UNIDAD. Vectores. l estudio de algunos elementos del

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1 UNIDAD 4 Vectores l estudio de algunos elementos del E espacio, puntos, rectas y planos, y los problemas que se pueden establecer entre ellos, se facilita con la introducción de los ectores. En su origen, el concepto de ector surge en Física para caracterizar ciertas cantidades que poseen dirección y sentido; su empleo en Geometría conierte las relaciones y deducciones geométricas en un cálculo. Inicialmente, como hemos dicho, los ectores se utilizaban en Física para representar magnitudes dirigidas, pero las operaciones con ectores, lo que hoy en día se conoce como cálculo ectorial, es un inento del siglo XIX debido a los matemáticos William Roan Hamilton ( ) y Hermann Günther Grassmann ( ). El primero realizó una ampliación de los números complejos que Hamilton denominó cuaterniones y el segundo trató de encontrar William Roan Hamilton (Wikipedia. org. Dominio Público) métodos algebraicos para resoler problemas de geometría. Los cuaterniones fueron empleados por los físicos James Clerk Maxell (83-879) y Josiah Willard Gibbs ( ) en algunas de sus obras. Sin embargo, modificaron su expresión original hasta conertirla en lo que hoy conocemos como ector y sus operaciones. En esta unidad didáctica definimos lo que es un ector y las operaciones que podemos realizar con ellos. Aplicamos las propiedades de las operaciones para resoler problemas de ortogonalidad de ectores, cálculo de áreas de paralelogramos y de olúmenes de paralelepípedos. En esta unidad nos proponemos alcanzar los objetios siguientes:. Reconocer un ector gráficamente, y por sus coordenadas, y operar con ectores.. Determinar si un conjunto de ectores es linealmente dependiente o no. 3. Calcular el producto escalar de dos ectores, conocer sus propiedades y cuáles son sus aplicaciones. Utilizarlas para hallar el ángulo de dos ectores y el módulo de un ector. 4. Saber calcular el producto ectorial, conocer sus propiedades y utilizarlas para el cálculo de áreas. 5. Definir el producto mixto de tres ectores y emplearlo para calcular el olumen de un paralelepípedo. 9

2 ÍNDICE DE CONTENIDOS. VECTORES OPERACIONES CON VECTORES EN FORMA GRÁFICA COMBINACIONES LINEALES DE VECTORES Bases y coordenadas de un ector Operaciones con ectores expresados por sus coordenadas PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Otra formulación del producto escalar Aplicaciones del producto escalar PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES

3 UNIDAD 4 VECTORES. Vectores Llamamos ector a un segmento orientado de extremos A y B. Cuando consideramos la orientación de A a B, es decir, A es el origen y B el extremo, simbolizamos el segmento por AB. Cuando, por el contrario, tomamos B como origen y A como extremo, el segmento se simboliza por BA. Tres son las características de un ector. Módulo de AB : es la distancia entre A y B. El módulo del ector AB : se simboliza por AB. Dirección de AB : es la recta que contiene a los puntos A y B o cualquier otra recta paralela a ella. Sentido: en todo segmento de extremos A y B caben dos sentidos el que a de A a B y el que a de B a A. B B Como hemos definido la dirección de un ector como la recta que contiene al ector o cualquier otra recta paralela a ella, podemos encontrarnos con dos ectores, AB y A B, que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, tal como emos en la figura. A A En esta situación decimos que AB = A B. Hay muchos ectores que son iguales a AB. Si todos son iguales, no tiene mucha importancia cuál es el origen de un ector, sino su módulo, dirección y sentido; por esta razón a todos los ectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido que AB acostumbramos a simbolizarlos por una letra minúscula con una flechita encima, por ejemplo. Qué son AB y A B de? Podemos decir que son localizaciones del ector, una con origen A y otra en A. En cualquier punto del espacio podemos situar una localización de siempre que tenga el mismo módulo, dirección y sentido. A partir de ahora, hablaremos indistintamente de ectores simbolizados por una letra u, como de sus localizaciones en un punto del espacio determinado AB, CD.. Operaciones con ectores en forma gráfica 4 Multiplicación de un ector por un número Si dado un ector lo multiplicamos por obtenemos el ector que gráficamente tendrá doble longitud de. Si lo multiplicamos por - obtenemos - que tiene sentido opuesto a. Si lo multiplicamos por ½ obtenemos ½,cuyo módulo será la mitad. En la figura adjunta hemos dibujado también -, 4. Resumiendo, si multiplicamos un número m por el ector obtenemos un nueo ector m con las siguientes características: El módulo de m es igual al alor absoluto de m, por el módulo de, m = m. La dirección de m es la misma que la de. El sentido de m es el mismo que si m > 0; cuando m < 0, el sentido de m es opuesto a. Al multiplicar 0 por obtenemos el ector 0, es decir, 0 = 0. El ector 0 es aquel en el que coinciden origen y extremo. Sus localizaciones son del tipo AA = BB = CC, por supuesto no tiene dirección, y el módulo es cero. 94

