Tema 10. Vectores en el Espacio. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 10
|
|
- Aarón Cano Maldonado
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 0 Vectores en el Espacio 0.- Introducción..- Vectores en el espacio..- Vectores Fijos..- Vectores Fijos.- Operaciones con ectores...- Suma de ectores...- Producto por escalar..- Base de un Espacio Vectorial. 4.- Producto escalar Aplicaciones del producto escalar.- Bases ortogonales y ortonormales...- Base canónica 6.- Producto Vectorial Aplicaciones al cálculo de áreas. 7.- Producto Mixto. 8.- Ejercicios Resueltos. Raúl González Medina I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 0
2 Matemáticas º Bachillerato CCNN Introducción El concepto de ector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la fuerza y la elocidad. A finales del siglo XVIII, Joseph Louis Lagrange introdujo las coordenadas, con lo que aritmétizo las magnitudes ectoriales. Gauss utilizó los ectores para representar los números complejos. Möbius (en 87) se alió de los ectores para resoler problemas geométricos, dando también sentido a las coordenadas. Entre 8 y 87, Bellaitis desarrolló un álgebra de ectores, equialente al actual cálculo ectorial. Hamilton, (80-86) utiliza por primera ez el nombre del ector. Finalmente, Grassmann, entre 844 y 878, amplió la teoría de ectores, generalizándola a espacios n-dimensionales y definiendo los productos interno y externo de ectores. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró segundos, saltó durante minuto, olerá el próximo año, etc.). Existen muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares. Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el olumen, la temperatura y otras muchas más. También existen magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud ( camine metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, camine metros por Alameda hacia el Este! producirá exactamente el efecto requerido). Estas magnitudes se denominan ectoriales, y operan según el Álgebra Vectorial que eremos a continuación Vectores en el espacio Existen magnitudes, como la temperatura, que quedan perfectamente determinadas completamente dando un alor, o un escalar. Decimos que son magnitudes escalares. Sin embargo, existen otras muchas magnitudes físicas, como la fuerza, que para determinarlas completamente ha de indicarse su módulo, su sentido y su dirección. Estas magnitudes se llaman magnitudes ectoriales. Las magnitudes ectoriales se representan mediante ectores: F, V, a Vectores fijos. Dados dos puntos A y B del espacio ectorial ordenado (A,B). Se le representa por AB. R, se denomina ector fijo de origen A y extremo B al par Así pues, todo ector fijo iene caracterizado por una longitud (módulo), una dirección y un sentido. Módulo: Es la distancia entre los puntos A y B, lo representaremos por AB A B Dirección: Es la dirección de la recta que pasa por A y B y la de todas las rectas paralelas a ella. Sentido: Es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos de A a B. (Vemos que en cada recta hay dos sentidos, el que a de A a B y el que a de B a A.) Decimos que dos ectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Se dice entonces que AB es equipolente con CD y se representa por AB CD Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
3 Matemáticas º Bachillerato CCNN Vectores libres. Llamamos ector libre, al conjunto de todos los ectores equipolentes entre sí. Cada ector fijo es un representante del ector libre. Se denomina dirección, módulo y sentido de un ector libre, a la dirección, el modulo y el sentido de uno cualquiera de sus representantes. Si AB es un ector libre del espacio y O un punto cualquiera del espacio, existe un único representante de ese ector que tienen origen en el punto O Operaciones con Vectores libres. En el conjunto de ectores libres del plano, que designaremos con siguientes: R se definen las dos operaciones Suma de Vectores: Llamamos suma de los ectores libres u y, y la representaremos por u, al ector libre que se obtiene de dos formas: a) Regla del Triángulo: Tomamos representantes de u y, de forma que el origen del representante de, coincida con el extremo del representante de u, de forma que el ector suma es aquel cuyo origen es el de y cuyo extremo es el de u. b) Regla del Paralelogramo: Si tomamos representantes de forma que y u tengan origen común, trazando líneas paralelas a ambos ectores desde sus extremos, la diagonal del paralelogramo será el ector suma. Propiedades de la suma de ectores: Asociatia: u w u w Elemento neutro: es el ector nulo, que representaremos por 0 u 0 0 u u Elemento Opuesto: u u u u 0 Conmutatia: u u La existencia de un elemento opuesto para la suma de ectores, permite restar ectores. Así, dados los ectores u y, para obtener u basta con sustituir el ector, por el ector y sumárselo al u tal y como se indica en la figura de la derecha. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
4 Matemáticas º Bachillerato CCNN Sean u( x, y, z) y ( x ', y', z ') dos ectores, la suma matemática de ambos da como resultado otro ector u de componentes: u ( x x ', y y', z z ') Ejemplo: (,,-)+(,-6,)=(,-,-) Producto por un escalar: El producto de un escalar K, distinto de cero, por un ector libre u ( x, y, z) es otro ector libre ku con: k u ( kx, ky, kz) y que erifica: Dirección: La misma que u Sentido: el mismo que u o su opuesto dependiendo del signo de k. Módulo: Proporcional al de u. k u k u Propiedades del producto de un ector por un escalar: Ejemplo: (,-,)=(6,-,) k u k u k k k u k u k u k k u k k u u u 9..- Base de un espacio Vectorial El conjunto de los ectores libres del espacio V con las operaciones de ectores y el producto de un ector por un escalar, por cumplir las propiedades enunciadas respecto de estas operaciones tiene estructura de espacio ectorial Combinación lineal de Vectores libres. Dada una familia de ectores,,..., se dice que un ector cualquiera, u es combinación lineal de los ectores de la familia,,... números reales,,... tales que:, u,..., si existen los Ejemplo: Expresar el ector (6,-,) como combinación lineal de los ectores (,,), (,-,0) y (-,,-7) Para ello debemos encontrar los números reales,, Se dice que el conjunto de ectores, que erifiquen: 6,, (,,),,0,, 7 Escribimos el sistema correspondiente, y lo resolemos: Y echo esto al final tenemos: ( ,,,,),,0,, 7,,..., Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X- de un espacio ectorial V, es sistema de generadores de V, si cualquier ector u de V se puede escribir como combinación lineal de los ectores.
