MODELADO MATEMÁTICO Y MAPAS DE CONCEPTOS

Transcripción

1 Fundación Misión Sucre Colegio Universitario de Caracas Taller IV: MODELADO MATEMÁTICO Y MAPAS DE CONCEPTOS Definición. Un modelo es la representación simplificada de un proceso, de un sistema o de un objeto real, que describe la estructura o el comportamiento del mismo. Un modelo debe: explicar el concepto, el fenómeno, la situación real que se esta modelando ser capaz de predecir que la situación modelada se comportara de cierta manera Algunos modelos es posible que sirvan, además, en situaciones análogas como modelos en otros campos. En un modelo matemático se establecen relaciones entre un conjunto de variables, expresadas generalmente mediante ecuaciones, inecuaciones y en forma grafica. Pasos a seguir en la construcción de un modelo matemático. 1. Identificar la situación real que conduce a formular un problema. 2. Seleccionar las variables que intervienen y la información disponible y necesaria. 3. Simplificar el problema. 4. Expresar matemáticamente el problema utilizando símbolos, ecuaciones, inecuaciones, gráficos, etc.

2 5. Aplicar procedimientos y técnicas matemáticas para resolver el problema matemático. 6. Aplicar la situación encontrada a la situación de partida. 7. Comparar con la realidad los resultados obtenidos, es decir, validar con la situación de partida. Si los resultados son validos el modelo es adecuado, en caso contrario hay que modificarlo y se recomienza en el paso segundo. Los modelos matemáticos mas utilizados son el modelo lineal y el modelo exponencial. Ejemplo Modelo del crecimiento de una población. Se quiere estudiar el crecimiento de la población Venezolana considerando los datos de algunos censos de población, los cuales son dados en la tabla siguiente Año: Población: Vemos que las variables en juego son Número de habitantes y Número de años. Podemos elaborar la representación grafica de los datos, ya sea en formas de puntos en un plano cartesiano, o podemos unir esos puntos con segmentos obteniendo una función continua, se puede utilizar también un diagrama de barras, como muestran las figuras. 28

3 También es posible pensar en una recta como muestra la grafica 29

4 Todas estas graficas no representan modelos adecuados ya que no permiten estimar con precisión la población en los años intermedios a los censos así como la proyección para años posteriores. Estableceremos ahora un Modelo Lineal y para ello consideraremos la tasa media de variación r de la función N = N(t) en un intervalo [ t o, t o + t ] r = N/ t = (N(t o + t) N(t o ))/ t r = (N(1950) N(1941))/( ) r = ( )/9 = hab/año Supongamos que la tasa permanece constante desde 1941, entonces: N m = N m Esto es una progresión aritmética, por lo que: Que expresado como una función continua tenemos: N m = m para m 0 N(t) = t para t 0 30

5 Vemos que en este modelo para años posteriores a 1971, los resultados obtenidos al aplicarlo se alejan de los resultados de los censos, debemos entonces probar con otro modelo. Hagámoslo con el Modelo Exponencial, para lo cual utilizaremos la tasa media de cambio r del modelo anterior, dividida por la población al inicio del periodo considerado, es decir al cociente: R = r / N(t o ) R se denomina tasa de crecimiento por unidad de tiempo y por individuo. R = (N(1950) N(1941)) / ( ( )) 0,03443 R = ( ) / = / = Al igual que en el modelo anterior N m = N m 1 + N m 1. 0,03443 = ( ) N m 1 = N m 1 N m = N 0 (1,03443) m = (1,03443) m para m 0 Esta modelo arroja resultados que son más próximos a los datos de los censos que los modelos anteriores, por lo que es el más adecuado. Expresándolo como una función continua tenemos: N(t) = (1,03443) t para t 0 31

6 Mapas de Conceptos En matemática es necesario conocer el significado de los términos que empleamos, de los conceptos usados, ya que los teoremas y proposiciones están conformados por conceptos. Los conceptos nuevos en matemática generalmente se establecen a partir de otros conceptos previamente definidos, esto se hace mediante una definición, de un enunciado que determina de una forma precisa las características esenciales del concepto que estamos definiendo. Esto quiere decir que el concepto que estamos definiendo requiere de varios conceptos ya conocidos. Una manera de darnos cuenta de cuales conceptos se utilizan cuando se da una definición es haciendo uso de representaciones o diagramas dispuestos en una forma jerárquica en los que se señalan las relaciones que existen entre ellos. Tales diagramas que permiten organizar conocimientos jerárquicamente se denominan MAPAS DE CONCEPTOS. COMO SE CONSTRUYEN LOS MAPAS DE CONCEPTOS A continuación se enuncian algunas orientaciones que ayudan en la construcción de mapas conceptuales. Los conceptos mas generales aparecen en la parte superior del mapa Se sigue en orden descendente con conceptos menos generales, obteniéndose los conceptos intermedios hasta llegar al final del mapa donde se ubican los conceptos específicos. Los conceptos de igual nivel jerárquico se sitúan en la misma horizontal. Los conceptos utilizados se encierran en figuras geométricas, tales como elipses, circunferencias, rectángulos, etc. 32