4 Suma de ectores + La suma de los ectores y es otro ector, que simbolizamos por +, y obtenemos de dos formas. Una, construyendo el paralelogramo de lados y, entonces la diagonal del paralelogramo será el ector +. Como emos en la figura de la izquierda. Otro modo de sumar ectores consiste en trazar con origen en el extremo de y seguidamente unir el origen de con el extremo de. El resultado también es +. En la figura derecha emos cómo se hace esta suma. Los dos modos de sumar ectores indican que la suma de ectores es una operación conmutatia. + Resta de ectores La diferencia de los ectores y,, es un ector que sumado con nos da. Es decir, + ( )=. En la figura hemos dibujado el único ector que cumple esta condición:. Cómo sería? Pues un ector que sumando a nos da. Con los mismos ectores y de la figura traza. Algunas propiedades de las operaciones con ectores Propiedad asociatia: ( u + ) + = u +( + ) ; es decir, se pueden sumar más de ectores. Propiedad conmutatia: u + = + u. Vector cero: 0 + u = u + 0 = u. Para cada ector opuesto existe un opuesto: u + ( u ) = 0 ; al sumar a un ector u su opuesto u obtenemos el ector 0. Propiedad asociatia para la multiplicación por números reales: m (n u ) = (m n) u, para m y n números reales. Distributias: (m + n) u = m u + n u y m( u + ) = mu + m, distributia respecto a la suma de números y distributia respecto a la suma de ectores. Multiplicación por la unidad: u = u. Ejemplo. Dados y u de distinta dirección, traza u, u y u + 3. u u u u u u u Actiidades. Si u y, son los ectores del ejemplo, traza u +, 3 u, + u, u.. Si u,, son tres ectores que están en el mismo plano dibuja u, 3, u + +. u 95

5 UNIDAD 4 VECTORES 3. Combinaciones lineales de ectores Una combinación lineal de los ectores u, u, u 3,,u n es una expresión del tipo k u + k u + k 3 u k n u n, donde k, k,, k n son números reales llamados coeficientes de la combinación lineal. Por ejemplo, dados los ectores u, y, la expresión u es una combinación lineal. Un conjunto de ectores { u, u, u 3,,u n } es linealmente dependiente si entre ellos hay alguno que es combinación lineal de los demás. Por el contrario, un conjunto de ectores es linealmente independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. Hay un criterio para determinar si un conjunto de ectores,,, n es linealmente dependiente o no. Si existe una combinación lineal, con los coeficientes no todos nulos, que conduce al ector 0, entonces los ectores son linealmente dependientes. Por el contrario, si la única combinación lineal que conduce al ector 0 es la que tiene todos los coeficientes nulos, entonces son linealmente independientes. Ejemplos. Dos ectores de la misma dirección son linealmente dependientes. Si u y tienen la misma dirección, entonces u = k, siendo k un número distinto de cero. La expresión u k = 0, es una combinación lineal de coeficientes no nulos que da el ector Dos ectores del espacio, u y, de distinta dirección son linealmente independientes. Al tener distinta dirección no hay ningún número k que cumpla la igualdad u = k. Luego la única posibilidad de que k u + k = 0, es que k = k = 0. Los ectores son linealmente independientes. 4. Tres ectores coplanarios (en el mismo plano) u, y son linealmente dependientes. Trazados con el mismo origen, como emos en la figura, siempre podemos poner uno de ellos, en este caso, como suma de sendos múltiplos de u y. Es decir, = k u + k ; k u + k = 0. u 5. Tres ectores del espacio, u, u y u 3, no coplanarios son linealmente independientes. Al no estar ninguno de ellos en el plano de los otros dos, no hay posibilidad de expresar cualquiera de ellos como combinación lineal de los otros dos. 6. Dados tres ectores del espacio, u, u y u 3, no coplanarios, cualquier otro ector del espacio se puede expresar 3 u como combinación lineal de ellos. Si dibujamos todos con el mismo origen, podría darse una situación, como la de la figura. Obseramos u que el ector se puede escribir como suma del ector u + u con el ector 3u 3. Es decir, = u + u + 3u 3. u 3 k k u u 3 u 96

