Problema de Cauchy. Un Problema de Cauchy viene denido por una ecuación o sistema de ecuaciones de primer orden y una condición inicial

Transcripción

1 Problema de Cauchy Un Problema de Cauchy viene denido por una ecuación o sistema de ecuaciones de primer orden y una condición inicial x (t) = F(t, x(t)) x(t 0 ) = x 0 La función incógnita x es una función x : IR IR n x 1 (t) t x(t) = x n (t) donde cada una de las funciones x i es una función real x i : IR IR La función F que dene la ecuación es de la forma: F : IR IR n IR n (t, z) F(t, z) y los valores que denen la condición inicial (t 0, x 0 ) IR IR n son un punto del dominio de F Toda la teoría que vamos a estudiar en este curso se reere a Problemas de Cauchy Sin embargo, la restricción que esto supone solo afecta, en realidad, al tipo de condición que imponemos Pudiera parecer que la denición anterior excluye a las ecuaciones de orden n pero, como vamos a ver, esto no es así Problema de Cauchy para ecuaciones de orden n Toda ecuación diferencial de orden n es equivalente a un sistema de n ecuaciones de primer orden Sea la ecuación de orden n (por simplicidad supongamos que podemos despejar la derivada n-sima explícitamente): y n) (t) = f(t, y(t), y (t),, y n 1) (t)) El sistema equivalente se obtiene deniendo las n variables: z 1 = y, z 2 = y, z 3 = y,, z n 1 = y n 2), z n = y n 1) que serán las n componentes de la función incógnita del sistema, z : IR IR n Si observamos que la derivada de cada una de las n 1 primeras variables es justamente la siguiente y que la derivada de z n es z n = y n), dada por la ecuación diferencial original, tenemos para z la ecuación: z 1 (t) z 1 (t) z z (t) = d z 2 (t) z 2 (t) 2 (t) z 3 (t) dt = = = F(t, z(t)) z n 1 (t) z n 1 (t) z n (t) z n (t) z n(t) f(t, z 1 (t), z 2 (t),, z n 1 (t), z n (t)) 1

2 Una condición inicial para este sistema será z(t 0 ) = z 1 (t 0 ) z 2 (t 0 ) z n 1 (t 0 ) z n (t 0 ) = y(t 0 ) y (t 0 ) y n 2) (t 0 ) y n 1) (t 0 ), es decir: Un problema de Cauchy para una ecuación diferencial de orden n viene dado por la ecuación y el valor de la función incógnita, y, y sus n 1 primeras derivadas, y, y,, y n 1), en un mismo punto t 0 Ejemplo: Los siguientes problemas son problemas de Cauchy: x = sen x t 2 x(0) = 1 y + y = 1 y (0) = 0 x = x y y = x 2 2y + t x(0) = 1, y(0) = 0 Ejemplo: Los siguientes problemas no son problemas de Cauchy: x = sen x t 2 x (0) = 1 x = sen x t 2 x(0) = 1, x(1) = 1 y + y = 1 y(0) = y (0) y + y = 1 y (1) = 0 x = x y y = x 2 2y + t x(0) = 1, y(1) = 0 x = x y y = x 2 2y + t x(0) = 1, x (0) = 0 Ejemplo: Estudiemos las varios problemas de Cauchy para ver con qué situaciones podemos encontrarnos: (A) y = y En este caso la solución está denida x IR (B) y = t y y(0) = 0 La solución general de la ecuación es y(x) = Ae x, A IR Si imponemos que se cumpla la condición inicial: 1 = y(0) = Ae 0 = A, por lo que tenemos la solución única y(x) = e x para el problema de Cauchy La solución general implícita de la ecuación es y 2 (t) + t 2 = C, C IR Si imponemos que se cumpla la condición inicial: y(0) = 0 = C, por lo que tenemos y 2 (t) + t 2 = 0, cuya única solución y(t) = t = 0 no dene ninguna función y(t), es decir, el problema de Cauchy no tiene solución 2