7 Entre los conceptos de niveles distintos se dibujan líneas verticales, diagonales o poligonales que representan relaciones entre los mismos y establecen la subordinación de unos a otros. En los conceptos situados en el mismo nivel se dibujan líneas horizontales, en el caso de existir alguna relación entre ellos. Sobre las líneas dibujadas y en caso de ser posible, se colocan palabras o frases que indican la relación entre los conceptos. Un ejemplo de un mapa conceptual es el siguiente 33

8 Ejercicios A. Mapas de conceptos Un número entero p es primo si p > 1 y sus únicos divisores son 1 y p Una función f definida en un intervalo I es continua en un punto x 0 si satisface las condiciones siguientes: x 0 pertenece a I, es decir x 0 pertenece al Dominio de f Existe el lim f(x) cuando x x 0 lim f(x) = lim f(x 0 ) cuando x x 0 Se llama elasticidad a la propiedad de algunos materiales de recobrar su forma y tamaño originales al eliminar la carga aplicada que los deformaba Si a y b son números reales tales que ab = 0 y a 0 entonces b = 0 Para todo numero natural n se verifica que n 2 -n+41 no siempre es un número primo Sean f:(a,b) R y x 0 pertenece a (a,b). Se dice que f es derivable en el punto x 0 si existe el límite de la tasa media de cambio f/ x= (f(x o + x) f(x o ))/ x cuando x 0 Este límite se denota por f (x o ) Mapa de conceptos acerca de los conjuntos numéricos Mapa de conceptos referente a la noción de límite de una función en un punto 34

9 B. Modelos Matemáticos Escriba la ecuación Nm = (1,03443) m en la forma N m = e am La población mundial para el año 1961 se estimó en 3060 millones de habitantes y en la década la tasa promedio de crecimiento por unidad de tiempo y por individuo fue de 2%, calcule utilizando los datos anteriores y un modelo exponencial, suponiendo invariable la tasa de crecimiento, la población mundial para el año 2007 Hacer el mismo cálculo del ejercicio anterior, sabiendo que a partir del año 1984 la tasa de crecimiento descendió a 1,7%. El interés simple al cabo de n años es el obtenido como ganancia sobre el capital inicial, desarrollar un modelo que permita determinar el capital que se obtiene al cabo de 7 años cuando se coloca un capital de de Bs. a una tasa del 18% anual y a interés simple. El interés compuesto al cabo de n años es el que se va obteniendo cuando se suma al capital de un cierto año el interés obtenido en ese año y se calcula el interés sobre este nuevo capital. Desarrolle un modelo que permita calcular el capital obtenido para la misma colocación del problema anterior. Un determinado bien se encuentra en un mercado de competencia con una ecuación de la demanda dada por q + 2p 8 = 0 y una ecuación de la oferta dada por q 2p 1 = 0 siendo 1 p 4 (p en Bolívares y q en unidades del bien). Determinar a) demanda máxima y demanda mínima. b) oferta máxima y oferta mínima. cantidad de equilibrio. c) precio de equilibrio y 35

10 Si en ejemplo anterior se mantiene la demanda pero la oferta cambia y su ecuación es ahora q 2p + 1 = 0, hacer el mismo calculo del ejemplo anterior. Para los ejercicios anteriores calcular la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea de q respecto a p para la oferta y la demanda Establecer un modelo que relacione el periodo de translación de los planetas y su distancia media al sol, de acuerdo a la tabla siguiente: Sugerencia: graficar y en base al grafico establecer el modelo Planeta Distancia al sol( x 10 6 Km) Periodos (dias) Mercurio 57,9 88 Venus 108,2 225 La Tierra 149,5 365 Marte 227,9 687 Júpiter 778, Saturno Urano Neptuno Plutón La tabla que se da a continuación representa valores de la presión atmosférica a diferentes alturas, de acuerdo a esos datos construir un modelo que relacione los datos dados. 36

11 h(m) p (pasc x10 5 ) log p 0 1,013 5, ,996 4, ,988 4, ,950 4, ,899 4, ,828 4, ,768 4, ,54 4, ,326 4, ,264 4, ,055 3, ,012 3,079 Se tiene un recipiente cilíndrico con radio de la base igual a 1m. con la altura graduada indicando la cantidad de litros de agua. Si por un orificio en el fondo del recipiente sale el liquido almacenado en el, que inicialmente estaba a una altura h 0. Determine la relación, en cada instante de tiempo, entre las tasas instantáneas de variación del volumen y de su altura Considere la función exponencial y = 2.e 1,5x a) construya una tabla de valores que contenga lo siguiente: x, y, incrementos de las variables, tasa media y tasa relativa de variación, tasa instantánea y tasa instantánea relativa con los valores de x : -2, -1,0, 1, 3, 4. 37