UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES

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1 C u r s o : Matemática Material N UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8 DEFINICIÓN Sean A B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento del conjunto A uno sólo un elemento del conjunto B. Se epresa como: 5 4 f: A B f() = Se dice que es la imagen de mediante f, que es pre-imagen de f() =. Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función se denota Dom f. Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (), se denota Rec f. Recorrido Dominio ,5 6,5 4 5 EJEMPLOS. Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [0, ]? A) B) C) D) E). Cuál de los siguientes valores no pertenece al recorrido de f() =? A) B) 0,5 C) - D) -0,5 E) -

2 . Cuál(es) de los siguientes gráficos representa una función en el intervalo [a, b]? I) II) III) a b a b a b B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 4. Cuál es el dominio de la función f() =? A) lr {} B) ]-, [ C) lr {-, } D) [-, ] E) lr [-, ] 5. Sea f: lr lr, una función definida por f() = + 9. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dom f = lr II) La imagen de -5 es 4. III) La pre-imagen de es 0. B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I III E) I, II III 6. Sea f: lr lr, una función definida por f() = afirmaciones es falsa? 4. Cuál de las siguientes A) = 0 no tiene imagen. B) para todo > 4, f() es positivo. C) la pre-imagen de es 5. D) la imagen de 4 es 0. E) 0 no tiene pre-imagen.

3 EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Para encontrar los valores de las imágenes de una función definida, se reemplazará la variable independiente por el número o epresión que corresponda. Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminue. Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor. EJEMPLOS. Cuál de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, ] es creciente? I) II) III) B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I III E) I, II III. Si f() es la función señalada en el gráfico de la figura, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) f() < f(4) B) f() < f(4) C) f() < f() D) f(4) < f() E) f() < f() fig. 4. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, cuál de las siguientes alternativas es falsa? A) f()= f(4) B) f(0) > f() C) f()> f() D) f es decreciente en el intervalo [0, ] E) f es decreciente en el intervalo [, ] 4 fig. 4

4 4. Si f() = -5, entonces cuál es el valor de la epresión 5 + f(-5) f(0)? A) -0 B) 0 C) 5 D) 0 E) 0 5. A partir de los gráficos de la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? f() I) f() es creciente. II) g() es creciente. g() III) h() es decreciente. B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III fig. h() 6. A partir de los gráficos de la figura 4, cuál de los siguientes valores es equivalente al valor de (f() g()) f()? A) B) C) 0 D) - E) - f() g() fig Si f() =, entonces cuál es el valor de f(a b)? A) a + b B) a b C) (a +b) D) (a b) E) (ab) 4

5 TRASLACIÓN DE FUNCIONES Sea = f() una función. La función = f( h) es la función f() trasladada h unidades en el eje. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje, si h < 0 es en el sentido negativo (fig. ). La función = f() + k es la función f() desplazada k unidades en el eje. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje, si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (fig. 4). La función = f( h) + k es la función f() desplazada k unidades en el eje, h unidades en el eje. Si h k son positivos, entonces: = f( h) = f( + h) = f() + k = f() k fig. fig. fig. fig. 4 La función = -f() es la función f() reflejada respecto al eje O ( eje de las abscisas) = f() O = -f() EJEMPLOS. La gráfica de la función = g() es la que aparece en la figura. Cuál es la gráfica de = g( )? fig. - A) B) C) D) E)

6 . La gráfica de la función = está en la figura fig. Cuál es la gráfica de la función =? A) B) C) D) E). Si el gráfico de la función = se desplaza una unidad hacia la izquierda, cuál es la ecuación de la nueva función? A) = B) = + C) = D) = ( + ) E) = ( ) 4. La gráfica de la función = es la que aparece en la figura. Cuál es la gráfica de =+? fig. A) B) C) D) E) - 6

7 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real, denotado por, es siempre un número real no negativo. f() = = si 0, lr - si < 0 Representaciones gráficas f() = f() = EJEMPLOS. Cuál es la gráfica de la función =? A) B) C) D) E). Cuál es la función que está representada por el gráfico de la figura? A) f() = + + B) f() = + C) f() = + D) f() = E) f() = + fig. - 7

8 . Cuál es la función que está representada por el gráfico de la figura? A) = + + B) = + C) = + D) = E) = fig.. Si f() = +,5, cuál es el valor de f(-,5)? A) 4,5 B),5 C) 0 D) -,5 E) -4,5 4. Si f() =, entonces f( + ) + es A) B) 5 C) D) 5 E) 5. Si S()= +, Cuál es el valor de S(-7) S(7)? A) 4 B) C) 0 D) -8 E) -4 8

