Fundación Uno. Ejercicio reto. Razones trigonométricas. ENCUENTRO # 54 TEMA:Trigonometría. CONTENIDOS: 1. Razones trigonométricas.

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1 ENCUENTRO # 54 TEMA:Trigonometría. CONTENIDOS: 1. Razones trigonométricas. 2. Resolución de triángulo rectángulo. Ejercicio reto 1. En la figura ABC es isósceles. C A AD y B AD. ADC = 30 circ. Haciendo centro en D se traza el arco BE. Si el área de ABC es de 18cm 2, calcula el área de la región sombreada. A)5.1 B)31.1 C)18 D)8 E)9 2. En un salón que tiene 6,0 m más de largo que de ancho, se coloca una alfombra rectangular que deja al descubierto un margen de 3,0 m por cada lado. El total de la superficie descubierta es igual a la superficie de la alfombra. La superficie que cubre la alfombra es: A)216m 2 B)24m 2 C)18m 2 D)180m 2 E)432m 2 Razones trigonométricas A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se les llama funciones o razones trigonométricas. Definiciones Seno de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno de un ángulo: es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Tangente de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. cotangente de un ángulo: es la razón entre el cateto adyacente y el opuesto. secante de un ángulo: es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Portal 1 sv.portaldematematica.com

2 cosecante de un ángulo: es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Nota: los catetos se nombran según el ángulo agudo que se utilice. Ejemplo 1.1. En el siguiente triángulo determina los catetos opuesto y adyacente para cada uno de los ángulos agudos. Razones senα = a c senβ = b c cosα = b c cosβ = a c tanα = a b tanβ = b a Para ángulo α Cateto opuesto= a Cateto adyacente= b hipotenuesa= c Para ángulo β Cateto opuesto= b Cateto adyacente= a hipotenuesa= c cotα = b a secα = c b cscα = c a cotβ = a b secβ = c a cscα = c b Cofunciones Cualquier función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento. Por geometría: 90 + α + β = 180 Donde: α + β = 90 ; β = 90 α por tanto α y β son complementarios. Entonces mediante las definiciones: senα = cos(90 α) = cosβ cosα = sen(90 α) = senβ tanα = cot(90 α) = cotβ cotα = tan(90 α) = tanβ secα = csc(90 α) = cscβ cscα = sec(90 α) = secβ Ejemplo 1.2. Dadas las funciones trigonométricas, se determinan sus respectiva cofunciones: sen32 = cos(90 32 = cos58 sen25 = cos(90 25 = cos65 Portal 2 sv.portaldematematica.com

3 Resolución de triángulo rectángulo Valor Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo se pueden determinar las demás funciones a partir de la construcción de un triángulo rectángulo y el empleo del teorema de Pitágoras como a continuación se ilustra. Ejemplo 1.3. Si θ es agudo y cosθ = 3 4, calcula los valores de las funciones trigonométricas para θ. Solución Se construye un triángulo rectángulo, donde u es uno de los ángulos agudos, la hipotenusa es 4 y el cate to adyacente es 3. (4) 2 = (x) 2 + (3) 2 16 = x = x 2 7 = x 2 7 = x Por tanto las funciones trigonométricas del ángulo agudo θ son: senθ = 7 4 cosθ = 3 7 = cscθ = 4 tanθ = = secθ = 4 3 Ejemplo 1.4. Si θ es agudo y tanθ = 1 2, calcula los valores de seno y coseno del ángulo θ Solución Se construye un triángulo rectángulo, donde u es uno de los ángulos agudos, el cateto opuesto es 1 y el cateto adyacente es 2. Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado restante: (x) 2 = (1) 2 + (2) 2 x 2 = x 2 = 5 x = 5 Por consiguiente senθ = 1 = y cosθ = 2 = Portal 3 sv.portaldematematica.com

4 Ejercicios propuestos 1. Obtén el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos, en los siguientes triángulos: c) a) b) d) Solución de triángulos rectángulos Dados tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lado, encontrar el valor de los datos restantes. Para los triángulos rectángulos basta conocer el valor de uno de los lados y algún otro dato, el cual puede ser un ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno de los ángulos siempre será de 90. Cabe destacar que el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma importancia para la resolución de triángulos rectángulos. Portal 4 sv.portaldematematica.com