5 Matemáticas º Bachillerato CCNN Ejemplo: A) Comprobar si los ectores (,) y (-,-) forman un sistema de generadores de R Para que seas Sistema de Generadores tienen que existir, que erifiquen: ( x, y) (,) (,) x Resolemos el sistema: y M y M* Rang(M)=Rang(M*)= S.C.D. Por tanto (,);(, ) es sistema de generadores de R B) Comprobar si (,);(, ) es sistema de generadores de R Para que sea Sistema de Generadores tienen que existir, que erifiquen: ( x, y ) (,) (, ) x y x Resolemos el sistema: y A y B x y Rang(A)=, Rang(B)= S.I. Por tanto (,);(, ) NO es Sistema de generadores de R...- Bases de un espacio ectorial En general, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio ectorial V si se cumplen las siguientes condiciones: Todos los elementos de B pertenecen al espacio ectorial V. Los elementos de B son linealmente independientes. Todo elemento de X se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V)...- Dependencia e independencia lineal de ectores. Un conjunto de ectores,,,..., n se dice que son linealmente independientes (l.i.) (o que el sistema es libre), si dada la siguiente expresión: Se erifica que:... 0 Un conjunto de ectores,,...,... n 0 R, n se dice que son linealmente dependientes (l.d.) (o que el sistema es ligado), si dada la siguiente expresión:... 0 existe algún escalar no nulo. ( R / 0 )...- Base. Un conjunto de ectores B i i,,,..., n se dice que es una base de un espacio ectorial, si es Sistema de generadores de dicho espacio ectorial y además los ectores son linealmente independientes. Hemos isto que, dados tres ectores no nulos x, y y z de diferente dirección y cualquier otro ector,, podemos encontrar siempre tres números reales k, k y k, de manera que: Diremos que el conjunto B u,, w k x k y k z constituye una base de V. n n n n Los ectores u,, y w forman una base de R si y solo sí: det u,, w 0 Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-4
6 Matemáticas º Bachillerato CCNN Ejemplo: Forman los ectores (,,),(,,-) y (,0,) una base de R? Para que ectores de R formen una base, tiene que ocurrir que sean l.i. Para comprobarlo, calculamos su determinante. (no es necesario que sean S.G.) 7 0 Los ectores son l.i. y forman una base de R Producto escalar Se denomina producto escalar de dos ectores A y B al número que resulta de multiplicar el módulo de A por el módulo de B y por el coseno de ángulo que forman sus líneas de acción. Matemáticamente: A B A B Cos( AB) Propiedades: u u u 0 u ( u ) u,, w V y R u u u( w) u u w u 0 u y son perpendiculares (u ortogonales) o alguno de ellos es nulo Aplicaciones del producto escalar: Calculo del ángulo entre dos ectores: u Cos u arccos u u Comprobar si dos ectores, no nulos, son ortogonales. u u 0 Calculo del módulo de la proyección de un ector sobre otro: proy u u Bases ortogonales y ortonormales. Base Canónica Base Ortogonal: Un conjunto de ectores forman una base ortogonal, cuando dichos ectores forman una base y además son ortogonales dos a dos. x y x z y z 0 det u,, w 0 Bortogonal Base Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
7 Matemáticas º Bachillerato CCNN Base Ortonormal: Un ector u se dice normado o unitario si u Dado un ector cualquiera no nulo, podemos obtener un ector unitario con la misma dirección y sentido que éste, simplemente diidiéndolo por su módulo: ˆ Un conjunto de ectores forman una base ortonormal, cuando dichos ectores forman una base, son ortogonales dos a dos y además son unitarios. e e e e e e 0 det e, e, e 0 e e e B Base Unitarios ortonormal Base Canónica de R La base ortonormal canónica de R es la formada por los ectores: B C,0,0, 0,,0, 0,0, B ˆ, ˆ, ˆ c i j k Por tanto, cualquier ector a ax, ay, az de R se puede escribir como combinación lineal de los ersores ˆ i, ˆ j, k ˆ de la base canónica: a a,0,0 a (0,,0) a (0,0,) a i a j a k ˆ ˆ ˆ x y z x y z 9..- Módulo de un ector De la definición de producto escalar se deducía que u u u, por tanto: El módulo de un ector es la raíz cuadrada positia del producto escalar del ector por sí mismo: u u u Sea B ˆ i, ˆ j, k ˆ, una base ortonormal de V, y u un ector cualquiera de V. Podemos expresar dicho ector de la forma: u xi ˆ yj ˆ zkˆ Así resulta: u u x x y y z z x y z Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-6
