACTERÍSTICAS? Dibuja la gráfica de una función eponencial del tipo =a (+b) que es creciente, no corta el eje pasa por los puntos (, ) (, 9). PRIMERO. Se representan los puntos por los que pasa la función. SEGUNDO. Si la función es creciente, la parte situada junto al eje será la parte izquierda de la gráfica. si es decreciente, será su parte derecha. (, 9) (, ) 57

61 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 8 Realiza la gráfica de una función eponencial que tenga las siguientes propiedades. Es creciente. Corta al eje en el punto (, ). Pasa por el punto (, ). Conociendo la forma que tiene la gráfica de la función eponencial, teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, una posible gráfica es: = + 6 (, ) (, ) 8 Calcula el capital que obtendríamos en los 5 primeros años al invertir, a interés compuesto, un capital de. a un rédito del,65 %. C f =. + t, 65 =. (,65) t t C f =. (,65) t Halla gráficamente el capital que tendremos al cabo de 4 años 6 meses al invertir, a interés compuesto,. a un rédito del 5 %. 5 C f =. + =. (,5) t t t C f =. (,5) t Si queremos saber cuál será el capital al cabo de 4 años 6 meses tendremos que hallar, en la gráfica, el valor de la ordenada correspondiente al valor 4,5 de la abscisa. Observando la gráfica se ve que el capital es C f T 58

62 SOLUCIONARIO 85 C La siguiente gráfica muestra la evolución de un capital invertido, en, a interés. compuesto. Calcula cuál es el capital invertido eplica cómo lo haces. Cuánto tiempo, en años, es necesario mantener la inversión para duplicar el capital?.. Observando la gráfica se ve que se han invertido., porque es el valor que le corresponde a t = Además, para t = el capital es., luego el rédito es del 5%, para duplicar el capital, como la gráfica es eponencial, crece cada vez más deprisa, podemos calcular que se obtendrán 4. en 4 años aproimadamente. T 86 A nivel del mar, el agua hierve a C, pero cada incremento de m en la altitud supone una décima de grado menos para hervir. a) Calcula el punto de ebullición en las cimas del Aneto (.44 m) del Everest (8.844 m). b) Indica la epresión algebraica de la función Temperatura de ebullición del agua Altitud.. 44 a) TAneto=, = 96, 596 C TEverest=, = 9, 56 C b) Temperatura: Altura: =, =. 87 El coste fijo de la factura mensual de electricidad es de. Además, cada kilowatio cuesta,. Haz una tabla que relacione el gasto mensual, en kwh, el importe, en. Escribe la función represéntala. kwh 4 5 Gasto,,4,6,8 Gasto 8 6 = +, kwh 59

63 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 88 La relación entre la longitud recorrida la altura alcanzada al subir un puerto de montaña se determina por la señal de tráfico que informa de la pendiente. Si en un puerto de montaña la pendiente es del 8 %, epresa la relación entre la longitud recorrida la altura alcanzada de forma algebraica, representa la función. Altura: Longitud: =,8 4 Altura Longitud 89 Los tais de una ciudad cobran por bajada de bandera,8 por cada kilómetro recorrido. a) Haz una tabla que eprese el precio del viaje en función de los kilómetros recorridos. b) Escribe la función que relaciona ambas magnitudes represéntala. a) b) = +,8,8,6 7,4 4 4, ,8 7 6,6 8 7,4 9 8, Distancia Precio 6

64 SOLUCIONARIO 9 Eisten varias escalas numéricas para medir la temperatura. Escribe una epresión algebraica que transforme: a) Grados Celsius a grados Kelvin. b) Grados Celsius a grados Farenheit. Escalas Celsius Farenheit Kelvin P fusión Agua P ebullición 7,5 7,5 Representa ambas funciones determina la temperatura a la que coinciden ambas escalas. a) = + 8 b) =7,5 + 8 = + = 7, = 7, 5+ =,975 C = 574,5475 b) a) Las escalas Kelvin Farenheit coinciden en 574,5475 F = 574,5475 K. 9 La gráfica refleja la temperatura del aire, en C, en función de los kilómetros de altitud. 5 a) Escribe la epresión algebraica de la función Altitud Temperatura. b) Cuál es su ordenada en el origen? Qué significado tiene? c) Qué temperatura habrá a 9 km de altitud? a) La función es = 6+. b) La ordenada en el origen es, esto significa que, a nivel del mar, la temperatura es de C. c) A 9 km de altura habrá: 6 9 = 4 C. 6

