Geometría de masas II: El tensor de Inercia

Transcripción

1 Departamento: Física Aplicada Mecánica Racional (ngeniería ndustrial) Curso Geometría de masas : El tensor de nercia 1 Momentos de nercia respecto de elementos coordenados. a. Respecto de planos x = x, y = y, z = z b. Respecto de ejes x y z x z x y y c. Respecto del origen xx = ( + ), yy = ( + ), zz = ( + ) = ( x + y + z ) z d. Productos de nercia =, =, = e. Relaciones xy xz yz xy xz yz, = +, = +, = + = x + y + z 1 = ( xx + yy + zz ) xx y z yy x z zz x y Momento de inercia respecto de una recta. Sea la recta (, ) υ. El momento de inercia respecto de la recta vale υυ = Δ donde Δ es la distancia desde el elemento de masa a la recta. Δ = ( r) ( rυ ) rυ expresa la proyección del vector r sobre la recta (, υ ). En forma matricial el producto escalar se puede calcular mediante la expresión ( 1) r υ = υ r Con lo cual Δ = r (υ υ) (υ r)(r υ) La propiedad asociativa de las matrices nos permite escribir ( ) Δ = r (υ υ) υ (r r ) υ= r (υ U υ) υ (r r ) υ De esta forma podemos sacar factor común υ y υ r r ν P d m Δ ν 1 Las letras negrilla indican vector columna, y el superíndice () indica matriz traspuesta ó vector fila U indica matriz unidad

2 Sustituyendo queda Δ = υ [ r U rr ] υ = υυ υ ( r U-rr )υ eniendo en cuenta que υ y υ son independientes de la distribución de masas υυ = υ (r U-rr ) υ La integral es independiente de la dirección υ, aunque si depende del punto a través del vector, se conoce como tensor de inercia en el punto y lo denominaremos r ( ), su expresión desarrollada es () = x y z + + zx zy z x + y + z 0 0 x xy xz x y z yx y yz y + z xy xz () =. + xz yz x + y xy x z yz Se observa que el tensor es simétrico, los elementos de la diagonal principal coincide con los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados y las demás componentes coinciden con los productos de inercia cambiados de signo : xx Pxy Pxz ( ) = Pxy yy Pyz Pxz Pyz zz Los elementos del tensor de inercia se pueden expresar de forma subindicada ( ) ( δ ) ( ) = r x x i, j i, j i j Ahora podemos expresar el momento de inercia respecto de la recta (,υ) mediante el tensor de inercia υυ = υ () υ Para considerar () como tensor de segundo orden debemos demostrar que es invariante en las transformaciones de coordenadas y que se transforma como un tensor. Sea α la matriz del cambio de base, si tenemos en cuenta que υ'=αυ, y υ' = υ α (1) se obtiene υυ = υ' '() υ'=(αυ) '() (αυ)=υ α '() αυ υυ es un escalar y es independiente de las transformaciones de coordenadas, escrito con las coordenadas antiguas es υυ = υ () υ, comparando con el resultado anterior se obtiene () = α '() α y despejando () ' = α () α δ i,j es la delta de Kronecker y viene dada por δ i,j =1 si i=j, en otro caso δ i,j =0 ) Pag. /7

