Linealización por realimentación. Linealización por realimentación

Transcripción

1 Linealización por realimentación Objetivo específico Presentar las posibilidades que ofrece la realimentación para la linealización exacta de algunos sistemas no lineales y posterior aplicación de métodos de control lineal Linealización por realimentación Temas. Diseño de sistemas de control no lineal. 3. Ejemplo introductorio a la linealización por realimentación 4. Generalización del método 5. Ejemplos

2 Diseño de sistemas de control no lineal Problemas de control no lineal Problema de estabilización asintótica: encontrar una acción de control tal que iniciando desde un estado inicial en una región dada, el estado tiende a cuando t. Tipos de control: Control estático Control dinámico Problema de seguimiento: encontrar una acción de control tal que dada una trayectoria deseada y d e iniciando desde un estado inicial en una región dada, los errores y(t) y d (t) tienden a cero mientras que el estado x permanece acotado 3 Diseño de sistemas de control no lineal Características deseadas Estabilidad: especificar la región de estabilidad para el modelo nominal Exactitud y velocidad de respuesta Robustez Costo: número y tipo del equipo utilizado Métodos de diseño de controladores no lineales Tanteo Linealización por realimentación Control adaptativo Ganancia planificable Control robusto 4

3 Diseño de sistemas de control no lineal Linealización por realimentación Algunos sistemas no lineales se pueden transformar en lineales por medio de una realimentación y un cambio de variables La acción de control comprende dos términos: Compensación de alinealidades Ley de control lineal Es un método exacto Debido a que es imposible la compensación perfecta, es importante analizar la robustez del sistema Al linealizar son más claros los objetivos de control No siempre la linealización por realimentación es adecuada, ya que se pueden cancelar términos que proporcionan, por ejemplo, amortiguamiento 5 Generalidades Un sistema no lineal puede linealizarse alrededor de un p.e. y controlarlo por realimentación lineal del estado. Es un método aproximado y local A más información mejor control Máxima información: variables de estado Si se miden todas las variables de estado el sistema no tendrá ceros Requerimiento: controlabilidad del sistema Generalmente la medición de todos los estados es costoso o impracticable. En este caso se deben estimar algunas variables de estado. Requerimiento: observabilidad del sistema 6 3

4 7 Generalidades El esfuerzo de control aumenta con un movimiento más drástico de los polos El diseño por realimentación del estado puede dividirse en dos etapas ("principio de separación"):. Diseño con todas las variables de estado disponibles. Estimación de las variables de estado no medidas Formas del controlador de realimentación del estado: Regulador estático: u(kt) = Kx(kT), K n Regulador dinámico Métodos para la estimación de las variables de estado no medibles: Observadores de estado (Luenberguer, 966) Filtro de Kalman (Kalman, 96) Ejemplo - Método de sustitución (caso SISO) Modelo discreto de la planta x.3. ( k + ) = ( k) + u( k), y( k) = [.4 ] ( k), T = seg.5 x x 8 Regulador de ubicación de polos por realimentación del estado [ ] uk ( ) Kx( k) k k x ( k) = = x ( k) Polos de la planta:., -.5 Polos deseados:.,. 4

5 9 Ejemplo (cont.) Modelo en lazo cerrado x( k+ ) = Ax( k) + Buk ( ), uk ( ) = Kx( k), x( k+ ) = ( A-BK) x( k).3 k. k x( k + ) = ( k).5 x Ecuación característica en lazo cerrado zi A = z + k + z+ k =, (.3).5. Ecuación característica deseada: ( z.)( z.) = z.z+. Solución al problema de ubicación de polos: k =.5, k =. Ejemplo (cont.) y(n)=cx(n)+du(n) x(n+)=ax(n)+bu(n) (A, B) Scope Diagrama de simulación K -K Resultados de la simulación x (t) t (seg) 5

6 Método de Ackermann (sistemas SISO) Modelo del sistema: x(k + ) = Ax(k) + Bu(k) Forma canónica controlable del modelo del sistema * * * * x ( k + ) = A x ( k) + B u( k) x () t = Tx(), t T = M M * * c c = = = an an an a * * A TAT B = TB Método de Ackermann (sistemas SISO) Polinomio característico deseado Modelo en lazo cerrado n Pz ( ) = z + pz + + p z+ p n n n * * * * * * x ( k + ) = A x ( k) + B u( k), u( k) = K x ( k) * * * * * x ( k + ) = ( A B K ) x ( k) * * * k k kn = a a a p p p n n n n 6