9 FUNCIÓN PARTE ENTERA f() = [ ] con lr Dado un número real, la función parte entera le asigna el maor entero que es menor o igual a. Dado que todo número real tiene una parte entera una parte decimal, por ejemplo el número 6,5, esta función persigue que al número real 6,5 se le asocie el número real 6. Su representación gráfica es f() = [ ] -,7 - -0, 0 0,5,6, f() OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama función escalonada. EJEMPLOS. Cuál es el valor de la epresión [ 0,] + [ + 0,]? A) B) C) D) 0 E) -. Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas(s)? I) [0,99] = II) [-0,99] = - III) [0,5] = B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 9

10 . Cuál es la función representada en el gráfico de la figura? A) [ + ] B) [ ] C) [] D) -[] E) [-] - - fig La función correspondiente al gráfico de la figura es A) [] B) [ ] C) [] D) + [] E) [ ] fig. -. Cierta pintura se vende en tarros de litro que alcanza para cubrir una superficie de 5 metros cuadrados. Cuál de las siguientes funciones representa el número de tarros (n) a comprar para cubrir una superficie de metros cuadrados? A) n B) n C) n m m m D) E) n n m m 0

11 APLICACIONES En el quehacer cotidiano ha muchos problemas que se tratan con funciones, por ende, es necesario saber epresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación. EJEMPLOS. Por cada 80 metros de altura la temperatura del aire disminue en º C. Si la temperatura en un lugar es de ºC, cuál es la fórmula que permite calcular la temperatura de un punto situado a metros sobre él? A) T() = + 80 B) T() = 80 C) T() = + 80 D) T() = 80 E) T() = 8. El plan telefónico contratado por Jimena le permite hablar hasta 6 horas por un costo de 8 mil pesos, pero por cada minuto etra se cancela $ 00. Cuál de los siguientes gráficos representa el costo en función de los minutos hablados? A) $ $ B) $ C) $ D) $ E) min min 60 min 60 min 60 min. Una prueba tiene un máimo de 6 puntos. Si se desea convertir el puntaje de la prueba a notas de a 7 aplicando una escala lineal Cuál es la fórmula a utilizar? A) N() = 6 + B) N() = C) N() = D) N() = E) N() = 6 + 6

12 4. El aceite se envasa en botellas de 750 cc, qué fórmula permite determinar el número B de botellas necesarias para envasar cc de aceite, si todas las botellas deben ir llenas? A) B() = 750 B) B() = C) B() = 750 D) B() = 750 E) B() = El tío Gabito transporta escolares en vehículos de capacidad de hasta 6 personas. Cuál de las siguientes fórmulas determina el número V de vehículos necesarios para transportar escolares? A) V() = 6 B) V() = 6 C) V() = 6 + D) V() = 6 + E) V() = 6 6. Jorge utiliza un modelo lineal para determinar el precio de sus panes de Pascua. El pan de medio kilo cuesta $.800 el de kilo $.400, cuál de las siguientes fórmulas es la utilizada? A) P() = B) P() = C) P() = D) P() = E) P() =

13 EJERCICIOS. Cuál de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [0,]? A) B) C) D) E) ο. La figura, muestra el gráfico de una función = f(), definida en los reales. Cuál es el valor de [f() f(-)] f()? A) 0 B) C) D) E) 6 - fig. -. Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo [-, ]? I) II) III) B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III

14 4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto a la función f() representada en la gráfica de la figura? I) dom f = [0, ] II) rec f = [0, ] III) f es creciente. fig. B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I II E) I, II III ο 5. De acuerdo al gráfico de la curva f() de la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La función es creciente en [-, ]. II) f(-0,5) = f(0,5) III) f(-,5) =f(,5) fig. B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III La gráfica de la figura 4, muestra la altitud alcanzada por un avión durante un vuelo de horas. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre la gráfica es (son) verdadera(s)? I) El avión voló durante 45 minutos sobre los 5000 metros. II) Su altitud máima no superó los 6000 metros. III) Su descenso fue más rápido que el ascenso. B) Sólo I II C) Sólo II III D) I, II III E) Ninguna de ellas metros fig min 4

15 7. De acuerdo al gráfico de la figura 5, que representa la cantidad de dinero en un cajero automático a partir de las 0 horas del lunes, cuál de las opciones siguientes es falsa? Cantidad $ fig horas lun mar miér jue A) Las reposiciones se hacen a mediodía B) Lunes jueves se agota el dinero C) El día lunes se retira menos dinero que el jueves. D) El día lunes se retira más dinero que el martes. E) El día lunes se detecta el mínimo de retiros. 8. Para calcular el puntaje de una prueba de 45 preguntas por cada 5 respuestas incorrectas se descuenta una correcta por cada respuesta correcta se asignan 0 puntos, más 00 puntos de base. Cuál es la función que representa el puntaje para quien responde toda la prueba teniendo respuestas correctas? A) p() = + 00 B) p() = 0 +0 C) p() = + 0 D) p() = E) p() = Si f()=, g() = h()=, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) g( ) = h( ) II) f() = h() III) h() < g() < f() para todo maor a. B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 0. El gráfico de la función f()= p + q está representado en la figura 6, cuál es el valor de p? A) - B) - C) 0 D) E) 6-0 fig. 6 5

