Teoría de errores y presentación de resultados

Transcripción

1 Teoría de errores y presentación de resultados Campos Electromagnéticos º Ingeniería Telecomunicación Joaquín n Bernal / Antonio González 1/35 Índice Unidades Cifras significativas Error en la medida Epresión de una magnitud con su error Regla de redondeo Cálculo de errores Medida directa Medida indirecta Rectas de mejor ajuste /39

2 Unidades Se recomienda siempre el Sistema Internacional (SI): m, s, kg, A, C, V, Ω, Hz, H, F, T... Los prefijos pueden usarse con moderación en los resultados finales pf, ma, khz,... SÍ mv/ma, kω μs, μs -1,... NO Todas las cantidades con dimensiones deben ir acompañadas de sus unidades 3/39 Cifras significativas Número de cifras de un dato Ejemplos: Dato 318 kg 1.5 V.31 A 3.3 J 5 m Cifras significativas 3 3 Ambiguo /39

3 Error en la medida Mejor llamarlo incertidumbre Tipos de error (según la causa) Sistemático Aleatorio eliminable si se conoce bandas de error Epresión del error: ± E Ej: V = 3.±.3 V Forma compacta: V =3.(3) V El error absoluto tiene unidades Error relativo: ε = E / ( Adimensional!) 5/39 Epresión de la cantidad con su error La banda de error limita el número de cifras significativas: U =.3865± J Si el resultado es incierto en su primera cifra decimal no tiene sentido dar más U =.3± J Las primeras cifras del error nos dicen donde está la incertidumbre 6/39

4 Reglas de redondeo 1. Se escriben cantidad y error con todas sus cifras: R =.8356 ±.861Ω. Se eaminan las dos primeras cifras del error: Son 5? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea R =.8356 ±.9 Ω 3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea R =.83 ±.9 Ω Redondeo: afecta a la última cifra retenida Si la siguiente cifra es <5: se mantiene Si la cifra siguiente es 5: se incrementa una unidad 7/39 Reglas de redondeo 1. Se escriben la cantidad y su error con todas sus cifras: I =.3815 ±.156 A I =.3815 ±.367 A I =.3815 ±.36 A I =.3815 ±.87 A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ±.96 A I =.3815 ±.57 A 8/39

5 Reglas de redondeo. Se eaminan las dos primeras cifras del error: Son 5? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea I =.3815 ±.156 A I =.3815 ±.367 A I =.3815 ±.36 A I =.3815 ±.87 A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ±.96 A I =.3815 ±.57 A. A. A. A 3 A 3 A.1 A.3 A 9/39 Reglas de redondeo 3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea I =.3815 ±. A I =.3815 ±. A I =.3815 ±. A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ±.1 A I =.3815 ±.3 A I =.31 ±. A I =.3 ±. A I =.3 ±. A I = ± 3 A I = ± 3 A I =.3 ±.1 A I =.3 ±.3 A 1/39

6 Reglas de redondeo. Resumiendo... I =.3815 ±.156A I =.3815 ±.367A I =.3815 ±.36A I =.3815 ±.87A I =.3815 ± 3A I =.3815 ±.96A I =.3815 ±.57A I =.31 ±.A I =.3 ±.A I =.3 ±.A I = ± 3A I = ± 3A I =.3 ±.1A I =.3 ±.3A I =.31()A I =.3()A I =.3()A I = (3)A I = (3)A I =.3(1)A I =.3(3)A 11/39 Cálculo de errores Estudiaremos diferentes casos: Medida directa Una sola medida Varias medidas Medida indirecta Función de una sola variable: z = f() Función de varias variables: z = f(,y, ) 1/39

7 Error de una medida directa El error depende de la precisión del aparato (mínimo incremento entre medidas) Aparatos analógicos (respuesta continua): se toma como error la mitad de la precisión. Aparatos digitales (respuesta discreta): se toma como error la propia precisión. Ecepción en el redondeo:.1 en vez de.1 Si ha de enrasarse por dos etremos: doble error 13/39 1 Ejemplos de medidas directas Un amperímetro analógico 3 3.±.1 Cursor de un osciloscopio 3.6±.1 3.8±.1 Al mover el cursor el display indica.7,.76,.8:.76±. V Cursor de un osciloscopio 1 Lectura directa:.8±.1v Amplitud pico a pico con dos cursores 1-1 Directa: 1.6±.V Display: 1.5±.8V 1/39

8 Error de varias medidas directas Se realizan si eiste una incertidumbre no achacable al aparato de medida: Medidas: 1,, 3,..., n Resultado: media aritmética 1 n i n i = 1 = Error: doble de la desviación cuadrática media de la media de los datos E = σ = i ( ) i nn ( 1) Si E es menor que el error del instrumento de medida, se escoge este último 15/39 Error de varias medidas directas Error: cantidades relacionadas σ n : desviación estándar de la población (σ n en σ n las calculadoras) σ n-1 : desviación estándar de la muestra (σ n-1 en σ n 1 las calculadoras) E σn σ = = n 1 n n 1 ( i ) i = n = i ( i ) n 1 16/39