8 Matemáticas º Bachillerato CCNN Y de aquí la expresión del módulo del ector u en función de sus componentes cartesianas: u x y z Producto Vectorial El producto ectorial de los ectores u y, es otro ector que lo representaremos por u caracterizado por: y que está a) Su módulo es el producto de los módulos de u y multiplicado por el seno del ángulo que forman sus líneas de acción: u u sen y es igual al área del paralelogramo formado por ambos ectores. b) Su dirección es perpendicular al plano formado por los ectores u y. c) Su sentido iene dado por la regla de Maxwell en el supuesto de que el primer ector aya hacia el segundo por el camino más corto. Si los ectores u ( x, y, z) ortonormal B, el ector u ( x, y, z ) están referidos a una base y iene dado por la expresión: ˆi ˆj kˆ u x y z x y z Propiedades: u u No cumple en general la propiedad asociatia. u ( w) u u w u u u con R Producto ectorial de ectores unitarios ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i j j k k i ˆj kˆ ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ ˆi kˆ ˆj ˆi kˆ ˆi ˆj ˆi kˆ ˆj Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-7
9 Matemáticas º Bachillerato CCNN Aplicaciones del Producto ectorial: Cálculo del área de un triángulo de értices A, B, C. Obtención de un ector perpendicular a otros dos Producto Mixto los ectores u AT u y u u son perpendiculares a u y simultáneamente Se llama producto mixto de ectores u, y w y se designa por u,, w operarlos de la siguiente forma: u,, w det u,, w u w al escalar que se obtiene al El alor absoluto del producto mixto de tres ectores u, y w es igual al olumen del paralelepípedo que tiene por aristas a los ectores u, y w. El Volumen del tetraedro ABCD es igual a: V AB, AC, AD 6 Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-8
10 Matemáticas º Bachillerato CCNN Como consecuencia, los puntos OABC son coplanarios, si y solo si, el olumen del paralelepípedo es nulo, es decir, el producto mixto de los ectores u, y w es cero. u,, w Ejercicios Resueltos.- Para qué alores de son linealmente independientes los ectores (,-,);(-4,6,-) y (,,)?. tanto: Vectores son linealmente independientes (l.i.) cuando su determinante es distinto de cero. Por (6 4 4) Por tanto, como el determinante es 0, son linealmente dependientes. Por lo que no existe ningún alor de para que sean linealmente independientes. Si obseramos el ector (,-,) y el (-4,6,-) emos que ambos son proporcionales, y por tanto linealmente dependientes. Así que estos ectores no serán nunca l.i..- Considera estos ectores u(,,); (,,a) y w(,0,0). a) Halla los alores de a para los que los ectores anteriores son linealmente independientes. Igual que en el ejercicio anterior, para que sean l.i. su determinante ha de ser distinto de cero. 0 a a 4 0; a a 0 Por tanto si a entonces los ectores son l.i. Y Si a=, los ectores u y son proporcionales, y por tanto linealmente dependientes (l.d.). b) Determina los alores de a para que los ectores u+ y u-w sean ortogonales. Dos ectores son ortogonales cuando su producto escalar es igual a cero. Por tanto: u u w a a de donde a=- 0 Por lo que si a= -, entonces (u+) y (u-w) son ortogonales. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-9
11 Matemáticas º Bachillerato CCNN.- Determina los alores de a y b, con a>0, para que los ectores (a,b,b); (b,a,b) y (b,b,a) sean unitarios y ortogonales dos a dos. Para que un ector sea unitario, tiene que ocurrir que su módulo sea la unidad, o sea, que su módulo sea igual a. Haciendo que los ectores sean unitarios, obtenemos la misma ecuación: a b Y para que sean ortogonales dos a dos, los productos escalares =0, =0 y =0. De donde obtenemos la misma ecuación: ab b 0 a b Si resolemos el sistema formado por ambas ecuaciones: obtenemos: (b=0, a=±, pero como ab b 0 a>0, entonces a=) y (b=/ y a=/) 4.