6 3.. Bases y coordenadas de un ector Un conjunto de tres ectores u, u y u 3, como el de los ejemplos 5 y 6 anteriores, cumple dos condiciones: son linealmente independientes y cualquier otro ector se puede escribir como combinaciones lineales de ellos. Un conjunto que cumpla estas condiciones se llama una base de los ectores del espacio. Tres ectores u, u y u 3 no nulos y no coplanarios forman una base de los ectores del espacio. Dada una base B = { u, u, u 3 } cualquier ector se puede poner de forma única como combinación lineal de la base. = k u + k u + k 3 u 3 A los números k, k, k 3, se les denomina coordenadas respecto a la base o componentes del ector respecto a la base y como son únicas, una ez fijada la base, al ector lo expresamos así: = k u + k u + k 3 u 3 Si = u + 3 u 4 u 3, entonces podemos expresarlo así = (, 3, 4). A los números (, 3, 4) se les llama coordenadas o componentes del ector respecto a la base { u, u, u 3 }. Los ectores del espacio pueden tener muchas bases, pero todas tienen el mismo número de ectores. Hay una base de los ectores del espacio especialmente utilizada. La simbolizaremos por { i, j, k } y son ectores perpendiculares entre sí, y todos tienen el mismo módulo; módulo que tomamos como unidad de longitud. A esta base se le llama base ortonormal. A partir de ahora supondremos que los ectores del espacio están referidos a la base { i, j, k }. Ejemplo 7. Dada la base B = { i, j, k }, halla las coordenadas de i, j y k con respecto a la base B. Expresemos i, j y k como combinación lineal de los ectores de la base: i = i + 0 j + 0 k, luego = (, 0, 0) j =0 i + j + 0 k, luego = (0,, 0) k = 0 i + 0 j + k, luego = (0, 0, ) 3.. Operaciones con ectores expresados por sus coordenadas Todas las operaciones que hemos hecho con ectores de una forma gráfica pueden hacerse numéricamente con sus coordenadas. Si u = ( x, y, z ) y = ( x, y, z ), entonces la suma la expresamos así: u + = ( x, y, z ) + ( x, y, z ) = ( x + x, y + y, z + z ) El producto por un número m se expresa por: m u = m ( x, y, z ) = ( m x, m y, m z ). 97

7 UNIDAD 4 VECTORES Una combinación lineal de u y con coeficientes m y p, se indica como: m u + p = m( x, y, z )+ p( x, y, z ) = ( mx + px, my + py, mz + pz ) De ahora en adelante toda relación gráfica entre ectores la expresaremos en una relación algebraica entre sus coordenadas. Ejemplos 8. Si u = (3, 0, -3) y = (-, 4, ), determina las coordenadas de: a) 3 u ; b) ; c) u + 4 ; d) u ; e) u ; f) u 3 a) 3 u = 3 (3, 0, 3) = (9, 0, -9); b) = (, 4, ); c) u + 4 = (3, 0, 3) + 4 (, 4, ) = (, 6, ); d) u = (, 4, ) (3, 0, 3) = ( 4, 4, 4); e) u = (3, 0, 3) (, 4, ) = (4, 4, 4); f) u 3 = (3, 0, 3) 3(, 4, ) = (9,, 9) 9. Dados los ectores u = (, 3, ), = ( 3,, 3 ), = ( 0,, ), y t = ( 4, 0, 0), expresar como combinación lineal de u, y Tenemos que hallar tres números a, b y c tales que t = au + b + c Pasando a coordenadas esta igualdad ectorial obtenemos: ( 4, 0, 0) = a (, 3, ) + b (3,, 3) + c (0,, ), igualdad que conduce al sistema: a+ 3b= 4 3a+ b+ c = 0 a 3b+ c = 0 Cuyas soluciones, compruébense, son a =, b = y c = 4 Al expresar los ectores por sus coordenadas, resulta muy fácil estudiar la dependencia e independencia lineal de un conjunto de ectores. Dado un conjunto de ectores,,..., r para aeriguar si son linealmente dependientes, o no, podemos formar una matriz con sus coordenadas, tomándolas como filas. El rango de esa matriz nos indicará si son linealmente dependientes o no lo son. Cuando el rango es igual al número de filas, los ectores son linealmente independientes; cuando el rango es menor que el número de filas, serán linealmente dependientes. En resumen, dados los ectores u = (u, u, u 3 ), = (,, 3 ) y = (,, 3 ): u y linealmente dependientes u y u u u3 tienen la misma dirección o rango = 3 98

