La tercera parte de los ahorros de Juan es $115. Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se expresa como sigue: 1

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Francisco Javier Moreno Bustos
hace 6 años
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1 La tercera parte de los ahorros de Juan es $5. Si representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se epresa como sigue: 3 5 Esta igualdad es una ecuación lineal. Las ecuaciones se usan para epresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos, astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo: v t, epresa la relación entre la velocidad (v) el tiempo (t) de un automóvil con velocidad inicial de m por segundo, con una aceleración de m por segundo cuadrado.

2 Una ecuación lineal es una ecuación de la forma a a ann b en donde,,..., n son variables; a, a,..., a n son constantes llamadas los coeficiente de las variables b es una constante llamada el término constante de la ecuación. Ejemplo Solución Juan tiene canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 03 canicas. Cuántas tiene cada uno? Si Pedro tiene canicas, entonces Juan tiene + canicas. Por tanto:

3 Ejemplo Con la corriente a su favor una lancha navega a 00 km/h, con la corriente en contra navega a 70 km/h. Cuál es la velocidad de la corriente, la de la lancha cuando el río está en calma? Solución Sea la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, sea la velocidad del río o de la corriente. Entonces: es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor. es la velocidad de la lancha con la corriente en contra. Por lo que: (*) Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales Resolviendo el sistema (*) se obtiene: km 85, 5 h km h

4 Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales? Ha diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (). Se describirán algunos de ellos resolviendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior. Método por sustitución Este método se resume así:. Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.. 3. La variable despejada en el paso, se sustitue en la otra ecuación por su correspondiente epresión, se resuelve la ecuación que resulta. El valor de la variable obtenido en el paso, se sustitue en la ecuación obtenida en el paso.

5 00 Ejemplo 3 Resolver por sustitución el sistema 70.(*).(**) Solución. Despejando a la variable de la ecuación (*) se tiene: 00. Sustituendo a la variable por 00 en la ecuación (**) se tiene: Sustituendo a la variable por 85 en la ecuación del paso se obtiene el valor de

6 Método por igualación Este método se resume así:. De cada ecuación se despeja la misma variable.. 3. Se igualan las epresiones obtenidas en el paso, se resuelve la ecuación que resulta. El valor de la variable obtenido en el paso, se sustitue en una de las ecuaciones obtenida en el paso. Ejemplo 4 Juan Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, a qué distancia del D.F. en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan? Solución Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

7 t es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan. Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo la distancia así v = d/t se tiene que: d 60 t d 90 t O sea: 60 t d 0 90t d 90 Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene: 90t 90 60t 30t t 3 30 Sustituendo el valor t = 3 en la ecuación que d = t d 0 se obtiene

8 Método por determinantes Si los coeficientes de las variables t d del sistema se arreglan así se obtiene una matriz. 60 t d 0 90t d 90 El determinante de una matriz se define como sigue: ab cd ab ad cd bc Y la resolución por determinantes de un sistema obtiene así: se denota así: mb am n d, c n ab. ab cd cd ab cd a b m c d n, se

9 3 Ejemplo 5 Resolver por determinantes el sistema 3 Solución Ejemplo 6 Resolver por determinantes el sistema 4 8 Solución ,

10 Método gráfico La gráfica de cada ecuación de un sistema de ecuaciones lineales, es una recta. Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la ha) la intersección de las rectas que las representan. Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema Solución Se tabulan las ecuaciones despejando a en cada una de ellas. Observe:

11 Representando gráficamente las parejas ordenadas (, ) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe: 3 (, 3) 0 El punto de coordenadas (, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:, 3

12 Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan eactamente en un punto cuas coordenadas corresponden a la solución del sistema. 3 Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe: (4, ) 0 4 3

13 Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta. Ejemplo 0 El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe: 0 -

14 Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas distintas entre sí. Ejemplo El sistema 3 no tiene solución. Observe:

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