- Encuentra el alor del parámetro a para que los ectores (,a,), (,a,) y (,,) formen una base. Para que un conjunto de ectores formara una base, tenia que ocurrir que los ectores fueran linealmente independientes (l.i.) y además sistema de generadores (S.G.). Como en este caso nos dan ectores y estamos en el espacio ectorial R, es suficiente con que estos ectores sean l.i., y para ello su determinante ha de ser distinto de cero. a a ( a 4 a ) (a a a ) a 4 4a a Si igualamos a cero obtenemos Por tanto si a, entonces los ectores son l.i. y forman una base. a, Si a=, escriba el ector w(6,0,) como combinación lineal de los ectores anteriores. Si a= w ( 6,0,) (,,) (,,) (,, ), de donde: Resoliendo el sistema obtenemos:, 6, Por tanto: w Dado el ector u(-,,-4), hallar las coordenadas de los siguientes ectores: a) Unitarios y de la misma dirección que u. Un ector es unitario si su módulo es igual a uno, por tanto para calcular un ector unitario con la misma dirección de otro, lo único que tenemos que hacer es diidir el ector por su módulo: (,, 4) (,, 4) ˆ u u,, u b) Paralelos a u y de módulo 6 Para que sean paralelos y de módulo 6, lo que tenemos que hacer es multiplicar el ector unitario por 6, y tenemos un ector paralelo (con la misma dirección) y de módulo 6 =6. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-0
12 Matemáticas º Bachillerato CCNN 6 w 6uˆ, 6 6, Dados los ectores u (,0,0); u (0,,-) y u =a u +b u, Qué relación deben satisfacer a y b para que el módulo de u alga la unidad?. Para que el módulo de u sea la unidad: x a u ( x, y, z ) a(,0,0) b(0,, ) de donde: y b, el módulo tiene que se : z b x y z 4a b 9b 4a 0b y esta es la relación entre a y b. 7.- Determina un ector de R, sabiendo que: La suma de sus coordenadas es. V es combinación lineal de los ectores (,,) y (-,,0) Los ectores (,0,);(0,,0) y son linealmente independientes. Si la suma de sus coordenadas es tres, tenemos : x y z Si es combinación lineal: ( x, y, z ) (,,) (,,0 ) Y si son linealmente dependientes, entonces: de donde z x 0 y de donde Z=X. x 0 y z Si metemos esto en la primera ecuación y despejamos y obtenemos y x Y sustituyendo en la combinación lineal, obtenemos: ( x, x, x ) (,,) (,,0), sistema que resoliendo nos da como solución: (,, 0) z, por tanto el ector pedido es: V,, 8.- Hallar los alores de x que hacen que los siguientes ectores constituyan una base del espacio ectorial R : u(x,0,); (,x,) y w(x,,). Expresar el ector t = (-,0,) como combinación lineal de u,, w para x=0. Para que ectores de R formen una base, lo único que tengo que hacer comprobar que son l.i., y si lo son pues safi, es suficiente. x x 0 x x ( x x ) x 0 x Así que para que estos ectores formen una base ha de ocurrir que x sea distinto de ½: x. Si x=0, entonces,0, (0,0,) (,0,) (0,, ), de donde: 0 y resoliendo obtenemos: Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
13 Matemáticas º Bachillerato CCNN Así que:,0, 9.- Hallar el área del triángulo de értices A(,,), B(0,,) y C(4,0,) Para hallar el área de un triángulo lo hacemos con: S T AB AC. Lo primero es calcular los i j k ectores AB (,,4 ) y AC (,, ) AB AC 4 ˆ i ˆ j ˆ k y de aquí calculamos la superficie: S T AB AC Hallar un ector que sea perpendicular, a la ez, a los ectores u (,0, ) y (,, ) 98 Para hallar un ector perpendicular a ambos, hemos de hacer el producto ectorial. i j k u 0 ˆ i ˆ j ˆ k (,,).- Dada la base B,0,, 0,,,,, 0 comprobar si es normada, ortogonal u ortonormal. Para que sea ortogonal, tiene que ocurrir que sus ectores sean perpendiculares, y para ello el producto escalar de todos los ectores ha de ser nulo. b,0, 0,, b Por tanto, como este producto no es nulo, los ectores no son perpendiculares y por tanto no son ortogonales. Si no son ortogonales, tampoco son ortonormales. Vamos a er si la base es normada, para que sea normada, sus ectores han de ser unitarios, o sea, tiene que tener todos módulo uno. b b b por tanto la base B es normada..- Hallar un ector perpendicular a (,,4) y w (,, ) y que sea unitario. Para encontrar un ector que sea perpendicular a otros dos, lo que hacemos es calcular su producto ectorial. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
14 Matemáticas º Bachillerato CCNN u w ˆ i ˆ j ˆ k 4 ˆ( i ) ˆ( j 0 4) ˆ(6 k ) 7 ˆ i 6 ˆ j 9 ˆ k Como lo que nos piden es un ector unitario perpendicular a ambos, lo que amos a hacer es normalizar este ector. u 7 ˆ i 6 ˆ j 9 ˆ k ˆ u u ˆ i 6 ˆ j 9 ˆ k 9ˆ i ˆ j ˆ k 9 94 ˆ i ˆ j ˆ k.- Sean los ectores (0,,0 ); (,, ) y (,, ) : a) Son los ectores linealmente independientes? Para que tres ectores sean linealmente dependientes, su determinante tiene que ser igual a cero Por tanto son linealmente dependientes. a) Para qué alores de a el ector (4,a+,-) puede expresarse como combinación lineal de los ectores,,?. ( 4, a, ) (0,,0) (,, ) (,, ) De donde: 4 a Este sistema es S.C.I. porque la primera y la tercera ecuación son proporcionales. a a Pero como, tienen infinitos alores, entonces a también. De donde a puede ser cualquier número real. Raúl González Medina 06 Vectores en el Espacio D X-