8 u y linealmente independientes u y u u u3 distinta dirección o rango = 3 u u, y linealmente dependientes u, y u u3 tienen la misma dirección si rango 3 = 3 u u u3 u, y linealmente dependientes u, y coplanarios o rango 3 < 3 3 u u u3 u, y linealmente independientes u, y no coplanarios o rango 3 = 3 3 Cuatro ectores en el espacio siempre son linealmente dependientes porque la matriz que formemos con sus coordenadas no puede tener más de tres columnas y el rango de esa matriz no puede ser, porque el número de filas y columnas linealmente independientes coinciden, mayor que tres. Ejemplos 0. Determinar si los siguientes conjuntos de ectores son linealmente dependientes: a) {(,,0), (,0,), (3,,0)}, b) {(,,), (,0,-), (3, 3,0), (0,, 4)}. 0 a) Estudiamos el rango de, como el determinante de la matriz es distinto de cero, el rango de la matriz es 3 y los ectores son linealmente independientes. 0 0 b) La matriz no puede tener rango mayor que 3, por tanto los ectores son linealmente dependientes Determinar si los ectores u = (,, 3), = (4, 5, 6) y = (7, 8, 9) son linealmente dependientes y, si lo son, hallar una combinación lineal de ellos que dé el ector 0. 3 Un modo de hacerlo podría ser calcular el rango de, y si es menor que 3, resoler el sistema: a (,, 3) + b (4, 5, 6) + c (7, 8, 9) = (0, 0, 0). 3 Escalonando la matriz 4 5 6, al mismo tiempo que calculamos el rango, determinamos, si es el caso, una combinación lineal de las filas que dé (0, 0, 0). Procedemos así: 99

9 UNIDAD 4 VECTORES 3 u 3 u 3 u 3 u u u u 7u u + 8u u + Obseramos que el rango de la matriz es, número de filas no nulas que tiene la matriz escalonada correspondiente; son por tanto linealmente dependientes. Además una combinación lineal que nos dé el ector cero será: u + = 0. Actiidades 3. Aeriguar si los conjuntos de ectores son linealmente dependientes o no: a) {(7,, 5,), (0, 0, 0), (4, 3, )}, b) {(0,, ), (, 0, ), (3, 4, ), (,, 4)}. 4. Determinar si los ectores u = (,, ), u = (,,) y u 3 = (,, ) son linealmente dependientes. Expresar = (8, 0, 4) como combinación lineal de u, u y u Probar que los ectores u = (,, 3), = (, 0,) y t = (4, 4, 4) son linealmente dependientes. Encontrar una combinación lineal de ellos que dé el ector cero. 6. Dados los ectores u = (a,+a,a), = (a,,a) y = (,a,) determinar los alores de a para que u, y sean linealmente independientes. Expresar t = (3, 3, 0) como combinación lineal de u, y, cuando a =. 4. Producto escalar de dos ectores Se llama producto escalar de los ectores = (,, 3 )y = (,, 3 ) respecto a la base B = { i, j, k }, y lo simbolizamos por, al número real: De la definición se deducen con facilidad las siguientes propiedades: Conmutatia: =. Es eidente que = = = Distributia: ( + t ) = + t. = Si expresamos los ectores por sus coordenadas, resulta: (,, 3 ) ( + t, + t, 3 + t 3 ) = ( + t ) + ( + t ) + 3 ( 3 + t 3 ) = = + t + + t t 3 = ( ) + ( t + t + 3 t 3 ) = + t k ( ) = (k ) = (k ), siendo k un número distinto cero. No se cumple la propiedad asociatia para tres ectores. Es fácil er que ( t ) ( ) t ; en el primer caso resulta un ector paralelo a y en el segundo, paralelo a t. 00

