( 8) Prueba de nivel. Soluciones comentadas. 1. Halla el valor de ( ) 2. Sol. Prioridad de las operaciones; paréntesis; potencias.

Transcripción

1 1 Prueba de nivel Soluciones comentadas 1. Halla el valor de ( ) 1 + ( ) Sol. Prioridad de las operaciones; paréntesis; potencias. ( + ( ) ) 1 = = 8 = 9 ( 1+ ( 8) ) = 9 ( 1 8) = 9 7 = La operación entre dos números enteros, X e Y, simbolizada por, se define como sigue: X Y = X + 5Y a) Es conmutativa? b) Cuánto vale X (X X)? Sol. Trabajar a partir de una definición. a) La propiedad conmutativa se cumpliría si X Y = Y X. No es conmutativa, pues Y X = Y + 5X, que es distinto de X + 5Y. b) X (X X) = X (X+ 5X) = X (7X) = X + 5 (7X) = = X + 5X = 7X Observaciones: 1. También podría verse que (X X) X = (7X) X = 14X + 5X = 19X. Por tanto, la colocación de paréntesis se hace necesaria.. Se comportará esta operación como un operador lineal? Esto es, cumplirá: i) k(x Y) = kx ky ii) (X + X ) (Y + Y ) = X Y + X Y. Halla: Sol. Operaciones con fracciones; paréntesis = = = = = Posible error: = Simplifica: 5 9 Sol. Descomposición de un número en factores; propiedades de las potencias; simplificación de una fracción ( ) = = = = = ( )

2 5. Simplifica la epresión: ( ) ( + 4) Sol. Operaciones con raíces; cuadrado de un binomio. ( ) ( + 4) = = ( ) + = = 1 = 6. En la siguiente tabla, calcula los valores de a y b sabiendo que las magnitudes A y B son directamente proporcionales Magnitud A 4 a Magnitud B 1 b 4 Sol. Proporcionalidad directa. 4 Debe cumplirse que 1 = a b = 4 b = 48 b = 16 4 = 1a a = 6 7. En cuánto se convierten 00 al 4 % de interés compuesto en años? Sol. Proporcionalidad directa; función eponencial. Inicial 1 año años años Total 00 al 4 % Tanto por uno r = 0,04 00 (1 + 0,04) = 00 1, ,4 00 1,04 7,50 8. La verificación o no de una determinada propiedad (P) depende del valor que tome un parámetro m R. Se sabe que dicha propiedad no se cumple cuando m = 1 o m =. Con esto, indica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones relativas a P. La propiedad P se cumple: a) Si m = b) Para todo m > c) Para todo m <. d) Si m e) Si m 1 f) Si m (1, ) Sol. Lógica de proposiciones. a) Falsa; b) Verdadera; c) F, pues m puede tomar el valor 1; d) F, pues m puede tomar el valor 1; e) F, pues m puede tomar el valor ; f) V 9. En un grupo de personas se han eaminado dos características, A y B. El resultado ha sido: 45 de ellas cumplen la característica A; 5, cumplen la característica B; 15, cumplen ambas características; 40, no cumplen ninguna característica. Con ayuda del diagrama adjunto calcula el número de personas que había en el grupo. Sol. En A B hay 15 elementos. Sólo en A habrá 0. Solo en B, 10. Y 40, fuera de A B. En total: = 95.

3 10. El logaritmo de un número, en una base a, es otro número b, y se define así: log b a b = a = Por ejemplo: log 16 = 4, pues 4 = 16. a) Cuánto vale log 6 6? b) Cuánto debe ser para que log 10 = 6? Sol. Aplicando una definición. a) log 6 6 = b 6 b = 6 b = 6 b) log 10 = 6 10 = = La relación entre las escalas termométricas Celsius y Fahrenheit viene F dada por la epresión = C. 9 5 A cuántos grados Celsius equivalen 1 ºF? Sol. Aplicando una fórmula. 1 C C Si F = 1 = 10 = C = 50 ºC Simplifica: 4 y a) y b) Sol. Simplificación de fracciones; factor común. 4 y ( y) y y a) = = y ( y) 1 4 4( ) b) = = Desarrolla y simplifica: ( 4 )(4 + ) ( 5) + 5(+ ) Sol. Operaciones con polinomios. ( 4 )(4 + ) ( 5) + 5(+ ) = (suma por diferencia y cuadrado de 4 4 un binomio) = (16 ) ( 0 + 5) + 5( ) = 4 4 = = 4 = Resuelve la ecuación: 4 5 = 1 5 Sol. Ecuaciones. Reglas de resolución. 4 5 = 1 (por 15) 5