15 Tema 0 Anexo.- Coordenadas en una base..- Ejemplos de coordenadas..- Matriz del cambio de base. 4.- Propiedades de la matriz del cambio de base..- Ejemplos. Raúl González Medina I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 0
16 Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas Raúl González Medina Definición: Coordenadas. En un espacio ectorial V, fijada una base {,,... n }, todo ector u V puede ponerse de forma única como combinación lineal de dicha base: u = α + α +... α n n Los escalares α, α,..., α n se llaman coordenadas del ector u en la base {,,... n }. Ejemplos de coordenadas.. Coordenadas en distintas bases. EnR fijemos la base canónica, { (,0), (0,) }. Consideremos el ector =(,). Para hallar sus coordenadas en esta base, ponemos u como combinación lineal de la misma: (,)= (,0) + (0,) Por tanto, (,) son las coordenadas de en base canónica. Cuando se utiliza la base canónica, obtenemos el sentido usual de coordenadas. Pero cuando se utiliza otra base no es así. Por ejemplo, en R fijemos ahora la base B = { (,), (, ) } y consideremos el mismo ector =(,). Hallemos sus coordenadas en la base B. Para poner como combinación lineal de dicha base, planteamos el sistema (,)= α (,)+ β (, ) cuya solución es α = = (,) (, ), β =. Así pues, Por tanto,, son las coordenadas de en base B. No debe confundirse el ector con sus coordenadas; aquí el ector sigue siendo =(,), y las coordenadas, son un par de números que indican cómo expresar en combinación lineal de la base B.. Si u es el ector que tiene como coordenadas (, 6) en la base (,) (,4), cuál es el ector u? Según la definición de coordenadas, u = (,) + ( 6) (,4) = (, 4).. El ector cero tiene coordenadas (0,...,0) en cualquier base. Marzo de 06
17 Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas Raúl González Medina 4. Coordenadas en un subespacio. En R, sea el subespacio S generado por los ectores (,,0) y (0,0,). (Se trata del plano x=y enr ). Los dos ectores son independientes, por tanto forman base de S. Consideremos el ector = (,,) perteneciente a S. Hallemos las coordenadas de este ector respecto a la base (,,0), (0,0,) de S. Para ello expresamos como combinación lineal de dicha base: (,,)= (,,0) + (0,0,) Así pues, las coordenadas de en esta base de S son (,). No debe sorprendernos que tenga sólo coordenadas. El ector ciertamente tendría coordenadas como elemento de R, pero tiene coordenadas como elemento del plano S, que es un subespacio de dimensión. Definición: Matriz del cambio de base. En un espacio ectorial V, dadas dos bases B y B, se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los ectores de la base B expresados en función de la base B. Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un ector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho ector en base B. En efecto, sean (a, a,... a n ) las coordenadas de un ector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B. Entonces: a a P M a n b b = M b n o lo que es lo mismo, obteniéndose así (b, b,... b n ) las coordenadas del ector en base B. a a a n b = P - b b n Ejemplo. Consideremos en R las dos bases siguientes: la base del ejemplo () anterior, B ={ (,), (, ) } la base canónica B ={ (,0), (0,) } Vamos a construir la matriz de cambio de base de B a B. Para ello debemos expresar los ectores de la base B en función de la base canónica B. (,) = (,0) + (0,) coordenadas (,) (,)= (,0) (0,) coordenadas (, ) Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B : P= Marzo de 06
18 Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas Raúl González Medina Del mismo modo podemos construir la matriz de cambio de base de B a B. Para ello expresamos los ectores de la base canónica B en función de la base B. Podemos hallarlo planteando dos sistemas de ecuaciones, de los cuales se obtendrá (,0) = (,) + (, ) coordenadas (, ) (0,)= (,) (, ) coordenadas (, ) Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B. Q= Vamos a aplicar estas matrices para hallar las coordenadas en base B del ector =(,). Tenemos sus coordenadas en la base canónica B que son (,). Utilizamos la matriz Q de cambio de base de B a B: = Así hemos obtenido,, las coordenadas de en base B. Comprobar que son las mismas que se obtuieron en el ejemplo () anterior. Podemos oler a las coordenadas en base B utilizando la matriz P de cambio de base de B a B': = Propiedades de las matrices de cambio de base.. