Facultad de Ciencias Económicas y Estadística. Estudios de Repetibilidad y Reproducibilidad

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1 Facultad de Ciencias Económicas y Estadística Estudios de Repetibilidad y Reproducibilidad Diseño de experimentos Año 015

2 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura 1. INTRDUCCIÓN El concepto de calidad ha ido evolucionando a través del tiempo. Desde su primera definición, en la que se entendía por tal a la conformidad con las especificaciones, pasando luego por definiciones más evolucionadas que tomaron en cuenta otros factores, se arriba a la concepción actual de la calidad: satisfacción que produce en los usuarios, la empresa y la sociedad en general. ara ayudar a lograr y mantener la calidad de un producto o servicio es sumamente importante el empleo del control estadístico de calidad. El control de calidad se define como un conjunto de actividades y técnicas operativas que se emplean para cumplimentar los requerimientos de calidad. ermiten en forma eficiente desarrollar, mantener y mejorar la calidad de un producto o servicio, controlando el costo, ofreciendo al mercado calidad a precio competitivo y logrando la máxima satisfacción del cliente. La importancia otorgada durante los últimos años al control de calidad es una respuesta a la competencia japonesa basada en la calidad, la cual surgió luego de que un asesor económico estadounidense, W. Edwards Deming, señalara que el consumidor es la parte más importante de la línea productiva y enseñara a los japoneses los distintos métodos de control de calidad. El control estadístico de la calidad comprende un conjunto de métodos que incluyen el control estadístico de procesos, herramientas de diagnóstico, planes de muestreo, diseño de experimentos, test de hipótesis, análisis multivariado, estimación de modelos, etc. La implementación de todos ellos requiere de la recolección de información cuantitativa como materia prima. De aquí se desprende la importancia de la actividad de MEDIR, dentro del ciclo de cinco fases consecutivas definido por la conocida estrategia Seis Sigma, para encarar acciones de mejora: definir, medir, analizar, mejorar, controlar. El análisis de un sistema de medición es entonces una componente de vital importancia para cualquier iniciativa de mejora de calidad. Evaluar el sistema de medición a partir del cual se generan los datos de la característica de calidad que será analizada tiene su justificación en el hecho de que en cualquier actividad que implique mediciones, una parte de la variabilidad observada será inherente al producto o servicio que está siendo medido, pero otra parte será producto de la forma en que se realice la medición. or lo tanto, si logra determinarse con anterioridad que el sistema de medición que se utiliza es adecuado, en el sentido de no introducir variabilidad adicional a las mediciones, se habrá eliminado una posible fuente de variación en el resultado del proceso. or lo tanto, asegurar la habilidad de un sistema de medida es importante para lograr análisis más precisos. ara evaluar si el sistema de medición es adecuado debe tomarse conocimiento del alcance y de las causas que producen la variabilidad en las mediciones. El propósito de un estudio de capacidad del sistema de medición, más conocido como estudio de repetibilidad y reproducibilidad (o estudio R&R), es evaluar cuánta variación está asociada al sistema de medición y compararla con la variación total del proceso. Esta operación permite decidir si el sistema de medición es o no capaz. Como su nombre lo indica, esta metodología se basa en el análisis de datos provenientes de mediciones repetidas de las unidades Sistema de medición Las metodologías estadísticas para la mejora de procesos dependen fuertemente de datos de mediciones para identificar oportunidades de mejora. Un reflejo de la relevancia que tiene el proceso de medición es la inclusión de una etapa específica en la conocida estrategia de calidad Seis Sigma, que se denomina MEDIR. La confiabilidad de los datos es un punto muy importante a tener en cuenta, y ello implica que las propiedades del sistema de medición que se utilice deben ser estudiadas cuidadosamente.

