Teoría de errores y presentación de resultados

Transcripción

1 Teoría de errores y presentación de resultados Física I y Física II Todos los Grados 1/5 Índice Unidades Cifras significativas Error en la medida Epresión de una magnitud con su error Regla de redondeo Cálculo de errores Medida directa Medida indirecta Rectas de mejor ajuste /5

2 Unidades Se recomienda siempre el Sistema Internacional (SI): m, s, kg, A, C, V, Ω, Hz, H, F, T... Los prefijos pueden usarse con moderación en los resultados finales pf, ma, khz,... SÍ mv/ma, kω μs, μs -1,... NO Todas las cantidades con dimensiones deben ir acompañadas de sus unidades 3/5 Cifras significativas Número de cifras de un dato Ejemplos: Dato 318 kg 1.5 V.31 A 3.3 J 5 m Cifras significativas 3 3 Ambiguo /5

3 Error en la medida Mejor llamarlo incertidumbre Tipos de error (según la causa) Sistemático Aleatorio eliminable si se conoce bandas de error Epresión del error: ± E Ej: V = 3.±.3 V Forma compacta: V =3.(3) V El error absoluto tiene unidades Error relativo: ε = E / ( Adimensional!) 5/5 Epresión de la cantidad con su error La banda de error limita el número de cifras significativas: U =.3865± J Si el resultado es incierto en su primera cifra decimal no tiene sentido dar más U =.3± J Las primeras cifras del error nos dicen donde está la incertidumbre 6/5

4 Reglas de redondeo 1. Se escriben cantidad y error con todas sus cifras: R =.8356 ±.861Ω. Se eaminan las dos primeras cifras del error: Son 5? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea R =.8356 ±.9 Ω 3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea R =.83 ±.9 Ω Redondeo: afecta a la última cifra retenida Si la siguiente cifra es <5: se mantiene Si la cifra siguiente es 5: se incrementa una unidad 7/5 Reglas de redondeo 1. Se escriben la cantidad y su error con todas sus cifras: I =.3815 ±.156 A I =.3815 ±.367 A I =.3815 ±.36 A I =.3815 ±.87 A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ±.96 A I =.3815 ±.57 A 8/5

5 Reglas de redondeo. Se eaminan las dos primeras cifras del error: Son 5? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondea I =.3815 ±.156 A I =.3815 ±.367 A I =.3815 ±.36 A I =.3815 ±.87 A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ±.96 A I =.3815 ±.57 A. A. A. A 3 A 3 A.1 A.3 A 9/5 Reglas de redondeo 3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea I =.3815 ±. A I =.3815 ±. A I =.3815 ±. A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ± 3 A I =.3815 ±.1 A I =.3815 ±.3 A I =.31 ±. A I =.3 ±. A I =.3 ±. A I = ± 3 A I = ± 3 A I =.3 ±.1 A I =.3 ±.3 A 1/5

6 Reglas de redondeo. Resumiendo... I =.3815 ±.156A I =.3815 ±.367A I =.3815 ±.36A I =.3815 ±.87A I =.3815 ± 3A I =.3815 ±.96A I =.3815 ±.57A I =.31 ±.A I =.3 ±.A I =.3 ±.A I = ± 3A I = ± 3A I =.3 ±.1A I =.3 ±.3A I =.31()A I =.3()A I =.3()A I = (3)A I = (3)A I =.3(1)A I =.3(3)A 11/5 Cálculo de errores Estudiaremos diferentes casos: Medida directa Una sola medida Varias medidas Medida indirecta Función de una sola variable: z = f() Función de varias variables: z = f(,y, ) 1/5

7 Error de una medida directa El error se tomará como la precisión del aparato (mínimo incremento entre medidas), independientemente de que se trate de un aparato de medida analógico o digital. Si ha de enrasarse por dos etremos, ya no es una medida directa, sino indirecta, que resulta de la resta entre ambas medidas (ver apartado de medida indirecta función de varias variables). 13/5 Error de varias medidas directas Se realizan si eiste una incertidumbre no achacable al aparato de medida: Medidas: 1,, 3,..., n Resultado: media aritmética 1 n i n i 1 Error: doble de la desviación cuadrática media de la media de los datos E i ( ) i nn ( 1) Si E es menor que el error del instrumento de medida, se escoge este último 1/5

8 Error de varias medidas directas Error: cantidades relacionadas σ n : desviación estándar de la población (σ n en n las calculadoras) σ n-1 : desviación estándar de la muestra (σ n-1 en n1 las calculadoras) E n n1 n n1 i i ( ) i n ( ) i n 1 15/5 Error de una medida indirecta Función de una variable Suponemos: E con z f( ) z Resultado: z f( ) Error: E z f E Ejemplo: sección de un cable: Error de la medida: D S D S D E E E s D D D D z f() df/d 16/5

9 Error de una medida indirecta Función de una variable Algunos casos sencillos: y y y Una variable proporcional a otra: K Función eponencial: ae Logaritmo: ln y E E KE y E ae E ye y E y E y y y E E 17/5 Error de una medida indirecta Función de varias variables Suponemos: z f (, y, w) E ; y y E ; ww E Resultado: Error: y w z f, y, w f f f z y w y w y w E E E E Válido si las variables son independientes 18/5

