CAPÍTULO II : OPERACIONES ALGEBRÁICAS ELEMENTALES

Transcripción

1 CAPÍTULO II : OPERACIONES ALGEBRÁICAS ELEMENTALES. Definiciones básicas. literal : expresión algebraica : término : Es un símbolo que representa un valor numérico. Puede ser cualquier letra del alfabeto latino : A, a, B, b, C, c, D, d,..., Z, z o del alfabeto griego :,,,,,,,,...,, Es un grupo de números letras combinados entre si mediante una o más de las operaciones fundamentales ( suma, resta, multiplicación o división ). Es un número, una letra, o varios números letras combinados entre si mediante una multiplicación o una división (o ambas ). Un término es todo grupo de letras números que en una expresión algebraica esté separado de los demás grupos por un signo de suma ( + ) o de substracción ( ). El signo de un término es el signo que lo precede. Usualmente, si el primer término de una expresión es positivo, se omite su signo (es implícito ). Ejemplo : La expresión algebraica : a tiene tres términos : a b, b bc c b c c. paréntesis : Los paréntesis indican prioridad, lo cual significa que primero se deben realizar las operaciones con los términos que quedan comprendidos entre el paréntesis. La suma de dos o más números o letras encerrada entre paréntesis se puede considerar un sólo término ( o término compuesto ). Ejemplo : En la expresión algebraica : a ( a b) ( a b) a b los símbolos : ( a b), ( a b) a b son tres cantidades individuales con dos términos cada una ; pero además como ( a b) ( a b) a b sólo implica multiplicación división entre esas cantidades, representa por lo tanto un sólo término de la expresión algebraica inicial, la cual solo tiene otro término : a coeficiente. Es el número que multiplica a la(s) letra(s) de un término. Si el término sólo contiene literales, el coeficiente es implícito vale. Ejemplo : En x el número + es el coeficiente del término x En ax el número es el coeficiente del término ax Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

2 términos semejantes Contienen exactamente las mismas letras elevadas a las mismas potencias. Los términos semejantes sólo difieren en sus coeficientes. Ejemplos : Son términos semejantes : a b c 8 a bc x c a a x (nótese que el símbolo representa una constante conocida ) En cambio, no son términos semejantes... w z w z pues aunque poseen las mismas literales, no tienen las mismas potencias. c Multinomios. polinomio. Es una expresión algebraica que consista de un sólo término se llama monomio. Si la expresión algebraica tiene exactamente dos términos se denomina binomio. Si tiene exactamente tres términos, recibe el nombre de trinomio en general, las expresiones que contienen más de tres términos se llaman multinomios. Es un multinomio mu particular que tiene la forma general : a 0 a x a x a x a x... a n x n en la cual : Los coeficientes a 0, a, a,..., a n son constantes n es un número entero positivo llamado el grado del polinomio. a n x n x es la literal del polinomio (pueden aparecer más literales en cada término del polinomio o x puede representar una expresión algebraica completa ) Vemos así que un polinomio sólo tiene potencias enteras positivas en sus literales. Suma de expresiones algebraicas. Dos o más expresiones algebraicas se pueden sumar sólo si contienen términos semejantes. Para sumar dos o más términos semejante, se suman sus coeficientes de acuerdo con la regla de los signos para la suma de números reales, se agrega el grupo común de literales de los términos. Ejemplos. a) x x ( ) x x b) a b c 7 a b c ab c 7 a b c 9 0 ab c Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

