Qué pasó con los cuadrados? Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profr. (a):

Transcripción

1 Qué pasó con los cuadrados? Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la superposición de superficies y el cálculo de áreas. Consigna 1: Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo. Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor. Finalmente, contesten las preguntas. Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor? Por qué crees que sucede esto? Qué clase de triángulo es el que está sombreado?

2 Consigna 2: Con tu mismo equipo, resuelve el siguiente problema. Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados. a) Cuánto mide el área de cada una de las plazas? b) Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas. c) A qué figura geométrica se parece el jardín? Consideraciones previas: Para realizar la actividad de la primera consigna se requieren tijeras, hojas de colores o de foami. Esta forma de comprobar la relación entre las áreas de los cuadrados es válida sólo para el triángulo rectángulo isósceles. El armado de la figura de la primera consigna puede quedar así:

3 Se espera que los alumnos digan que se trata de un triángulo rectángulo isósceles y que concluyan que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados iguales es equivalente al área del cuadrado construido sobre el lado mayor. En la segunda consigna, mediante el cálculo de las áreas de las plazas, se espera que los estudiantes se den cuenta que al sumar las áreas de los cuadrados menores el resultado es igual al área del cuadrado mayor. Es importante que los alumnos adviertan que no es la única relación, sino que determinen que hay otras relaciones como, el área de un cuadrado menor es igual al área del cuadrado mayor menos el área del otro cuadrado menor. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

4 De qué relación hablas? Plan de clase (2/3) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos verifiquen las relaciones entre las áreas construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la comparación de superficies y de forma algebraica. Consigna 1. Reunidos en parejas comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1. Con base en la relación que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una conclusión. Figura 3

5 Consigna 2: Con tu mismo compañero analiza las siguientes figuras y comprueba algebraicamente que la suma de las áreas sombreadas de la figura A es igual al área sombreada en la figura B.

6 Consideraciones previas: Para efecto de cálculos, en la consigna 1 cada cuadrado de la cuadrícula representa una unidad de medida. La expectativa es que los alumnos adviertan que los cuatro triángulos de la figura 1 son iguales entre sí e iguales a los cuatro triángulos de la figura 2; por lo tanto, la suma de las áreas de los dos cuadrados interiores de la figura 1 es igual al área del cuadrado interior de la figura 2. A partir de la equivalencia anterior y considerando la figura 3, se trata que los estudiantes verifiquen que se cumplen las relaciones entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Esta actividad puede realizarse utilizando el recurso tecnológico llamado geogebra, con la ventaja que al mover un vértice de la figura para cambiar sus dimensiones se puede apreciar que la relación entre las áreas de los cuadrados se conserva. En la segunda consigna se pretende que los alumnos recurran a sus conocimientos de álgebra para comparar las áreas de las figuras A y B y determinar que la suma de las áreas de los cuadrados internos de la figura A es equivalente al área del cuadrado interno de la figura B. Una forma de proceder es la siguiente:

7 Además, que al contrastar dichos cuadrados con la figura C, puedan verificar una vez más las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. También se les puede solicitar que representen algebraicamente el área de uno de los cuadrados menores, si se conoce el área del cuadrado mayor y la del otro menor, para lo cual tendrán que despejar en. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

8 Sólo con ellos? Plan de clase (3/3) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos infieran, mediante el cálculo de las áreas, que sólo en los triángulos rectángulos se cumple que el área del cuadrado construido con la medida del lado mayor es equivalente a la suma de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores. Consigna: Organizados en equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide. Figura 2 Figura 1 Figura 4 Figura 3

9 No. Figura 1 Suma de las áreas de los cuadrados con las medidas de los lados menores Área del cuadrado con la medida del lado mayor Nombre del triángulo por la medida de sus ángulos Nombre del triángulo por la medida de sus lados En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor? Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron. Consideraciones previas: Después de que los alumnos analizan diferentes triángulos se espera que determinen que sólo en los triángulos rectángulos la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor. Después de todas las experiencias relacionadas con este contenido, el profesor puede comentar que en un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (es lado mayor) y los lados que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos (lados menores que la hipotenusa); que la propiedad estudiada y que se espera sea la conclusión a la que lleguen los alumnos: la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor, sólo se cumple en los triángulos rectángulos y recibe el nombre de Teorema de Pitágoras. Esta propiedad se puede enunciar de manera sintética así, En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En internet hay muchas opciones para consolidar este conocimiento, algunas de ellas se muestran a continuación: En matemáticas 3, Forma espacio y medida. Reactivo 38, teorema de Pitágoras /demostración/sumar áreas. Videos:

10 Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15