SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL

Transcripción

1 SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL OBJETIVOS Definir y saber identificar las tres variantes (isométrica, di - mé tri ca y trimétrica) que pueden darse en la proyección axono mé trica, con las ventajas e incovenientes de cada una Utilizar la axonometría ortogonal como recurso gráfico téc nico-pic tó ri co para crear tridimensionalidad en los dibujos y croquis de objetos y piezas. Conseguir determinar, mediante abatimiento de los planos coor denados, las escalas de los ejes axonométricos, al ob - je to de situar figuras geométricas y levantar volúmenes. 1 AXONOMETRÍA ORTOGONAL La perspectiva axonométrica se basa en una proyección paralela (cilíndrica) simple sobre un solo plano de proyección. El sistema axonométrico ortogonal de un objeto es, pues, la proyección cilíndrica ortogonal del mismo sobre el plano de proyección, que en los sistemas perspectivos recibe el nombre de plano del cuadro (PC). Para mejor comprensión de la teoría del sistema el objeto es sustituido por un triedro trirrectángulo llamado triedro fundamental, cuyas caras son síntesis de las direcciones de las caras del objeto. La proyección sobre el plano del cuadro de estas aristas da lugar a los llamados ejes axonométricos X,Y, Z, de modo que el eje Z defina la dirección vertical. Por la lógica deformación de la proyección, estos tres ejes coordenados forman ángulos mayores de 90, pero no debe olvidarse que representan los ángulos rectos del triedro fundamental de ejes X 0,Y 0, Z 0. Cualquier posición en el espacio puede precisarse por tres coordenadas en las direcciones de los ejes X,Y, Z. Gráficamente, un punto en cualquier posición del espacio se proyecta ortogonalmente sobre los planos del triedro en tres proyecciones axonométricas auxiliares (fig.1a): A -A -A. Al mismo tiempo, el conjunto formado por los ejes, el punto del espacio y las proyecciones axonométricas auxiliares en el triedro se proyectan ortogonalmente sobre un único plano de representación (PC), identificado con el propio plano del dibujo. Al tratarse de una proyección paralela, las rectas paralelas en el espacio conservan el pa - ralelismo en su representación sobre el plano del papel. En consecuencia, las coordenadas de un punto, paralelas a los ejes mantienen esa misma relación en el dibujo (fig.1b). 2 ESCALAS AXONOMÉTRICAS La posición relativa entre el plano del cuadro y el triedro fundamental X 0 Y 0 Z 0 es muy diversa; lo que trae consigo que se originen diversos tipos de axonometrías ortogonales, caracterizados por los ángulos que forman las pro - yecciones de los ejes entre sí (fig. 2): Isométrica si los tres ángulos son iguales, Dimétrica si sólo dos son iguales, y Trimétrica si los tres son desiguales. Como estos ángulos se derivan del que forma cada eje con su proyección sobre el plano del cuadro, implican un coeficiente de reducción en cada dirección de coordenadas, definido por la relación entre la medida real de un segmento y la de su proyección sobre el plano del cuadro. Así, si se toma una misma unidad de medida (u) sobre cada uno de los ejes del triedro de referencia X 0,Y 0,Z 0, al proyectarse sobre el plano del cuadro se obtienen unas magnitudes que pueden ser: las tres del mismo tamaño (caso de la perspectiva isométrica), dos iguales y la tercera desigual (caso de la perspectiva dimétrica), o bien, las tres diferentes (caso de la perspectiva trimétrica). En cualquiera de los tres casos, al sufrir una reducción de tamaño en la proyección quedan definidos diferentes coeficientes de reducción en las escalas axonométricas para cada uno de los ejes. Así: - Coef. de reducción del eje X: μ X = u X / u - Coef. de reducción del eje Y: μ Y = u Y / u - Coef. de reducción del eje Z: μ Z = u Z / u 191