3 (C) y = t y y(1) = 0 Trabajando como antes llegamos a y 2 (t)+t 2 = 1 Parece que hay dos posibles soluciones y(t) = ± 1 t 2 al problema de Cauchy Sin embargo, ninguna de estas dos funciones es derivable en t = 1 por lo que no pueden ser solución de un problema que comienza diciendo que la primera derivada de la función debe valer Concluimos, por tanto, que el problema de Cauchy no tiene solución (D) y = t y De nuevo y 2 (t) + t 2 = 1 De las dos posibles candidatas y(t) = ± 1 t 2 solo la correspondiente al signo + cumple la condición inicial La solución única del problema de Cauchy es y(t) = 1 t 2 Es importante observar que hemos obtenido una solución que solo está denida para t ( 1, 1) (ver el ejemplo anterior: la función no es derivable en t = ±1) Es decir, la solución que hemos encontrado es: y : ( 1, 1) IR t y(t) = 1 t 2 (E) y = 3y 2/3 y(0) = 0 La ecuación tiene las innitas soluciones y(x) = (x + C) 3, C IR y también la y(x) = 0 Tanto la y(x) = 0 como la y(x) = x 3 son soluciones de la ecuación y satisfacen la condición inicial Tenemos, por tanto, más de una solución al problema de Cauchy De hecho, tenemos innitas 0 x (, a) soluciones: cuaquiera de las funciones y(x) = con a IR + es una (x a) 3 x (a, ) función derivable en todo su dominio (incluido el punto x = a) que cumple la ecuación (está denida en dos trozos cada uno de los cuales es solución) y satisface la condición inicial Obsérvese que para cada valor distinto de a IR + tenemos una solución distinta al problema de Cauchy (F) y = y 2 y(0) = y 0 La ecuación tiene las innitas soluciones y(t) = 1 t + C, C IR y también la y(t) = 0 Si imponemos la condición inicial obtenemos como solución única al problema de Cauchy: y(t) = y 0 1 y 0 t Si observamos que, salvo el caso y 0 = 0 para el que la solución única y(t) = 0 está denida t IR, todas las soluciones tienen una asíntota podríamos escribir de forma más explícita: y 0 < 0 La solución única del problema es la función y : (1/y 0, ) IR t y(t) = y 0 1 y 0 t y 0 = 0 La solución única del problema es la función y : (, ) IR t y(t) = 0 y 0 > 0 La solución única del problema es la función y : (, 1/y 0 ) IR t y(t) = y 0 1 y 0 t Obsérvese que, en general, (como en el ejemplo (D)) las soluciones no están denidas t IR 3

4 Una solución de un problema de Cauchy es una función que convierte la ecuación diferencial en una igualdad y que cumple la condición inicial Sin embargo, en la práctica, es fácil olvidar todas las implicaciones que esta sencilla armación conlleva (como que la función debe ser derivable para que pueda tener sentido como solución, etc) Por ello, y aunque sea redundante, es conveniente dar una denición de solución en la que ciertos aspectos aparezcan explícitamente indicados Solución Sea el problema de Cauchy [C] x (t) = F(t, x(t)) x(t 0 ) = x 0 Con F : I D IR n (I IR, D IR n ) y (t 0, x 0 ) I D Solución del Problema de Cauchy [C] es una función y : J IR n denida en un intervalo J I, t 0 J, derivable en J, que cumple y(t 0 ) = x 0 y tal que t J se cumple que (t, y(t)) I D e y (t) = F(t, y(t)) Teoremas de Existencia y Unicidad Enunciaremos a continuación tres teoremas relacionados con la existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy [C] Teorema 1 Si F es una función continua en J D con (t 0, x 0 ) J D entonces [C] tiene solución La solución puede no ser única y el teorema es local, es decir, nos dice que existe una solución y : K IR n pero no nos dice nada acerca del intervalo K J (véanse algunos ejemplos anteriores) Teorema 2 Picard Si F y las derivadas parciales F x i con (t 0, x 0 ) J D entonces [C] tiene solución única i = 1,, n son continuas en J D De nuevo, como en el ejemplo anterior, este teorema es local En realidad, el teorema de Picard pide a la función F que sea Lipschitziana respecto a la variable t en un dominio J D En la práctica, es muy difícil comprobar que se cumple esta condición, por lo que nos quedaremos con el enunciado aquí presentado Teorema 3 CauchyPeano Si F es continua y acotada en J IR n con t 0 J entonces [C] tiene al menos una solución, y, denida t J Teorema 4 PicardLindelöf Si F es continua y las derivadas parciales F x i son acotadas en J IR n con t 0 J entonces [C] tiene solución única, y, denida t J 4 i = 1,, n

