TALLER 3 ESTADISTICA II: Pruebas de Hipótesis

Transcripción

1 TALLER 3 ESTADISTICA II: Pruebas de Hipótesis Profesor: Giovany Babativa 1. Un fabricante de detergente sostiene que los contenidos de las cajas que vende pesan en promedio 16 onzas como mínimo. Se sabe que la distribución del peso es normal y tiene una desviación estándar de 0.4 onzas. Para comprobar esto se tomó una muestra aleatoria y se encontró un peso promedio de onzas. Usando un nivel de significación del 5 % está Ud. de acuerdo con la afirmación del fabricante?. 2. Una muestra aleatoria de 1562 estudiantes de la universidad matriculados en un curso de ética empresarial deben responder en una escala de 1 a 10 donde 1 significa totalmente en desacuerdo y 10 totalmente de acuerdo, a la siguiente pregunta: Cree que a los altos ejecutivos de las Empresas les preocupa la justicia social?. Al realizar la encuesta se encontró un promedio de 4.27 con una desviación estándar de Usando un nivel de significación del 5 %, contraste la hipótesis nula de que la media poblacional es de 4 frente a la alternativa de que no lo es. Concluya. 3. En una muestra aleatoria de 361 propietarios de pequeñas empresas que se habían declarado en quiebra, 105 declararon que no habían hecho ningún estudio de mercado antes de abrir el negocio. Usando un nivel de significación del 5 % cree usted que a lo sumo el 25 % de todos los miembros de esta población no realizó estudios de mercado antes de abrir el negocio? 4. De un lote de 3500 pilas, del cual se espera una vida promedio de 4 horas, se probaron 98 al azar. La vida promedio en esa muestra resultó ser de 3,5 horas con una desviación estándar de 0,9 horas. Construya el sistema de hipótesis adecuado y júzguelo, use un nivel de significación α = 0, Se desea medir la diferencia en ventas entre dos tipos de empleados en la actividad de seguros, unos con titulo profesional y otros de personas con estudios medios. Se toma una muestra de 41 empleados entre los primeros y la media de las ventas resulta ser 32($ miles), en tanto que la media de una muestra de 30 empleados con sólo estudios medios es de 25. Se encontró también que la varianza en la primera muestra es de 48 y en la segunda de 56. Haga una prueba de hipótesis que permita concluir si existe diferencia en las ventas medias de los dos tipos de vendedores. Use α = 0,1. 6. Se ha preguntado a una muestra aleatoria de 202 profesores de la universidad, si debería exigirse que los estudiantes tomen un curso de lengua extranjera. en esta muestra, 140 profesores manifestaron que sí debe exigirse. Usando un nivel de significación del 5 %, usted cree que por lo menos el 80 % de todos los profesores de la universidad defienden la idea? 7. Una pequeña empresa compró un lote grande de piezas electrónicas a una firma. En una muestra aleatoria de 50 piezas se comprobó que 5 eran defectuosas. Haga una prueba de hipótesis que permita concluir si la proporción de piezas defectuosas de todo el lote es menor al 7 %, use un error de tipo I del 5 %. 8. Los directivos Universidad de la Salle creen que más del 50 % de los estudiantes están de acuerdo con cambiar el pensum de las carreras, para probar esto se tomó una m.a. de 100 estudiantes 1

2 2 dentro de la población de estudiantes, indicando que el 55 % de ellos no está de acuerdo con el estatuto estudiantil. A partir de la información contenida en la muestra, Está Ud. de acuerdo con los directivos?. Use α = 0, Dos universidades financiadas por el gobierno tienen métodos distintos para inscribir a sus alumnos a principios de cada semestre. Las dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trámite de inscripción. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripción para 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias y las desviaciones estándares muestrales son las siguientes: X 1 = 50,2 X 2 = 52,9 S 1 = 4,8 S 2 = 5,4 Determine si la diferencia entre las medidas del tiempo de inscripción para las dos universidades es cero. Si es posible, contraste un sistema de hipótesis que permita concluir cual es mejor. Use α = 0,1 y α = 0, En base al ejercicio 9, es razonable la suposición de que las varianzas son iguales?. Use α = 0, La magnitud del voltaje en el contador de energía de una trilladora es una variable aleatoria X. Se implementa un sistema de corrección con el que se espera que la magnitud del voltaje cambie. La magnitud del voltaje cuando se implementa el sistema de corrección es una variable aleatoria Y. Se supone que X N(µ X, σ 2 ) y Y N(µ Y, 2σ 2 ). Si se toman dos muestras independientes entre si, una muestra de X de tamaño 9 donde se obtiene una magnitud de voltaje promedio de 119 voltios y varianza muestral de 25 voltios 2, y otra muestra de Y de tamaño 8 donde se obtiene una magnitud de voltaje promedio de 123 voltios y varianza de 47 voltios 2, y asumiendo que las poblaciones X y Y son independientes: a. Existe suficiente evidencia estadística para afirmar que la varianza de la población Y es el doble de la de la población X?. b. Existe suficiente evidencia estadística para afirmar que hay diferencia entre las magnitudes de los voltajes medios antes y después de la conexión del sistema de corrección?. (Utilice un nivel de significancia del 0.05 % ) 12. Considere el siguiente sistema de hipótesis: H 0 : µ = 5 vs H 1 : µ > 5 y la regla de decisión: Rechazar H 0 si X 5 0,1/ 16 > 1,645 Calcule la probabilidad de cometer el error de tipo II y la potencia si la verdaderas medias son: a. µ = 5,10 b. µ = 5,03 c. µ = 5,15 d. µ = 5, Una Empresa recibe un envío de pilas, que sabe por experiencia que tienen una desviación estándar de 3 horas. Antes de aceptar el envío quiere corroborar si la duración media es de por lo menos 50 horas para ello selecciona una muestra aleatoria de 9 pilas que tuvieron una duración media de 51 horas.