10 Ejemplos de errores Suma o diferencia z y E E E z y Producto o cociente y z ln z ln ln yln uln v uv z y u v Estimación: el error relativo de z es del orden del mayor de los errores relativos de sus argumentos 19/5 Unidades y errores Todos los datos deben ir acompañados de sus errores, si se conocen, y de sus unidades. Serie de medidas consecutivas Tablas: 17(1) mm 15(1) mm 1(1) mm 8(1) mm ( ±1mm) I(±.1mA) V(±.1V) I(mA) V(V) 1.(1).1(1).(3).3(1) 3.() 6.() I V(V) 1.3(1) ma.1(1) 87(1) μa 1.8(1) 6(1) μa 1.3() /5

11 Rectas de mejor ajuste Estudio de la dependencia (lineal) de una variable con otra. Permite: Verificar relación lineal Determinar una magnitud de forma indirecta V V R Ajustar una función no lineal en una región restringida V I Interpolación o etrapolación V I I I 1/5 V(±.1mV) I(±.1mA) Gráfica de los datos Paso 1: gráfica de los datos Permite verificar relación lineal. Permite eliminar puntos erróneos. /5

12 Gráfica de los datos V(±.1mV) I(±.1mA) 1..8 V frente a I V(mV) I(mA) 3/5 Gráfica de los datos Marcar claramente datos eperimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos eperimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página V(mV) V frente a I I(mA) /5

13 Gráfica de los datos Marcar claramente datos eperimentales (aspas si se representan a mano) No señalar datos eperimentales en los ejes Magnitudes y unidades en los ejes Debe ocupar toda la página V(mV) V frente a I I(mA) 5/5 Coeficiente de correlación Paso : Obtención del coeficiente de correlación (r) Es una medida del grado de alineación r (-1,1) r r > r 1 r -1 No tiene error No tiene unidades Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9. Ejemplos r = r =.9996 r = r = r = ERRÓNEO 6/5

14 a y b lo dan las calculadoras Pendiente y ordenada en el origen Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y = a+b Tienen unidades que hay que especificar Tienen error: hay que redondear Ejemplo: V=a+bI E r = r =.9993 b = Ω E b =.7758 Ω a = mv E a =.173 mv b b 1 r r N E a E b = R =.337 ±.8 Ω a = -.5 ±.17 mv b N i 7/5 Trazado de la recta Paso : Trazado de la recta de mejor ajuste sobre la gráfica Se realiza a partir de dos puntos Estos puntos NO SE REPRESENTAN Debe observarse si, efectivamente, es la recta de mejor ajuste 8/5

15 Trazado de la recta 9/5 Rectas eponenciales: cálculo En muchas situaciones prácticas aparecen funciones de la forma Se transforman en rectas tomando logaritmos y ln z ln K b ab a y b se hallan de la forma usual El factor K se halla z Ke b K e a K a a K E E KE a 3/5

16 Rectas eponenciales: representación Puede hacerse la gráfica de y=ln(z) frente a. ln(v(v)) 1,5 -,5-1 -1,5 - -,5-3 -3, t(µs) 31/5 Rectas eponenciales: representación 1 Empleando papel semilogarítmico pueden ponerse directamente las magnitudes V(V) 1,1 Ojo! Se emplean logaritmos decimales, t(µs) 3/5

17 Rectas potenciales: cálculo En ocasiones se tiene una ley potencial de eponente desconocido Se transforman en rectas tomando logaritmos y ln z ln K nln t ab ln a y b se hallan de la forma usual El factor K se halla: z Kt K e a n n: eponente a K bn ln t K E E KE a K a a 33/5 Rectas potenciales: representación Puede hacerse la gráfica de y=ln(z) frente a =ln(t). ln(b(mt)) 3,5 3,5 1,5 1,5-1 1 ln((cm)) 3/5

18 Rectas potenciales: representación Empleando papel log-log pueden ponerse directamente las magnitudes B(mT) 1 1 Ojo! Se emplean logaritmos decimales 1,1 1 1 (cm) 35/5 Rectas de mejor ajuste: ejemplos Recta mal calculada o mal trazada! La ordenada en el origen es incorrecta V(mV) V frente a I I(mA) 36/5

19 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) I(mA) Punto erróneo!: debe eliminarse 37/5 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I Faltan etiquetas en los ejes! 38/5

20 Rectas de mejor ajuste: ejemplos Recta mal calculada o mal trazada! La pendiente de la recta es incorrecta V(mV) V frente a I I(mA) 39/5 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V I Faltan puntos eperimentales y unidades! /5

21 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) I(mA) Para gráficas por ordenador: incluir tramas 1/5 Rectas de mejor ajuste: ejemplos V frente a I V(mV) Datos caso 1 Recta caso 1 Datos caso Recta caso I(mA) Para varias curvas: distintos símbolos y colores /5

22 Rectas de mejor ajuste Resumen de pasos a seguir: Representar los datos eperimentales Obtener el coeficiente de correlación Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error Obtener información física Representar la recta de mejor ajuste 3/5 Cosas que nunca hay que olvidar Poner todas las unidades Poner todos los errores Redondear correctamente El error absoluto tiene unidades a y b tienen unidades Poner los puntos en las gráficas Poner las unidades en las gráficas /5