SOLUCIONES DICIEMBRE 2016
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- César Valenzuela Rubio
- hace 7 años
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1 Página 1 de 8 SOLUCIONES DICIEMBRE 2016 Soluciones extraídas del libro: XVII CONCURSO DE PRIMAVERA 2013 Obtenible en Autores: Colectivo Concurso de primavera. Comunidad de Madrid Diciembre 1-2: En la pista de atletismo de la figura, Laia, si corre por fuera tarda seis segundos más que si corre por dentro, en dar una vuelta completa corriendo a una misma velocidad. Cuál es esta? Solución: En una vuelta completa, la diferencia entre la distancia recorrida por fuera y la recorrida por dentro es 2 (R+6) 2 R = 12. Si tarda 6 segundos más en recorrer la vuelta por fuera, lleva una velocidad de 2 m/s Diciembre 3: Aitana ha tardado 20 minutos menos que Laia en completar una carrera. Si Laia corre a 5 km/h menos que Aitana, qué distancia tenía la carrera? Solución: Faltan datos para determinar la solución del problema. Si t A, t L, v A, y v L son los tiempos y velocidades empleados por Aitana y Laia, tendremos: t A = t L 1 3 } v A t A = v L t L v A t A = (v A 5) (t A ) v A = 15t A + 5 v L = v A 5 Si, por ejemplo, t A = 1 hora, v A = 20 y el espacio recorrido es de 20 km. Diciembre 4: Halla los números de dos cifras que son el triple del producto de sus cifras. Nivel: A partir de 4ESO. Preparación OME y OMS. Solución: Debemos resolver 10 a + b = 3 a b, siendo a y b dígitos con a no nulo. Tendremos: b = a(3b 10). Por lo tanto, b debe ser mayor que 3 y menor que 7. Para b= 4 se obtiene a = 2. Para b = 5 se obtiene a = 1 y para b = 6 no hay solución para a. Por lo tanto, sólo hay dos números que cumplan el enunciado: el 25 y el 15.
2 Página 2 de 8 Diciembre 5, 6: El rectángulo ABCD tiene área 48; M es el punto medio del lado DC y 3 BN = BC. Cuál es el área del triángulo ANM? Solución: A ΔANB = = 8; A ΔADM = = 12; 2 A ΔNMC = = 8; A ΔANM = 48 ( ) = 20 Diciembre 7: Las gráficas de y=- x+8 +6, y=0 e y=x+k, determinan en el cuadrante segundo un trapecio de área 20. Hallar k Nivel: A partir de 4ESO. Preparación OMS Solución: El trapecio se puede obtener como diferencia de dos triángulos, el grande de base 12 y altura 6 y el pequeño de base k 2 y altura k 2 1 (altura del punto de intersección de las rectas y = x + k, y = - x 2). Así el área del trapecio es: (k 2)2 36 = 20 k = 10 4 Diciembre 8: Seleccionamos al azar dos números reales en [-20; 10], cuál es la probabilidad de que su producto sea positivo? Nivel: A partir de 4ESO. Preparación OMS. Solución: El producto es positivo si los dos números son ambos positivos o ambos negativos. La probabilidad de que los dos sean positivos es 1/3 1/3. La probabilidad de que los dos sean negativos es 2/3 2/3. Por tanto la probabilidad pedida es: 4/9 + 1/9 = 5/9
3 Página 3 de 8 Diciembre 9, 10: En la figura E = 40 y los arcos AB, BC y CD son de igual longitud. Hallar el ángulo x Nivel: A partir de 4ESO. Solución: Como el ángulo exterior mide 40, la diferencia entre los arcos BC y AD es de 80. Por otro lado 3 BC + AD = 360. Así que AD = 360. Tenemos entonces que AD = 2x = 30 Diciembre 11: Laia elige 6 primos menores que 20: A, B, C, D, E y F. Observa que: A+B=C+D=E+F. Cuánto vale E+F? Nivel: A partir de 1ESO. Solución: Los números primos menores que 20 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Manipulándolos tenemos: = = , luego E + F = 24 Diciembre 12, 19: En el triángulo ABC se tiene que A = 80 ; los puntos E, D y F (en los lados BA, BC y AC, respectivamente), cumplen que BE = BD; CF = CD. Hallar el ángulo x Solución: Los ángulos B y C suman 100. Como BE = BD (CF = CD) BED ( CDF) es isósceles. De aquí: B + 2 E = 180 ( C + 2 F = 180 ). Sumando ambas igualdades tenemos: ( E + F) =360 E + F = 130. Y como los tres ángulos: E, F y x forman un llano, tendremos que x = 50 Diciembre 13: En el rectángulo ABCD, de lados AB=12 y BC=8, elegimos el punto P al azar. Cuál es la probabilidad de que el triángulo PBC tenga área mayor que 20? Nivel: A partir de 4ESO. Preparación OMS.