3 Cuando los términos no son semejantes, sólo se indica la suma simbólicamente colocando un signo más ( + ) entre ellos. Por ejemplo para sumar x x a h a h xz a con xz a, simplemente escribimos: Todas las propiedades que valen para la suma de los números reales (conmutativa, asociativa, inverso, etc. ) siguen siendo válidas para sumar expresiones algebraicas. Por ejemplo, para sumar las expresiones : x x 6 ; x x x x se conmutan asocian adecuadamente sus términos semejantes para que se sumen en columnas separadas : x x x x 6 x x 7x x 8 Dado que una substracción equivale a una suma con el inverso aditivo del sustraendo, para restar expresiones algebraicas, sólo se cambia el signo de cada término en la expresión que se resta se procede como en la adición. Ejemplo. Restar x x 6 de x x. x x 6 La diferencia : x x equivale a la suma... x x x x 6 sumando términos semejantes resulta... ( ) x ( ) x ( 6) x x. Símbolos de agrupación. Los símbolos que se utilizan en el álgebra para agrupar expresiones algebráicas son: los paréntesis: ( ), los paréntesis rectos o corchetes : [ ] las llaves : { }. Se usan para encerrar expresiones que representan un sólo término. Usualmente, cuando no ha símbolos de agrupación, el orden natural de prioridad en que se deben realizar las operaciones en una expresión algebraica es : se hacen las potencias raíces se realizan las multiplicaciones divisiones finalmente se efectúan las sumas restas Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

4 Los símbolos de agrupación se utilizan para alterar ese orden natural. Las operaciones indicadas dentro de un símbolo de agrupación tienen prioridad (es decir, se deben realizar primero que las otras operaciones fuera del símbolo) Ejemplos : a) Aunque las expresiones : ab a b contienen los mismo símbolos, son completamente distintas, pues en ab primero se realiza el producto a b al resultado se le suma el de acuerdo al orden natural de prioridad, mientras que en a obtenido se multiplica por a. b, primero se hace la suma b el resultado b) La expresión: ( a b c) ( a 8b c) significa que el número representado dentro del primer paréntesis debe sumarse al número representado por la expresión dentro del segundo paréntesis. c) La expresión: x z x z indica que el número representado por la expresión del segundo paréntesis debe restarse del número representado por la expresión del primer paréntesis. d) En 9x 8 ( x ) ( x ) el número ( x ) debe multiplicarse primero por el número ( x ) después el producto obtenido, debe restarse del número 9 x 8 Reglas de los símbolos de agrupación : Cuando un signo positivo precede a un símbolo de agrupación, se puede omitir el símbolo de agrupación conservándose el signo de cada término en la expresión que el símbolo encierra. Así, en el ejemplo b) anterior, es equivalente escribir : ( a b c) ( a 8b c) a a b a b a c b a 8b 8b c donde se han usado las propiedades conmutativa asociativa de la suma para obtener el resultado final c c c Cuando un signo negativo precede a un símbolo de agrupación, se puede omitir el símbolo de agrupación invirtiéndose el signo de cada término en la expresión que encierre el símbolo encierra. Por eso en el ejemplo c) anterior, es equivalente escribir... Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

5 x z x z x z x z x z 7 x 7 9 z 6 Recíprocamente, cuando es necesario insertar un símbolo de agrupación precedido por un signo menos en una expresión algebraica, se debe invertir el signo de cada uno de los términos que encierre el símbolo. Cuando una expresión algebraica contiene símbolos de agrupación encerrados por otros símbolos de agrupación, la prioridad va desde dentro hacia afuera, es decir, para eliminar los símbolos se empieza con el más interior se termina con el exterior. Ejemplo. Eliminar los símbolos de agrupación de la expresión : x [ x [ x ( x ) x] ] Solución : Quitando primero el paréntesis más interior se obtiene : x [ x ( x x x) ] Sumando los términos semejantes del interior : Quitando ahora el paréntesis más interior resulta : Sumando los términos semejantes del interior: quitando el último paréntesis... x x [ x ( x ) ] ( x x ) x x ( x ) x que se reduce a : x Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