3 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura Un sistema de medición es un conjunto de dispositivos, herramientas, procedimientos, personas y ambientes usados para asignar un número a una característica que está siendo medida. or lo tanto, una de las posibles causas de variabilidad en la salida del proceso es la forma en que se mide tal salida, con qué instrumento, en qué lugar, con qué operarios y bajo qué condiciones ambientales. Cuando un sistema de medición es considerado como un proceso, resulta fácil ver las varias causas de variación que llevan a mediciones inexactas o poco precisas. uesto que deberán tomarse decisiones en base a tales mediciones, es necesario comprender las causas y el alcance de la variabilidad observada. Un sistema de medición ideal es aquel que produce siempre mediciones correctas. En este sentido, la utilidad de un sistema de medición puede evaluarse a través de su precisión y su exactitud (ver Figura 1). La precisión de un sistema de medición hace referencia a la variabilidad que se observa cuando se mide la misma unidad del producto con la misma herramienta de medición, repetidas veces. Entonces, un sistema de medición será preciso si es capaz de producir los mismos resultados cuando se mide repetidamente una misma unidad, en condiciones uniformes. or otro lado, la exactitud del sistema se refiere a la diferencia que se observa entre el verdadero valor de la característica que se mide y el promedio de las mediciones que se obtienen al aplicar el procedimiento de medición. or lo tanto, un sistema de medición será exacto si posee la habilidad de producir mediciones que, en promedio, coincidan con el verdadero valor de la característica que se está midiendo. Un buen sistema de medición debe producir mediciones exactas y precisas de la característica de calidad de interés. Figura 1: Conceptos de precisión y exactitud. Nota: (a) el sistema es exacto y preciso. b) el sistema es exacto pero no preciso. (c) el sistema es preciso pero no exacto. (d) el sistema no es preciso ni exacto. A partir de estos conceptos, el de medición puede descomponerse en dos elementos: el sistemático, haciendo referencia a la exactitud de la medición; y el aleatorio, que se corresponde con la precisión de la medición. or ejemplo, sea X una característica de calidad de interés, y sea el verdadero valor de la característica para una unidad del producto. Si se toman mediciones repetidas de la característica de calidad sobre esta unidad, individual, y,..., 1, y yn, la diferencia que se observe entre una medición y i, y el verdadero valor de la característica, X, será la suma de la diferencia entre esta X

4 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura medición y el promedio de todas las mediciones repetidas ( y i y ), el aleatorio o precisión, y la diferencia entre el promedio de las mediciones repetidas y el verdadero valor de la característica ( y sistemático o exactitud. Figura 4: Componentes del de medición. X ), el Las propiedades que deben estudiarse para evaluar la bondad de un sistema de medición, son: Sesgo: el sesgo en el sistema de medición es la diferencia sistemática entre los resultados que arroja el sistema de medición y el verdadero valor de la característica. ara poder determinar el sesgo es necesario conocer el verdadero valor de la característica, o bien, una alternativa consiste en medir varias veces el mismo producto utilizando el mejor método de medición que se disponga y tomar el valor promedio de tales mediciones como estándar. Estabilidad: refiere al cambio en el sesgo del sistema de medición a través del tiempo, es decir, un sistema de medición es estable cuando no está afectado por causas especiales de variación a través de un período extendido de tiempo, con respecto a su tendencia central o localización. La estabilidad de un sistema de medición se juzga por un gráfico de control de mediciones repetidas de un mismo estándar a través de un período de tiempo. Si los gráficos de promedios y rangos (o de observaciones individuales y rangos) resultantes están bajo control, se dice que el sistema es estable. Linealidad: Esta propiedad refiere al cambio en el sesgo del sistema de medición a través del rango de unidades en que opera el mismo. Si el sesgo es constante a través del rango de operación, se dice que el sistema es lineal.

5 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura Adecuación de la unidad de medición: es la habilidad del sistema de medición de medir la característica de interés en un número adecuado de posiciones decimales, que dependerá de la característica particular que se esté midiendo y del poder de discriminación del sistema, lo cual está asociado a la graduación más pequeña que el instrumento es capaz de medir en su escala. Esta propiedad hace referencia a la habilidad de la herramienta para detectar e indicar consistentemente cambios en la característica medida. Repetibilidad: es la variabilidad en mediciones repetidas del mismo producto bajo condiciones exactamente idénticas, es decir, usando la misma herramienta de medición, el mismo operario y las mismas condiciones ambientales. Bajo estas condiciones, la variabilidad observada en las mediciones será inherente al instrumento de medición mismo. Reproducibilidad: es la variabilidad en el promedio de las mediciones hechas por diferentes operarios usando la misma herramienta y midiendo el mismo producto. La variabilidad introducida por los diferentes operarios es una medida de la reproducibilidad del sistema de medición. Las propiedades de sesgo, estabilidad y linealidad, permiten evaluar la exactitud del sistema de medición; mientras que la repetibilidad y la reproducibilidad se refieren a su precisión. Es importante destacar que precisión y exactitud son propiedades o características independientes una de otra, por lo cual, controlar una de estas fuentes de variación no garantiza el control de la otra. De esto se desprende que los tipos de estudios orientados a evaluar la precisión son diferentes de aquellos orientados a evaluar la exactitud de un sistema de medición. Los estudios de repetibilidad y reproducibilidad, comúnmente conocidos como estudios R&R, se llevan a cabo para examinar la variabilidad del sistema de medición, evaluar su alcance en comparación con la variabilidad total, e identificar las principales fuentes que la producen. Cuando se lleva a cabo un proceso de medición es útil adoptar un modelo para representar las mediciones obtenidas. Sea el siguiente modelo: y x, donde y es la medición observada, x es el valor real de la medida en una unidad del producto, y es el en la medición. Se asume que x y son variables aleatorias que se distribuyen normal e independientemente con medias X y 0, y variancias, representando a la variabilidad de las unidades o partes; y referencia a la variabilidad del sistema de medición, respectivamente., haciendo or lo tanto, una parte de la variabilidad total observada en las mediciones estará asociada al sistema de medición que se utilice: Total