65 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 9 En un momento del día, la sombra de un palo de m de altura es de, m. a) Haz una tabla donde se refleje la longitud de la sombra de varios objetos, en función de su altura, para ese instante. b) Escribe la función represéntala. a),5,5,5,5 4 4,5 5,5,,45,6,75,9,5,,5,5 b) =, Sombra Altura 9 Queremos construir un depósito prismático de base rectangular, metros de altura cua capacidad sea 5 litros. a) Haz una tabla con los diferentes valores de las dimensiones que puede tener. b) Escribe la función correspondiente represéntala. a) Base 5 5 Altura 5 5 5,5,5 b) = Realmente la representación corresponde a la parte del. er cuadrante, a que la longitud de la base del rectángulo nunca puede ser negativa. 6

66 SOLUCIONARIO 94 Los alumnos de 4. o ESO quieren ir de viaje de estudios. Para obtener fondos compran 6 cajas de polvorones que han de vender entre todos los alumnos. a) Haz una tabla que relacione el número de alumnos que van a viajar con el número de cajas que ha de vender cada uno. b) Escribe su epresión algebraica representa la función. c) Comprueba que el producto del número de alumnos el de cajas es constante. Cuál es ese valor? a) N. de alumnos 6 6 Cajas b) = 6 Realmente la representación corresponde a la parte del. er cuadrante, a que el número de alumnos nunca puede ser negativo. c) El producto siempre vale Carlos se va de vacaciones quiere alquilar una caravana. Por ello, acude a dos empresas de alquiler de caravanas que le ofrecen diferentes posibilidades. A B 5 + /día + /día a) Si Carlos va a viajar 8 días con la caravana, en qué empresa le resulta más barato hacerlo? b) si va a viajar 5 días? c) Escribe las funciones Precio Tiempo represéntalas en los mismos ejes. Dónde se cortan? Qué representa el punto de corte? 6

67 Funciones polinómicas, racionales eponenciales a) Precio en la compañía A: = Precio en la compañía B: + 8 = 6 Le resulta más barato hacerlo en la compañía B. b) Precio en la compañía A: = Precio en la compañía B: + 5 = Le resulta más barato hacerlo en la compañía A. c) Función de la compañía A: =5 + Función de la compañía B: = + Precio = 5 + = + Días Las funciones se cortan en el punto (, 5), esto significa que el precio de las dos compañías coincide para un alquiler de días, sería de Haz la gráfica de f () que cumpla que: Es continua en todo, salvo en = en =. Es creciente en < es decreciente en >. Tiende a cuando tiende a +. Tiende a cuando tiende a. Tiene dos asíntotas verticales, una en = otra en =. Pasa por el origen por el punto (, 4). 64

68 SOLUCIONARIO 97 A partir de la gráfica de f () = 6 + razona cuántas soluciones tienen estas ecuaciones. a) 6 + = b) 6 + = c) 6 + = Las soluciones de las ecuaciones coinciden con los cortes de las funciones con el eje, la representación de cada función se consigue trasladando la gráfica de la función. a) La gráfica de = 6 9 se realiza desplazando diez unidades hacia abajo la gráfica de = 6 +. La ecuación solo tiene una raíz está en el intervalo (, ). b) La gráfica de = 6 se realiza desplazando dos unidades hacia abajo la gráfica de = 6 +. La ecuación tiene tres soluciones, en los intervalos (, ), (, ) (, ). c) La gráfica de = se realiza desplazando tres unidades hacia arriba la gráfica de = 6 +. La ecuación tiene tres soluciones, una solución doble en = otra solución en =. 4 65