6 . Multiplicación de expresiones algebraicas. El producto de dos números a b se representa por cualquiera de las siguientes formas : a b, ( a) ( b), ab o simplemente ab Cada uno de los números que aparecen en el producto se llama factor debido a la propiedad de identidad para la multiplicación, cualquier número m es igual a m, resulta que m es un factor de sí mismo. El producto de un número b por sí mismo se escribe b b b se pronuncia " b al cuadrado" o " b cuadrada ". El triple producto b b b se escribe b se llama "b cúbica " o " b al cubo ". En forma general, si el número b se multiplica por sí mismo n veces, se escribe se llama "potencia n-ésima de b ". [ n factores] b b b b... b El número b se llama base el número entero positivo n se llama exponente. Como consecuencia de ésta definición se tienen las siguientes reglas para los productos que contienen potencias de números... LEYES DE LOS EXPONENTES PARA LA MULTIPLICACIÓN I II III b m a n m) " El producto de potencias con la misma base es la base elevada a la suma de los exponentes ". ( ab ) n " El producto de potencias con distinta base el mismo exponente es el producto de las bases elevado al exponente común ". m m " El exponente equivalente para una potencia de una potencia, es el producto de los exponentes iniciales ". DEMOSTRACIÓN: bb LEY I b m ( b b... b) ( bb b b... b) [ n factores ] [ m factores ] usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto anterior es equivalente a: Pedro Ferreira Herrejon 6 Operaciones algebráicas elementales

7 b m bb ( b b... b) [ ( n m) factores ] Ahora, por la definición de potencia de un número, éste producto es la potencia ( n m) del número b, es decir... b m b ( nm) LEY II a n aa ( a a... a) ( bb b b... b) [ n factores ] [ n factores ] Usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto anterior es equivalente a : a n ab [( ) ( ab ) ( ab ) ( ab )... ( ab )] [ ( n m) factores ] donde cada factor de a n se ha asociado con un factor de. Ahora, de la definición de potencia, se sigue que éste último producto es la potencia n-ésima del número a b, es decir... a n ab ( ) n LEY III Usando la definición de potencia, el número m se puede escribir como: m... [ m factores ] Usando ahora la le I anterior, este producto es equivalente a: donde ha m términos en el exponente. m b ( nn n... n) Como el número n sumado m veces : ( n n n... n) equivale al producto nm, se sigue que... m b ( ) nm Nota : Es importante reconocer la diferencia entre formas exponenciales como ( ), por ejemplo, porque en ( ) el paréntesis indica que la potencia se aplica tanto al signo negativo como al número, resultando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ; en cambio en sólo se aplica la potencia al número, resultando () () () ( ) 6. Similarmente, en ( x), la potencia se aplica tanto al número como a la variable x ; mientras que en el término x la potencia se aplica sólo a x. Pedro Ferreira Herrejon 7 Operaciones algebráicas elementales

8 Todas las propiedades de la multiplicación para los números reales se aplican al producto de dos o más expresiones algebraicas, en particular la propiedad distributiva la regla de los signos para la multiplicación, teniéndose los siguientes casos particulares.... a) Multiplicación de monomios. Para multiplicar dos o más monomios, se multiplican sus coeficientes sus literales. Si ha literales comunes, se elevan a la potencia que resulte aplicando las lees de los exponentes. Ejemplos. a) x x x ( ) x 7 a b) a ( ) ( ) 0 () ( ) a a c) x a z b z a b x a z 6 x b a z a b d) ab ( ) a b 8a b 6 9 a 6 7 [ Le II ] ( ) a b b [ Le III ] a 9 b 8 [ Le I ]. b) Multiplicación de un monomio por un multinomio. De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación: a( b c) ab ac, se deduce que el producto de un monomio por una expresión algebraica que contenga dos o más términos (es decir un multinomio) es la suma de los productos del monomio por cada término del multinomio. Ejemplo. x z xz x z 6 x zxz x z x x z z x z( 6) 7 () () x z () ( ) x z x z z () ( 6) x z 0x z 6x z x z x z. c) Multiplicación de dos multinomios. De la propiedad distributiva de la multiplicación, se deduce también que el producto de dos multinomios es la suma de los productos de cada término de un multinomio por cada término del otro multinomio. Pedro Ferreira Herrejon 8 Operaciones algebráicas elementales