9 Error de una medida indirecta Función de una variable Suponemos: = ± E con z = f( ) z Resultado: z = f( ) Error: E z f = E Ejemplo: sección de un cable: Error de la medida: D S = π D S π D E = E = E s D D D D z f() df/d 17/39 Error de una medida indirecta Función de una variable Algunos casos sencillos: y y = = Una variable proporcional a otra: K Función eponencial: ae Logaritmo: y E = E = KE y E = ae E = ye y E y = ln E y = ε =ε y ε = E y E =ε y 18/39

10 Error de una medida indirecta Función de varias variables Suponemos: z = f(, y, w) = ± E ; y = y ± E ; w= w ± E Resultado: Error: y w (,, ) z = f y w f f f z = + y + w y w y w E E E E Válido si las variables son independientes 19/39 Ejemplos de errores Suma o diferencia z = ± y± E = E + E + z y Producto o cociente y z = ln z = ln + ln y ln u ln v+ uv ε = ε +ε +ε +ε + z y u v Estimación: el error relativo de z es del orden del mayor de los errores relativos de sus argumentos /39

11 Unidades y errores Todos los datos deben ir acompañados de sus errores, si se conocen, y de sus unidades. Serie de medidas consecutivas 17(1) mm 15(1) mm 1(1) mm 8(1) mm Tablas: ( ±1mm) I(±.1mA) V(±.1V) I(mA) V(V) I V(V) (1).1(1) 1.3(1) ma.1(1)..3.(3).3(1) 87(1) μa 1.8(1) () 6.() 6(1) μa 1.3() 1/39 Rectas de mejor ajuste Estudio de la dependencia (lineal) de una variable con otra. Permite: Verificar relación lineal Determinar una magnitud de forma indirecta V V R Ajustar una función no lineal en una región restringida V I Interpolación o etrapolación V I I I /39

12 V(±.1mV) I(±.1mA) Gráfica de los datos Paso 1: gráfica de los datos Permite verificar relación lineal. Permite eliminar puntos erróneos. 3/39 Gráfica de los datos V(±.1mV) I(±.1mA) V(mV) I(mA) /39

13 Gráfica de los datos Marcar claramente datos eperimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos eperimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página V(mV) I(mA) 5/39 Gráfica de los datos Marcar claramente datos eperimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos eperimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página V(mV) I(mA) 6/39

14 Coeficiente de correlación Paso : Obtención del coeficiente de correlación (r) Es una medida del grado de alineación r (-1,1) r r > r 1 r -1 No tiene error No tiene unidades Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9. Ejemplos r = r =.9996 r = r = r = ERRÓNEO 7/39 a y b lo dan las calculadoras Pendiente y ordenada en el origen Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y = a+b Tienen unidades que hay que especificar Tienen error: hay que redondear Ejemplo: V=a+bI E r = r =.9993 b = Ω E b =.7758 Ω a = mv E a =.173 mv b b 1 r = r N E = E σ + a b b = R =.337 ±.8 Ω a = -.5 ±.17 mv ( σ = σ ) n 8/39

15 Trazado de la recta Paso : Trazado de la recta de mejor ajuste sobre la gráfica Se realiza a partir de dos puntos Estos puntos NO SE REPRESENTAN Debe observarse si, efectivamente, es la recta de mejor ajuste 9/39 Trazado de la recta V(mV) I(mA) 3/39

16 Rectas de mejor ajuste: ejemplos Recta mal calculada o mal trazada! La ordenada en el origen es incorrecta V(mV) I(mA) 31/39 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V(mV) I(mA) Punto erróneo!: debe eliminarse 3/39

17 Rectas de mejor ajuste: ejemplos Faltan etiquetas en los ejes! 33/39 Rectas de mejor ajuste: ejemplos Recta mal calculada o mal trazada! La pendiente de la recta es incorrecta V(mV) I(mA) 3/39

18 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V I Faltan puntos eperimentales y unidades! 35/39 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V(mV) I(mA) Para gráficas por ordenador: incluir tramas 36/39

19 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V(mV) Datos caso 1 Recta caso 1 Datos caso Recta caso I(mA) Para varias curvas: distintos símbolos y colores 37/39 Rectas de mejor ajuste Resumen de pasos a seguir: Representar los datos eperimentales Obtener el coeficiente de correlación Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error Obtener información física Representar la recta de mejor ajuste 38/39

20 Cosas que nunca hay que olvidar Poner todas las unidades Poner todos los errores Redondear correctamente El error absoluto tiene unidades a y b tienen unidades Poner los puntos en las gráficas Poner las unidades en las gráficas 39/39