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al que se refieren las bases.. Toda matriz de cambio de base es inersible (es decir, con determinante no nulo). Además, la matriz de cambio de B a B es inersa de la matriz de cambio de B a B. Comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inersas entre sí. Por tanto, después de hallar P, podríamos haber hallado Q como P.. La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad. Obserar en el ejemplo anterior que la matriz más fácil de obtener es la P, que pasa de una base B a la base canónica, pues basta escribir en las columnas la base B. P Base B Base canónica P= base B en columnas; Q=P - Q Marzo de 06
19 Coordenadas. Cambio de base Ampliación Álgebra º Bcto. Departamento de Matemáticas Raúl González Medina Ejemplo : En el R-espacio ectorial R se consideran las bases B = {(,,),(,, ),(,,)}, B = {(,,0),(,,0),(,,)} calcule la matriz de cambio de base de B a B. Para calcular la matriz asociada debemos calcular las coordenadas de los ectores de la base B respecto de los ectores de la base B, es decir, debemos calcular los a i j R tales que: (,,0) = a (,,)+a (,, )+a (,,) = (a + a + a,a a + a,a a + a ) (,,0) = a (,,)+a (,, )+a (,,) = (a + a + a,a a + a,a a + a ) (,,) = a (,,)+a (,, )+a (,,) = (a + a + a,a a + a,a a + a ) Esto se reduce a la resolución de tres sistemas de ecuaciones lineales: = a + a + a = a + a + a = a a + a ; = a a + a 0 = a a + a 0 = a a + a = a + a + a ; = a a + a = a a + a Los tres tienen en común la matriz de coeficientes, de forma que podemos resolerlos simultáneamente sin más que encontrar la matriz escalonada reducida de: 0 0 Las columnas 4, y 6 de la escalonada reducida será la matriz buscada. F F F 4F Hemos resuelto los tres sistemas simultáneamente, las soluciones serían: F F F F F F F +F F F a = a = 6 a = 7 a = 0 a = a = 6 a = a = 7 a = 4 por lo que la matriz de cambio de B a B es F +F F F P = Ejemplo : En el R espacio ectorial R, se consideran dos bases: B = { u = (,0,), u = (,,0), u = (0,0,)} B = {,, } Si la matriz de cambio de base, tomando como base nuea la base B y como base antigua B es P = Puedes calcular los ectores de la base B? Las columnas de la matriz P son las coordenadas en la base antigua de los ectores de la base nuea, es decir, = u + u u = (,0,)+(,,0) (0,0,)= (,,0) = u + u u = (,0,)+(,,0) (0,0,)= (,,0) = u + u + u = (,0,)+(,,0)+(0,0,)= (,,) Marzo de 06
Resuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo.
Resuelve Página Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Expresa la diagonal de un ortoedro en función de sus dimensiones, a, b y c. c b a c c b b a Diagonal = a + b + c. Calcula el volumen
Más detallesTEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO 1.- INTRODUCCIÓN Un vector fijo AB del espacio (también lo era en el plano) es un segmento orientado que tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B. Estos
Más detallesTEMA 11: VECTORES EN EL ESPACIO
Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica TEMA : VECTORES EN EL ESPACIO. VECTORES EN EL ESPACIO OPERACIONES CON VECTORES. BASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL ESPACIO. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
UNIDAD VECTORES EN EL ESPACIO Página 13 Problema 1 Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo α: cm Área = 8 sen α = 40 sen α cm α 8 cm Halla el área de este triángulo en función del ángulo
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado
Más detallesVectores. en el plano
7 Vectores 5 en el plano LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Los vectores nos dan información en situaciones como el sentido de avance de una barca o la dirección de un trayecto en bicicleta. INICIO
Más detallesTema 0. Introducción al Cálculo Vectorial. Temario de Física y Química 4 ESO Raúl González Medina Tema 0
Tema 0 Introducción al Cálculo Vectorial 1.- Magnitudes escalares y vectoriales 1.1.- M. Fundamentales. 1..- M. Derivadas. 1.3.- Múltiplos y submúltiplos..- Cálculo Vectorial..1.- Operaciones con Vectores.
Más detallesProblemas resueltos del libro de texto. Tema 8. Geometría Analítica.