9 Es conveniente realizar éste producto en el siguiente orden: Escribir los multinomios que se multiplican uno debajo del otro. Escribir en renglones separados los productos obtenidos de la multiplicación de cada término del multinomio inferior por el multinomio superior. Ordenar los renglones obtenidos en el paso anterior escribiendo los términos semejantes en columnas separadas para facilitar su suma. por a Ejemplo. Multiplicar a a b ab b ab b Solución : a a b ab b. a ab b a a b ab b a 9a b a b a b 6 a 6 ab a a b ab b a b a b a b b a b a a b ab b a b 6a b b a 8b a a b a b 7a b 6b a 8b por x x Ejemplo. Multiplicar x x Solución : Abreviado un poco el procedimiento anterior se tiene... x x. x x x x x x x 6x x x x x x 7x Pedro Ferreira Herrejon 9 Operaciones algebráicas elementales

10 . División de expresiones algebraicas. La división o razón de dos números o expresiones algebraicas a b, con b distinto de cero, se suele indicar por los símbolos siguientes : a a b, a /b, b donde el número a se llama dividendo o numerador, el número b se llama divisor o denominador el resultado de la división se llama cociente. Como consecuencia de la definición de una potencia n-ésima, para la división también se tienen las siguientes lees... LEYES DE LOS EXPONENTES PARA LA DIVISIÓN IV b m b m n " El cociente de potencias con la misma base, es la base elevada a la diferencia de los exponentes " V b 0 " Cualquier cantidad b distinta de cero, elevada a la potencia cero vale uno ". VI " Los exponentes negativos en el denominador se escriben como positivos en el numerador ( o viceversa ) " VII a b n a n " El cociente de potencias con distinta base el mismo exponente es el cociente de las bases elevado al exponente común " DEMOSTRACIÓNES: LEY IV La expresión b m b m se puede rescribir con la siguiente serie de operaciones evidentes: m 0 b b mn queda demostrada esta le b m( nn) () b mn b mn b mn Pedro Ferreira Herrejon 0 Operaciones algebráicas elementales

11 LEY V Tómese m n en la le IV anterior obteniéndose Pero también n b 0 pues todo número distinto de cero dividido por si mismo es la unidad, de modo que ambas expresiones son equivalentes, es decir: b 0 LEY VI Tómese m 0 en la le IV, obteniéndose : b 0 b 0 n Pero b 0 por la anterior le V, de modo que queda probado que : LEY VII De la regla para multiplicar fracciones la definición de una potencia nésima, se sigue que... n a a a a a ( aa a... a) a n... b b b b b ( bb b... b) queda demostrado. Las lees de los exponentes se cumplen para todos los exponentes enteros m n (no solamente para exponentes positivos), por ejemplo : a) ( ) 9 ( por la le IV la regla de signos ) b) x x 6 6 x ( por las lees VI, VII III ) Al evaluar expresiones algebraicas que tengan exponentes negativos, se pueden evitar algunos errores si primero se convierten los exponentes negativos a positivos antes de realizar cálculos. Ejemplos. (Simplificación de exponentes negativos) a) b b b b b b 7 (multiplicando los coeficientes ) 9 7 b 9 b ( por la Le I ) Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

12 ( por la Le VI ) b que evidentemente es una expresión mucho más fácil de evaluar que la inicial. b) a b ( ) a b ( por la Le II ) 8a 6 b ( por la Le III ) 8a 6 ( por la Le VI ) b c) x 7x 0 x x ( ) x ( por la Le V ) x ( por la Le VI ) x x 8x 8x ( por la Le IV ) d) x x x x ( por las Lees VI VII ) x x x x ( por las Lees II VI ) x ( 9) x 9 7x ( por las Lees IV VI ) En este último ejemplo, nótese cómo una fracción elevada a una potencias negativas se simplifica invirtiendo la fracción cambiando el signo del exponente. Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