3 Lo que indica que en un cambio de coordenadas se transforma como un tensor de segundo orden. raslación de la base: eorema de Steiner. Campo de tensores Sea G el centro de masas de la distribución. P = G + GP Las magnitudes que intervienen en (1) se expresan ( 4) ' r = ( P) = ( G) + ( GP) + G GP, xi = xi + xi sustituyendo en (1) se obtiene ( ) ( ) ( ) ( ' ' i, j( ) δ = i, j i j = + + δi, j i+ i)( j+ j) r x x G GP G GP x x x x Que puede descomponerse en varias integrales G = G x x = M G δ x x M G, ( ) ( ) δ, ( ) ( ) i j i j i j i, j i j : Componentes del tensor de P inercia de una supuesta masa puntual M situada en el c.d.m. ( ) i, j( G) = GP δ i, j xix j : ensor de inercia en G G GP = G GP 0 = : Se anula por ser el numerador de la expresión del vector de posición del punto G relativo a G. xx i j = xi x j = 0, se anula por la misma razón anterior con la coordenada x ' j, del c.d.m. d zz Resumiendo queda: De forma simbólica En forma matricial G M r x x i, j( ) = i, j( ) + ( δij i j) MG, ( 5) ( ) = ( G) + ( ) () z M G ' xx xy xz xx xy xz y + z x y x z ' xy yy yz = xy yy yz + M x y x + z yz ' xz yz zz xz yz zz x z yz x + y Los momentos de inercia son los elementos de la diagonal principal ( ) = ( G) + M d ii, ii, ii donde d ii representa la distancia entre los ejes i. Mientras que los elementos que no están en la diagonal principal son los productos de inercia cambiados de signo P ( ) = P ( G) + M x x i, j i, j i j 4 x i (i=1,,) representan las coordenadas relativas al c.d.m. y x i las coordenadas del c.d.m. 5 MG, ( ), indica el tensor de inercia en de una supuesta masa puntual M situada en G. Pag. /7

4 4 Rotación de la base del tensor de inercia a. Expresión (0)= α () α b. Aplicación: Varilla delgada rotada El tensor de inercia de una varilla delgada en el punto G y direcciones ( u, u, u ) ( G) = ML vale La matriz α del cambio de base obedece a la expresión u θ G u U'=α U θ. Sus u 1 u1 elementos son los cosenos directores de los versores ( u ' 1, u, u), es decir ' α i, j= uu cosθ senθ 0 i j. En el caso plano que nos ocupa α = senθ cosθ con lo cual puede calcularse el tensor en la nueva base cosθ senθ cosθ senθ 0 sen θ senθ cosθ '( G) = senθ cosθ 0 ML senθ cosθ 0 ML senθ cosθ cos θ 0 1 = Propiedad aditiva del tensor de inercia a. Expresión Supóngase una distribución de masas que pueda dividirse en dos partes disjuntas A y B, por la aditividad de las integrales se verifica d ( ) = d ( ) + d ( ) A B A B Lo que nos dice, que el tensor de inercia de una distribución de masas de un conjunto de partes disjuntas puede obtenerse sumando los tensores de inercia de cada una de las partes individuales. L D C u B A b. Aplicación Calcúlese el tensor de inercia de una línea cuadrada uniforme de lado L, en el centro del cuadrado y tómese como ejes coordenados las direcciones de los lados del mismo. Sugerencia: Descompóngase la figura tomando cada lado como una u1 distribución de masas. Como el tensor en el c.d.m. de cada lado es conocido (varilla delgada), aplíquese el teorema de Steiner para determinar el tensor de cada lado en el centro del cuadrado. Posteriormente puede sumarse para obtener el resultado final. Pag. 4/7

5 6 Propiedades de las direcciones principales a. 1, ()=, ()=0 (, u ) es E.P.. ( 6) en. 1, ()=, ()=0 (, u ) es E.P.. en G(x,y,z) ( u ) = 0 = u ( ) = u+ u + u 1 1 ( u ) = u Si 1, ()=, ()=0 Lo que indica que u y su vector transformado son colineales, es. (, decir u es d.pp.de inercia u ) es E.P.. en 1,()=, ()=0 Si u es d.pp. significa que ( u ) = λu. Como ( u, u, u ) 1 () es una base ortogonal sus versores son linealmente independientes, para que además se cumpla () ha de ser 1, ()=, ()=0 ) b. (,, u ) E.P.. en y G є (, u omaremos (,, u ) en el eje. (, u ) E.P.. en y (, u ) E.P.. en 1, ()= 1, ( )=0 Aplicamos el teorema de Steiner en y en al producto de inercia ( ) ( ) = ( G) Mx x G Mx x 1, 1, 1 1,( ') = 1,( ) 1 Restando miembro a miembro resulta x x = x x 1 1 por construcción x 1 =x 1, x =c+x (c: distancia entre y ), ello nos ' indica que la igualdad anterior solo puede ser cierta si x = x = P 1, Análogamente puede demostrarse que x = 0 Ambas conclusiones significan que el c.d.m. (G) está situado en, es decir es eje baricentral ) es E.P.. en ( G, u ) c. (G, u ) es E.P.. en G (G, u. (G, u ) es E.P.. en G (G, u ) es E.P.. en ( G, u ) Aplicando el teorema de Steiner al producto de inercia P 1, ( ) = ( G) Mx x 1, 1, 1 u 1,(G)=0 según (a) y 1 0 Como (G, ) es E.P. en G x = por construcción, luego 1, ()=0 Análogamente puede demostrarse que, ()=0. Ambas conclusiones significan según el teorema (a), que (,u ) es E.P.. siendo cualquier punto del eje (G,u ). 6 E.P..: Abreviatura de eje principal de inercia 7 x i indica la coordenada x i del c. d.m. Pag. 5/7