Problemas resueltos del libro de texto Tema 8 Geometría Analítica Combinación lineal de vectores 9- Es evidente que sí es combinación lineal de estos dos vectores, ya que -4 y permiten escribir z como
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b b) a b
Más detallesTEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos Vectores Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Luisa Martín Horcajo U.P.M. Definición: Vector libre. Operaciones Un vector fijo es una segmento orientado, que queda caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa por
Más detallesTEMA 13 Vectores en el plano *
TEMA Vectores en el plano * Definiciones Hay magnitudes físicas como la temperatura, que se puede dar eclusiamente mediante un número, por ejemplo podemos decir que la temperatura es de º C, o la altura
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesUNIDAD. Vectores. l estudio de algunos elementos del
UNIDAD 4 Vectores l estudio de algunos elementos del E espacio, puntos, rectas y planos, y los problemas que se pueden establecer entre ellos, se facilita con la introducción de los ectores. En su origen,
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesUnidad 4: VECTORES EN EL ESPACIO
Unidad 4: VECTORES EN EL ESPACIO 4.1.- OPERACIONES CON VECTORES Las características de los vectores en el espacio, así como sus operaciones, son idénticas a las de los vectores del plano, que ya conoces
Más detallesEspacios vectoriales. Vectores del espacio.
Espacios vectoriales. Vectores del espacio. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla: a) el área de una de las bases; b) el volumen del
Más detallesTema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto)
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Vectores 75 Espacios vectoriales Tema 4 Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Definición de espacio vectorial Un
Más detallesGeometría Analítica Espacios Vectoriales VECTORES EN EL PLANO
VECTORES EN EL PLANO 1 ESPACIO VECTORIAL Un vector fijo es una pareja ordenada de puntos en el plano (origen y extremo) Si A y B son dichos puntos, representaremos el vector por AB Gráficamente, lo representamos
Más detallesEL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO
EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO PRODUCTO ESCALAR Sean dos vectores del espacio V 3. Llamamos producto escalar de dichos vectores, y se denota, al número real que se obtiene al multiplicar sus módulos por
Más detalles6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.
6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar
Más detallesVectores. 2)Coordenadas y base Combinación lineal Vectores linealmente dependiente Bases. Bases canónica
Vectores 1) Vectores en R 2 Vector fijo en el plano Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo) Vectores equipolentes Vector libres Propiedad fundamental de los vectores
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO DEF.- Se llama vector fijo de extremos A y B al segmento orientado AB, y se representa por Todo vector fijo queda caracterizado por { Dos vectores fijos se dice que son equivalentes,
Más detallesel blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. 1
el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. VECTORES.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN El eje horizontal se llama eje de abscisas y el eje vertical se llama eje de ordenadas. El punto de
Más detallesPrograma de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago
Guía de vectores. Vectores En matemática, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo
Más detallesMatrices. Operaciones con matrices.
Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =
Más detallesTEMA 7: VECTORES. También un vector queda determinado por su módulo, dirección y sentido. Dado el vector u. = AB, se define: Módulo del vector u
DPTO DE MATEMÁTICAS T5: VECTORES - 1 1.- VECTORES EN EL PLANO TEMA 7: VECTORES Hay magnitdes como ferza, desplazamiento, elocidad, qe no qedan completamente definidas por n número. Por ejemplo, no es sficiente
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesUNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES
UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES Introducción. Vectores. Adición de vectores. Propiedades. Multiplicación de un vector por un escalar. Propiedades. Módulo o norma de un vector. Vector unitario o versor.
Más detalles3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.
ANÁLISIS VECTORIAL Semana 01 1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detalles1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.
. Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión
Más detallesTema 2: Álgebra vectorial
Tema 2: Álgebra vectorial FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores
Más detallesAPUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL
Vectores y escalares. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que
Más detallesVectores. 1) Magnitudes físicas
Vectores 1) Magnitudes físicas Eisten magnitudes físicas que quedan perfectamente definidas mediante un número epresado en sus unidades correspondientes. Ejemplos de este tipo de magnitud son: la masa
Más detallesDado un vector fijo, existen infinitos vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido
1. VECTORES. DEFINICIONES. OPERACIONES Un vector fijo AB queda determinado por dos puntos, el origen A y el extremo B Se llama módulo del vector AB a la distancia que hay entre A y B. Se designa por AB
Más detallesUNIDAD 1: ELEMENTOS ALGEBRAICOS 1B : VECTORES
UNIDAD 1: ELEMENTOS ALGEBRAICOS 1B : VECTORES Conceptos A partir de la identificación de puntos de la recta con números reales, se puede avanzar relacionando puntos del plano y del espacio con pares o
Más detallesI.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número
Más detallesProblemas de vectores
Problemas de vectores 1.- Expresa el vector mm = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0, 1, 1). 2.- Siendo uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0,
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesVECTORES 1.2 CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES. En este capítulo estudiaremos los vectores y su álgebra.
