Agosto-Diciembre 2017 Dr. Servando López Aguayo

Transcripción

1 Agosto-Diciembre 2017 Dr. Servando López Aguayo

2 En este capítulo Tema simple : resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Alguien valiente: Cuál es la diferencia entre sistemas lineales y sistemas no lineales?

3 En el capítulo anterior Proceso de integración numérica. Recordemos: Qué métodos de integración existen?

4 Temario de hoy Eliminación Gaussiana Descomposición LU Comandos de Matlab

5 Empecemos! Actividad 1 Paso 1) Encontrar y reportar la solución a los sistemas (sólo usar hoja y pluma): (i) 4 x +2 y = 4 (ii) x + 2 y + 2 z = 2 2 x + y = 1 2x+ 4 y + 4 z = 4 4x+ 2 y + z = 0 Paso 2) Visualizar en Matlab (plot 2 y plot 3) las ecuaciones.

6 Ejemplos de matrices Matriz transpuesta Matriz Simétrica Matriz diagonal Matriz identidad Matriz Toeplitz importantes

7 Utilidad de las matrices ** Representación de ecuaciones lineales. Distribución de imágenes. Operadores matemáticos. Almacenaje de información.

8 Utilidad de las matrices En todos lados será?

9 Eliminación Gaussiana Idea simple para resolver un sistema dado por:

10 Eliminación Gaussiana Realizamos las siguientes operaciones:

11 Eliminación Gaussiana Repetimos el proceso:

12 Eliminación Gaussiana Y ahora eliminamos la siguiente incógnita:

13 Resultado: Con lo que finalmente obtenemos: Y resolvemos:

14 Ojo: evitar división cercana cero! Para evitar errores numéricos, es conveniente seleccionar cuidadosamente cual será el elemento pivote a utilizar, en base al mayor valor absoluto. Además se recomienda utilizar un re-escalamiento, de tal forma que el máximo coeficiente en la matriz de incógnitas sea igual a uno. Recordar: la computadora es una aproximación a la matemática y física que sabemos.

15 Actividad 2 Resolver mediante eliminación Gaussiana el sistema: x x 2 = a) x x 2 = b) Utilizar primero a) como pivote, y luego resolver utilizando b) como pivote. Reportar y comentar resultados. RETO: hacerlo en Matlab y considerando el valor de x2 (que es igual a 2/3) utilizando diferente número de cifras significativas.

16 Actividad 2 Programar el algoritmo de Gauss con selección de pivote! (para n ecuaciones!!!) Reportar código y comprobación del funcionamiento del algoritmo. Uy! habrá puntos extras (+5) en el examen al primer equipo que termine (habrá tiempo límite) el algoritmo.

17 Reto para la actividad 2: Comprobar su algoritmo con

18 Corre tiempo!! Ok más fácil

19 Y ahora Nuestro querido break!! Regresamos en 5 minutos

20 Problema Anteriormente, vimos como resolver un sistema: A X = B utilizando eliminación Gaussiana. Y si ahora, deseamos resolver sistemas muy similares, por ejemplo: A X = C o A X= D, habrá una alternativa más eficiente para no tener que repetir tantos cálculos?

21 Descomposición LU Y con ustedes el método de descomposición LU. Primero reescribimos el problema como: En donde, U es una matriz triangular superior:

22 Descomposición LU Ahora, supongamos que existe una matriz diagonal inferior de la forma: Qué tiene la propiedad:

23 Descomposición LU Por lo tanto se cumple: Por lo que nuestro método LU sería:

24 Y cómo obtengo L y U? Con descomposición Gaussiana! Sea el sistema: Mediante eliminación Gaussiana, usando: Obtenemos:

25 Usos de LU: sistemas Computacionalmente hablando, la descomposición LU puede ser más eficiente, para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

26 Usos de LU: matriz inversa Recordemos la definición de matriz inversa: La idea es usar LU en el sistema: Y así podemos usar para la primera columna: De manera similar:

27 Usos de LU: determinante Recordemos, qué es un determinante? De manera práctica para este curso: es un número que nos indica la unicidad de soluciones a un sistema de ecuaciones lineales.

28 Actividad 3 Utilizando descomposición LU (obteniendo en papel las matrices L y U), resuelve: Utilizando LU, obtén la matriz inversa y el determinante de (prohibido usar lu, inv y det) Reportar resultados y códigos generados y ok! van otros 5 puntos al primer equipo que termine.

29 Sistemas mal condicionados Observemos el siguiente ejemplo: Y ahora hagamos:

30 Número de condición de una matriz Definamos el concepto de norma uniforme de una matriz. Por lo que se puede definir el número de condicionamiento de una matriz: Si Cond[A]>>1, hay que tener cuidado con los resultados obtenidos de manera numérica.

31 Y finalmente Matlab: Es EL EXPERTO sistema en el manejo matricial. Recordar el legendario x = A\B Comandos por explorar: lu norm cond inverse transpose

32 Sparse Matrix Son aquellas matrices cuya mayoría de elementos son ceros. Matlab tiene múltiples funciones para realizar manipulaciones del tipo sparse.

33 Conclusiones Aprendimos a utilizar métodos numéricos para el manejo y resolución de matrices. Son métodos muy sencillos, pero hay que tener cuidado en el manejo de los elementos. Matlab es el experto a nivel mundial en el manejo de las matrices.

34 Nos vamos! Pórtense bien y cuídense mucho! Recuerden el proyecto -100% opcional- pendiente!