4 Página 4 de 8 Solución: Para que el triángulo PBC tenga área mayor que 20, debe tener altura mayor que 5, es decir debe escogerse P en el rectángulo de base 7 y altura 8. Por lo tanto, la probabilidad pedida es: = 7 12 Diciembre 14, 15: En la figura se aprecian dos circunferencias de perímetro 6, colocadas de tal manera que cada una pasa por el centro de la otra. Qué perímetro tiene la figura pintada de rojo? Nivel: A partir de 4ESO. Preparación OMS. Solución: Al perímetro de dos circunferencias le hemos de quitar el perímetro de los arcos de trazo discontinuo. Se forman dos triángulos equiláteros de lado el radio de cada circunferencia, y por tanto el arco de trazo discontinuo corresponde a un arco de 120. El perímetro de cada arco es (6/3 =) 2. Por lo tanto, el perímetro de la figura pintada de rojo es (12 4 =) 8 Diciembre 16: Si b > 1, x > 0 y: (2x) log b 2 (3x) log b 3 = 0, hallar x Nivel: Primero de bachillerato. Solución: Si (2x) log b 2 (3x) log b 3 = 0, entonces (2x) log b 2 = (3x) log b 3 y tomando logaritmos log b 2 log(2x) = log b 3 log(3x). Dividiendo por log b10, cambiamos los logaritmos en base b a logaritmos decimales, y así tenemos: log2 (log2 + logx) = log3 (log3 + logx) logx = log2 log3 x = 1 6 Diciembre 17: Si P, Q y R son dígitos con: P Q P Q x R R R hallar P, Q y R Nivel: A partir de 3ESO.
5 Página 5 de 8 Solución: Tenemos PQPQ RRR = (100 PQ + PQ) (100 R + 10 R + R) = (101 PQ) (111 R) = PQ R = PQ R = = 57 = 19 3 = Por tanto, PQ =19 y R = 3 o PQ = 57 y R = Diciembre 18: Hallar el resto de dividir 7 25 entre 9 Nivel: A partir de 4ESO. Preparación OMS y OME. Solución: Como: 7 = 7(9); 7 2 = 49(9) = 4(9); 7 3 = 7 2 (9) 7(9) = 4(9) 7(9) = 28(9) = 1(9), tendremos ya formado el ciclo: En otras palabras: 7, 7 4, 7 7,..=7(9) 7 2, 7 5, 7 8, =4(9) 7 3, 7 6, 7 9, =1(9) 7(9) n = 1, 4, 7,. n = 1(3) 7 n = { 4(9) n = 2, 5, 8,. n = 2(3) 1(9) n = 3, 6, 9,. n = 0(3) Como 25 =1(3), 7 25 = 7(9), es decir el resto de dividir 7 25 entre 9 es 7. Diciembre 20, 21: En un concurso de dardos, la diana tiene forma de octógono regular. Si el dardo puede caer en cualquier punto de la diana con igual probabilidad, cuál es la probabilidad de que caiga en el cuadrado pintado de rojo? Nivel: A partir de 4ESO. Preparación OMS Solución: Hemos de dividir el área del cuadrado de color rojo entre el área del octógono. El área del cuadrado rojo es l 2, pues tiene el mismo lado que el octógono. El área del octógono es 2l Por tanto, la probabilidad solicitada es: Diciembre 22: Sean M, p y q positivos con q < 100. Qué debe cumplirse para que si aumentamos M un p% y luego lo disminuimos un q% tengamos aún una cantidad mayor que M? Nivel: A partir de 3ESO. Solución: Cuándo M crece un p% y luego decrece un q%, pasa a valer M (1 + p 100 ) (1 q 100 ). Para que esta cantidad sea mayor que M debe ser:
6 Página 6 de 8 (1 + p 100 ) (1 q 100 ) > p q 100 pq > 1 p 100 (1 q 100 ) > q 100 p > 100q 100 q Diciembre 23, 24: En el rombo ABCD, de lado 2, el ángulo B mide 120. Cuál es el área de la región interior del rombo formada por los puntos que están más cerca del vértice B que de cualquier otro vértice? Nivel: Preparación OME. Solución: Las mediatrices de los segmentos AB y BC junto con el segmento QP determinan la zona de puntos que están más cerca del vértice B que de cualquier otro vértice. Debemos hallar el área del pentágono BMQPN. Como el ángulo en B es de 120, el rombo se compone de dos triángulos equiláteros de lado 2 y altura 3. Las diagonales del rombo son 2 y 2 3 y su área es 2 3. Como P y Q son los baricentros de los triángulos equiláteros BCD y ABD, PC = PD = PQ = AC =. 