7 3 Método de Ackermann (sistemas SISO) Solución de la ecuación anterior [ p a p a p a ] * K = n n n n * * * u = Kx = KTx= Kx * K=KT= [ p a p a p a ] MM * n n n n c La expresión anterior puede llevarse a una forma más simple: [ ] K= M PA ( ) n PA ( ) = A + p A + + p A+ p I c n n Se observa que el sistema debe ser controlable MATLAB: acker ó place n 4 Ejemplo - Método de Ackermann x.3. ( k + ) = ( k) + u( k), y( k) = [.4 ] ( k), T = seg.5 x x.3, ( ) (.)(.).. Mc =.5 Pz = z z = z z+.6. PA ( ) = A.A+.I= K= Mc PA.5.5. [ ] ( ) = [ ] = [.5.] 7

8 5 Ubicación de polos con señal de referencia Los resultados anteriores pueden adaptarse a un sistema con referencia. En este caso se tiene x( k+ ) = Ax( k) + Buk ( ), uk ( ) = hrk ( ) Kx( k) x( k + ) = ( A BK) x( k) + Bhr( k), G( z) = C( zi A + BK) Bh Cálculo de los ceros zi A B X = hr C KX Y La referencia no afecta la ubicación de los polos El parámetro h afecta la amplitud de la respuesta Los ceros no varían (son los mismos del proceso) El control multifrecuencia permite ubicar los ceros 6 Ejemplo 3 Ubicación de polos con referencia x.3. ( k + ) = ( k) + u( k), y( k) = [.4 ] ( k), T = seg.5 x x K = [.5.] ( z.) h Gcl ( z) = z.z+. Rz yss = lim( z ) G( z) =.9877 Rh = R, h =.5 z z 8

9 7 Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral Se adiciona un integrador a la planta y se realiza el diseño sobre el nuevo modelo El integrador se incluye luego en el regulador El modelo de la planta con el integrador es: V( z) =, zv ( z ) = V ( z ) + E ( z ), e ( k ) = r ( k ) y ( k ) Ez ( ) z vk ( + ) = vk ( ) + rk ( ) yk ( ) = vk ( ) + rk ( ) Cx( k) x( k + ) A x( k) B = + uk ( ) + rk ( ) vk ( + ) vk ( ) C 8 Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral Ley de control K K =, u( k) = hr( k) ( k) + lv( k) l Kx Estructura de control h r(k) e(k) v(k) u(k) x(k) y(k) l Planta Planta z - Integrador (A,B) C K Regulador 9

10 9 Ejemplo 4 - Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral x.3. ( k + ) = ( k) + u( k), y( k) = [.4 ] ( k), T = seg.5 x x ( ) = (.)(.) =. +. Pz z z z z Adicionando un integrador x( k + ).3. x( k) x( k + ) =.5 x( k) + u( k) + r( k) vk ( + ).4 vk ( ) 3 3 Pz ( ) = ( z.) = z.3z +.3z.» S=ss([-.3.;.5 ],[;],[ -.4],,'Ts',);» Sa=ss([S.A [;];-S.C ],[S.B;],[ ],,'Ts',);» K=acker(Sa.A,Sa.B,[.,.,.]).4 K K = =.65 l.9 Ejemplo 4 (cont.) Referencia z- Integrador.9 l y(n)=cx(n)+du(n) x(n+)=ax(n)+bu(n) (A,B) K C Scope K K y (t) Respuesta temporal t (seg) Acción de control u (t) t (seg)

11 Caso de múltiples entradas Cálculos más complejos y solución no única Existen varios métodos de solución que se enfrentan a problemas de confiabilidad y sensibilidad numérica Condición necesaria y suficiente: sistema controlable Ya que existen más grados de libertad en la selección de la matriz de realimentación, es posible satisfacer otros requerimientos de diseño: asignación de vectores propios y minimización de la sensibilidad La respuesta mejora, ya que hay más libertad para seleccionar las acciones de control Formulación del problema. Encontrar la matriz K de manera que A cl = A BK tenga los valores propios deseados Caso de múltiples entradas Caso más general: Ubicación de polos por realimentación de la salida. Los algoritmos son aún más complejos. Formulación: A cl = A BKC MATLAB Ubicación de polos por realimentación del estado: place. Restricción: la multiplicidad de un polo no debe ser mayor que el número de entradas Ubicación de polos por realimentación de la salida: mevao del POLEPACK TOOLBOX. Se ubican min{n, m+p-} polos Tópico de considerable interés en control El control multifrecuencia permite (con el método del "lifting") ampliar el número de entradas, con lo que se alcanza la condición antes mencionada