13 A continuación se resumen las lees de los exponentes, las cuales se deben memorizar si se desea hablar con fluidez el lenguaje algebraico. LEYES DE LOS EXPONENTES Para cualquier número b distinto de cero para cualesquiera dos enteros n m se cumple que : I b m m IV b m b m n II ( ab ) n a n V b 0 III m m VI VII a b n a n Todas las propiedades para los números reales se aplican al cociente o a la multiplicación de dos o más expresiones algebraicas, entre ellas la regla de los signos para la división, teniéndose así los siguientes casos particulares.... a) División de monomios. Para dividir dos monomios, se dividen sus coeficientes sus literales. Si ha literales comunes, se elevan a la potencia que resulte aplicando las anteriores lees de los exponentes. Ejemplos. Note como se aplican las anteriores lees de los exponentes a los siguientes ejercicios a) x ( ) x x x b) a a a a a c) x a z b z a x a z b 8 x b a z 8ax zb Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

14 d) a b a b ( ) a ( ) a b b 8 a b 6 9a 6 b 0 8 a 6 b a 6 9b. b) División de un multinomio por un monomio. De acuerdo con la propiedad distributiva la propiedad de inverso para la multiplicación, al realizar la división de una expresión algebraica que contenga varios términos entre una expresión de un solo término, se puede escribir... ( a b c) d ( c) d a b d a d b d c a d b d c d es decir, la división de un multinomio entre un monomio es la suma de los cocientes que resultan de dividir cada término del multinomio por el monomio. Ejemplo. 0xz x z 6 x z 0xz x z ( ) x x z z x z 6 x z z x x z z x x z. c) División de dos multinomios. La división de dos expresiones algebraicas que contengan varios términos se realiza con un procedimiento mu similar al usado para dividir dos números reales, consiste en los siguientes pasos : Escribir los dos multinomios que se dividen en orden descendente de las potencias de alguna literal que tengan en común. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. Multiplicar el cociente obtenido en el paso anterior por el divisor restar el producto resultante al dividendo. La diferencia o residuo parcial obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo se repiten con él los pasos. Se continúa éste procedimiento hasta obtener un residuo parcial en el cual el maor exponente de la literal que se eligió, sea menor que el exponente de esa letra en el primer término del divisor. Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

15 entre x Ejemplo Dividir el multinomio 6x x 0x x x Solución : Notemos que ambos multinomios a están ordenados respecto a su literal común x en potencias decrecientes. Aplicando entonces la serie de pasos del procedimiento de división enunciado arriba, resulta el siguiente esquema... (divisor) x (Cociente) x x Al dividir el primer término del dividendo 6x se obtiene el primer término del cociente : 6x 9x x x 8x x x 6x 8x x x x x x 6x x 0x x (dividendo) (Residuo) entre el primer término del divisor x x x x x Al multiplicar el cociente obtenido en el paso anterior por el divisor resulta : 6x 9x x restando este producto al dividendo queda el residuo parcial: x estos pasos., 8x x, el cual se toma ahora como nuevo dividendo se repiten En éste ejemplo la división se dice que es exacta porque el residuo es cero, esto significa que el multinomio divisor es un factor del multinomio dividendo. En otras palabras, el dividendo es el producto del cociente por el divisor, esto es... x x x x 6 lo cual puede ser comprobado fácilmente por el lector. x x 0x x Ejemplo Dividir x x x x 0x entre x x Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