2 3 TRIÁNGULO FUNDAMENTAL DE TRAZAS. ABATIMIENTO DE LOS PLANOS COORDENADOS: VERDADERAS MAGNITUDES Para determinar los coeficientes de reducción de cualquier perspectiva, se puede emplear un recurso gráfico que permite un mayor control del trazado. Su fundamento es obtener la intersección de un plano π para - lelo al plano del cuadro con los tres planos del triedro fundamental X 0 Y 0 Z 0 (fig. 3a). Así se produce un triángulo ABC, conocido co - mo triángulo fundamental de trazas, cuyos vér tices pertenecen a los ejes coordenados y cuyos lados se proyectan perpendiculares a las proyecciones de sus ejes opuestos. Si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno, la axonometría ortogonal será respectivamente: isométrica, dimétrica o trimétrica (fig. 3b). El triángulo ABC se puede disponer donde resulte más cómodo su trazado, dado que la intersección de cualquier plano paralelo al del cuadro origina triángulos fundamentales semejantes. Al no estar los elementos del sistema (ejes y planos coordenados) contenidos en el plano de representación (PC), es necesario abatirlos sobre éste para conocer su verdadera magnitud. Aunque se utilizan diferentes procesos para determinar gráficamente la verdadera magnitud de los ejes, todos ellos son conceptualmente similares. Sabido es que las escalas axonométricas y los coeficientes de reducción permiten obtener, gráfica y numéricamente, las proyecciones de un segmento de longitud dada, coincidente o paralelo a los ejes. No obstante, para obtener la verdadera magnitud de los ejes coordenados, y por tanto sus coeficientes de reducción, quizás, el proceso gráfico más elemental y comprensible sea el de abatir los planos del triedro sobre el plano π ; esto es, sobre el plano que contiene al triángulo fundamental de trazas (fig. 3a y3c). Para trazar el abatimiento se toma como char - nela o eje de abatimiento el lado correspondiente del triángulo fundamental de trazas (AB, BC o CA). El abatimiento del origen (O) estará en la prolongación del eje opuesto, sobre el arco capaz de 90 del segmento-charnela, puesto que allí convergen los abatimientos de dos ejes ortogonales. Tanto en la perspectiva de la fig. 3a como en la representación axonométrica de la fig. 3c se observa el abatimiento de los planos coordenados XOY y XOZ. Como los extremos de la charnela son puntos dobles, basta unirlos con (O) para obtener los ejes en verdadera magnitud, que sirven para determinar los coeficientes de reducción de acuerdo a la relación de afinidad que existe entre los ejes en perspectiva y sus correspondientes abatidos; esto es, entre la unidad u situada en cada eje abatido y su correspondiente en la perspectiva del triedro (u X, u Y, u Z ). Considérese la proyección axonométrica de ejes X,Y, Z y una cierta magnitud u que se desea transportar sobre cada uno de estos ejes coordenados (fig. 3c). El proceso gráfico que establece la relación proyectiva de afinidad es como sigue: - Se traza un triángulo fundamental ABC cualquiera, obteniendo las trazas π 1, π 2 y π 3. - Se abate sobre el plano π el triángulo rectángulo AOB del espacio, cuyo ángulo recto está en el origen; para ello, por su proyección O se traza la perpendicular al lado AB (charnela) y con centro en su punto medio se dibuja una semicircunferencia de diámetro AB, que corta a la perpendicular anterior en el punto (O). - La unión de (O) con A y B, determina los ejes abatidos (X) e(y) sobre los que se puede tomar medidas reales. - La relación entre la magnitud real u (situada en el eje abatido) y la obtenida sobre cada eje axonométrico, viene definida mediante una relación de afinidad determinada por los tres siguientes elementos: Eje de afinidad: la traza del cuadro común con el plano axonométrico que se abate. Dirección afín: perpendicular a la traza. Puntos afines: tales como la pareja (O)-O. - Del mismo modo, abatiendo sobre el cuadro el triángulo AOC, se consigue graduar el eje Z, así como nuevamente el eje X. 192

3 5 TRAZADO DE PARTES CIRCULARES EN LA PERSPECTIVA ISOMÉTRICA 4 FORMAS GEOMÉTRICAS SITUADAS EN LOS PLANOS COORDENADOS Para representar figuras planas sobre los planos axonométricos o en planos paralelos a ellos, se precisa, en general, abatir el plano coordenado que contenga a la figura, para seguidamente desabatirla y obtener la correspondiente perspectiva. No obstante, si los elementos (lados) de la figura geométrica a representar fuesen paralelos a los ejes, se puede trazar cada lado de la figura considerando que cada magnitud que se dibuje en dirección a los ejes tendrá que llevar la reducción o escala que corresponda al eje en cuestión. 4.1 Perspectiva de una forma poligonal. La fig. 4.1 muestra como determinar la perspectiva axonométrica de un triángulo equilátero de 23 mm. de lado, situado en el plano coordenado XOY, y condicionado a que uno de sus lados forme ángulo de 15 con el eje X. Obsérvese cómo en el abatimiento del plano horizontal XOY se ha situado el triángulo equilátero de vértices (1)(2)(3) en una posición que garantice en verdadera magnitud el ángulo de 15 impuesto en su ubicación. Después, por afinidad, se determina la forma y posición del triángulo123, como perspectiva axonométrica del triángulo equilátero. 4.2 Perspectiva de una circunferencia. Por el mismo procedimiento anterior, se puede obtener la representación de circunferencias (que se verán como elipses) situadas en cualquiera de los planos coordenados o en paralelos a ellos (fig. 4.2). Obsérvese cómo en todos los casos se aplica la afinidad existente entre las figuras abatidas y proyectadas (perspectiva). Asimismo, debe indicarse que los ejes principales de las elipses son los segmentos afines de dos diamétros perpendiculares de la circunferencia abatida: los correspondientes, paralelo y perpendicular a la traza del plano del cuadro. 5.1 El círculo en los planos coordenados. Las partes circulares situadas en cualquiera de las tres caras paralelas a los planos coordenados de la perspectiva, se proyectan según una elipse (fig. 5.1). No obstante, por precisión y rapidez en la ejecución de los dibujos isomé tricos, es aconsejable dibujar óvalos (curvas que, ópticamente, se parecen a la elipse; fig. 5.3). 5.2 Enlace de rectas con curvas. Es frecuente la necesidad de enlazar dos líneas rectas con una curva (arco de circunferencia) formando ángulo recto como indica la fig. 5.2a. Para su construcción se considera el cuadrado circunscrito a la circunferencia, que se transforma en un rombo en la perspectiva (fig. 5.2). Los centros de los arcos correspondientes al óvalo, resultan ser los vértices O 1 y O 2 para los arcos mayores (cuadrantes en la circunferen - cia real) y los puntos O 3 y O 4 para los arcos menores (correspondientes a los otros dos cuadrantes de la circunferencia). Para trazar su perspectiva isométrica (fig. 5.2b) se recurre a usar el trazado mediante arcos de óvalo. Obsérvese la correspondencia y posición que adopta cada arco de óvalo. 193

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