10 Multiplicación por el ector 0 = (0,0,0), 0 = 0 Para todo ector 0, > 0. Es eidente que cualquiera que sean las componentes de, positias o negatias, será siempre un número positio, ya que = Esta consideración tendrá importancia para calcular el módulo de un ector. Ejemplo. Dados los ectores = (,, 5), = (3,,) y t = (-,,4): a) Comprueba que ( + t ) = + t b) Comprueba que ( t ) ( ) t c) Calcula =, = y t = t t a) ( + t ) = (,, 5) [ ( 3,,) + (,,4) ] = (,,-5) (,3,5) = + 3+( 5) 5 = 8 + t = (,, 5) (3,,)+(,, 5) (,,4) = 3+ +( 5) + ( )+ +( 5) 4= 8 b) ( t ) = (,, 5) [ (3,,) (,,4) ] = (,, 5) [ 3 ( )+ + 4 ] = (,, 5) 3 = (6,3, 5) ( ) t = [ (,, 5) (3,,) ] (,,4) = 3 (,,4) = ( 3,3,). c) = (,, 5) (,, 5) = + + ( 5) = 30, = (3,,) (3,,) =5, t = Otra formulación del producto escalar Hay otra forma de calcular el producto escalar de dos ectores y es equialente a la que hemos isto. Con ella resulta más fácil estudiar la perpendicularidad de dos ectores, el ángulo que forman y cómo determinar la proyección de un ector sobre la dirección de otro. Sean y dos ectores. En la figura, y con origen en un punto M hemos dibujado,, y. En el triángulo de értices MNP se cumple el teorema del coseno: un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los otros dos lados por el coseno del ángulo que forman. Es decir, se tiene que: = + P cosα Como =, = y = ( ) ( ), entonces ( ) ( )= + cosα α M N Y operando resulta, + = + cosα Anulando términos opuestos, queda: = cosα + = cosα = cosα = cos α 0

11 UNIDAD 4 VECTORES El producto escalar de dos ectores es, también, el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman. Esta nuea definición de producto escalar permite resoler algunos problemas geométricos con sencillez. 4.. Aplicaciones del producto escalar Módulo de un ector El módulo de un ector = (,, 3 ) es la longitud entre el origen y extremo, de cualquiera de sus localizaciones, y iene dado por =. Es eidente que = cos 0 0 = ; en consecuencia, si =, = = + + Vector unitario Llamamos ector unitario al de módulo. Por ejemplo, el ector 3 t = es unitario, compruébalo 5 0 4,, 5 empleando la fórmula anterior. Conocemos que los ectores de la base { i, j, k } son unitarios, pero además eremos que dado un ector t = (t, t, t 3 ) podemos encontrar otro de módulo paralelo a él. Si multiplicamos t por resulta el ector t Este ector tiene módulo ya que: t t t t = 3,, t t t t t t t t3 t + t + t = + + = t t t t t Proyección de un ector sobre la dirección de otro 3 3 t = = = t Por ejemplo, el ector s = ( 30,, 4) tiene módulo s = ( 4) = 5, y el ector s =,, t, que como antes imo s 5 = s es unitario. α En la figura hemos dibujado dos ectores y y la proyección de sobre. Como en el triángulo rectángulo que forma con su proyección sobre se cumple que: cosα = proyección de sobre En la fórmula = cosα el factor cosα es la proyección de sobre, entonces: = proyección de sobre ó proyección de sobre =. Por lo que podemos afirmar que el producto escalar de dos ectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. 0

12 Ángulo que forman dos ectores Aunque en el epígrafe anterior hemos dibujado dos ectores con el mismo origen y calculado la proyección de uno sobre el otro, todaía no hemos hablado del ángulo que forman dos ectores. El ángulo que forman dos ectores y es el menor de los dos ángulos que determina una localización de estos ectores con el mismo origen. En la figura obseramos que al dibujar los ectores con el mismo origen se forman dos ángulos. Uno mayor o igual que 80º y otro menor o igual. Los ectores forman un ángulo de 0º cuando tiene la misma dirección y sentido, mientras que cuando tienen la misma dirección y sentidos opuestos, el ángulo que forman es 80º. De la fórmula = cosα, despejando el cosα, obtenemos: Ejemplo cosα = Hallar el ángulo que forman los ectores 3. (,,3) y (0, 4,). Solución : 0 + ( ) 4+ 3 cosα = = = = 0, ( ) Ahora, el ángulo cuyo coseno es 0, 34839, con una calculadora científica, se halla así: - SHIFT COS 0,34839 = 8, SHIFT º ' '' 8º5,48. - La tecla del arco coseno de la calculadora, cos, nos deuele un ángulo comprendido entre 0º y 80º. Nota: Como el denominador de la fracción anterior siempre es positio podemos obserar que. Si = > 0, entonces 0º < α < 90º. Si = < 0, entonces 90º < α < 80º 3. Si = = 0, entonces α = 90º. α < 80º Determinación de la perpendicularidad de dos ectores Si los dos ectores = (,, 3 )y = (,, 3 ), forman un ángulo de 90º, es decir, son perpendiculares u ortogonales, como cos 90º = 0, se cumplirá que: = cos90º = = 0. Por lo tanto, = = 0. 03