16 Solución : Notemos que tanto el dividendo como el divisor están ordenados en potencia decrecientes de una de sus literales comunes x, así que aplicando el procedimiento de división resulta el siguiente esquema : x x x x x x x x... x... 0x 0x...x... x......x... x Al dividir el primer término del dividendo x obtiene el primer término del cociente ( x). entre el primer término del divisor x Al multiplicar el cociente obtenido en el paso anterior por el divisor resulta : x x x x 0x. x Restando este producto al dividendo queda el residuo parcial: x x, el cual se toma ahora como el nuevo dividendo se repiten los pasos anteriores., se En éste ejemplo también la división es exacta (el residuo es cero). El multinomio divisor es un factor del multinomio dividendo por lo tanto el dividendo es el producto del cociente por el divisor. x x como puede el lector puede comprobar fácilmente. ( x ) x x x x 0 x Ejemplo 6 Dividir 6 a a b ab 0b entre a ab b Solución : Notemos que tanto el dividendo como el divisor están ordenados en potencia decrecientes de una de sus literales comunes a, así que aplicando el procedimiento de división resulta : Pedro Ferreira Herrejon 6 Operaciones algebráicas elementales

17 a ab b a b 6a 9a b ab 6a b 0ab 0b 6a b 9ab b 9ab b 6a a b ab 0b Al dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor se obtiene el primer 6a término del cociente : a. a Al multiplicar este cociente por el divisor resulta : a 6a a b ab 0b 6a 9a b ab Restando este producto al dividendo queda el residuo parcial : 6a b 0ab 0b, el cual se toma ahora como nuevo dividendo etc. etc. En éste ejemplo la división no es exacta (el residuo no es cero). El dividendo es igual al producto del cociente por el divisor más el residuo dividido por el divisor El lector puede comprobar que en efecto : a b ab 0b 6 a a b 9ab b a ab b.6 Notación Científica. Los exponentes proporcionan una eficiente manera para escribir calcular con números mu grandes o mu pequeños, los cuales son frecuentemente usados en la ciencia. Por ejemplo una sola gota de agua contiene mas de millones de billones de moléculas H O, es decir el número seguido de 8 ceros: Es conveniente escribir números como éste en notación científica, la cual tiene la forma general : C 0 n en donde C es una cantidad positiva o negativa cuo valor absoluto está entre 0 ( C 0 ) el exponente n es un número entero. La cantidad del ejemplo anterior quedaría entonces expresada como. 0 9 Pedro Ferreira Herrejon 7 Operaciones algebráicas elementales

18 Un exponente n positivo indica que el numero representado es mu grande que para escribir tal número sin usar la notación científica, el punto decimal debe ser movido n lugares hacia la derecha. Por el contrario, un exponente n negativo indicaría que el número en cuestión es mu pequeño (su valor queda en el intervalo C ) que para escribir tal número sin usar la notación científica, el punto decimal debe moverse n lugares hacia la izquierda. Por ejemplo, la masa en gramos de un electrón es aproximadamente escrito sin usar la notación científica es , número que como puede observarse, el punto decimal que estaba inicialmente entre el 9 el, se recorrió 8 lugares hacia la izquierda. Ejemplo 7 Convertir los siguientes números a la forma indicada. a ). 0 a la forma decimal b ) a la forma decimal c ) a la notación científica d ) a la notación científica Solución : a ) En éste número el exponente () es positivo, así que el punto decimal debe transladarse hacia la derecha lugares para obtener b ) El exponente ( 6) es negativo, lo cual indica que el número expresado en ésta notación es mu pequeño, que el punto decimal debe transladarse hacia la izquierda 6 lugares para obtener: c ) El número es mu pequeño, así que al escribirlo en notación científica el exponente será negativo el punto decimal debe ser transladado hacia la derecha el número de lugares necesarios hasta tener una sola cifra distinta de cero a la izquierda, como sigue: d ) El número es mu grande, así que al escribirlo en notación científica el exponente será positivo el punto decimal debe ser transladado hacia la izquierda el número de lugares necesarios hasta tener una sola cifra distinta de cero a la izquierda, como sigue: Pedro Ferreira Herrejon 8 Operaciones algebráicas elementales