6 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura A su vez, dos componentes de la variabilidad del sistema de medición son la reproducibilidad y la repetibilidad, las cuales hacen referencia a la variabilidad inherente al instrumento de medición y a la variabilidad introducida por los distintos operarios que operan el instrumento, respectivamente. Esto lleva a la siguiente descomposición de la variabilidad del sistema de medición: Repetibilidad Reproducibi lidad 1.. Estudios para estimar la componente de variancia debida al sistema de medición Los métodos para analizar la capacidad del sistema de medición se basan en la evaluación estadística de las dispersiones de los resultados del proceso de medición. ara ello se han propuesto diversos métodos, dependiendo de si tales dispersiones se consideran en forma de rango estadístico o se representan como variancias o desviaciones estándares. Si bien todos los métodos permiten obtener una estimación de la componente de variancia asociada al sistema de medición, son diferentes tanto en el nivel de detalle y la precisión de los resultados que se obtienen, como en el nivel de conocimiento que se requiere para su aplicación. En cada situación particular puede optarse por aplicar uno u otro método dependiendo de las características del problema y del propósito que condujo al estudio del sistema de medida. Como regla práctica se recomienda decidir según el siguiente criterio: si este porcentaje es menor al 10%, el sistema de medición es capaz, si es mayor al 5% el sistema de medición es incapaz, en el sentido de que está introduciendo mucha variabilidad al proceso. Si se obtiene un porcentaje entre el 10% y el 5%, se está en una zona de indecisión, y la decisión queda a juicio del analista. Modelos estadísticos (método ANVA) Este método consiste en plantear el estudio de repetibilidad y reproducibilidad a partir de datos recogidos de un experimento diseñado. Luego, los datos del experimento son analizados por medio de modelos que tengan en cuenta los posibles efectos de los factores controlados en el diseño. or tratarse de un estudio para analizar la variabilidad de las mediciones obtenidas mediante un determinado sistema de medición, es práctica común considerar como posibles factores en el diseño a las piezas y a los operarios. ara llevar a cabo el experimento será necesario variar los niveles de estos factores que por lo general no serán fijos sino aleatorios, suponiendo que los operarios y las piezas consideradas constituyen una muestra aleatoria. Es importante en el experimento aleatorizar los ensayos para evitar sesgos en los resultados. El modelo que se ajuste teniendo en cuenta las características del diseño que origina los datos, permite investigar la contribución del conjunto de factores considerados a la variabilidad total de las mediciones y estimar las variancias asociadas a cada componente con mayor exactitud que los métodos de rangos. or ejemplo, considerando como factores de variación en el experimento a las piezas y los operarios, ambos aletaorios, en todas las combinaciones posibles de sus niveles (diseño factorial completo) es posible descomponer la variabilidad observada en cuatro fuentes y estimar las componentes de variancia asociadas a cada una de ellas: el instrumento de medición, los operarios, las piezas y la interacción entre las piezas y los operarios. Sea el siguiente modelo para representar las mediciones realizadas por o operarios midiendo n veces cada una de p piezas: y i j ( ) ; i 1,,..., p; j 1,,..., o; k 1,,..., n ij

7 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura Tanto los efectos aleatorios del modelo, ) i, j,( ij, como el término de,, son variables aleatorias independientes que representan respectivamente el efecto de las piezas, de los operarios, la interacción entre operarios y piezas y el aleatorio. Se asume que estas variables aleatorias están normal e independientemente distribuidas con media cero y variancias dadas por V ), V ), V [( ) ij ] y V ( ) or tanto, la variancia de cualquier observación es: V ( y ), ( i ( j donde cada sumando es una componente de variancia. El método del análisis de la variancia será usado para determinar si estas componentes de variancia son significativas, es decir, si las fuentes de variación asociadas realmente introducen variabilidad a las mediciones. Una vez determinada la significación de las componentes podrán estimarse aquellas que hayan resultado significativas, y con ello determinar su participación en la variabilidad total para decidir si el sistema de medición es o no capaz. Según la ecuación anterior, el procedimiento implica particionar la variabilidad total de las mediciones en las siguientes fuentes de variación: operarios, piezas, interacción entre piezas y operarios y aleatorio. La tabla ANVA correspondiente al modelo se muestra a continuación: Tabla: Cuadro ANVA para el modelo a dos criterios de clasificación cruzados. Fuente de Variación Grados de Libertad perario 1 Suma de Cuadrados (SC) o o SC pny. j. y... j1 Cuadrados Medios () SC o 1 ieza 1 p SC on y y p i1 SC i..... p 1 ( 1)( p 1 Interacción ) p o o SC nyij. yi.. y. j. y... i1 j1 SC ( o 1)( p 1) Error (instrumento) p o n op ( n 1) SC y y i1 j1 k1 ij. SC op( n 1) Total 1 p o n opn SCTotal y y... i1 j1 k1 ara determinar las estadísticas necesarias para probar la significación de las componentes de variancia, es necesario examinar las esperanzas de los cuadrados medios asociados. Tales esperanzas resultan: E E ( ) n pn ( ) n on