13 UNIDAD 4 VECTORES Ejemplos 4. Hallar un ector perpendicular a = (, 5, 7) El modo más sencillo de hallar un ector perpendicular a otro es llear la ª componente al lugar de la ª, y la ª al lugar de la ª, con el signo cambiado, y la 3ª conertirla en 0; así: (, 5, 7 ) ( 5,, 0 ) También se puede cambiar la ª y la 3ª ó la ª y la 3ª y la que falta igualarla a cero. 5. Hallar un ector t perpendicular a = (3,,) y = (5, 6,) Sea t = (x, y, z); si t es perpendicular a, t = 0, sus coordenadas tienen que cumplir la siguente condición: (x, y, z) (3,,) = 0 3x + y +z = 0. Si t es perpendicular a, t = 0, sus coordenadas tienen que cumplir la siguente condición: (x, y, z) (5, 6,) = 0 5x 6y + z = 0. Las soluciones del siguiente sistema serán las coordenadas de t : 3x + y +z = 0 5x 6y + z = 0 } Es un sistema con infinitas soluciones. Por qué? Hay, por tanto, infinitos ectores perpendiculares a y, y todos tienen la misma dirección. En el apartado siguiente eremos otro modo de resoler este problema. 6. En la base ortonormal { i, j, k } comprueba que i i =, j j =, k k =, mientras que i j = 0, j k = 0, i k = 0. Es obio que i i = i i cos 0º = =, y lo mismo, j j y k k ; i j = i j cos 90º = 0 = 0, y del mismo modo, j k y i k. 7. Dados u = (,,0) y = ( m,,), halla el alor de m sabiendo que ángulo (u, ) = 60º. Como ángulo (u, ) = 60º y cos 60º = ½, entonces en la fórmula cosα = podemos escribir: = ( 0,, ) ( m,, ) m + ( ) + m = 8( m +) Multiplicando en cruz y eleando al cuadrado obtenemos la ecuación 8m 3m = 0. Cuyas soluciones son m = 0 y m = 4. Debemos comprobar las soluciones porque al elear al cuadrado puede aparecer alguna solución espuria, y efectiamente m = 0 no es una solución álida. 04

14 Actiidades 7. Dados u = (,-3,4 ) y = (3,-,0), calcula : a) u ; b) ; c) u ; d) cos ( u, ) ; e) proyección de u sobre ; f) proyección de sobre u ; g) un ector unitario paralelo a u ; h) un ector unitario paralelo a. 8. Sean =( -,, ), = (, 0, -) y t = ( 0, 3, -) calcular: a) ; b) ; c) t ; d), y t ; e) ángulo (, ), ángulo (, t ). 9. Halla tres ectores perpendiculares a = (3,-,) y que no sean paralelos. 0. Determina un ector t que es combinación lineal de = (,-,) y = (,-,3) y además es ortogonal a u = (3,5,-).. Dado los ectores =( m, 6, -8) y t = ( 3, n, -), halla m y n sabiendo que son perpendiculares y el módulo de es 0.. Halla los ángulos que determina el ector = (-, 3,-7) con los ectores de la base ortonormal { i, j, k }. 3. Dados los ectores = (-,, ), =(m,, 4) y t = (- 3, n, ), calcula: a) el alor de m y n si sabemos que es perpendicular a y es perpendicular a t ; b) el ángulo que forman y t. 4. De los ectores y sabemos que son ortogonales y que = 9 y = 6. Calcula + y, Son iguales estos módulos? sabes explicar por qué? 5. Producto ectorial Sean = (,, 3 )y = (,, 3 ) dos ectores referidos a la base B = { i, j, k }. Se llama producto ectorial de y, y se simboliza por, al ector: 3 i 3 j k 3 3 = + =,, Como regla nemotécnica podemos poner que = 3 y desarrollando por los elementos de la 3 primera fila obtenemos la definición de producto ectorial. Esto es una regla nemotécnica, no es un determinante porque sus elementos son heterogéneos: unos son números y otros, ectores; en cualquier caso, este falso determinante resulta útil hasta para hacer demostraciones. Ejemplo 8. Dados = (3,-,) y = (0,,-5), hallar el ector. = = 3 3 i j + k = 3 i ( 5) j + 3k = (3,5,3)