5 Obsérvese que estos dos últimos teoremas son globales, en el sentido de que nos aseguran que la solución está denida para todo valor de t en el intervalo en el que se cumplen las condiciones del teorema Al igual que ocurre con los teoremas anteriores el enunciado debería pedir a la función F que cumpla la condición de Lipschitzianidad respecto de la t en J IR n La generalidad perdida se compensa con la sencillez en la aplicación de estas versiones Lamentablemente la condición de que la acotación de la función o de las parciales ocurra en J IR n y no en algún dominio J D J IR n es enormemente restrictiva y podremos aplicarlo muy pocas veces Prácticamente la única y muy notable excepción a lo anteriormente dicho serán las ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo: Discutir existencia y unicidad para la ecuación y = y + tsen(y) La existencia y unicidad se reere a la solución de un problema de Cauchy Si no se especica éste debemos plantear el problema más general posible En nuestro caso, será: y = y + tsen(y) La función f(t, y) = y + tsen(y) es continua t IR, y IR, por lo y(t 0 ) = y 0 que, según el Teorema de Cauchy-Peano, este problema tiene solución t 0 IR, y 0 IR f(t, y) La parcial = 1 + tcos(y) es acotada t I, y IR, siendo I cualquier intervalo real y Entonces, según Picard-Lindelöf, la solución del problema es única y está denida t IR Ejemplo: Discutir existencia y unicidad para la ecuación x = 1 + x2 x t El problema de Cauchy más general posible que podemos plantear para esta ecuación es: x = 1 + x2 x t x(t 0 ) = x 0 x (t 0 ) = x 0 z = [ z 1 z 2 ] = Para poder aplicar los teoremas debemos pasar primero al sistema equivalente Como la ecuación es de segundo orden, el sistema equivalente será un sistema de dos ecuaciones de primer orden El cambio z 1 = x, z 2 = x nos da las ecuaciones z 1 sistema equivalente es: = z 2 y z 2 = 1 + z2 1 z 1 t El z 2 La función F : IR IR 2 IR 2 que debemos estudiar 1 + z1 2 z 2 z 1 t es F(t, z 1, z 2 ) = 1 + z1 2 Esta función es continua z 1 t (t, z 1, z 2 ) IR 3 siempre que z 1 t z 1 (t 0 ) = x 0 z 2 (t 0 ) = x 0 [ ] Las derivadas parciales F 0 = 2z z 1 1 z 1 t 1 + z2 1 y F 1 = son continuas en el mismo z 2 (z 1 t) 2 0 conjunto y la primera es claramente no acotada Podemos aplicar el teorema de Picard y concluir que el problema de Cauchy original tiene solución única localmente t 0 IR, x 0 IR, x 0 IR siempre que x 0 t 0 5

6 Es importante notar que, independientemente del proceso intermedio necesario, la respuesta a la pregunta de si existe solución y si es única o no depende de las condiciones iniciales y no de las variables intermedias empleadas José Olarrea Busto 6