CAPITULO I CALCULO II VECTORES 1.1 INTRODUCCIÓN Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se contemplan
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO Página 133 REFLEXIONA Y RESUELVE Relaciones trigonométricas en el triángulo Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a: cm a cm Área = sen a = 40 sen a cm Halla
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero
Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE
Más detallesTEMA 2: EL PLANO AFÍN
TEMA : EL PLANO AFÍN En la primera mitad del siglo XVIII nació una rama completamente nuea de la Matemática que surge por la necesidad de relacionar las curas del plano con las ecuaciones algebraicas de
Más detallesTEMA 5. VECTORES. Dados dos puntos del plano y.
TEMA 5. VECTORES. Dados dos puntos del plano y. Se define el vector de origen A y extremo B como el segmento orientado caracterizado por su módulo (su longitud), dirección (la de la recta que lo contiene)
Más detallesEn física en realidad existen muchas otras situaciones que no se pueden describir simplemente
VECTORES El concepto de vector fue formulado matemáticamente a fines del siglo XIX por los matemáticos Grasmann (1809-1877) y Hamilton (1805-1865). Esta noción se confirmó lentamente, cuando matemáticos
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detalles6.14 Descomposición ortogonal y proyección ortogonal
CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N 282.14 Descomposición ortogonal y proyección ortogonal El resultado W W = IR n, significa que cada y IR n se puede escribir de forma única como suma de un vector
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II LOGSE Antonio López García Juan Fernández Maese Angeles Juárez Martín GEOMETRÍA GEOMETRÍA Índice Temático.- VECTORES... 5..- VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES...
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesGEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.
GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de
Más detallesEn física en realidad existen muchas otras situaciones que no se pueden describir simplemente
VECTORES El concepto de vector fue formulado matemáticamente a fines del siglo XIX por los matemáticos Grasmann (1809-1877) y Hamilton (1805-1865). Esta noción se confirmó lentamente, cuando matemáticos
Más detallesGeometría analítica del plano
8 Geometría analítica del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer los elementos de un vector identificando cuando dos vectores son equipolentes. Hacer operaciones con vectores libres tanto
Más detallesCÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por:
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y, y escribimos A, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A yson (LI), entonces el vector A se caracteriza por:
Más detallesTEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 88 Ángulos entre rectas y planos TEMA 6 Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Dadas las rectas r y s
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesVectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
TEMA 9: GEOMETRIA ANALÍTICA VECTORES EN EL PLANO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B, (X, y), las
Más detallesProblemas métricos. Ángulo entre rectas y planos
Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A
Más detallesVECTORES EN EL PLANO.
VECTORES EN EL PLNO. Introdcción: Magnitdes escalares ectoriales. Ha ciertas magnitdes físicas, tales como la masa, la presión, el olmen, la energía, la temperatra, etc., qe qedan completamente definidas
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:
6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detallesCapítulo 8: Vectores
Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no
Más detallesMatemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso. Espacio euclídeo Determinación de ángulos
Espacio euclídeo 5.1. Determinación de ángulos.... - 2-5.1.1. Ángulo determinado por dos rectas secantes.... - 2-5.1.2. Ángulo determinado por planos secantes.... - 2-5.1.3. Ángulo determinado por una
Más detallesGeometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones
Más detallesUniversidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3
Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se
Más detallesCÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B
ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean
Más detallesy cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detalles. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos)
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesTEMA 6 Ejercicios / 3
TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P
Más detallesEspacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Más detallesTEMA 5. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 5. VECTORES EN EL ESPACIO ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN... 2 2. VECTORES EN EL ESPACIO.... 3 2.1. CONDICIONES INICIALES.... 3 2.2. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO.... 3 2.3. VECTORES UNITARIOS.... 3
Más detalles1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.
CAPÍTULO 1 El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C... 1.1. El espacio vectorial de los vectores Definición 1.1 Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio
Más detallesGeometría 1. Ejercicio 2.
Geometría 1 1 3 7 A = 2 a b Ejercicio 1. Dada la matriz c a d halla a, b, c d sabiendo que Ejercicio 2. i.el ector cuas coordenadas son las que aparecen en la primera columna de A es ortogonal al ector
Más detallesTEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 22 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesVECTORES Y OPERACIONES CON VECTORES
BOLILLA 2 Sistema de Coordenadas VECTORES Y OPERACIONES CON VECTORES Un sistema de coordenadas permite ubicar cualquier punto en el espacio. Un sistema de coordenadas consta de: Un punto fijo de referencia
Más detallesUna forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.
Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES
Más detallesÁLGEBRA VECTORIAL MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES:
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES: Una magnitud es escalar cuando el conjunto de sus valores se puede poner en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales o una parte del
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesINTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL
1. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL Este capítulo es una revisión condensada de los principales conceptos del cálculo vectorial a modo de repaso de un tema que se supone más o menos conocido
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1)
LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p es el lugar geométrico
Más detallesTema 2: Vectores libres
Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (ÁLGEBRA VECTORIAL - PRÁCTICA) AÑO 2014 ÁLGEBRA VECTORIAL - EJERCICIOS
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detalles