6 . (, u ) es E.P.. en (, u) (, (, u ) es E.P.. en (, u) (, puntos y. Según (b) G (, u), y en particular (G, u ) es E.P.. en =G u ) es E.P.. en G u ) es E.P.. en dos de sus. Conclusión: Un eje baricentral es E.P.. en un todos sus puntos o no lo es en ninguno. d. (, u 1) E.P.. en y (, u ) E.P.. en (, u ) E.P.. en. (, u 1) E.P.. en 1 ()= 1 ()=0 (, u ) E.P.. en 1()= ()=0 u ) E.P.. en Pero 1 ()= ()=0 (, Conclusión: Si dos ejes son E.P.. en, el tercero también los es. P(-x,-x,x) 1 1 P(x,y,z) P(x,y,-z) P(x,x,x) 1 G e. odo eje perpendicular a un plano de simetría es E.P.. en el punto de intersección. u ) un eje perpendicular al plano omemos el plano x =0 de simetría y (, en el punto. Ello significa que si existe un elemento de masa en el punto P(x 1, x, x ), ha de existir otro elemento de la misma masa en el punto P (x 1, x, x ). Sean 1, dos semiespacios separados por el plano de simetría y apliquemos la propiedad aditiva del tensor de inercia. 1,( ) = xx 1 = xx 1 + xx 1 = xx 1 xx 1 = Análogamente puede demostrarse que, ()=0. Por la propiedad (a) (, u ) es E.P.. en. f. odo eje de simetría es E.P.. en cualquier punto del eje. Como todo eje de simetría es baricentral tomemos (G, u ) como eje de simetría. Ello también significa que si existe un elemento de masa en el punto P(x1, x, x ), ha de existir otro elemento de la misma masa en el punto P ( x 1, x, x ). Si aplicamos la propiedad aditiva con ambos elementos de masa a los producto de inercia resulta 1, (G)=0 y, (G)=0. con lo cual (G, u ) es E.P.. en G. Por otra parte según la propiedad (c) (G, u ), será E.P.. en cualquier punto del eje. g. Caso de figuras planas omaremos z=0 como plano de figura. z=0 es plano de simetría Consecuencias. zz = xx + yy z =0; xx = y ; yy = x r = x + y zz = xx + yy Pag. 6/7

7 .. odo eje normal al plano de figura es E.P.. en el punto de intersección odo eje normal a uno de simetría es E.P.. en el punto de intersección 7 Movimientos de invarianza de los momentos de inercia respecto de un eje a. raslación respecto del eje b. Rotación respecto del eje c. Simetría respecto de una recta normal al eje d. Simetría respecto de un punto del eje (d) (a) (b) 8 Bibliografía. Cuadernos de Mecánica. Cinemática y ensores. Pablo Hervás Burgos, Marcelo Rodríguez Danta, José Martínez García. Universidad de Sevilla Curso de MECÁNCA RACNAL. Dinámica. Manuel Prieto Alberca. Editorial A.D.. Mecánica del sólido rígido, Carlos F. González Fernández. Ariel Ciencia MecFunNet, Departamento de Física Aplicada, ES, UPM Pag. 7/7