5 Ejemplo 1.5. En e triángulo ABC, a = 12cm, b = 9cm. Resuelve el triángulos. Solución c = a 2 + b 2 c = c = c = 225 = 15 Por tanto c = 15cm Para encontrar los ángulos se utilizan funciones trigonométricas; en este caso, al tener los tres lados se puede aplicar cualquier función. Por ejemplo, en el caso del ángulo A se aplica la función tangente, entonces: Se despeja el ángulo A: t an A = 12 9 A = arctan( 12 9 ) = Para encontrar el tercer ángulo, se tiene que A + B + C = 180, en particular A + B = 90 ya que C = 90, por tanto: B = 90 B = B = Ejemplo 1.6. En el triángulo MNP,m = 13,4cm, P = 40. Resuelve el triángulo. Solución Para hallar el N, se aplica: N + P + M = 180 Ya que M = 90, entonces N+ = 90 N = 90 P N = N = 50 Portal 5 sv.portaldematematica.com

6 Para hallar el lado n e elige uno de los ángulos agudos, en este caso P y se establece la función trigonométrica de acuerdo al lado que se va a encontrar (n) y el lado conocido (m = 13,4), por lo que la función que se busca es el coseno de P, entonces: cosp = n m donde cos40 = n 13,4 Al despejar n: n = (13,4)(cos40 ) = (13,4)(0,76604)10,265cm Para hallar el lado restante (p) se utiliza el teorema de Pitágoras: p = m 2 n 2 = (13,4) 2 (10,26) 2 = 179,56 105,27 = 74,29 8,62 Ejercicios propuestos Resuele el siguiente triángulo rectángulo según los datos proporcionados: 1. a = 12,b = A = 32,b = 4 3. C = 46, a = 5 4. a = 32,5,b = 41,3 5. A = 45, a = C = 54,b = 22,6 7. b = 22,5,c = 18,7 Portal 6 sv.portaldematematica.com

7 8. A = 48 12,b = 34,5 9. C = 34 32,b = 56,9 10. A = 32 27, a = b = 17, a = A = 25 49,c = 13 Problemas de aplicaciones Ejemplo 1.1. Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Si el ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46 23, encuentra la altura del edificio. Se representa el problema con un dibujo: h Para hallar la altura del edificio se utiliza la función tangente, ya que se tienen como datos un ángulo y el cateto adyacente a éste, y la altura representa el cateto opuesto al ángulo dado: 20 m al despejar h: tan46 23 = h 20 h = (20)(tan46 23 ) = (20)(1,04949) 21m Portal 7 sv.portaldematematica.com

8 Ejemplo 1.2. En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de desde un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de 38 desde el otro extremo. Cuál será la longitud del túnel? Solución T h=250m P R Q a La longitud del túnel está determinada por a + b Para obtener a, se utiliza el triángulo PRT y se aplica la función tangente de P: al depejar a: b tan48 48 = 250 a a = 250 tan48 48 = 250 1,1302 = 221,19m Para obtener b, se utiliza el triángulo QRT y se aplica la función tangente de Q: al depejar b: tan38 = 250 b a = 250 tan38 = 250 0,7812 = 320,02m Por tanto, la longitud del túnel es: 221, ,02 = 541,21m. Ejercicios propuestos 1. En una torre de 40 m que está sobre un peñasco de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 20 de un barco situado en la laguna. A qué distancia de la orilla del peñasco se encuentra el barco? 2. A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un ángulo de 23. Calcula la altura del árbol. Portal 8 sv.portaldematematica.com

9 3. Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo de 45 con respecto a la horizontal. Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros de cuerda. 4. Determina el ángulo de elevación del Sol si un poste de 2.56 metros proyecta una sombra de 1.85 metros. 5. Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto A de Calcula la altura a la que se encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, si la distancia de éste al punto A es de 50 metros. 6. Desde lo alto de una torre cuya altura es de 25 m, se observa un automóvil alejándose de la torre, con un ángulo de depresión de 32 ; si un instante después el ángulo es de 26, qué distancia se ha desplazado el automóvil? 7. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se muestra en la fi gura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero hasta donde se encuentra el delincuente es de 25 y el ángulo de depresión hasta donde se encuentra el patrullero es de 65, y su calcula: a) La distancia entre el helicóptero y el delincuente. b) La distancia entre el patrullero y el delincuente. c) La altura del helicóptero. 8. Un ingeniero civil desea conocer el ángulo de elevación del topógrafo, así como la distancia a la que se encuentra del asta bandera, si se sabe que el asta bandera mide la cuarta parte de la altura del edificio que es de 16 metros, y la distancia entre ambas es de 9 metros. Portal 9 sv.portaldematematica.com