8 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura E ( ) n E ( ) Error A partir de lo expuesto se deducen las pruebas adecuadas para probar cada una de las hipótesis de interés. La hipótesis H : 0 se probará utilizando la estadística: 0 F Error. Dados los supuestos del modelo, y bajo la hipótesis nula, este cociente tiene distribución F de Snedecor con ( 1)( p 1) o grados de libertad en el numerador y op ( n 1) en el denominador. Si la hipótesis nula es cierta tanto el numerador como el denominador de la estadística tienen valores esperados iguales a, mientras que si la hipótesis nula es falsa el valor esperado del numerador será mayor que el del denominador. Esto implica una región crítica unilateral superior, y por lo tanto, deberá rechazarse la hipótesis nula si Fbs F,( o1)( p1); op( n1). Similarmente, se deduce que las hipótesis : 0 estadísticas ( o 1)( p 1 y ) ; y ( o 1)( p 1) H y H : 0 pueden probarse utilizando las 0 0 F, la cual se distribuye bajo la hipótesis nula según una F de Snedecor con ( o 1) F cuya distribución bajo la hipótesis nula es F de Snedecor con ( p 1) ; respectivamente. Las componentes de variancia pueden ser estimadas calculando primero los valores de los cuadrados medios e igualando luego tales valores a sus valores esperados. De este modo, las estimaciones resultantes para las componentes de variancia son: ˆ ˆ n ˆ pn ˆ Error on Cuando se utiliza este método de estimación, matemáticamente es posible encontrar que la estimación de una componente de variancia es negativa, lo cual no resulta razonable, ya que por definición estas componentes son no negativas. Ante esta situación, una alternativa es asumir que una estimación negativa está indicando que tal componente realmente es nula, y por lo tanto asignar el valor cero a esa componente y mantener sin cambios las demás estimaciones no negativas. tra posibilidad es estimar las componentes de variancia con un método que garantice estimaciones no negativas. Una última propuesta consiste en considerar a la estimación negativa como evidencia de que el modelo lineal propuesto es incorrecto y reexaminar el problema. La repetibilidad será estimada mediante la variancia del, es decir, ˆ es la componente de variancia debida a la repetibilidad. or otro lado, la reproducibilidad estará compuesta por la variancia debida a los operarios y la variancia debida a la interacción entre los operarios y las piezas. Se tiene entonces: y

9 Dra. Daniela Dianda Dr. José agura ˆ ˆ repetibilidad reproducibilidad ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ repetibilidad ˆ reproducibilidad Si los resultados del análisis evidenciaran que la interacción es no significativa, puede formarse un cuadrado medio amalgamado, sumando al cuadrado medio del el correspondiente a la interacción, y dejando como únicas fuentes de variación a las piezas y los operarios. En la estimación de las componentes de variancia se utiliza esta nueva estimación del cuadrado medio del,, en reemplazo de y. Una vez que se tiene una estimación de la variancia asociada al sistema de medición puede evaluarse su participación en la variabilidad total observada, de la misma manera que en los métodos anteriores. Asimismo, puede evaluarse cuál de los factores considerados es el que más influye en la variabilidad del sistema de medición, comparando las variancias estimadas de cada componente con la variancia del sistema de medición. El resumen de los resultados que se obtienen se muestra en la tabla 4. pool Tabla 4: Resumen de los resultados del estudio R&R mediante ajuste de modelos. iezas Factor Componente de variancia Contribución Sistema de medición Total Repetibilidad Reproducibilidad ˆ ˆ ˆ Total ˆ ˆTotal ˆ R & R ˆ ˆ Total Repetibilidad ˆ repetibilidad ˆ ˆ Reproducibi lidad ˆ reproducibilidad ˆ