4 = ( ) 5 = 15 (4 5) = = = + 18 = = 0, Resuelve las siguientes: a) + 6 = 0 b) 48 = 0 Sol. Ecuación de º grado, incompleta. a) + 6 = 0 ( + ) = 0 = 0 o = b) 48 = 0 = 48 = 16 = ± Descompón en factores el polinomio P( ) = 4 +. Sol. Raíz de un polinomio. Factor común. Hay que saber: = a es una raíz de P() P(a) = 0. P( ) = 4 + P ( ) = ( 4 + ) resolviendo 4 + = 0 = 1; = son raíces de P() 1 y son factores. Luego, P ( ) = 4 + = ( )( ) Teorema del factor. = a es una raíz de P() ( a) es un factor del polinomio P() 17. Representa gráficamente los intervalos: a) (, 0] b) < < 1 c) < Sol. La recta real. Recordar: < n n < < n 18. Resuelve las inecuaciones: a) < b) + <

5 5 Sol. Inecuaciones. a) < ( 1) < 4 < < b) + < < < 4 > Un posible error es: < 4 Propiedad: 4 < <. A < B A n < B n, si n > 0 También: A/n < B/n, si n > 0 A < B A n > B n, si n < 0 También: A/n > B/n, si n < Resuelve + > 0. Sol. Inecuaciones y regla de los signos. + > 0 ( + ) > 0 < o > 0 Ambos factores positivos: (+) (+) = (+) Ambos factores negativos: ( ) ( ) = ( ) 0. Representa en el plano la región D, definida por D = (, y) R 1 4, y { } Sol. El plano cartesiano Observación: En la recta, > 1 es un intervalo. En el plano, > 1 es un semiplano. y( y ) = 0 1. Para el sistema, indica cuáles de los pares siguientes ( )( y ) = 0 son solución de él: a) (0, 1) b) (0, ) c) (, 0) d) (1, ) e) (0, )

6 6 Sol. Solución de un sistema. El par (0, 1) indica que = 0 e y = 1; lo mismos para los demás pares. Las soluciones de un sistema son los valores de e y que verifican todas las ecuaciones. a) (0, 1) es solución b) (0, ) no verifica la segunda ecuación. c) (, 0) es solución. d) (1, ) es solución. e) (0, ) no verifica la segunda ecuación Observación: Cómo se resolvería este sistema? 1. Resuelve la ecuación = Sol. Ecuaciones eponenciales; potenciación. 1 Para resolver =, hay que epresarla en la forma = = 5 = 5.. Resuelve la ecuación = 6 Sol. Ecuaciones con raíces. Se aísla la raíz y se eleva al cuadrado. = 6 = 6 ( 6) = ( ) + 6 = 0 = 9, = = Observación: La solución = 4 no es válida. (Si no resulta muy engorroso, siempre conviene comprobar los resultados.) 4. Un restaurante ofrece para comer: 6 primeros platos y 5 segundos platos. Si en el restaurante hay comiendo 19 personas, es posible que cada una tome un menú diferente? Justifica tu respuesta. Sol. Principio multiplicativo: imprescindible para el recuento de casos. Pueden servirse 6 5 menús distintos. 5. Halla a y c en el siguiente triángulo (Otros datos: sen 40º = 0,64; cos 40º = 0,77; tan 40º = 0,84) Sol. Trigonometría básica.