3 3 El área del triángulo QPD es la tercera parte del área del triángulo ACD, que es la sexta parte del área del rombo ABCD, es decir: A ΔQPD = = 6 3 Por último, el área del pentágono BMQPN es el doble del área del triángulo QPD, es decir Diciembre 25: Si a y b son naturales con (a + 2b) (a b)=10, cuánto vale (2a b)? Solución: De (a + 2b) (a b)=10 siendo a y b naturales caben dos opciones, por la unicidad de la descomposición factorial en primos: 1.- a + 2b = 10 } a = 4, b = 3 a b = 1
7 Página 7 de a + 2b = 5 } a = 3, b = 1 a b = 2 Y en los dos casos 2 a b = 5 Diciembre 26, 27: Resolver: Nivel: Bachillerato. Preparación OME. Solución: Observemos que Así pues: log 2 x + log 2 x + log 4 x 2 + log 8 x 3 + log 16 x 4 =40 log 2 nx n = log 2x n log 2 2 n = nlog 2x = log n 2 x log 2 x + log 2 x + log 4 x 2 + log 8 x 3 + log 16 x 4 =40 log 2 x + log 2 x + log 2 x + log 2 x + log 2 x = 40 5log 2 x = 40 log 2 x = 8 x = 2 8 = 256 Diciembre 28: Dos triángulos isósceles distintos, tienen igual área. En ambos, sus lados iguales miden 26 cm. Si la base de uno mide 48 cm, hallar la base del otro Nivel: A partir de 3ESO. Solución: La altura del triángulo cuya base mide 48 cm es: = 10, y su área es (48 10/2=) 240 cm 2. Como los dos triángulos tienen igual área, la del segundo podemos expresarla como: b h = 240, y de aquí b = 480 h. Como h = 26 2 ( b 2 )2, la expresión anterior queda b = De aquí se deduce b 676 ( b 26 2 ( b )2. 2 )2 = 480 b 2 (676 b2 ) = Operando 2 queda b b = 0, que lleva a b = 20 Diciembre 29, 30: La base del rectángulo de la figura mide 4 y su altura 2, cuál es el área de la región roja generada por dos semicircunferencias con centros en los lados largos del rectángulo? Nivel: A partir de 3ESO. Solución: El área de la región roja es el doble del área de un segmento circular de ángulo central 120 en un círculo de radio R = 2. Como A segmento = A sector A triángulo, tendremos: A segmento = π b h 2 = 4π = 4π 2 3 3
8 Página 8 de 8 De aquí, que el área solicitada sea A = 8π Diciembre 31: Resolver: 5 x + 8 = x 2 16 Nivel: 4ESO. Preparación OMS. Solución: La ecuación 5 x + 8 = x 2 16 es equivalente a x 2 5 x - 24 = 0. Si x > 0, la ecuación es x 2 5x 24 = 0, con soluciones x = 8 y x = - 3, no siendo válida esta última porque no es mayor que 0. Si x < 0, la ecuación es x 2 + 5x 24 = 0, con soluciones x = - 8 y x = 3, no siendo esta última válida porque no es menor que 0. Las soluciones válidas son 8 y 8.
4. Resolver un triángulo rectángulo e isósceles en el que la hipotenusa tiene 9 pies de longitud.
7 CAPÍTULO SIETE Ejercicios propuestos 7.5 Triángulos 1. Construya de ser posible los siguientes triángulos ABC. En caso de que existan, determine sus cuatro puntos característicos empleando regla y compás.
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EJERCICIOS ÁREAS DE REGIONES PLANAS 1. En un triángulo equilátero se inscribe una circunferencia de radio R y otra de radio r tangente a dos de los lados y a la primera circunferencia, hallar el área que
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13Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 250
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