3 3 a. Use un nivel de significancia del 10 % para determinar si la Empresa debería recibir el envío. b. Usando el nivel de significancia del 10 %, determine la potencia de la prueba cuando la verdadera media es de 49 horas. 14. Una compañía de seguros tiene agentes a comisión. Sostiene que el primer año de trabajo los agentes perciben una comisión promedio de pesos como mínimo con una desviación estándar que no supera los 6000 pesos. considerando la comisión percibida durante el primer año, se observó una muestra aleatoria de nueve agentes y se encontraron los siguientes resultados: 9 x i = 333 i=1 y 9 (x i x) 2 = 312 i=1 donde x i se expresa en miles de pesos y puede suponerse que proviene de una distribución normal. Usando un nivel de significancia del 5 % cree usted que la media poblacional es de pesos como mínimo? 15. Una empresa ha estado experimentando con dos disposiciones físicas distintas de su línea de ensamble. Se ha determinado que ambas disposiciones producen aproximadamente el mismo número de unidades terminadas al día. A fin de obtener una disposición que permita un mayor control del proceso, se sugiere que se adopte de manera permanente la disposición que exhiba la varianza más pequeña en el número de unidades terminadas. Dos muestras aleatorias independientes producen los resultados presentados en la tabla 1: Linea de ensamble 1 Linea de ensamble 2 n 1 = 21 dias n 2 = 25 dias s 2 1 = 1,432 s 2 2 = 3,761 Tabla 1: Datos del ejercicio 15 Existe suficiente evidencia para pensar que la razón de las varianzas del número de unidades terminadas para las dos disposiciones de línea de ensamble es igual a 1. Con base en el resultado anterior, cual de las dos disposiciones recomendaría usted?. Use α = 0, Se recibe un lote muy grande de artículos proveniente de un fabricante que asegura que el porcentaje de artículos defectuosos en la producción es del 1 %. Al seleccionar una muestra aleatoria de 200 artículos y después de inspeccionarlos, se descubren 8 defectuosos. Qué se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante?. Use α = 0, El número de accidentes del tránsito mortales en una ciudad es, en promedio, de 12 mensuales. Tras una campaña de señalización y educación se contabilizaron en 6 meses sucesivos: 8; 11; 9; 7; 10; 9 accidentes mortales. Se puede decir a un nivel de significación del 5 % que fue efectiva la campaña? 18. Se sabe que el peso promedio de mujeres entre 30 y 40 años en cierta región, ha sido históricamente de 53 kilos, con una desviación estándar de 5. En un estudio realizado en 16 mujeres de tales edades en esa región y que entregó una media de 50 kilos con una desviación estándar de 4,9 kilos. a. Qué conclusión se puede sacar al nivel de significación del 5 %, respecto del peso promedio? b. Qué conclusión se puede sacar al nivel de significación del 1 % respecto del peso promedio?