15 UNIDAD 4 VECTORES Propiedades del producto ectorial = =, = ; como un determinante cambia de signo al intercambiar el orden de dos líneas, es eidente que el desarrollo de los dos determinantes anteriores nos dará dos resultados opuestos; luego =. = 0. Es obio, porque = 3 y un determinante con dos filas iguales es cero. 3 ( + t ) = + t. De las propiedades de los determinantes, ( + t) = 3 = = + t. + t + t + t t t t 3 3 m = (m ). También de las propiedades de los determinantes m = m m m = m = = ( m ). 3 3 es perpendicular a y perpendicular a. Es eidente, también, que ( ) =,, (,, 3)= 3 = 0; y además, ( ) =, m m m , (,, 3)= 3 = Esta última propiedad, es perpendicular a y perpendicular a, junto a la primera, =, sugiere la siguiente figura. P Nos queda únicamente un pequeño problema: cuál es el sentido de? El que aparece en la figura o su opuesto? Sabemos que y tienen sentidos opuesto, pero para ubicar estos ectores a un lado u otro del plano que contiene a y a recurrimos a la regla del sacacorchos. El ector tiene el sentido del aance de un sacacorchos cuando gira hacia por el camino más corto. Por tanto, el ector tendría el sentido que aparece en las figuras según su situación.

16 Ejemplos 9. Dados =(,-3,5) y =(5,0,-) calcular y. = = i j + k = 3i ( 7) j + 5k = = 5 0 = ( 3, 7, 5). 3 5 (3,7,5) 0. Con los ectores i = (,0,0), j = (0,,0) y k = (0,0,), de la base ortonormal, halla i j, j k y i k. i j = 0 0 = ( 00,,) = k, j k = 0 0 = (, 0,0) = i, i k = 0 0 = ( 0,,0) = j Actiidades 5. Hallar j i, k j e i k. 6. Dados = (,3,-) y = (,0,-) halla: a) ; b) ( + ) ( ) 7. Comprobar que i ( i k ) ( i i ) k, es decir, el producto ectorial, en general, no es asociatio. 8. Halla dos ectores unitarios ortogonales a u = (,-,) y t = (-3,3,). Aplicaciones del producto ectorial Antes de estudiar las aplicaciones del producto ectorial amos a deducir una expresión para el módulo de. Sabemos que el módulo al cuadrado de un ector es igual a la suma de los cuadrados de sus coordenadas, es decir: 3 3 = Desarrollando y sumando ( ), y luego sacando factor común a + y después a ( + + 3, + + 3), resulta: = ( )( + + 3) ( ) = ( ) Como = cos α, donde α = ángulo (, ), entonces obtenemos: = cos α = ( cos α) = sen α En consecuencia, = senα 07

17 UNIDAD 4 VECTORES Como emos en la figura, el área del paralelogramo, cuyos lados son los ectores y, es el módulo del producto ectorial. Área = base altura = h = senα = h = senα α Como todo paralelogramo se conierte en dos triángulos iguales al trazar una diagonal, P podemos emplear la fórmula anterior para calcular áreas de triángulos cuando conocemos los ectores que constituyen los lados. Área triángulo = ½ Área paralelogramo de lados y = ½. Ejemplos. Halla un ector perpendicular a u = (,0, ) y = (-,,) cuyo módulo sea 7. u = 0 = (, 3, ); el ector m (, 3, ) también es ortogonal a u y, entonces mu ( ) = ( m) + ( 3m) + ( m) = m ( ) = m 4 = 7 7, m =. El ector buscado es (-, -3, ) =,, Hallar el área del paralelogramo de lados = (,3,0) y = (,,) Área paralelogramo = =,, = ( 3,, 5) = 3 = 35 unidades cuadradas. 3. Hallar el área del triángulo de lados = (,3,0), = (,,) y. Área triángulo = = ,, = ( 3,, 5 ) = 3 + ( ) + ( 5) = 35 = unidades cuadradas. + ( ) + ( 5) = Actiidades 9. Dados los ectores = (,3,0) y t = (,,) encontrar un ector unitario y perpendicular a los anteriores. 0. Dados u = (-,,5) y = (-,,-) determinar: a) u ; b) un ector ortogonal a u y y de módulo 0; c) el área del paralelogramo de lados u y ; d) el área del triángulo de lados y u ; e) el área del triángulo de lados u y. 08