19 EJERCICIO. ( Prohibido usar calculadora ) A. Efectuar las operaciones indicadas en los ejercicios a ( ) ( ) 6. 8 ( 9) ( ) 8. ( ) ( ) ( 7) ( ) 0. 8 ( ). ( ) 8 9 ( ). 7 () ( ) 8 ( ). x x x 6 7a x x a. 9a 7. a 0. 8x a b a. ( b) 6a x b 8. 8 x x z b z 7b 9z B. Encontrar la suma de las expresiones algebraicas de los ejercicios a 6. ( x z) ( z 8x) ( x 9z ). ( r s 6t) ( 8t r s) ( s 6t r). ( a b 7c) ( a 8b 9c) ( 7a 9b c). ( t u v 6w) ( 8w v 6u t) ( u v w t). 8x z w 7 w 7z 9 x z w ( z w 8x) 6. x a x a a x C. Realizar la substracción indicada en los ejercicios 7 a. 7. a b c ( a b c) 0. 7 a b c ( a b c) 8. x z ( 7x 9z ). u v w 8 u v w 0 9. x z x z. t u 8v w ( 6v w t 7u) Pedro Ferreira Herrejon 9 Operaciones algebráicas elementales

20 D. Realizar las operación indicadas combinar los términos semejantes en los ejercicios a 0.. a ( ab). x x. a b( ab) a ( b) x x b ( ab ) a b b 6. x x z a ab x b ab ( b) a 6 x z z x x x b ( ab) zx x z 7. a b a b a b 6a b a b 9. ab 6u v 9u 7 v 6u 6 v u v u v u 9 v 7 8. x 7 8x x 9 6 x 6 6x 0. x 8g h g h g h 6 gh 8 h 6 g 8 g 0 h E. Eliminar los símbolos de agrupación combinar los términos semejantes en los problemas a 6.. ( x z) ( x z). ( a b c) ( a b c). 8( 6a b c) 7( a b c). ( 6u v w). a 6. r ( 7u v w) [ a ( b c) b] [ r [ s t ( r s t) r] s] ( x ) 6 x 7. x x x( x ) x 8. x [ x x[ x 7( x ) ] ] 60x 9. ( x ) ( x ) 0. ( a b) ( a b). ( v u) ( u v). ( 6u v w). a. ( a x ) ( a x ) ( 7u v w). ( a x ) ( a x ) ( b c) ( a b c) 6. ( a b c) ( a b c) Pedro Ferreira Herrejon 0 Operaciones algebráicas elementales

21 7. a b Matemáticas Básicas ca b c 8. a b x 6 x x 6 9. x 60. a ab a b a ab a b x x 6. x x 6. ( a b) ( a b) 6. x a b( a b) a( a ) ( ) x x ( x ) 6. a ( x ) x b( a b) ( a b) a b ( a ) ( a b) ab a b ab 6. u ( v) u v u v( u v) u v( u v) F. Hacer la división de las expresiones algebraicas indicadas en los ejercicios 66 a a ab b a b 67. a ab b a b 68. 6x x x 69. x x 0 x 70. a b a b 7. x 6x 6 x x 7. 6x x x 6x x x 7. 0a a b 7ab b a b 7. 9b 6bc c a a b c 7. x a x 6at 9t a t 76. 0x x b x x 7b 6b b 77. 6x 7x u 8x u x xu u xu 0u Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

22 G. Hacer las operaciones indicadas combinar los términos semejantes en los ejercicios 78 a x x x x x x 79. x x x 80. b a b a b a x 6 x 6 x 6a 6 b 6 a b 7 a b 8. a bc a a b b c c 7a b c 7 7a b 6 c 6 a c b H. Eliminación de exponentes negativos. a) Hallar el valor de las siguientes expresiones (sin usar calculadora) () () 6 () 87. () 88 () () b) Usando exponentes negativos, escribir sin denominadores las expresiones de los ejercicios 97 a x x 99 a b 00. a b 0. x 0. x z 0 a w 0. b c d 0. a b ab c 06. x x w 0 07 x 0 x a k h k h a 0 Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