7 7 a sin 40º = c = = 4, 69 ; cos 40º = ; c 0,64 c a =,57 0,84 tan 40º = a 6. Un árbol que mide 7,5 m proyecta una sombra de 1,5 m. Cuánto medirá otro árbol si la sombra que proyecta es de 16 m? Sol. Teorema e Tales; proporcionalidad 7,5 = = 9,6 m 1, Representa los puntos A = (, 1) y B = (, 4). Dibuja el vector AB y halla su módulo. Sol. El plano cartesiano. Módulo de un vector (Pitágoras) Distancia de A a B = 6 + = 45 = 5 8. Representa la recta de pendiente 1 que pasa por el punto (0, ). Cuál es su ecuación? Sol. Ecuación de una recta en el plano. La ecuación de una recta en el plano es y = m + n, siendo m la pendiente (la medida de la inclinación), y n, la ordenada en el origen (el punto de corte con el eje OY.) 9. En qué puntos corta la recta 6 + y 6 = 0 a los ejes de coordenadas? Representa dicha recta. Sol. Corte de una recta con los ejes (vale para cualquier curva.) En el corte con OY la vale y 6 = 0 y =. En el corte con OX la y vale = 0 = 1.

8 8 0. Empareja cada cónica con su ecuación y con su gráfica. Cónica: Circunferencia. Elipse. Hipérbola. Parábola. Ecuaciones: a) + y = b) ( ) + ( y 5) = 4 c) y = + 6 d) y = 4 Sol. Ecuación de una cónica. La ecuación de una elipse centrada en el y origen, de semiejes a y b es + = 1. b a En este caso, a = 5; b = La ecuación de una circunferencia con centro en ( ), y 0 0 y radio r es ( 0 ) + ( y y0 ) = r En este caso, 0 = ; y 0 = 5; r =. La ecuación de una hipérbola centrada en el origen, de semiejes a y b es y = 1. b a La ecuación de una hipérbola equilátera es y = k. En este caso, k = 4. La ecuación de una parábola de eje vertical es y = a + b + c, a 0. La ecuación de una parábola de eje horizontal es = ay + by + c, a Da un punto de cada una de las ecuaciones anteriores. Sol. Puntos de una gráfica. Un punto pertenece a una gráfica cuando cumple su ecuación. Para encontrar puntos de una gráfica puede procederse por tanteo. Puede dar resultado dar a o a y el valor 0. a) Si = 0; y =. Punto (0, ) Otro: (5, 0) b) Si = 0? Aquí no es posible. Pero, si = ; y =. Punto (, ). c) Si = 0; y = 6. Punto (0, 6) Otro: (, 5) d) Si = 4; y = 1. Punto (4, 1). Dada la función f ( ) = 6, halla f(5) y f(1). Cuál es su dominio? Sol. Funciones f ( 5) = 5 6 = 8. f ( 1) = 1 6 = 4 no está definida. La función está definida cuando 6 0. Dom f = [, + )

9 9. Representa gráficamente la función continua? + f ( ) = 0,5 + < 0. Es 0 Sol. Gráfica de una función. Dando valores a se obtienen algunos puntos: (, ); (, 1); si 0, f() ; (0, ); (1, 1,5); (, 1); (4, 0) Es continua Sea f ( ) =. Se pide: 5 a) Su dominio. b) Su límite cuando 5, 0 y 5. c) Tiene alguna asíntota? Sol. Funciones; límites a) Dom f = R {5} b) Sustituyendo: lím = = ; lím = = ( 5)( + 5) Hay que simplificar: lím = = = ( + 5) = lím lím c) No tiene asíntotas. Comentario. Qué son las asíntotas? Qué debe cumplirse para que eistan? 4 5. Dada la función f ( ) = + 7. a) Halla su derivada. b) Cuánto vale f (0)?; y f ()? Sol. Derivadas. a) f ( ) = ; b) f ( 0) = 1?; f ( ) = 7 6. Observa la gráfica adjunta y contesta: a) Cuánto vale f ()? b) Y f (1 )? Sol. Interpretación de la derivada. a) La derivada de una función (en un punto) da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función (en ese punto). En =, la recta tangente tiene pendiente 1, luego f () = 1. b) Si en = 1, como parece, se da el mínimo de la función, entonces, f ( 1) = 0.