18 6. Producto mixto de tres ectores Sean, y t tres ectores del espacio donde = (,, 3 ), = (,, 3 ) y t = (t, t, t 3 ) se define como producto mixto de, y t y se representa por [,, t ] al número real ( t ). Según la definición: 3 3 ( t) =(,, 3),, t t3 t t3 t 3 = =det ( t,, ) t t t Luego: 3 3 t = t 3 t = t t t t 3 ( t ) = det (,, t ) = [,, t ] = 3 3 t t t 3. Al ser el producto mixto de tres ectores igual a un determinante de orden tres, cuyas filas están constituidas por las coordenadas de los ectores, podemos trasladar las propiedades de los determinantes al producto mixto: ª. Si permutamos la posición de dos ectores en el producto mixto, éste cambia de signo: [,, t ] = [ t,, ] ª. Si multiplicamos un ector por un número, el producto mixto queda multiplicado por ese número: [ k,, t ] = k [,, t ] 3ª. Si expresamos un ector como suma de otros dos, el producto mixto es igual a la suma de dos productos mixtos: [ u +,, t ] = = [ u,, t ]+ [,, t ] Ejemplo 4. Calcular el producto mixto de = (-,,-), = (,3,0) y t = (,,). ( t) = det (,, t) = [,, t ] = 3 0 = 09

19 UNIDAD 4 VECTORES t Interpretación geométrica del producto mixto Si sobre un punto P lleamos los ectores, y t, lo hemos dibujado en la figura adjunta, nos resulta un paralelepípedo cuyas aristas son los tres ectores. De ( t ) = t cosβ, siendo β = ángulo de y t, y cosβ la altura, h, del paralelepípedo ya que cosβ es la proyección del ector sobre el ector t entonces tenemos: ( t ) = t cos β = h t = altura del paralelepípedo área del paralelogramo de la base = olumen del paralelepípedo. β t P Como ( t ) puede ser negatio y no tiene sentido un olumen negatio, podemos afirmar que el alor absoluto del producto mixto de los ectores, y t es igual al olumen del paralelepípedo de aristas, y t. Ejemplo 5. Calcular el olumen del paralelepípedo de aristas = (-,,-), = (,3,0) y t = (,,). Antes hemos calculado ( t) = det (,, t) = [,, t ] = 3 0 = Volumen del paralelepípedo = det (,, t ) = = unidades cúbicas. De la interpretación geométrica del producto mixto podemos deducir una aplicación interesante. Para que tres ectores constituyan las aristas de un paralelepípedo es indispensable que sean linealmente independientes y esto equiale a que no sean coplanarios, ya que cuando son coplanarios el olumen del paralelepípedo es cero. Luego si [,, t ] = ( t ) = det (,, t ) = 0, los ectores, y t son coplanarios. Es otra forma de decir que el determinante de una matriz de orden tres es cero si las filas o las columnas son linealmente dependientes. Actiidades. Halla el olumen del paralelepípedo cuyas aristas son ectores u = (,,5), = (,3,0) y t = (,,).. Determina el alor de m para que los ectores u = (,, m), = (,,) y = (,, ) sean coplanarios. 3. Halla un ector t que sea ortogonal a = (,3, ) y = (,0, ), y que [,, t ] =. 4. Aerigua cuál es el alor de m para que los tres ectores ( m, 0, 0), (0, m,0) (0, 0, m) sean las aristas de un paralelepípedo de olumen 8 unidades cúbicas. 0

20 Recuerda Base. Es un conjunto de tres ectores linealmente independientes y que cualquier otro ector se puede escribir como combinación lineal de ellos. Una base ortonormal es la formada por ectores perpendiculares entre sí y de módulo. Producto escalar. El producto escalar de los ectores = (,, 3 ) y = (,, 3 ) es el número real: = = cosα Aplicaciones del producto escalar. Módulo de un ector. = = + + Vector unitario. Vector unitario es el de módulo. El ector unitario de la misma dirección y sentido t t t t que t es = 3,, t t t t Proyección de un ector sobre la dirección de otro. El producto escalar de dos ectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él = proyección de sobre RECUERDA Ángulo que forman dos ectores. El ángulo que forman dos ectores y es el menor de los ángulos que determinan dos localizaciones de estos ectores con el mismo origen. De la fórmula = cosα, despejando el cosα, obtenemos: cosα = 3 Producto ectorial. El producto ectorial de = (,, 3 ) y = (,, 3 ) es el ector 3 i 3 j k 3 3 = + =,, Aplicaciones del producto ectorial. Área del paralelogramo de lados y = = sen α. Área triángulo de lados y = Área paralelogramo de lados y =. Producto mixto. El producto mixto de, y t es el número real ( t ). 3 3 ( t) =(,, 3),, = t t3 t t3 t t t 3 = 3 =det ( t,, ) t t t 3 t = t t t t 3 Interpretación geométrica del producto mixto. El olumen del paralelepípedo de aristas, y t es igual al alor absoluto de ( t ).