12 3 Ejemplo 5 Caso de múltiples entradas x( k + ) = x( k) + u( k), T = seg.5.5 Polos deseados: [,, ] MATLAB: S=ss([ ; ;-.5.5],[ ; ; ],[ ; ; ],[ ; ; ]); K=place(S.A,S.B,[,,.]).5.5 K = Ejemplo 5 (cont.) 4 y(n)=cx(n)+du(n) x(n+)=ax(n)+bu(n) (A,B) Scope K 3.5 Variables de estado -K Acciones de control x (t).5.5 u (t) t (seg) t (seg)

13 5 Caso de múltiples entradas. Reducción a un sistema con una entrada Un sistema controlable con múltiples entradas siempre puede ser transformado, por medio de una realimentación del estado, a un sistema controlable con una sola entrada Lema. Dado el sistema (A,B) controlable, para toda m m n matriz Γ y casi toda matriz κ, el sistema en lazo abierto resultante con entrada escalar ν: x = ( A+Bκ ) x+ BΓν, es controlable y tiene valores propios distintos Caso de múltiples entradas. Reducción a un sistema con una entrada Al sistema con una entrada se le puede aplicar la fórmula de Ackermann para obtener la matriz de realimentación F. Luego, la matriz de realimentación del sistema de varias entradas es: K = ΓF - κ Acl = A+Bκ BΓ F= A B( ΓF κ) 6 Por tanto, para el sistema MIMO se tiene K = ΓF - κ 3

14 7 Ejemplo 6 x( k + ) = x( k) + u( k), T = seg.5.5 Polos deseados: [,, ] Se seleccionan arbitrariamente las siguientes matrices 3 κ = Γ = x = ( A+Bκ ) x+ BΓν = x+ ν eig ( A+Bκ ) = [.63,.734, 4.965] 8 Ejemplo 6 (cont.) Se aplica la fórmula de Ackermann para obtener F = [ ] K =ΓF κ= [ i ] eig( A-BK) =.49 ±.85,.98 4

15 9 Caso de múltiples entradas. Caso particular Planteamiento del problema n m x( k + ) = Ax( k) + Bu( k), u u( k) = Kx( k) x( k + ) = ( A BK) x( k) Si A cl es la matriz deseada en lazo cerrado (se puede expresar en la forma de Jordan, donde sus valores propios son los polos deseados) se tiene A BK = A Si m = n = cl, K B ( A Acl ) Con un esquema de muestreo multifrecuencia se pueden obtener matrices cuadradas 3 Ejemplo introductorio Pasos Sistema no lineal: x = x + x + senx x = x cos x + u cos x p.e.=(,) Transformación del estado a una forma con las alinealidades en la última ecuación z = x x = z z = x + sen x x = z sen z z = z + z z = z cos z + cos z sen z + u cos z p.e.=(,) 5

16 3 Ejemplo introductorio Pasos. Transformación de la entrada que convierte el sistema no lineal en un sistema lineal π 3π 5π u = ( v cos zsen z + zcos z) z ±, ±, ±,... cos z z = z + z z = v 3. Comprobación de la controlabilidad y diseño del control lineal v = k z k z = z 3 Ejemplo introductorio Pasos 4. Implementación de la acción de control en las variables de estado originales: π kπ u = ( v cos xsen x + xcos x) x ±, k =,,,... cos x 4 6

17 33 Ejemplo introductorio Simulación con Matlab/Simulink Diagrama completo de control y parámetros perturbados en un %, incluyendo el control y la transformación de estados (v,u) v=-kz Linear control u=u(x,v) Nonlinear control x =f(x,u) Nonlinear system x z=z(x) x --> z 34 Ejemplo introductorio Simulación con Matlab/Simulink (cont.) Modelo de la planta no lineal -*u[]+u[]+sin(u[]) Fcn s x x u -u[]*cos(u[])+u[3]*cos(*u[]) Fcn s x 7

18 35 Ejemplo introductorio Resultados de la simulación x.4. x t(sec) 36 Ejemplo introductorio Resultados de la simulación u (t) -3-4 v (t) t(sec) t(sec) 8

19 37 Generalización del método Introducción Un sistema no lineal es linealizable por realimentación si tiene la siguiente forma estándar: x = f( x) + g( xu ) y existe un cambio de variables z = T(x) (llamado difeomorfismo) que transforma el sistema a la siguiente forma: [ ] z = Az+ Bβ ( z) u α( z) Control linealizante: u = α( z) + β( z) v Condiciones adicionales: (A,B) es controlable β(x) es no singular para todo x en cierto dominio D 38 Generalización del método Difeomorfismo Cambio de variables z = T(x) tal que está definido en un dominio D, su transformación inversa x = T - (z) está definida en D z = T(D), y ambos T y T son continuamente diferenciables en D y D z, respectivamente Ejemplo: Tx ( ) x T ( x) = x = x + x + sen x T( x) = x + x + senx z = T( x) = x x = z z = T ( x) = x + x + sen x x = z + z sen z 9