23 c) Simplificar las siguientes expresiones para expresarlas sin exponentes negativos o cero. 09. a 0 a a 0 c. a. a b a b. a b a b a 9 b a b 6. a 6 b a b 7. x z x z 8. x 0 z x z 9 a 6 b c ab c 0. 8 k h k h a 0. a 6 b c a b c. a b. c d. x 0. b c 6. a x 8. c p 7. c d 9. b c 0. a b a b. x 9 x. a 8 b. b a c a 0 b c. a 6 b a c 0. x x z z 6. c b b t 0 a t 7. a bc a 0 b c 8. a b b a 9. a b b 0. a a b b. a a b a b Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

24 A. Completar las descripciones que faltan EJERCICIO.. forma_exponencial ( x ) Base exponente forma_factorizada ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) x B. Transformar las siguientes expresiones a la notación científica : C. Cambiar a la forma decimal : La velocidad de la luz en el vacío es kilómetros por minuto. La distancia del Sol a la Tierra es kilómetros. Cuánto tiempo tarda la luz solar en llegar desde el Sol a la superficie terrestre si se mueve a velocidad constante en el vacío? D. Usando la calculadora, hacer las operaciones indicadas: (.) (.8) (.) El capital A invertido después de n años al r por ciento de interés compuesto anual es A P( r) n donde P es el capital inicial (al tiempo t 0 ). Calcular A si P $ 000 r.% para t, 0, 0, 0, 0 años. Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

25 Respuestas : EJERCICIO.... (A) x. 7 a a b 8. 8 b x z 9. x 8a 0. x. 7x 6z. r s 8t. a (B) b c. 6t u v w. x (C) 8z 8w 6. x 8 a 0 7. a b 6c 0. a b c 8. x 7 7z. u v 9 w x z. t u v 8w (D). a b 0b a. x. a b a b 9. u v 8. x 0. 6 g h Pedro Ferreira Herrejon Operaciones algebráicas elementales

26 . 6x. a. a 0 8b 0b Matemáticas Básicas (E) z. 7c. 7 0c x 8. a u r x 7b v 6s x 6 9. x x 0. a ab 6b. v. 7u. a u v 8u. a x 7a v w. a 7a x 0c w 8t 9 x a x x b ac b bc c 6. a b bc 9c 7. a 0ab b c 8. a a b b 9. x 6 x a 6 a b a 8 b 6. x x 6x 9 6. a a ba b 6 6u uv v (F) 66 a b 67. a b 68. x 69. x 70. a ba b 7. x x 7. x 7. a 77. x x 7. x 6 b c 7. a x u u t x 76. a ba b b x Pedro Ferreira Herrejon 6 Operaciones algebráicas elementales

27 (G) x 80. a b 8 a b c a b c (H) x 98. x 99 a b 00. a b 0. x 0. x z 0 () a w 0. b c d 0. ab c 06. x 07 a x 08. k h a a c. a. 8. a b a b b a 6. a b 7. x z 8. x 9 z 9 a b c 0. h. k 9 a. a b 6. c d 6 c. 6. b 8 c 6 6. a x 7. c d 6 8. c 9 p 6 9. b c 6 0. b 6. 6 a 9 0 x 6 Pedro Ferreira Herrejon 7 Operaciones algebráicas elementales

28 . 8b a 6. a c. 6 7 a 6. x z b 6 6. b a t 7. c a b c 8. ab 9. b a 0. ab. b a ab Respuestas EJERCICIO. (A). forma_exponencial ( x ) ( ) x Base x x exponente forma_factorizada () () ( ) ( x ) ( x ) () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x (B) (C) km km min 8. min Pedro Ferreira Herrejon 8 Operaciones algebráicas elementales

29 (D) (.) 6 ( 0.6) A() 07.9, A( 0) 6.6, A( 0) 67.7, A( 0) 7., A( 0) Pedro Ferreira Herrejon 9 Operaciones algebráicas elementales