69 Funciones polinómicas, racionales eponenciales 98 Para qué valores del parámetro a tiene soluciones la ecuación 6+ = a? para qué valores tiene 4 o más soluciones? Tiene tres soluciones para todos los valores comprendidos entre el máimo relativo (=5) el mínimo relativo (= ). Nunca puede tener más de tres soluciones por ser una ecuaciones de grado. Tiene tres soluciones para cualquier valor del intervalo (, 5) De una función polinómica sabemos que: f () = f () = f ( ) = 8 a) Cuántas funciones polinómicas de grado cumplen estas condiciones? b) cuántas de grado superior a? a) Una ecuación de grado es de la forma =A + B+C, por lo que sustituendo resulta el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que tiene una sola solución. f ( ) = C= f ( ) = A+ B+ C= f ( ) = 8 A B+ C= 8 A=, B=, C= + = b) Para ecuaciones de grado maor que se obtienen sistemas con tres ecuaciones, al menos, con cuatro incógnitas, por lo que habrá infinitas soluciones. EN LA VIDA COTIDIANA Los alumnos de 4.º ESO están organizando su viaje de fin de curso acuden a distintas agencias de viajes para tener varios presupuestos de las ciudades que podrían visitar. 66

70 SOLUCIONARIO En una de las agencias les sugieren viajar a Francia durante días. Tienen una oferta que a habían visto en el escaparate, la directora de la agencia les ofrece una promoción especial, dependiendo del número de alumnos que contraten el viaje. El precio por alumno será de 4 euros, pero si el grupo rebasa los estudiantes, rebajaremos euros por cada alumno que supere ese número. Cuando vuelven al centro escolar para contárselo al resto de alumnos, todos tienen claro que les conviene ser el maor número de alumnos posible. Entonces, si nos apuntamos, cada uno pagaremos 8 euros. Eso es, cuantos más alumnos nos apuntemos mejor. Qué número de alumnos le interesa a la agencia que contrate el viaje? Número de alumnos: Precio de cada alumno: Gasto a partir de alumnos: = (7 ) A la agencia le interesa que se realice el maor gasto posible, que se corresponde con el vértice de la función. El vértice está en el eje que pasa por el punto medio de los dos puntos de corte con el eje.. = ( 7 ) = = 7 7 El eje es: = = 6 A la agencia le interesa que vaan 6 alumnos. 4 = 7 > ( ) si 4 si. 67

71 Funciones polinómicas, racionales eponenciales Como habrás observado, a la misma temperatura no todos sentimos igualmente el frío o el calor. Por ejemplo, a una temperatura de ºC sentirás más frío si sopla un viento fuerte que si no ha viento. Este fenómeno se llama sensación térmica depende de cada persona. Belén tiene una beca para estudiar en Moscú está preocupada por la intensidad del frío en esa ciudad. Para calcular la sensación térmica en zonas frías, los parámetros que se tienen en cuenta son la temperatura la velocidad del viento, siempre que la temperatura sea menor que 5 ºC la velocidad del viento sea maor que 5 km/h. Para calcular la sensación térmica se utiliza un índice llamado Windchill. T s = K + K T+K V p + K 4 T V p donde T s (en ºC) es la sensación térmica; K, K, K, K 4 P son cinco constantes distintas; K =,6, K =,7 K 4 =,4. T es la temperatura del aire (en ºC) V es la velocidad del viento (en km/h). En Internet, Belén no ha encontrado los valores de K P, pero sí ha localizado en los periódicos estos datos para determinarlos. Si esta mañana ha escuchado por la radio que la sensación térmica en Moscú es de 7 ºC, cuál es la temperatura? Día T ( C) V (km/h) T S Lunes 4 4,8 Miércoles 5 5 6,9 Viernes , La velocidad del viento es de km/h. 68