20 39 Generalización del método Obtención de T(x) Derivando z = T(x) De otro lado: T T z = x = f x + g xu x x [ ( ) ( ) ] [ ] [ ] z = Az+ Bβ z u α z = AT x + Bβ Tx u α Tx ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) Comparando: T fx = ATx Bβ Tx α Tx x T gx ( ) = Bβ ( Tx ( )) x ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 4 Generalización del método Obtención de T(x) La existencia de (T, α, β, A, B) que satisfacen la ecuaciones diferenciales parciales anteriores es una condición necesaria y suficiente para que el sistema no lineal x = f( x) + g( xu ) sea linealizable por realimentación La obtención de T(x) se reduce a la solución de dichas ecuaciones La solución puede simplificarse, teniendo en cuenta que T(x) no es única. A continuación se expone un método para un sistema con una entrada Si se aplica la transformación lineal z * = Mz se obtiene: * * * * z = MAM z + MBβ ( M z ) u α( M z )

21 4 Generalización del método Obtención de T(x) Se conserva la forma de la ecuación, pero con diferentes (T, α, β, A, B) Una combinación de M y T transforma el sistema a una forma especial Se toma (A, B) en la forma canónica controlable T MAM = Ac + BcΛ MB = Bc an a n Ac = B c = Λ = a a 4 Generalización del método Obtención de T(x) De esta manera: * * T * * * z = A c z + B c Λ z + B c β ( z ) u B c β α( z ) El segundo término puede incluirse en el último: * * * * * z = A c z + B c β ( z ) u α ( z ) De esta manera, puede asumirse que (A, B) corresponde a (A c, B c ) T fx = ATx Bβ Tx α Tx x T gx ( ) = Bβ c ( Tx ( )) x ( ) c ( ) c ( ( )) ( ( ))

22 43 Generalización del método Obtención de T(x) Sea [ T x T x T x ] Tx ( ) = ( ) ( ) ( ) Tx ( ) = n o Las ecuaciones simplificadas son: T T Tn Tn gx ( ) = gx ( ) = gx ( ) = gx ( ) = x x x x β T T Tn Tn α f( x) = T f( x) = T3 f( x) = Tn f( x) = x x x x β ( Tn / xf ) ( x) β = α = ( T / xgx ) ( ) ( T / x) gx ( ) n El problema se reduce al cálculo de T (x). Las condiciones de existencia de esta función requiere de conceptos de geometría diferencial n T Ejemplos Ejemplo x = x + x + senx x = x cos x + u cos x p.e.=(,) Forma estándar del modelo no lineal: x = f( x) + g( x) u x x + x + senx u x = + x cos x cos x Ecuaciones simplificadas: T T T gx ( ) = gx ( ) fx ( ) = T x x x ( T / x) f( x) β = α = ( T / x) g( x) ( T / x) g( x) 44

23 45 Ejemplos Ejemplo (cont.) T T T T gx ( ) = = cosx =, x x x cos x x T = x T T T T T gx ( ) = = cosx, x x x cos x x x T T T x + x + senx T T = fx ( ) = = x x x x cs o x x ( x + x + senx ) T = Si, entonces una posibilidad es, considerando Tx ( o ) = : x T ( x) = x x Tx ( ) = T x x ( x) = + + senx x + x + senx Ejemplos Ejemplo (cont.) Las nuevas variables de estado z = T(x) son: z = T( x) = x x = z z = T ( x) = x + x + sen x x = z + z sen z 46 La ecuación de estado en las nuevas variables es: z = z z = z z cos z + cos z sen z + u cos z p.e.=(,) El cálculo de la acción de control no lineal puede hacerse directamente: u = ( zcosz senzcosz + v) cos z 3

24 47 Ejemplos Ejemplo (cont.) Cálculo de la acción de control por las fórmulas: T T T gx ( ) = = [ + cosx ] = cosx x x x cos x cos x T T T x + x + senx 4x x senx fx ( ) = = x x x x cos x xcosx + senxcosx β= = ( T / xgx ) ( ) cosx ( T / xf ) ( x) 4x x sen x xcos x + sen x cos x α= = ( T / xg ) ( x) cosx u =α ( z) +β ( z) v = z + zcosz s z cos z [ en cos z + v] Ejemplos Ejemplo (cont.) Modelo lineal: z = z z = z + v p.e.=(,) El modelo puede o no contener el término -z, pues el control u puede o no eliminarlo El modelo lineal es controlable: A = B = Mc = [ B AB] = rango( c) = M 48 4