16 . Margarita dispone de 45 días de vacaciones decide pasar días en la costa. Si un tercio del tiempo restante lo pasa en el campo lo que queda permanece en su casa, cuánto gastará en sus vacaciones si un día en la costa sale a $ un día en el campo a $ 8.000? A) (45 ) B) (45 ) C) (45 ) D) (45 ) E) (45 ). La función f() se define como la diferencia positiva entre la cuarta potencia de la unidad. Entonces, cuál es la epresión de f()? A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) 4. Una sala con capacidad para 00 espectadores presenta una obra infantil. Los niños pagan $.500 los adultos $.500. Si la sala está llena, cuál es el valor recaudado en entradas en función del número de niños asistentes? A) V = (00 ) B) V = (00 ) C) V = ( 00) D) V = ( 00) E) V = (00 + ) Se define la función M() = []. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones sobre la función es (son) verdadera(s)? I) M(,45) = 0,45 II) M() = 0 si es entero III) M() 0 B) Sólo I III C) Sólo II III D) I, II III E) Ninguna de ellas 5. Cuál es la función que se representa por el gráfico de la figura 7? A) f() = + B) f() = + C) f() = + D) f() = E) f() = fig. 7 6

17 6. Para todo número real se define f() como f()= - si < si si > 8 Entonces, cuál es el valor de f(-4) f() f(0)? A) 4 B) 46 C) 40 D) -0 E) La gráfica de la figura 8, corresponde a la función =. El área del triángulo achurado es cm A) 4 cm B) 8 cm C) cm D) 9 cm E) 6 cm fig. 8 cm 8. Un globo aerostático asciende verticalmente a velocidad constante. Si en el instante inicial se encontraba a una altura de 50 metros a los 0 minutos a había alcanzado 50 metros de altura, cuál es la función que representa la altura H en función del tiempo t, en minutos de ascensión? A) H(t) = t B) H(t) = t C) H(t) = t D) H(t) = t E) H(t) = 50 + t 9. El eceso de un número sobre el cuádruplo de otro número es igual a 5, entonces cuál es la epresión para en función de? A) = 4 5 B) = 5 4 C) = 5 4 D) = 4 5 E) =

18 0. Si A es el área de un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa c, entonces A en función de c se epresa como A) A(c) = c B) A(c) = c C) A(c) = D) A(c) = E) A(c) = c c 4 c 8. Si f() =, entonces f() es igual a A) 9 B) 7 C) 9 D) 7 E) ninguna de las epresiones anteriores.. El valor de la entrada a un evento depende de la edad, como se indica en el gráfico de la figura 9. De acuerdo a estas tarifas, cuánto cancela un grupo compuesto de 5 adultos de edades 66, 60, 45, 9 0 años dos niños de 0 años? A) B) C) D).500 E) valor fig edad. Si h() =, entonces h() h = A) 4 B) C) 0 D) 5 E) - 8

19 4. Juanito decide reducir su peso de manera gradual bajando una décima parte de su peso cada semana. Si su peso actual es 08 kg, cuál será su peso p en n semanas más? A) p = 08 (0,) n B) p = 08 (0,) n C) p = 08 0,9 n D) p = 08 (0,9) n E) p = 08 (0,) n 5. Se puede calcular el valor de [], si : () es entero. () es cero. A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola () ó () E) Se requiere información adicional 6. El gráfico de la función f() = + a + b se puede obtener si : () Se conoce el valor de a de b. () b = 0 A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola () ó () E) Se requiere información adicional 7. El peso de un niño en sus primeros días de vida se puede considerar como una función de su edad medida en días. Se puede calcular el peso del niño a los veinte días, si : () Se conoce el peso al nacer. () Se conoce el peso a la semana. A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola () ó () E) Se requiere información adicional 9

20 8. El gráfico de la figura 0, corresponde a la función f()= a + b si : () a > 0 () b > 0 A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola () ó () E) Se requiere información adicional fig Se definen f() = g() g( ). Se puede determinar el valor numérico de f() si : () g() = 4 g(0) = 0 () g() = A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola () ó () E) Se requiere información adicional 0. El gráfico de la figura, corresponde a una función lineal. Se puede determinar el área del trapecio OABC si : () Se conoce las coordenadas del punto B. () Se conoce las coordenadas del punto C. A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola () ó () E) Se requiere información adicional C O B A fig. DMDMA Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 0