4 4 19. Shell de Colombia S.A. produce aceite y lo vende en presentaciones de balde. De acuerdo con la legislación colombiana el contenido neto del aceite en cada balde no puede ser menor de 5 galones o su equivalente en gramos, es decir 15 kilogramos. La superintendencia de industria y comercio con el propósito de verificar el cumplimiento de este requisito visitó la fábrica y midió el peso de una muestra de 15 baldes con aceite (producto empacado) y el peso de 17 baldes vacíos, y obtuvo los siguientes resultados: Asumiendo que: Promedio desviación estándar Baldes Vacíos Kg Kg Empacado Kg Kg El peso de los baldes vacío y el producto empacado se distribuye normal. La varianza del peso del producto empacado es tres veces la varianza del peso de los baldes vacíos. Existe evidencia estadística para afirmar que el contenido neto que entrega Shell en sus productos no cumple con las especificaciones dadas por la legislación colombiana? Utilice una nivel de significancia del 5 %. 20. En un programa de control de enfermedades crónicas, la hipertensión está incluida como la primera patología a controlar. 15 pacientes hipertensos son sometidos al programa y controlados en su presión antes y después de 6 meses de tratamiento. Los datos son los siguientes: Inicio Fin Se puede decir a un nivel de significación del 5 % que el tratamiento es efectivo? 21. El fabricante de cierta marca de cigarrillos sostiene que sus cigarrillos contienen en promedio 18 miligramos de nicotina por cigarrillo. Un organismo de control examina una muestra de 100 cigarrillos encontrando un contenido medio de 19,2 miligramos por cigarrillo, con una desviación estándar de 2 miligramos. Puede el organismo concluir a un nivel del 5 % de significación que el fabricante subestima el contenido medio de nicotina de sus cigarrillos? 22. El gerente de un reconocido restaurante de los alrededores de esta prestigiosa universidad realizó un estudio para conocer el comportamiento de sus ventas diarias (de lunes a viernes) durante el semestre académico. El resultado del estudio es que las ventas se distribuyen normal con promedio µ = $ y σ = $ El gerente del restaurante, buscando una estrategia más agresiva de ventas, contrata dos espectaculares meseras para atender óptimamente al cliente. Después de dos meses, se toma una muestra de las ventas diarias durante cada uno de 25 días. Se obtiene un X = $ y S = $ El dueño quiere saber si existe suficiente evidencia para afirmar que sus ventas diarias se incrementaron, para lo cual contrata un estudiante destacado del curso de Estadística II. Este le explica al gerente toda la teoría de pruebas de hipótesis que aprendió en las clase y le propone 3 regiones de rechazo: Región de Rechazo 1: {X : X $385000} Región de Rechazo 2: {X : X $375000} Región de Rechazo 3: {X : X $ y X $310000}

5 5 a. Plantee las hipótesis nula y alterna adecuadas para esta situación. b. Existe suficiente evidencia estadística para afirmar que luego de la contratación de las meseras hubo cambio en la varianza de las ventas. Utilice un nivel de significancia de c. Si el α máximo tolerable por el gerente del restaurante es 0.05, Qué región de rechazo escogería y por qué?. Concluya. d. Si el verdadero valor de µ es $ , Cuál es la potencia de la prueba que usted escogió en b? Cuál es la probabilidad de cometer error tipo II? 23. Una prestigiosa empresa diseñadora de automóviles sabe que el consumo promedio de combustible de su mejor vehículo es de 300 km/gal y su desviación estándar es de 10 km/gal. El director ha decidido explorar si un nuevo sistema de inyección electrónica inducida por pulsos electromagnéticos puede reducir el consumo de combustible. Luego de la implementación del sistema a 30 automóviles el consumo promedio fue de 282 km/gal. Use α = 0,05. a. Se puede afirmar que el nuevo sistema reduce el consumo de combustible? b. Cual debe ser el mínimo consumo promedio muestral para que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que es cierta sea de 0.025? c. Si el consumo promedio real es de 298 km/gal, cuál es la potencia de la prueba? a. Se puede afirmar que el nuevo sistema reduce el consumo de combustible? b. Cual debe ser el mínimo consumo promedio muestral para que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que es cierta sea de 0.025? c. Si el consumo promedio real es de 298 km/gal, cuál es la potencia de la prueba? 24. Ante la insistencia de un inspector de trabajo, se instala un nuevo mecanismo de seguridad en una cadena de montaje. Tras la instalación, se toma una muestra aleatoria de la producción de 8 días y se obtienen los siguientes resultados: 618, 660, 638, 625, 571, 598, 639, 582 A la dirección le preocupa la variabilidad de la producción diaria y considera preocupante cualquier varianza superior a 500. Usando un nivel de significancia del 10 % cree que la dirección de la empresa debe preocuparse? 25. En una muestra aleatoria de 998 adultos, el 17.3 % no estaba de acuerdo con la siguiente afirmación La reelección es un sistema que va en contra de la democracia a. Usando un nivel de significancia de 0.05 cree que al menos el 25 % de todos los adultos no están de acuerdo con la afirmación? b. Halle la probabilidad de cometer el error de tipo II y la potencia de la prueba si el 30 % de todos los adultos no están de acuerdo con la afirmación. 26. Un profesor de ciencias políticas tiene interés en comparar las características de los estudiantes que votan en la elecciones nacionales y los que no votan. En una muestra aleatoria de 41 estudiantes que afirman que han votado en la últimas elecciones presidenciales, se observa que el promedio de calificaciones es de 2.71 con una desviación estándar de En una muestra aleatoria independiente de 21 estudiantes que no han votado el promedio de calificaciones es de 2.79 con una desviación estándar de Usando un nivel de significancia del 2 cree que el promedio de las calificaciones de todos los votantes y no votantes es la misma?